Toán 9 Chương 2 Đường tròn

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN BÀI 1: ĐƯỜNG TRÒN 1, ĐƯỜNG TRỊN – Đường trịn tâm O bán kính R, KH: ( O; R ) ( R > 0) hình gồm điểm cách O khoảng R – Điểm M nằm đường trịn OM = R – Điểm A nằm bên đường tròn – Điểm B nằm bên ngồi đường trịn OA < R OB > R 2, CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN – Qua điểm A, B, C khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn ( Giao ba đường trung trực) – Đường trịn hình có tâm đối xứng ( Tâm đối xứng tâm đường tròn) – Đường tròn hình có trục đối xứng ( Trục đối xứng đường kính bất kì) Chú ý: – Đường trịn qua đỉnh tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền 3, BÀI TẬP VẬN DỤNG AB = 12cm, BC = 5cm Bài 1: Cho HCN ABCD có Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Tính bán kính đường trịn AB = 8cm, BC = 15cm Bài 2: Cho HCN ABCD có đường trịn Tính bán kính đường trịn Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc AD = 8cm, AC = 6cm, CD = 4,8cm Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có AD // BC Biết điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Tính bán kính đường trịn Chứng minh Bài 4: Cho ngoại tiếp ∆ABC ∆ABC vng A có , đường cao AH = 4,5cm Tính bán kính đường trịn Bài 5: Cho đường tròn ( O) cắt A B a, Chứng minh b, Tính BC Bài 6: Cho AB = 7,5cm ∆ABC ( O; OA) ∆OAB cân A có biết OA = 3cm Đường thẳng vng góc với OA trung điểm OA BC = 6cm độ dài đường cao AM = 4cm Vẽ ( O) ngoại tiếp ∆ABC ( O) a, Tính AB đường kính AA’ đường trịn AH ⊥ CB′ b, Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Vẽ H Tứ giác AHCM hình Bài 7: Cho ∆ABC có AB = 6cm Tính bán kính đường tròn qua ba điểm A, B, C ( O) ∆ABC Bài 8: Cho nhọn Vẽ đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC D E Gọi H giao điểm BE CD CD ⊥ AB, BE ⊥ AC a, Chứng minh AH ⊥ BC b, Chứng minh ( O) AB = 6cm, AC = 8cm ∆ABC Bài 9: Cho vng A, Biết Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC H a, Tính AH, CH OK ⊥ AH DH ⊥ OH b, Kẻ K tia OK cắt AC D Chứng minh Bài 10: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn K ( ) D Vẽ đường tròn đường kính HC cắt AC E a, Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật AD AB = AE AC b, Chứng minh c, Cho AB = 3cm, BC = 5cm ( I) có đường kính HB cắt cạnh AB Tính DE diện tích tứ giác DEKI ( O; R ) Bài 11: Cho nửa đường trịn đường kính BC A điểm thay đổi đường tròn cho · BAC AB > AC Tia phân giác cắt đường trung trực BC D Hạ DH DK vng góc với AB AC a, Chứng minh AHDK hình vng b, Chứng minh A, B, C, D thuộc đường tròn AM ⊥ BC 2.AM + BM c, Hạ Tìm giá trị lớn BÀI 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN 1, ĐỊNH LÍ – Trong dây đường trịn, đường kính dây lớn – Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây – Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây ( Dây khơng qua tâm) vng góc với dây 2, BÀI TẬP VẬN DỤNG ( O) Bài 1: Cho đường kính AD, dây AB khơng qua tâm, Qua B vẽ dây BC vng góc với AD H AB = 10cm, BC = 12cm Biết a, Tính AH b, Tính bán kính ( O) ( O; R ) Bài 2: Cho dây AB Trên tia đối tia BA lấy điểm C cho ( O nằm C D) ·AOD = ·ACD a, Chứng minh AB = R b, Cho biết Tính OC, CD, AD theo R Bài 3: Cho nửa BC = R Tia CO cắt ( O) D ( O) , đường kính AB, dây CD, đường thẳng vng góc với CD C D AM = BN cắt AB M N ( M nằm A O, N nằm B O) Chứng minh ( O) AH = BK Bài 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB Trên AB lấy hai điểm H, K cho ( H nằm A O, K nằm B O) Các đường thẳng qua H K song song với cắt nửa đường tròn PH ⊥ PQ QK ⊥ PQ P Q Chứng minh 10 51 ( O; R ) ( O) Bài 18: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến OA ⊥ BC a, Chứng minh H bốn điểm A, B, C, O nằm đường tròn b, Vẽ đường kinh BD c, Tia AO cắt ( O) Bài 19: Cho đường tròn ( O) , vẽ CK ⊥ BD K Chứng minh M N ( M nằm A N) Chứng minh ( O; R ) MH NA = MA.NH ( O; R ) Vẽ đường thẳng d vng góc ( O) với OA A Trên d lấy điểm M khác A Qua M vẽ hai tiếp ME MF tới ( E F tiếp điểm) EF cắt OM OA H K a, Chứng minh H trung điểm EF b, Chứng minh O, M, A, F thuộc đường trịn c, Chứng minh điểm A nằm ngồi đường tròn AC.CD = CK AO OK OA = R d, Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để ∆OHK có diện tích lớn 52 ( O; R ) Bài 20: Cho đường trịn , đường kính AB Gọi H trung điểm OA, Qua H kẻ đường thẳng ( O) vng góc với AB cắt C D a, Tứ giác ACOD hình gì? b, Qua D kẻ tiếp tuyến với ∆MCD ( O) cắt OA M Chứng minh MC tiếp tuyến Bài 21: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn điểm) ( O) , Kẻ hai tiếp tuyến AB AC đến a, Chứng minh A, B, C, O thuộc đường tròn BC ⊥ OA ( O) ( O) ( B, C tiếp H ( O) b, Kẻ đường kính BD Qua C vẽ đường thẳng vng góc với AB, cắt OA E Chứng minh CD // OA tứ giác OBEC hình thoi 53 54 ( O) Bài 22: Cho đường trịn có bán kính R Qua điểm M ngồi đường trịn, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn ( A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AC đường trịn OM ⊥ AB a, Chứng minh tù chứng minh CB // OM b, Gọi K giao điểm thứ hai MC với đường tròn · · MBK = MCB c, Chứng minh ( O) Chứng minh CK CM = R ( O; R ) ( O) Bài 23: Cho đường trịn điểm A nằm ngồi đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC ( O) với ( B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a, Chứng minh A, B, C, O thuộc đường tròn b, Chứng minh OA đường trung trực BC c, Lấy điểm D đối xứng với B qua O Gọi E giao điểm đoạn AD với đường trịn DE.BA = BD.BE khơng trùng với D) Chứng minh · HEC d, Tính ( O) (E 55 ( O; R ) Bài 24: Cho đường trịn Từ điểm M nằm ngồi đường tròn kẻ hai tiếp tuyến ME MF đến đường tròn ( E, F tiếp điểm) a, Chứng minh M, E, O, F thuộc đường tròn b, Đoạn OM cắt ( O) I Chứng minh EI phân giác ( O; R ) c, Kẻ đường kính ED minh P trung điểm FK Hạ FK ⊥ ED · FEM Gọi P giao điểm MD FK Chứng ( O; R ) Bài 25: Từ điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm) · · · MAO MAB = MBA a, Tính chứng minh ∆SOM b, Đường thẳng vng góc với OA O cắt AB MB I S Chứng minh SI + SO = MB cân c, Gọi G điểm đối xứng với O qua S MO cắt AG E cắt AB H Chứng minh EH EO < EG 56 57 ( O; R ) OM = R Bài 26: Cho đường tròn điểm M nằm ngồi đường trịn cho Vẽ hai tiếp tuyến ( O) ( O) MA, MB với ( A, B tiếp điểm) Đoạn thẳng OM cắt AB H cắt C OM ⊥ AB a, Chứng minh H b, Chứng minh tứ giác AOBC hình thoi c, Trên tia đối tia AB lấy D ( D khác A) vẽ hai tiếp tuyến DN DK tiếp điểm) Chứng minh M, N, K thẳng hàng Bài 27: Cho đường tròn ( O; R ) ( O) ( N, K ( O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx Trên nửa mặt ( O) MA > MB phẳng bờ AB có chứa Bx, Lấy điểm M thuộc ( M khác A B) cho Tia AM cắt Bx O ( ) C Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với ( D tiếp điểm) OC ⊥ BD a, Chứng minh b, Chứng minh O, B, C, D thuộc đường tròn · · CMD = CDA c, Chứng minh ∆OMH d, Kẻ MH vng góc với AB H Tìm vị trí M để chu vi đạt giá trị lớn 58 59 ( O;3cm ) Bài 28: Cho đường tròn Từ điểm A cách O 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B C tiếp điểm) AO ⊥ BC a, Chứng minh b, Kẻ đường kính BD Chứng minh DC song song với OA ∆ABC c, Tính chu vi diện tích d, Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng cắt DC E AE cắt OC I, OE cắt AC G Chứng minh IG trung trực OA Bài 29: Cho đường tròn ( O; R ) ( O) có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đường tròn cho O ( ) ∆SAO AM < MB Tiếp tuyến A đường tròn cắt OM S Đường cao AH ( H thuộc ( O) SO) cắt đường tròn D a, Chứng minh OH OS = R b, Chứng minh SD tiếp tuyến ( O) ( O) c, Kẻ đường kính DE Gọi r bán kinh đường tròn nội tiếp ∆SAD tâm đường trịn nội tiếp tính AE theo R r d, Cho AM = R Gọi K giao điểm BM AD Chứng minh ∆SAD Chứng minh M MD = 6.KH KD 60 Bài 30: Lấy điểm A đường tròn BC = AB cho ( O; R ) d, Chứng minh CB tiếp tuyến b, Vẽ đường kính AD ( O) kẻ , Vẽ tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm B, ( O) ( O) lấy C CK ⊥ AD Chứng minh CD // OB BC.DC = CK OB ( O) c, Lấy M cung nhỏ AC Vẽ tiếp tuyến M cắt AB, BC E, F Vẽ đường ∆MAC ∆IFE ∆BFE tròn tâm I nội tiếp Chứng minh Bài 31: Cho đường tròn ( O; R ) H cố định nằm ngồi đường trịn Qua H kẻ đường thẳng d vng ( O) góc với OH Từ điểm S đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA SB với ( A, B hai tiếp ( O; R ) điểm) Gọi M N giao SO với AB đường tròn a, Chứng minh S, A, O, B nằm đường tròn b, Chứng minh OM OS = R 61 ∆SAB c, Chứng minh N tâm đường tròn nội tiếp d, Khi S di chuyển d M di chuyển đường nào? 62 ( O; R ) Bài 32: Cho đường trịn Từ điểm M nằm ngồi đường trịn, kẻ hai tiếp tuyến MA MB ( A, B hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OM AB OM ⊥ AB OH OM = R a, Chứng minh b, Từ M kẻ cắt tuyến MNP với đường tròn ( N nằm M P), I trung điểm NP Chứng minh A, M, O, I thuộc đường tròn ( O) MA = 5cm c, Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA MB C D Biết ∆MCD Tính chu vi d ⊥ OM ∆MEF d, Qua O kẻ đường thẳng cắt MA MB E F Xác định M để có diện tích nhỏ ∆ABC ( A; AH ) Bài 33: Cho vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn với đường tròn ( D, E tiếp điểm) a, Chứng minh D, A, E thẳng hàng b, Chứng minh DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC , kẻ tiếp tuyến BD CE 63 ( O) Bài 34: Cho nửa đường trịn đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm thuộc đường trịn, tiếp tuyến M cắt Ax, By C D a, Chứng minh đường trịn đường kính CD tiếp xúc với AB b, Tìm vị trí M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ AB = 4cm c, Tìm vị trí C D để hình thang ABCD có chu vi $14cm$, biết ( O) Bài 35: Cho nửa đường trịn đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ cắt Ax By C D Gọi N giao điểm AD BC, H giao MN AB MN ⊥ AB a, Chứng minh MN = NH b, Chứng minh 64 ( O; R ) ( d) ( d ′) Bài 36: Cho đường trịn đường kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến với ( O) ( d) ( d ′) đường tròn Một đường thẳng qua O cắt M cắt P Từ O kẻ tia vng góc với MP ( d ′) OI ⊥ MN cắt N Kẻ I OM = OP ∆NMP a, Chứng minh cân ( O) OI = R b, Chứng minh MN tiếp tuyến đường trịn ·AIB c, Tính d, Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Bài 37: Cho nửa đường tròn ( O) AB = R Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn ( O) ( Ax, By nằm nửa mặt phẳng bờ AB có chứa ) Qua M nằm nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By D E · DOE = 900 a, Chứng minh b, Chứng minh đường kính AD.BE = R c, Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn ( O) cho diện tích ADEB nhỏ 65 ... C, D thuộc đường tròn AM ⊥ BC 2. AM + BM c, Hạ Tìm giá trị lớn BÀI 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN 1, ĐỊNH LÍ – Trong dây đường trịn, đường kính dây lớn – Trong đường trịn, đường kính vng... trịn, đường kính dây lớn 2, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN – Đường thẳng đường trịn cắt nhau: Khi OH < R HA = HB = R − OH – Đường thẳng đường tròn tiếp xúc nhau: OH = R Khi , đường. .. AE.BF ( B; BA) đường tròn ( B) ( khác A) Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn vng A, vẽ đường tròn ( C; CA) chúng cắt D 22 Bài 10: Cho AH ∆ABC cân A, đường cao AD BE cắt H Vẽ đường tròn a, Chứng