PHÂN DẠNG TOÁN 9 CHƯƠNG 2 HÌNH HỌC

BÀI 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN, TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Tập hợp điểm M cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R đường trịn tâm O bán kính R Kí hiệu (O ; R) (O) OM = R  M  (O ; R)oooo 2.a.Qua điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn b.Đường tròn qua đỉnh tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi tam giác gọi nội tiếp đường tròn Tâm đường tròn giao điểm hai hay ba đường trung trực tam giác 3.a Tâm đường trịn ngoại tiếp  vuông trung điểm cạnh huyền b.Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng 4.Đường trịn hình có tâm đối xứng Đó tâm đường trịn 5.Đường trịn có vơ số trục đối xứng, đường kính đường tròn II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh điểm cho trước nằm đường tròn Phương pháp giải: Cách 1: Chứng minh điểm cho trước cách điểm cho trước  Cách 2: Sử dụng kết quả: Nếu ABC 90 B thuộc đường trịn đường kính AC Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD a)Chứng minh bốn điểm A, B, C D thuộc đường tròn b)Cho AB = 10cm BC = 6cm Tính bán kính đường trịn HD: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Ta có: OA OB OC OD nên bốn điểm A , B , C , D thuộc đường trịn (tâm O , bán kính OA ) 2 2 Ta có: AC  AB  BC 10  136  AC 2 34 cm AC  34 Bán kính đường trịn cm Bài 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD DA C/m: bốn điểm M, N, P Q nằm đường tròn HD: Xét tam giác ABD có M , N trung điểm AB AC  MN đường trung bình tam giác ABC  MN  BD     MN  BD (1)  PQ  BD    PQ  BD Chứng minh tương tự (2)  MN PQ  Từ (1) (2) ta có:  MN  PQ  MNPQ hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) Lại có AC  BD (gt)  MQ  QP ,  MNPQ hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) Gọi O giao điểm MP QN Do MNPQ hình chữ nhật nên OM OP OQ ON (tính chất hình chữ nhật)  M ; N ; P; Q thuộc đường trịn tâm O bán kính OM (đpcm) Bài 3: Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA Chứng minh bốn điểm B, C, P M nằm đường tròn HD: Xét tam giác ABC có M , N trung điểm AB BC  MN đường trung bình tam giác ABC 1  MN  AC  BC BN NC 2 1 NP  AB  BC BN  NC 2 Chứng minh tương tự ta có:  MN NP NB NC  điểm M , P , C , B thuộc đường trịn tâm N bán kính NB Bài 4: Cho hình thang cân ABCD Chứng minh bốn điểm A, B, C D nằm đường tròn HD: trực EF AB Kẻ đường trung CD Kẻ đường trung trực AD cắt EF O  OA OB OD OC  A; B; C ; D thuộc đường tròn tâm O   Bài 5: Cho tứ giác ABCD có C  D 90 Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC, CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn E B M A Q N C D P HD: Xét tứ giác MNPQ, ta có:  MQ / / NP  MNPQ   MN / / PQ hình bình hành (dhnb) Kéo dài AD BC cắt E  0   Ta có: C  D 90  E 90  MN / ED  MN  MQ  MNPQ  MQ / / EC  Lại có : hình chữ nhật (dhnb)  M , N , P, Q nằm đường tròn với tâm giao điểm đường chéo hình chữ nhật, bán kính nửa đường chéo  Bài 6:Cho hình thoi ABCD có A 60 Gọi E,F,G,H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn B E F 60 A C O G H D HD:  EF / / GH  EFGH  EH / / FG  Xét tứ giác EFGH, có: hình bình hành (dhnb)  Lại có: HEF 90  EFGH hình chữ nhật (dhnb) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD  OE OF OG OH (1) OE BE  OBE   OE OB OD   B  60 Xét tam giác OBE có:  Từ (1)(2)  OE OB OF OG OH OD  E , B, F , G , D, H  (O ) Bài 7: Cho tam giác ABC điểm M trung điểm BC Hạ MD, ME theo thứ tự vng góc với AB, AC Trên tia đối tia DB EC lấy điểm I, K cho D trung điểm BI, E trung điểm CK Chứng minh B, I, K, C nằm đường tròn A K I E D B C M HD: Cách 1: sử dụng định nghĩa  MB MC  BC (1) Ta có: M trung điểm BC MD trung trực BI  MI MB(2) ME trung trực CK  MC MK (3)  MB MC MI MK  BC (dpcm) Từ (1)(2)(3) Cách 2:  MI MB  BC  BIC Ta có: MD trung trực BI vuông I  I  (O; BC )  MK MC  BC  BKC ME trung trực CK vuông K  K  (O; BC ) Vậy B, I , C , K   O; BC  Bài 8: Gọi I, K theo thứ tự điểm nằm AB, AD hình vng ABCD cho AI = AK Đường thẳng kẻ qua A vng góc với DI P cắt BC Q Chứng minh C, D, P, Q thuộc đường tròn A I B P K C D HD: Ta có  KD CQ ADI BAQ( gcg )  AI BQ    KDCQ  KD / / CQ hình bình hành, mà  C 900  CDKQ hình chữ nhật Gọi O giao điểm hai đường chéo CK DQ  OC OD OK OQ PDQ vuông cân P  PQ OD OC Vậy điểm C, D, K, P, Q thuộc đường tròn Bài 9: Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I, J, K, L trung điểm AB, AC, HC, HB CMR: I, J, K, L, E, F thuộc đường tròn A E I J F H K L B D C HD: Ta có tứ giác IJKL hình bình hành (dhnb)  Mà ILK 90  IJKL hình chữ nhật có hai đường chéo LJ IK  OE  LJ OJ Xét tam giác vuông ELJ vuông E  OF  IK OJ Xét tam giác vuông FLK vuông I Vậy điểm I, J, K, L, E, F thuộc đường tròn đường kính đường chéo hình chữ nhật Bài 10:Cho hình vng ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi M, N trung điểm OB, CD a Chứng minh A, M, N, D thuộc đường tròn b So sánh AN DM A B I O C D HD: N a Kẻ NH vng góc với BD H  DN  NC    NH / / OC Xét tam giác DOC, có:   HO HD  CD  MH  BD OA   MO MB  OB     A1 M   OAM HNM (cgc)      AMN 900   A  M 90 Ta có: AN  IA IN  AN (1) +) Gọi I trung điểm   1 ADN ( D 900 )  ID  AN (2); AMN ( M 90 )  MI  AN (3) 2 Xét Từ (1)(2)(3)  IA IN IM ID  A, M , N , D  (O) b Xét đường trịn (I;IA) có AN đường kính, DM dây không qua tâm  AN  DM Bài 11: Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo, OA  cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính 2cm Hãy xác định vị trí năm điểm A, B, C, D, O so với đường trịn HD: Theo đề ta có: AO  mà BO  AO   AB  OB  OA2 2  AB bán kính đường trịn tâm A A;  Ta thấy: AB  AD 2 R  B , D thuộc đường trịn  Có: AC 2 AO 2   C nằm đường tròn  A;  AO    O nằm đường tròn  A;  A tâm đường tròn  A;  nên A nằm đường tròn  A;  Bài 12: Cho ABC nhọn Vẽ (O) có đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a)Chứng minh: CD  AB BE  AC b)Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh: AK  BC HD: a) Xét tam giác BDC  O; OB  đường kính  O tiếp nội đường trịn BC Nên tam giác BDC vng D  CD  AB Chứng minh tương tự ta có: tam giác BEC vng E  BE  AC (đpcm) b) K giao điểm hai đường cao CD BE nên K trực tâm tam giác ABC  AK  BC Bài 13: Cho ABC có đường cao AH Từ điểm M cạnh BC, kẻ MD  AB ME  AC Chứng minh: năm điểm A, D, H, M E nằm đường tròn HD: 10 ... ACD ? ?90  c)Ta có: BH CH  BC  12 (cm) Tam giác AHC vuông H nên: AH  AC  HC ? ?20 2  122 400  144 ? ?25 6  AH 16 (cm) AC 20 .20  AD   ? ?25 AC  AD AH AH 16 (cm) Bán kính đường tròn  O  12, 5... O; OA b)Tâm đường trịn O Xét OAB vng O , ta có: OA2  OB  AB  2OA2 a  OA2  Bán kính đường tròn OA  a2 a  OA  2 a 2 Bài 2: Cho hình thoi ABCD, đường trung trực cạnh AB cắt BD E AC... HNM (cgc)      AMN ? ?90 0   A  M ? ?90 Ta có: AN  IA IN  AN (1) +) Gọi I trung điểm   1 ADN ( D ? ?90 0 )  ID  AN (2) ; AMN ( M ? ?90 )  MI  AN (3) 2 Xét Từ (1) (2) (3)  IA IN IM ID