HÌNH 9 CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG TRÒN

Hoc Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn Hình học CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN I SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Đường trịn Đường trịn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Vị trí tương đối điểm đường tròn Cho đường tròn (O; R) điểm M OM  R  M nằm đường tròn (O; R)  OM  R  M nằm đường tròn (O; R)  OM  R  M nằm ngồi đường trịn (O; R)  Cách xác định đường tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn  Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn  Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn Bài Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, � C � D  900 P, Q trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn HD: Chứng minh MNPQ hình chữ nhật Bài Cho hình thoi ABCD có Gọi E, F, G, �A  600 H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn HD: Chứng minh EFGH hình chữ nhật, OBE tam giác Bài Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD HD: Chứng minh E, F giao điểm đường trung trực tương ứng Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ đường trịn (I) đường kính OA Bán kính OC đường tròn (O) cắt đường tròn (I) D Vẽ CH  AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân HD: Chứng minh ADO = CHO  OD = OH, AD = CH Chứng minh HD // AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD, � C � D  600 AB < CD) có , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn HD: Chứng minh , với I trung IA  IB  IC  ID điểm CD Bài Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn HD: Bài Cho hai đường thẳng xy xy vuông góc O Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động cho A nằm xy B xy Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào? HD: Bài Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường trịn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC HD: Bài Trang Hình học Học Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn a) HD: II DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN So sánh độ dài đường kính dây Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Quan hệ vng góc đường kính dây  Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây  Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây  Trong đường tròn: – Hai dây cách tâm – Hai dây cách tâm  Trong hai dây đường tròn: – Dây lớn dây gần tâm – Dây gần tâm dây lớn Bài Cho đường tròn (O; R) ba dây AB, AC, AD Gọi M, N hình chiếu B đường thẳng AC, AD Chứng minh MN ≤ 2R HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N nằm đường trịn đường kính AB  MN ≤ AB Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh rằng: SABCD �2R2 HD: Bài Cho đường tròn (O; R) dây SABCD  AB.CD AB không qua tâm Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh điểm M không trung điểm CD HD: Dùng phương pháp phản chứng Giả sử M trung điểm CD  vơ lý Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? R  6,5cm, MA  4cm b) Giả sử Tính CD c)* Gọi H K hình MC MH MK  chiếu M CA CB Chứng 2R minh: CD  12cm HD: a) ACED hình thoi b) c) MA.MC MB.MC MK  2cm,,IB 4cmBC Bài Cho đường tròn (O; R) MH  IA AC hai dây AB, CD vng góc với I Giả sử Tính khoảng cách từ tâm O đến dây OH  OK  1cm HD: Bài Cho đường trịn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN  MN  0ND � b) Giả sử Tính OM theo R CM AOB  90 cho HD: a) Vẽ OH  CD  H trung điểm CD MN b) Đặt OH = x C minh HOM vuông cân  HM = x Do CM = MN = ND  HC = 3x Trang 10 Hoc Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn Hình học  R OM  Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường tròn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB 300 góc nhọn Tính diện tích hình chữ nhật CDFE HD: a) Vẽ OH  CD Đường thẳng OH cắt EF K  OH = OK  CD = EF �E 22 R b) Vì nên CF đường R2  15 15 R R  90 OH  � HK EF S  kính 44 Bài Cho đường tròn (O) dây CD Từ O kẻ tia vng góc với CD M, cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD = 16cm MH = 4cm HD: Bài Cho đường trịn (O; 12cm) có đường 300 kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID Tính MN HD: Bài 10 a) HD: Trang 11 Hình học Học Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Cho đường tròn (O; R) đường d  d(O, ) thẳng  Đặt VTTĐ đường thẳng đường tròn Số điểm chung Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường trịn khơng giao Hệ thức d R d R d R d R Khi đường thẳng đường trịn tiếp xúc đường thẳng đgl tiếp tuyến đường tròn Điểm chung đường thẳng đường tròn đgl tiếp điểm Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn  Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm  Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Tính chất hai tiếp tuyến cắt Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì:  Điểm cách hai tiếp điểm  Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Đường tròn nội tiếp tam giác  Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đgl đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác đgl ngoại tiếp đường tròn  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác Đường trịn bàng tiếp tam giác  Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đgl đường tròn bàng tiếp tam giác  Với tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp  Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C, giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác B (hoặc C) Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường trịn (gọi tâm O) b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) HD: a) D, E nằm đường trịn đường kính AH � � � b) Chứng minh  � MEO � OEA CEM � OAE � CEO �  ECM OEA� CEM CEO  900 � Bài Cho đường tròn (O; CAB  300 R) đường kính AB Vẽ dây AC cho Trên tia đối tia BA, lấy điểm M cho BM = R Chứng minh rằng: a) MC tiếp tuyến đường tròn MC  3R2 (O) b) HD: a) Chứng minh COM vuông MC  OM  OC C b) Trang 12 Hoc Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn Hình học Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 8, AC = 15 Vẽ đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD, cắt AC E a) Chứng minh HE tiếp tuyến đường trịn b) Tính độ dài HE � HD: a) Gọi O F AB AC 120 HEO  90 HE  AH   trung điểm CD AE BC 17 Chứng minh DE // AB, HF  AE  b) Bài Từ điểm M ngồi đường� 1� trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB BMC  BMA với đường tròn Trên tia OB lấy điểm C cho BC = BO Chứng minh HD: Chú ý OMC cân M OA 260 R0 Bài Cho đường tròn (O; R) điểm � BAC A đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC Chứng minh HD: Chú ý ABO vuông B Bài Từ điểm A đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt AB M a) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi b) Điểm A phải cách điểm O khoảng MN tiếp tuyến (O) HD: a) Chứng minh ON // AB, OM // OA  2R AC b) Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn vẽ từ A C cắt M Trên tia AM lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình bình hành b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy HD: a) Chứng minh AD // BC (cùng vuông góc với OA) b) Gọi E giao điểm OM AC  E trung điểm AC Bài Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam r  p  a giác ABC vuông A Chứng minh , p nửa chu vi tam giác, a độ dài cạnh huyền HD: Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh tam giác  AEOF hình vng Bài Chứng minh diện tích tam giác S  pr ngoại tiếp đường trịn tính theo cơng thức: , p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp HD: Diện tích tam giác tổng diện tích ba tam giác nhỏ Bài 10 Cho đường tròn (O), dây cung CD Qua O vẽ OH  CD H, cắt tiếp tuyến C đường tròn (O) M Chứng minh MD tiếp tuyến (O) HD: Bài 11 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ tia Ax  AB By  AB phía nửa đường trịn Gọi I điểm nửa đường tròn Tiếp tuyến I cắt A x C By D Chứng minh AC + BD = CD HD: Bài 12 Cho đường tròn (O; 5cm) Từ điểm M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho MA  MB M a) Tính MA MB b) Qua trung điểm I cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến cắt OA, OB C D Tính CD HD: Bài 13 Cho đường trịn (O) Từ điểm� AMB  600 M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc Biết chu vi tam giác MAB 18cm, tính độ dài dây AB Trang 13 Hình học HD: Bài 14 a) HD: Học Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn AB  6(cm) IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Tính chất đường nối tâm  Đường nối tâm hai đường tròn trục đối xứng hình gồm hai đường trịn  Nếu hai đường tròn cắt thi hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm  Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Vị trí tương đối hai đường tròn  d Đặt Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) OO� Số điểm VTTĐ hai đường tròn Hệ thức d với R r chung R r  d  R r Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc nhau: d  R r – Tiếp xúc – Tiếp xúc d  R r Hai đường trịn khơng giao nhau: d  R r – Ở – (O) đựng (O) d  R r Tiếp tuyến chung hai đường tròn Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn Tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung khơng cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm Bài Cho hai đường tròn (A; R1), (B; R2) (C; R3) đôi tiếp xúc ngồi Tính R 1, R2 R3 biết AB = 5cm, AC = 6cm BC =7cm HD: , , R132  2( 3(cm) 4( Bài Cho hai đường tròn (O; 5cm) (O; 5cm) cắt A B Tính độ dài dây cung chung AB biết OO = 8cm AB  6(cm) HD: Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) cắt A B với R > R Vẽ đường kính AOC AOD Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng HD: Chứng minh BC, BD song � CBD  1800 song với OO chứng minh Bài Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ cát tuyến chung MAN cho MA = AN Đường vng góc với MN A cắt OO I Chứng minh I trung điểm OO HD: Bài Cho hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến chung Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO M HD: Chứng minh IM  BC OO� IM  Trang 14 Hoc Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn Hình học Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) tiếp xúc M Hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc với đường tròn lớn (O; R) E F Tính bán kính R biết chu vi tam giác OOO 20cm HD: Bài Cho đường tròn (O; 9cm) Vẽ đường trịn bán kính R tiếp xúc với (O) đường tròn tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh Tính bán kính R HD: Bài Cho hai đường tròn đồng tâm Trong đường tròn lớn vẽ hai dây AB = CD tiếp xúc với đường tròn nhỏ M N cho AB  CD I Tính bán kính đường trịn nhỏ biết IA = 3cm IB = 9cm HD: Bài Cho ba đường trịn có bán (O1),(O2),(O3) kính R tiếp xúc ngồi đơi Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm HD: Tam giác cạnh R  R2 S  Bài 10 Cho hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc A Qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) B cắt đường tròn (O) C Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) Từ C vẽ đường thẳng uv song song với xy Chứng minh uv tiếp tuyến đường tròn (O) HD: Xét hai trường hợp tiếp xúc Chứng minh OB // OC  OC  uv Bài 11 Cho hình vng ABCD Vẽ đường trịn (D; DC) đường trịn (O) đường kính BC, chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M, tia BE cắt AD N Chứng minh rằng: a) N trung điểm AD b) M trung điểm AB HD: a) ABN = CDO  AN = CO b) BCM = CDO  BM = CO Bài 12 Cho góc vng xOy Lấy điểm I K tia Ox Oy Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox M (I nằm O M) Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy N (K nằm O N) a) Chứng minh hai đường tròn (I) (K) cắt b) Tiếp tuyến M đường tròn (I) tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng c) Gọi giao điểm hai đường tròn (I), (K) A B Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng d) Giả sử I K theo thứ tự di động tia Ox Oy cho OI + OK = a (không đổi) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định r  d  r  ON HD: a) Xét OIK  b) � O � MR� N 900R ,OM c) Gọi OKBI hình chữ L  KB �MC, P  AB �MC nhật, BLMI hình vng BLP = KOI  LP = OI  MP = OM = MC  P  C d) OM = a Hình vuông OMCN cạnh a, cố định  AB qua điểm C cố định Bài 13 a) HD: Trang 15 Hình học Học Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ đường phân giác BI a) Chứng minh đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC b) Cho biết AB = a Chứng minh tan22 AI 030 ( � 2 12 )a Từ suy HD: a) Vẽ ID  BC  IA = ID b) Xét ABI  DIC vuông cân  AI AI ( a.tan22  1)a030� = DC = Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường trịn Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ điểm M xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) Hai đường cao AD BE tam giác MAB cắt H a) Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác AOBH hình thoi c) Khi điểm M di động xy điểm H di động đường nào? HD: a) Chứng minh MAB cân, MH, MO � AMB tia phân giác b) Chứng minh AOBH hình bình hành có hai cạnh kề c) H di động đường tròn (A; R) Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy a) Chứng minh MC = MD b) Chứng minh AD + BC có giá trị khơng đổi điểm M di động nửa đường tròn c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB d) Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn (O) diện tích tứ giác ABCD lớn HD: a) OM đường trung bình hình thang ABCD b) AD + BC = 2R c) Vẽ ME  AB BME = BMC  ME = MC = MD d) S = 2R.ME ≤ 2R.MO  S lớn  M đầu mút bán kính OM  AB Bài Cho tam giác ABC, O trung� DOE  600 điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm di động D, E cho a) Chứng minh tích BD.CE khơng đổi b) Chứng minh BOD  OED Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE HD: a) BOD  CEO  BD.CE = BDBC 2OB  b)  BOD  OED OD OE c) Vẽ OK  DE Gọi H tiếp điểm (O) với cạnh AB Chứng minh OK = OH Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB điểm E di động nửa đường trịn (E không trùng với A B) Vẽ tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tia AE cắt By C, tia BE cắt Ax D a) Chứng minh tích AD.BC khơng đổi b) Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự M N Chứng minh ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy song song với Trang 16 Hoc Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn Hình học c) Xác định vị trí điểm E nửa đường trịn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Tính diện tích nhỏ HD: a) ABD  BCA  AD.BC  AB2 b) MAE cân  MDE cân  MD = ME = MA Tương tự NC = NB = NE Sử dụng bổ đề hình thang  đpcm c) S = 2R.MN  S nhỏ  MN nhỏ S  4R2  MN  AD  OE  AB Bài Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB A, đường tròn (O ) tiếp xúc với AB B Hai đường trịn ln thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ln tiếp xúc ngồi với Hỏi tiếp điểm M hai đường tròn di động đường nào? HD: Từ M vẽ tiếp tuyến chung hai đường tròn, cắt AB I Chứng minh IA = IB = IM Từ suy M di động đường trịn tâm I đường kính AB Bài Cho đường tròn (O; R) nội P ABC  2( AM  BP  NC ) tiếp ABC Gọi M, N, P tiếp điểm AB, AC, BC với (O) Chứng minh rằng: HD: Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK HD: Vẽ EH  CD Chứng minh EH = EK  CH = DK Bài Từ điểm M ngồi đường trịn (O)� AMB  400 vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Cho biết góc � a) Tính góc AOB b) Từ O kẽ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N Chứng minh tam giác OMN tam giác cân � � HD: a) b) Chứng minh NOM AOB  � 140 NMO Bài 10 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD = OM2 c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R HD: a) OC  OD c) , R AC  R Bài 11 Cho hai đường tròn (O) (O) BD  MD  tiếp xúc ngồi với B Vẽ đường kính AB đường trịn (O) đường kính BC đường trịn (O) Đường trịn đường kính OC cắt (O) M N a) Đường thẳng CM cắt (O) P Chúng minh: OM // BP b) Từ C vẽ đường thẳng vng góc với CM cắt tia ON D Chứng minh tam giác OCD tam giác cân HD: a) OM  MC, BP  MC b) CD // OM; OCD cân D Bài 12 Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) cắt A B cho đường thẳng OA tiếp tuyến đường tròn (O; R/) Biết R = 12cm, R = 5cm a) Chứng minh: OA tiếp tuyến đường trịn (O; R) b) Tính độ dài đoạn thẳng OO, AB OO� 120 13(cm) HD: a) OA  OA b) ; AB  (cm) Bài 13 Cho đường trịn tâm O bán kính R 13 = 6cm điểm A cách O khoảng 10cm Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) a) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB Trang 17 Hình học Học Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn b) Vẽ cát tuyến ACD, gọi I trung điểm đoạn CD Hỏi C chạy đường tròn (O) I chạy đường ? HD: Bài 14 Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) Dây AB (O; R) tiếp xúc với (O; r) Trên tia AB lấy điểm E cho B trung điểm đoạn AE Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai (O; r) cắt (O; R) C D (D E C) a) Chứng minh: EA = EC b) Chứng minh: EO vng góc với BD c) Điểm E chạy đường dây AB (O; R) thay đổi tiếp xúc với (O; r)? HD: Bài 15 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường trịn H chân đường vng góc hạ từ M xuống AB a) Khi AH = 2cm, MH = 4cm, tính độ dài đoạn thẳng AB, MA, MB b) Khi điểm M di động nửa 1  đường tròn (O) Hãy xác định vị trí MA MB2 M để biểu thức: có giá trị nhỏ c) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến (O) A D, OD cắt AM I Khi điểm M di động nửa đường trịn (O) I chạy đường ? HD: Bài 16 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác � a) Tính số đo góc ? ABD b) Tứ giác BHCD hình gì? Vì sao? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH HD: a) b) BHCD hình bình hành � ABD  900 Bài 17 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường trịn (O) D a) AD có phải đường kính đường trịn (O) khơng ? Vì sao? b) Chứng minh: BC2 = 4AH.DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính đường trịn (O) HD: Bài 18 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vng góc với OA H a) Tứ giác ACOD hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác OAC CBD tam giác c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng d) Chứng minh: CD2 = AH HB HD: a) ACOD hình thoi Bài 19 Cho đường trịn đường kính 10 cm, đường thẳng d cách tâm O khoảng cm a) Xác định vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (O) b) Đường thẳng d cắt đường trịn (O) điểm A B Tính độ dài dây AB c) Kẻ đường kính AC đường trịn (O) Tính độ dài BC số đo góc CAB (làm tròn đến độ) d) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt tia AB M Tính độ dài BM HD: Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH Trang 18 Hoc Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn Hình học HD: a) b) H trực tâm ABCc) � BMC  � BNC  900 NK  NO (K trung điểm AH) Bài 21 Cho đường tròn tâm (O; R) đường � MAB  600 kính AB điểm M đường trịn cho góc Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN2 = 4AH.HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường trịn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng HD: Bài 22 Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC � HD: a) , , OBA OAB AOB  30 90 6000 Bài 23 Từ điểm A đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA BC tính tích OH.OA  theo R b) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD // OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE HD: Bài 24 Từ điểm A ngồi đường trịn E �AC, F �AB (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE AC CF AB (), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường trịn (O) HD: a) BOCH hình bình hành OB = OC b) H trực tâm ABCc) OA = 2R Bài 25 Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE � c) Tính số đo góc DOE OH  1,5( )) cm) � HD: a) b) , c) AB 39 cm PADE  2AB  6cm 3( BOC �  600 Bài 26 Cho nửa đường trịn tâm O DOE  đường kính AB Gọi Ax , By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM BN theo R HD: Bài 27 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC a) Chứng minh AD.AB = AE.AC Trang 19 Hình học Học Viện Giáo Dục Mathpro - mathpro.vn b) Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M; MD) (N; NE) c) Gọi P trung điểm MN, Q giao điểm DE AH Giả sử AB = cm,AC = cm Tính độ dài PQ HD: Bài 28 Cho hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M thuộc (O) N thuộc (O) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO, Q điểm đối xứng với N qua OO Chứng minh rằng: a) MNQP hình thang cân b) PQ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) (O) c) MN + PQ = MP + NQ HD: Bài 29 a) HD: Trang 20 ... CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Cho đường tròn (O; R) đường d  d(O, ) thẳng  Đặt VTTĐ đường thẳng đường tròn Số điểm chung Đường thẳng đường tròn cắt Đường. .. thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường trịn khơng giao Hệ thức d R d R d R d R Khi đường thẳng đường trịn tiếp xúc đường thẳng đgl tiếp tuyến đường tròn Điểm chung đường thẳng đường tròn. .. HAI ĐƯỜNG TRỊN Tính chất đường nối tâm  Đường nối tâm hai đường tròn trục đối xứng hình gồm hai đường trịn  Nếu hai đường tròn cắt thi hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm  Nếu hai đường