HINH HOC 9 CHUONG 2 BAI 1 5 PHAT TRIEN NHIEU CAU TOAN THCS VN

Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Bài Cho đường tròn tâm O , bán kính R , đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm P Vẽ cát tuyến PMN ( M nằm P N ) Vẽ AD BC vng góc với MN ; BC cắt nửa đường tròn I Chứng minh : 1) Tứ giác AICD hình chữ nhật 2) DN  CM 3) AD.BC  CM CN 4) BC  CD  DA2  AD.BC  AB 5) Từ P vẽ tiếp tuyến PK , PH với đường tròn Chứng minh PK  PA.PB 6) Chứng minh PA.PB  PM PN   900 OP  3R Tính PM theo R 7) Cho MON 8) Từ O vẽ vng góc với PB , cắt PK , PH I , J Một tiếp tuyến  O  cắt đoạn  IJ   Tính  XOL PK , PH X , L Cho P 9) Chứng minh OX , OL chia tứ giác IXLJ thành ba tam giác đồng dạng 10) Cho IJ  2a Tính tích XI LJ 11) Tiếp tuyến XL vị trí XI  LJ nhỏ nhất? Hướng dẫn: Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương K N C E D P I M B O A H 1) Chứng minh tứ giác AICD hình chữ nhật   900 Có AD  MN , BC  MN (gt)   ADC  BCD Do AB đường kính đường trịn (O)  O trung điểm AB  IO đường trung tuyến tam giác AIB OA  OB  AB Mặt khác OA  OB  OI ( bán kính đường trịn (O) )  OI  AB  ABI vuông I  AIB  900  AI  BI   AIC  900   ADC  BCD AIC  900  Tứ giác AICD có:  ADC  BCD AIC  900 Do AICD hình chữ nhật 2) Chứng minh DN  CM Vẽ OE  MN ( E  MN ) Đường trịn (O) có: OE  MN suy E trung điểm MN (liên hệ giứa đường kính dây đường trịn)  ME  EN (1) Có AD  MN , BC  MN (gt)  AD / / BC (Từ vng góc đến song song)  Tứ giác ABCD hình thang Mà OE  MN  OE //AD //BC Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương O trung điểm AB (chứng minh trên)  E trung điểm CD ( tính chất đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang)  EC  ED Mặt khác: ED  EM  MD EC  EN  NC ME  EN , EC  ED  DN  CM Chứng minh: AD.BC  CM CN Chứng minh tương tự câu ta có  ANB  900 )  (cùng phụ với góc BNC  AND  NBC Xét AND vng D NBC vng C có   AND  NBC  AND ∽ NBC  AD ND ( Tính chất tam giác đồng dạng )  NC BC  AD.BC = NC.ND Mà DN  CM  AD.BC  CN MC Chứng minh: BC  CD  DA2  AD.BC  AB Có: BC  CD  DA2  AD.BC  AB  BC  AD.BC  DA2  AB  CD 2   BC  AD   AB  CD Tứ giác AICD hình chữ nhật ( chứng minh )  CD  AI ; AD  IC   BC  AD  = AB  AI Vì BC  AD  BC  IC  BI Do AIB vuông nên AB  AI  BI Suy BC  CD  DA2  AD.BC  AB Từ P vẽ tiếp tuyến PK , PH với đường tròn Chứng minh: PK  PA.PB Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Đường trịn (O) có: OK  OB  R  OKB cân O   OBK   OKB Mà PK tiếp tuyến (O) điểm K  PK  OK   OKB   PKA   OBK   PKA   PBK   PKA Xét PKA PBK có:  góc chung ; BPK   PBK  (cmt ) PKA  PKA ∽ PBK ( g - g )  PK PA   PK  PA.PB PB PK 6) Chứng minh PA.PB  PM PN Ta có: PE  PM  EM  PM  PE  EM PN  PE  EN  PE  EM ( Vì EM  EN theo chứng minh )  PM PN  ( PE  EM )( PE  EM )  PE  EM Vì OE  MN suy OPE OME vuông O  PE  OE  PO ( Định lí Py - ta - go )  PE  PO  OE Chứng minh tương tự có EM  OM  OE  PM PN  PE  EM  ( PO  OE )  (OM  OE )  PO  OE  OM  OE  PO  OM Mà OM  OK ( bán kính đường tròn (O) )  PM PN  PO  OM  PO  OK ( ) Ta có PO  PA  OA  PA  PO  OA PB  PO  OB Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Mà OA  OB ( bán kính đường trịn (O) )  PB  PO  OA  PA.PB  ( PO  OA)( PO  OA)  PO  OA2 Mà OA  OK ( bán kính đường tròn (O) )  PA.PB  PO  OK ( ) Từ ( ) ( ) suy PA.PB  PM PN   900 OP  3R Tính PM theo R 7) Cho MON   900  MON vuông O ( Định nghĩa ) Vì MON Mà OM  ON ( bán kính đường trịn (O) )  MON vuông cân O  MN  OM  ON ( Định lí Pi – ta – go )  MN  R  R  R  MN  R Có: E trung điểm MN ( Chứng minh )  EM  EN  MN R  2 MON vuông cân O , Có OE đường trung tuyến ( E trung điểm MN )  OE  MN R  2 POE vuông E ( Vì OE  MN )  PO  PE  OE ( Định lí Pi – ta – go ) R 2 R 17 R 2  PE  PO  OE  (3R)    R    2    PE  2 R 34 Ta có : PE  PM  EM  PM  PE  EM  Vậy PM  R 34 R ( 34  2) R   2 ( 34  2) R Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương 8) Từ O vẽ vng góc với PB , cắt PK , PH I , J Một tiếp tuyến  O  cắt đoạn    Tính  XOL PK , PH X , L Cho PIJ I K X G P A O B L H J Có PK , PH hai tiếp tuyến đường tròn (O) K H ( gt )  PK  PH  P thuộc trung trực KH OH  OK  R  O thuộc trung trực KH  PO trung trực KH PK , PH hai tiếp tuyến đường tròn (O) K H ( gt )   PO tia phân giác KPH  Hay PO tia phân giác JPI Mà JI  PB O suy IPJ cân P   PJI    PIJ Ta có PK ; PH ; XL ba đường tiếp tuyến đường tròn  O  K, H ,G Suy OK  PK K ; OH  PJ H ; XL  OG G   PIJ   PJI   1800 ( Định lí tổng góc tam giác ) Xét PIJ có IPJ (1)   PHO   PKO   KOH   3600 Tứ giác PHOK có KPH   PKO   900 (vì OH  PJ H ; OK  PI K ) Mà PHO   HOK   1800 hay IPJ   HOK   1800  HPK (2)   PIJ   PJI   2 Từ 1;2   HOK * Xét đường tròn  O  có + XG XK hai tiếp tuyến cắt X nên OX tia phân giác góc KOG  KOG  XOG  Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương    HOG + Chứng minh tương tự ta có: LOG      KOG  HOG  HOK  2   Suy  XOL   XOG  LOG 2 2 9) Chứng minh OX , OL chia tứ giác IXLJ thành ba tam giác đồng dạng Ta cần chứng minh ba tam giác : JOL, LOX , XOI đồng dạng với Xét đường tròn  O  có : XLJ LH LG hai tiếp tuyến cắt L nên LO tia phân giác    XLO  OLJ Xét JOL LOX có:   (cmt), XLO  OLJ   LOX   LJO  JOL ∽ OXL ( g – g ) Chứng minh tương tự ta có: IXO ∽ OXL  JOL ∽ OXL ∽ IXO Vậy OX , OL chia tứ giác IXLJ thành ba tam giác đồng dạng I K X G P A O B L H J 10) Cho IJ  2a Tính tích XI LJ JOL ∽ OXL ∽ IXO ( chứng minh )  JL JO ( Tính chất tam giác đồng dạng )  IO XI  XI LJ  IO.JO IPJ cân P ( Chứng minh )  ( Chứng minh ) PO tia phân giác góc IPJ Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Suy PO trung trực JI  O Là trung điểm JI JI 2a  IO  JO   a 2  XI LJ  IO.JO  a.a  a Vậy XI LJ  a 11) Tiếp tuyến XL vị trí XI  LJ nhỏ nhất? Ta có : Tích XI LJ  a khơng đổi nên Tổng XI  LJ nhỏ XI  LJ Khi tiếp tuyến XL song song với JI Bài Cho đường tròn (O ) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB ,   MB  Tiếp tuyến M (O ) cắt dựng hai tiếp tuyến Ax , By Lấy M   O  cho MA Ax , By C D Chứng minh CD  CA  BD COD vuông Gọi I giao điểm OC AM , K giao điểm OD MB , H hình chiếu M AB Chứng minh bốn điểm O , K , I , H thuộc đường tròn Chứng minh OI OC  OK OD  AC.BD Tia BM cắt AC G Chứng minh C trung điểm AG GAO  ABD   GCO  Gọi N giao điểm OG AD Chứng minh AD  GO INO Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Gọi Q giao điểm AD BC Chứng minh MQ // AC Chứng minh M , Q , H thẳng hàng Q trung điểm MH Chứng minh ba điểm I , Q , K thẳng hàng   Tính AD theo R 10 Cho tan QBA 11 Chứng minh S ABDC  R 12 Gọi F giao điểm GI với AB , L giao điểm GO AM Chứng minh LF // AG Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Lời giải Chứng minh CD  CA  BD COD vng  Ta có CA , CM hai tiếp tuyến  O  nên CA  CM CO phân giác MOA  Tương tự DB , DM hai tiếp tuyến  O  nên DB  DM DO phân giác MOB Lại có CD  MC  MD (do M nằm C D ) Do CD  CA  BD (đpcm)   180 (2 góc kề bù) Ta có  AOM  BOM   MO   MOB ) Suy 2COM D  180 ( OC , OD phân giác MOA   DOM   90  COD   90 Do COD vng O (đpcm) Suy COM Gọi I giao điểm OC AM , K giao điểm OD MB , H hình chiếu M AB Chứng minh bốn điểm O , K , I , H thuộc đường tròn OM  OA  R Ta có  nên OC đường trung trực AM , CM  MA  cmt  suy OC  AM I trung điểm AM Chứng minh tương tự ta có OD  BM K trung điểm MB Tao có OIM vuông I MKO vuông O nên bốn điểm O , K , I , H thuộc đường trịn đường kính OM Chứng minh OI OC  OK OD  AC BD Xét MOC vng M đường cao MI ta có OI OC  OM (hệ thức lượng) Chứng minh tương tự ta có OK OD  OM Xét COD vng O đường cao OM ta có MC.MD  OM ((hệ thức lượng) Từ ba điều ta có OI OC  OK OD  AC.BD (đpcm) Tia BM cắt AC G Chứng minh C trung điểm AG GAO  ABD Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Ta có AMB nội tiếp đường trịn  O  đường kính AB nên AMB vng M   CMA  Vì CA  CM  cmt  nên CAM cân C , suy CAM   CGM   90 , CMA   CMG   90 Mà CAM Suy CMG cân C Do CG  CM mà CM  CA  cmt  nên CA  CG Suy C trung điểm AG ( C nằm A G ) (đpcm) AB AG OA AG  BD  OA AB  AG.BD   Ta có OM  AC.BD  cmt   OA 2 BD AB Xét GAO ABD có  GAO ABD  90 OA AG  (cmt) BD AB Suy GAO  ABD (c.g.c)   GCO  Gọi N giao điểm OG AD Chứng minh AD  GO INO  Ta có OAN AGO  GAO ” AGO   AON  90 (do AGO vuông A ) ABD     90    AON  NAO ANO  90  AD  OG (đpcm) Xét OAC vuông A , đường cao AI ta có OI OC  OA2 Xét OAG vuông A , đường cao AN ta có ON OG  OA2 OI ON  Suy OI OC  ON OG  OG OC Xét ONI OCG có  chung NOI OI ON  (đpcm) OG OC  ONI ” OCG (c.g.c)   GCO  (đpcm)  INO Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Gọi T trung điểm CD Ta có COD vng O nên O thuộc đường trịn T  đường kính CD Ta có AC // BD (  AB ) nên ACDB hình thang mà O trung điểm AB , T trung điểm CD nên OT đường trung bình hình thang ABDC Do OM // AC  TO  AB (do AC  AB ) Suy AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD (đpcm) Gọi Q giao điểm AD BC Chứng minh MQ // AC Xét CQA có BD // CA (cmt) nên Mà AC  MC , BD  DM nên QA AC  QD BD QA MC  QD MD QA MC (cmt) nên MQ // AC  QD MD Chứng minh M , Q , H thẳng hàng Q trung điểm MH Xét DCA có Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 10 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Vì MQ // AC (cmt) AC  AB nên MQ  AB mà MH  AB (gt) suy M , Q , H thẳng hàng MQ DM  AC DC HQ BQ  Xét BAC có HQ // AC  AC BC DM BQ  Xét CBD có MQ // BD  DC BC MQ HQ   MQ  HQ suy H trung điểm MH Từ ta có AC AC Chứng minh ba điểm I , Q , K thẳng hàng Xét DAC có MQ // AC  Xét MAB có I trung điểm MA , K trung điểm MB  IK đường trung bình MAB  IK // AB Chứng minh tương tự ta có IQ // AH hay IQ // AB Do ba điểm I , Q , K thẳng hàng   Tính AD theo R 10 Cho tan QBA    tan CBA    AC   AC  R Ta có tan QBA 3 AB 3 OM R Lại có OM  AC.BD  BD    3R AC R 2 ABD vng B có AD  AB  BD (Pytago) Suy AD  R  R  13R  AD  R 13 11 Chứng minh S ABDC  R 1 AB  2R  AC  BD  AB  CD AB  2 12 Gọi F giao điểm GI với AB , L giao điểm GO AM Chứng minh LF // AG S ABDC  Ta có GMA  GAB (g-g)  GAI  GBO (c.g.c)   AGI  BGO   AGF ” MGL (g.g)  AGF  MGL   GLM   IFA ALO (đối đỉnh) Suy AFI  ALO (g.g)  AFL  AIO (c.g.c)   Suy LF O  90 (do OI A  90 ) Suy LF // AB Mà AB  AG nên LF // AG Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 11 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Bài 3: Cho đường tròn (O, R ) , điểm A nằm (O ) Vẽ tiếp tuyến AB , AC ( B, C tiếp điểm) Kẻ đường kính CD đường trịn a).Chứng minh điểm A, B, O, C thuộc đường tròn b).Chứng minh OA  BC ; AO / / BD c).Gọi E giao điểm AD với (O ) ( E  D ) , AO  BC   H  Chứng minh AD AE  AH AO  AHE  OED d).Chứng minh   e).Chứng minh HB phân giác EHD d).Từ E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB , BC M , N Chứng minh E trung điểm MN g).Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ABC Tính BD theo R, r Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 12 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương ĐÁP ÁN B M D I E N A F H O C a).Chứng minh điểm A, B, O, C thuộc đường trịn Xét (O ) có MA tiếp tuyến  AB  BO  ABO vuông O  điểm A, B, O thuộc đường trịn đường kính AO Tương tự : điểm A, C , O thuộc đường trịn đường kính AO  điểm A, B , O, C thuộc đường trịn đường kính AO b).Chứng minh OA  BC ; AO //BD Xét (O ) có AB, AC tiếp tuyến cắt A (gt)  AB  AC  A thuộc đường trung trực BC Có OB  OC  R  O thuộc đường trung trực BC  OA trung trực BC  OA  BC (1) Xét (O ) có BCD nội tiếp đường trịn (O ) có CD đường kính BCD vng B BC  BD (2) Từ (1) , (2)  AO / / BD c).Gọi E giao điểm AD với (O ) ( E  D ) , AO  BC  H  Chứng minh AD AE  AH AO Xét (O ) có ECD nội tiếp đường trịn (O ) có CD đường kính CDE vng E Xét AEC ACD có  chung EAC  AEC   ACD  900  AEC ∽ ACD( g.g )  AE AC   AC  AD AE (3) AC AD Xét ACO vuông C , đường cao CH có AC  AH AO (4) Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 13 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Từ (3); (4)  AD AE  AH AO  d).Chứng minh  AHE  OED AD AE  AH AO  AH AE ( câu c)  AD AO Xét AHE ADO có  chung EAH AH AE ( cmt)  AD AO  AHE ∽ ADO(c.g.c)   AHE   ADO   ODE   OED  Mà OD  OE  R  OED cân O  OED AHE  e).Chứng minh HB phân giác EHD AHD   AEO Chứng minh tương tự câu d ta có:  AHD ∽ AEO(c.g.c)     1800 ( góc kề bù) Mà  AEO  DEO    1800 ( góc kề bù) AHD  OHD   DHO  mà OED   DEO AHE ( câu d)  mà    90o ; DHO   BHD   90o  AHE  DHO AHE  EHB    BHD   HB phân giác EHD  EHB d).Từ E kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB, BC M , N Chứng minh E trung điểm MN Có ME //BD  ME AE  (5) BD AD Vì EN //BD  EN EI  BD ID Xét HED có HI phân giác  EI EH  ID HD EN EH  (6) BD HD Xét ABO vuông B , đường cao BH có OB  OA.OH OB  OE  R  OA.OH  OE  OH OE mà  AOE chung  OE OA   EAO  (7)  OHE ∽ OEA (c.g.c)  HEO  ( câu e)  EHO  Lại có  AHE  DHO AHD (8) Từ (7); (8)  EHO ∽ AHD( g.g )  OE AD  OH HD Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 14 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Có OHE ∽ OEA  Từ (5);(6);(9)  Dự án phát triển Hình Học Chương OE OA AD AE AE HE      (9) OH OE HD HE AD HD ME NE   ME  NE BD BD  E trung điểm MN g).Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ABC Tính BD theo R, r   OFC  ( OFC cân O ) Có OCF   OFC   900 Mà FCH   900 Và  ACF  OCF   FCH ACF  CF phân giác  ACB  ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) AF phân giác BAC  F tâm đường tròn nội tiếp ABC  FH  r mà FO  R  HO  R  r Xét BCD có O trung điểm CD H trung điểm BC  OH đường trung bình BCD  HO  BD  BD  2( R  r ) Bài 4: Cho nửa đường tròn (O ) , đường kính BC  2R Vẽ tiếp tuyến Bx, Cy Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn, qua A vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx, Cy M , N   900 a) Chứng minh MON b) Chứng minh MN  BM  CN c) Chứng minh tích BM CN không đổi d) Chứng minh OM / / AC e) Kẻ AH  BC H , AH  MC   I  Chứng minh I trung điểm AH f) Tìm vị trí A để chu vi tứ giác BMNC nhỏ g) Tìm vị trí A để SOMN nhỏ h) Gọi AC  Bx  D Chứng minh OD  BN Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 15 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương ĐÁP ÁN y x N D A M B O C a) Xét (O ) có MA, MB tiếp tuyến cắt M (gt)  OM phân giác  AOB Xét (O ) có NA, NC tiếp tuyến cắt N (gt)  ON phân giác  AOC Mà  AOB ;  AOC góc kề bù   900  MON b) Xét (O ) có MA, MB tiếp tuyến cắt M (gt)  MA  MB Xét (O ) có NA, NC tiếp tuyến cắt N (gt)  NA  NC  MA  AN  MB  CN  MN  MB  CN   900  MON vuông O c) Vì MON Xét MON vng O , đường cao OA có OA2  MA AN  BM CN ( Vì MA  MB ; NA  NC )  R  BM CN mà R khơng đổi  tích BM CN khơng đổi d) Có MA  MB ( CM câu b)  M  đường trung trực AB OA  OB ( CM câu b)  O đường trung trực AB  MO trung trực AB  MO  AB (1) Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 16 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương Xét ABC nội tiếp nửa đường trịn (O ) có BC đường kính  ABC vuông A  AB  AC (2) Từ (1) ; (2)  MO / / AC y x N D A M F K I B H O C e) Có Bx  BC (gt) Cy  BC (gt) AH  BC (gt)  Bx / / Cy / / AH Xét BNM có AI / / MB  AI NI  (3) ( Hệ ĐL Talet) MB NB Xét BCM có HI / / MB  HI IC  (4) ( Hệ ĐL Talet) MB CM Vì Bx / / Cy  IC IN IC IN IC IN      (5) MI IB MI  IC IB  IN MC NB Từ (3) , (4) , (5)  AI HI   AI  IH MB MB  I trung điểm AH   900  Tứ giác BMNC f) Có Bx / / Cy  MB / / NC  Tứ giác BMNC hình thang, mà MBC hình thang vng Chu vi BMNC  BM  NC  BC  MN  MN  BC  MN  2MN  2R Chu vi BMNC nhỏ MN nhỏ Kẻ MK  NC K  MN  MK (6) Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 17 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương   BCK   CKM   900  MBCK hình chữ nhật  BC  MK (7) Xét tứ giác MBCK có MBC Từ (6), (7)  MN  BC mà BC  2R không đổi  MN nhỏ BC Dấu “=” xảy N  K mà OA  MN  OA  MK Vì MK / / BC  AO  BC Vậy A thuộc nửa đường tròn cho AO  BC chu vi tứ giác BMNC nhỏ g) Ta có SOMN  1 OA.MN  R.MN 2 SOMN nhỏ  MN nhỏ nhất/ Kẻ MK  NC K  MN  MK (6) /   BCK   CKM   900  MBCK hình chữ nhật  BC  MK (7) Xét tứ giác MBCK có MBC Từ (6), (7)  MN  BC mà BC  2R không đổi  MN nhỏ BC / Dấu “=” xảy N  K mà OA  MN  OA  MK Vì MK / / BC  AO  BC Vậy A thuộc nửa đường trịn cho AO  BC SOMN nhỏ nhất/ h) Gọi DO  AB   F  / Chứng minh tương tự câu d ta có AB / /ON   MAB ANO ( đồng vị)   MBA  Vì MA  MB (theo câu b)  MAB cân M  MAB   ANO  MBA Xét ANO ABD có   (CM trên) ANO  DBA   BAD   900 OAN  ANO ∽ ABD (g.g)  OA AN  (8) AD AB   OAC   1800 (2 góc kề bù) Lại có DAO   BAM   1800 (2 góc kề bù) BAN   (cùng phụ NAC ) ANO  OAC  (CM trên) Mà  ANO  BAM   BAN  (9)  DAO Từ (8) ; (9)  DAO ∽ BAN (c.g c )   ADO   ABN   900 ( DAF vuông A) Mà  ADO  DFA   900  BN  DO  ABN  DFA Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 18 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Bài Dự án phát triển Hình Học Chương Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi D hình chiếu H AB , E hình chiếu H AC Gọi  O  đường trịn đường kính HB ,  O đường trịn đường kính HC I giao điểm AH DE Chứng minh rằng: 1) Điểm D thuộc đường tròn  O  , điểm E thuộc đường tròn  O 2) Hai đường tròn  O   O tiếp xúc 3) AH tiếp tuyến chung hai đường tròn  O   O 4) AH  DE 5) DE tiếp tuyến chung hai đường tròn  O   O 6) 7)  góc vng OIO Diện tích tứ giác DEO O nửa diện tích tam giác ABC Lời giải A E I D B O H O' C   90 nên D thuộc đường trịn  O  (đường trịn đường kính HB ) 1) Vì BDH   90 nên E thuộc đường trịn O (đường trịn đường kính HC ) Vì CEH Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 19 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam” Dự án phát triển Hình Học Chương 2) Ta có OO   OH  O H nên hai đường tròn  O   O tiếp xúc ngồi 3) Ta có AH  OH nên AH tiếp tuyến đường tròn  O  , AH  O ' H nên AH tiếp tuyến đường tròn  O Vậy AH tiếp tuyến chung hai đường tròn  O   O 4) Xét tứ giác AEHD , ta có nên tứ giác AEHD hình chữ nhật, suy AH  DE 5) Vì tứ giác AEHD hình chữ nhật nên IDH tam giác cân I   IHD  Do đó, IDH   OHD  Mặt khác, ODH cân O nên ODH   OHD   90 Suy IDH   ODH   90 Lại có IHD   90 Tức ODI Cho nên, DE tiếp tuyến đường trịn  O  Hồn tồn tương tự, ta chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn  O Vậy DE tiếp tuyến chung hai đường tròn  O   O  6) Vì ID IH hai tiếp tuyến chung đường tròn  O  nên IO tia phân giác DIH  Mặt khác, IH IE hai tiếp chung đường tròn  O nên IO  tia phân giác EIH  EIH  hai góc kề bù Nên OIO  góc vng Mà DIH 7) DEO O hình thang vng có diện tích Diện tích tam giác ABC Ta có OD  OE  OD  OE DE BC HB  HC AH  AH 2 1  2 HB  HC DE  AH Từ 1   suy SDEOO  SABC Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 20 Trang ... R 10 Cho tan QBA 11 Chứng minh S ABDC  R 12 Gọi F giao điểm GI với AB , L giao điểm GO AM Chứng minh LF // AG Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/...  90  (do OI A  90  ) Suy LF // AB Mà AB  AG nên LF // AG Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ 11 Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS. .. Vậy PM  R 34 R ( 34  2) R   2 ( 34  2) R Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam www.facebook.com/groups/ToanTieuHocTHCSTHPTVietNam/ Trang Sản phẩm nhóm: “Tốn Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam”