PHÂN DẠNG TOÁN 9 CHƯƠNG 3 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Lí Thuyết Khái niệm phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn x, y phương trình có dạng: ax + by = c Trong a, b, c số cho trước, a ≠ b ≠ Nếu số thực x0; y0 thỏa mãn ax0 + by0 = c cặp số (x 0; y0) gọi nghiệm phương trình ax + by = c Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nghiệp (x0; y0) phương trình ax + by = c biểu diễn điểm có tọa độ (x0; y0) Tập nghiệp phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng d : ax + by = c c  x  Nếu a ≠ b = phương trình có nghiệm  a đường thẳng d song song  y  R trùng với trục tung x  R  Nếu a = b ≠ phương trình có nghiệm  c đường thẳng d song song  y  b trùng với trục hoành x  R y R   Nếu a ≠ b ≠ phương trình có nghiệm  a c  b c  y  b x  b  x  a y  a đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Đường thẳng d đồ thị hàm số y  a c x b b II Các dạng tập Dạng Xét xem cặp số cho trước có nghiệm phương trình bậc hai ẩn hay khơng Phương pháp giải: Nếu cặp số thức (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 = c gọi nghiệm phương trình ax + by = c Bài 1: Trong cặp số (12; 1), (1; 1), (2; - 3), (1; -2), cặp số nghiệm phương trình bậc hai ẩn 2x – 5y = 19 Hướng Dẫn: Xét cặp số (12; 1) Thay x = 12, y = vào 2x - 5y = 19 ta có 2.12 - 5.1 = 19 (ln đúng) Vậy (12; 1) nghiệm phương trình 2x - 5y = 19 Xét cặp số (1 ; 1): Thay mặt x = 1, y = vào 2x - 5y = 19 ta có: 2.1 - 5.1 = 19 (vơ lí) Vậy (1; 1) khơng nghiệm phương trình 2x - 5y = 19 Tương tự trên, ta có cặp số (2; -3) nghiệm, (1; -2) khơng nghiệm phương trình Bài 2: Cặp số (-2; 3) nghiệm phương trình phương trình sau: a) x – y = 1; b) 2x + 3y = 5; c) 2x + y = -4; d) 2x – y = -7; e) x – 3y = -10; g) 2x – y = Hướng Dẫn: Ta có (-2; 3) nghiệm phương trình b) d) Bài 3: Trong cặp số (0;2), (-1; -8), (1; 1), (3; -2), (1; -6), cặp số nghiệm phương trình 3x – 2y = 13 ? Hướng Dẫn: (-1; -8), (3; -2) Bài 4: Tìm giá trị tham số m để cặp số (2; -1) nghiệm phương trình x – 5y =3m – Hướng Dẫn: Để cặp số (2; -1) nghiệm phương trình mx - 5y = 3m - Ta phải có: 2m - (-1) = 3m -  m = Vậy với m = (2; -1) nghiệm phương trình cho Bài 5: Tìm giá trị tham số m để phương trình bậc hai ẩn nghiệm (1; -1) Hướng Dẫn: Vì (1; -1) nghiệm phương trình nên m  0 m  m     m 3 m  (m  1) m  1x  y m  có Bài 6: Viết phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm (2;0) (-1;-2) Hướng Dẫn: Gọi phương trình cần tìm có dạng: ax + by = c Thay nghiệm (2; 0) (-1; -2) vào ax + by = c ta được: c  a   b   c   2a  0b c     a  2b c  a 2  x  y 4 b  Chọn c 4   a 0  Loại b 0 Chú ý:Nếu chọn c 0   Nếu c ≠ 0, ta chọn c tùy ý Tuy nhiên, nên cân nhắc chọn c hợp lý để tìm a, b số "đẹp" Bài 7: Cho biết (0;-2) (2;-5) hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn Hướng Dẫn: -3x - 2y = Bài 8: Tìm p/trình đường thẳng d biết d qua hai điểm phân biệt M(2; 1) N(5; -1) Hướng Dẫn: 2x + 3y = Dạng Viết công thức nghiệm tổng quát phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ Phương pháp giải: Xét phương trình bậc hai ẩn ax + by = c Để viết công thức nghiệm tổng quát phương trình, trước tiên, ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) đưa kết luận công thức nghiệm tổng quát Để biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c Bài 1: Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ: a) 2x – 3y = 5; b) 4x + 0y = 12; Hướng Dẫn: c) 0x – 3y = x    a)  5; y  x   3   x 3 y ' x    y  b)  c)  Chú ý: Học sinh tự biểu diễn tập nghiệm phương trình cách vẽ đường thẳng có phương trình y  x  , x 3 y  mặt phẳng tọa độ Bài 2: Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ: a) 2x – y = 3; b) 5x + 0y = 20; c) 0x – 8y = 16 Hướng Dẫn: x    y 2 x  3'  x 4 y ' a)  x    y  b)  c)  Bài 3: Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ: a) x – 3y = 6; b) 3y – 2x = 3; c) 7x + 0y = 14; d) 0x – 4y = 8; g) 3y + x = e) 2x – y = 5; Hướng Dẫn: x    a)  ; x  y   x    b)   y  x  c)  x   d)  ;  y  x   e)   y 2 x  x    g)   y  x  x 2 y Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng số lưu ý sau giải dạng toán này: Nếu a ≠ b = phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : x = c Khi d d song song trùng với Oy Nếu a = b ≠ phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : y = song song trùng với Ox Đường thẳng d : ax + by = c qua điểm M(x0; y0) ax0 + by0 = c c Khi d b Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2.Tìm giá trị tham số m để: a) d song song với trục hoành; b) d song song với trục tung; c) d qua gốc tọa độ; d) d qua điểm A(1; -1) Hướng Dẫn: m  0  a) song song với Ox  3m  0  m 2 6m  0  m    b) d song song với Oy  3m  0  m  6m  0  c) d qua O(0;0)  O  (d )  6m  0  m  d) d qua A(1;  1)  ( m  2)  (3m  1) 6m   m  Bài 2: Cho đường thẳng d có phương trình: (2m – 1)x + 3(m – 1)y = 4m – Tìm giá trị tham số m để: a) d song song với trục hoành; b) d song song với trục tung; c) d qua gốc tọa độ; d) d qua điểm A(2; 1) Hướng Dẫn: a) m ; b) m 1; c)m  ; d ) m 1 Bài 3: Cho đường thẳng d có phương trình: (2m – 3)x + (3m – 1)y = m + Tìm giá trị tham số m để: a) d // Ox; b) d // Oy; c) d qua O(0;0); d) d qua điểm A(-3; -2) Hướng Dẫn: a) m  3 b) m  ; c) m  ; 13 d) m  Dạng Tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn Phương trình giải: Để tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn ax + by = c, ta làm sau: Bước Tìm nghiệm nguyên (x0; y0) phương trình Bước Đưa phương trình dạng a(x – x 0) + b(y – y0) = từ dễ dàng tìm nghiệm nguyên phương trình cho Bài 1: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 3x – 2y = Hướng Dẫn: Cách Vì (1; -1) nghiệm 3x - 2y = nên ta có: 3( x  1) 2( y  1)  x  y 1  t  Cách Ta có 3x  y 5  y  Đặt x t   x 1  2t (t  )   y   3t 3x  x x  2  x 5  2t (t  )   y 5  3t Chú ý: Hai kết cách cách hình thức viết khác biểu diễn tập hợp nghiệm trê,n mặt phẳng tọa độ lại trùng Vì vậy, hai Bài 2: a) 5x – 11y = 4; b) 7x + 5y = 143 Hướng Dẫn:  x 3  11t (t  )  y 1  5t a)   x 4  5t (t  )  y 23  7t b)  Bài 3: Cho phương trình 11x + 18y = 120 a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình Hướng Dẫn:  x 6  18t (t  )  y 3  11t a)  b) Vì x, y nguyên dương nên ta có:   x 6   t   t 0   18 11  y 3 Bài 4: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: a) 2x – 3y = 7; b) 2x + 5y = 15 Hướng Dẫn:  x 2  3t (t  ) ;  y   2t a)   x 5t (t  )  y 3  2t b)  Bài 5: Cho phương trình: 5x + 7y = 112 a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình; b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình Hướng Dẫn:  x 14  7t (t  )  y 6  a)  b) ( x; y )   (7; 11), (14;6), (21;1) Bài 6: Cho phương trình 11x + 8y = 73 a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình BÀI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Lí Thuyết Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn ax  by c Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng  (1)  a ' x  b ' y c ' (2) Trong a, b, a’, b’ cá số thực cho trước a2 + b ≠ 0; a’2 + b’2 ≠ 0, x y ẩn số Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung (x0; y0) (x0; y0) gọi nghiệm hệ phương trình Nếu hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn Tập nghiệp hệ phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng d: ax +by = c d’ : a’x + b’y = c’ Trường hợp d d’ = A(x0; y0)  Hệ phương trình có nghiệm (x0; y0); Trường hợp d // d’  Hệ phương trình vơ nghiệm; Trường hợp d  d’  Hệ phương trình có vơ số nghiệm; Chú ý: Hệ phương trình có nghiệm  Hệ phương trình vơ nghiệm  a b  ; a' b' a b c   ; a' b' c' Hệ phương trình có vô số nghiệm  a b c   a' b' c' II Các dạng tập Dạng Khơng giải hệ phương trình, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn  ax  by c  a ' x  b ' y c ' Phương pháp giải: Xét hệ phương trình bậc hai ẩn  Hệ phương trình có  Hệ phương trình vơ nghiệm  a b  ; a' b' a b c   ; a' b' c' Hệ phương trình có vơ số nghiệm  a b c   a' b' c' Bài 1: Dựa hệ số a, b, c, a’, b’, c’ dự đoán số nghiệm hệ phương trình sau: 3x  y 4 ;   6x  y  a)    2x  y  ; 3x-2y 7 b)   x  y 3 c)  3 x  y   x  y  11 3 x  y 2 ; d)  Hướng Dẫn: a) Ta có a = 3; b = -2; c = 4; a' = -6; b'=4; c' = -8  b) Ta có: c) Ta có a b c 1     Hệ phương trình có vơ số nghiệm a' b' c' a b   Hệ phương trình có nghiệm a' b' a b c    Hệ phương trình vơ nghiệm a' b' c' d) Vì b ' 0 nên ta xét: a' b' a' b'  ;  0   a b 5 a b Bài 2: Khơng giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm hệ phương trình sau: 0x - 5y  11 ;  2x - 0y 2 3x  y 4 ; 0x  y  a)  b)     x  y  ; c)   3x  y    2 x  y 3  d)   x  y   Hướng Dẫn: a) Có nghiệm b) Có nghiệm nhất; c) Vô số nghiệm; d) Vô nghiệm  x  y 1 Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình:  mx  y 2m Bài 3: Cho hệ phương trình  a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm; c) Vô số nghiệm Hướng Dẫn: Xét tỉ số: a' m b' c'  m; 1; 2m Hệ phương trình: a b c a) Có nghiệm  b) Vơ nghiệm  a' b'   m 1 a b a' b' c'    a b c c) Vô số nghiệm   m 1  m 1   m 2m a' b' c'    a b c  mx  y 1 Bài 4: Cho hệ phương trình   x  my m m 1  m   m 2m Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình: a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm; c) Vô số nghiệm Hướng Dẫn: Xét m = 0: Hệ phương trình có nghiệm Xét m ≠ 0: Tương tự 2A a) m 1; b) m  1; c)cm 1 3mx  y 2m Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình:   3x  my   m Bài 5: Cho hệ p/trình:  a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm; c) Vô số nghiệm; d) Nhận  ;   làm nghiệm 9  1 10  Hướng Dẫn: a) m 1; b) m  1; c) m = 1; d) m = -2 Bài 6: Khơng giải hệ phương trình, xác định số nghiệm cua hệ phương trình sau: a)   x  y 3 ;  2x  y 4 b)   x  y 3 ;  2x  y 1 c)  3x  y 0 ;  4x  y 0 0x - 2y 0  ; d)   2x+ y 1  x  y 2  e)  x y ;    g)   x  y 4 0x  y 2 Hướng Dẫn: a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm; c) Có nghiệm nhất; d) Có nghiệm nhất; e) Vơ số nghiệm g) Có nghiệm nhất; 10 ... nguyên phương trình b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình BÀI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Lí Thuyết Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn ax  by c Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương. .. theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) Bước Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ phương trình giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta hệ phương trình tương... ? ?3  x  y ? ?3  x  y 2 3x  y ? ?9 2 x  y ? ?3 ? ?3 x  y 7  x  y  3x  y 1  x  y  3x  y  0 x  y ? ?3  x  y  35 )  Dạng Giải hệ phương trình quy vê hệ phương trình hai ẩn Phương