LUYỆN TẬP VỀ GÓC NỘI TIẾP Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc A cắt đường trịn M Tia phân giác góc ngồi đỉnh A cắt đường tròn N Chứng minh : a) Tam giác MBC cân b) Ba điểm M , O , N thẳng hàng Bài : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB M điểm tuỳ ý nửa đường tròn ( M khác A B ) Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈AB ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường trịn tâm O1 đường kính AH tâm O2 đường kính BH MA MB cắt hai nửa đường tròn (O1) (O2) P Q a) Chứng minh MH = PQ b) Chứng minh hai tam giác MPQ MBA đồng dạng c) Chứng minh PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2) Bài :Cho ∆ABC , đường cao AH M điểm đáy BC Kẻ MP ⊥ AB MQ ⊥ AC Gọi O trung AM a) Chứng minh năm điểm A , P , M , H , Q nằm đường trịn b) Tứ giác OPHQ hình ? chứng minh c) Xác định vị trí M BC để PQ có độ dài nhỏ Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Lấy điểm M đường tròn (M khác A B ) cho MA < MB Lấy MA làm cạnh vẽ hình vng MADE ( E thuộc đoạn thẳng MB ) Gọi F giao điểm DE AB a) Chứng minh ∆ADF ∆BMA đồng dạng b) Lấy C điểm cung AB ( không chứa M ) Chứng minh CA = CE = CB c) Trên đoạn thẳng MC lấy điểm I cho CI = CA Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn CA cắt nửa đường trịn M , CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH ⊥ AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường trịn (O) ¼ c) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN Bài : Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Gọi Q giao điểm AP BC a) Chứng minh BC2= AP AQ b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP 1 c) Chứng minh PQ = PB + PC -HẾT BÀI TẬP VỀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ MỘT DÂY CUNG Bài1 : Từ điểm M cố định bên ngồi đường trịn (O) , kẻ tiếp tuyến MT ( T tiếp điểm ) cát tuyến MAB đường trịn a) Chứng minh : MT2 = MA MB b) Trường hợp cát tuyến MAB qua tâm O Cho MT = 20 cm , cát tuyến dài xuất phát từ M 50cm Tính bán kính R đường trịn (O) Bài 2: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H hình chiếu C AB a) Chứng minh CA tia phân giác góc MCH b) Giả sử MA =a, MC = 2a Tính AB CH theo a Bài 3: Cho đường tròn (O1) tiếp xúc với đường trịn (O) A Đường kính AB đường tròn (O) cắt đường tròn (O1) điểm thứ hai C khác A Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O1) cắt đường tròn (O) Q Chứng minh AP phân giác góc · QAB Bài : Cho hai đường tròn tâm O , O1 tiếp xúc A Trên đường tròn (O) lấy hai điểm phân biệt B , C khác A Các đường thẳng BA , CA cắt đường tròn (O1) P Q Chứng minh PQ // BC Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ) Đường tròn (I) qua B C , tiếp xúc với AB B cắt đường thẳng AC D Chứng minh : OA ⊥ BD Bài : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây AC tia tiếp tuyến Bx nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trịn Tia phân giác góc CAB cắt dây BC F , cắt nửa đường tròn H , cắt Bx D a) Chứng minh FB = DB HF = HD b) Gọi M giao điểm AC Bx Chứng minh AC AM = AH AD c) Tính tích AF AH + BF.BC theo bán kính R đường tròn (O) Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) M Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt tia AB AC D E Chứng minh : a) BC // DE b) ∆AMB ∆MCE dồng dạng ,∆AMC ∆MDB đồng dạng c) Nếu AC = CE MA2 = MD ME Bài : Cho hai đường trịn (O) (O1) ngồi Đường nối tâm OO1 cắt đường tròn (O) (O1) điểm A , B , C , D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF ( E ∈ (O) , F ∈ (O1) ) Gọi M giao điểm AE DF , N giao điểm EB FC Chứng minh : a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME MA = MF MD Bài :Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường trịn tâm O đường kính 5cm Tiếp tuyến với đường tròn C cắt tia phân giác góc ABC K BK cắt AC D BD =4cm Tính độ dài BK -HẾT BÀI TẬP VỀ GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Bài : Cho đường trịn tâm O điểm M ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC đến đường tròn ( B nằm M C ) Phân giác góc · cắt BC D , cắt đường tròn E Chứng minh : BAC a) MD = MA b) AD AE = AC AB Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt I cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh : a) ∆BDI tam giác cân b) DE đường trung trực IC c) IF // BC ( F giao điểm DE AC ) Bài : Cho đường trịn tâm O điểm S ngồi đường tròn Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA SD cát tuyến SBC tới đường tròn ( B S C ) · a) Phân giác góc BAC cắt dây cung BC M Chứng minh SA = SM b) AM cắt đường tròn E Gọi G giao điểm OE BS; F giao điểm AD với BC Chứng minh SA2 = SG SF 2a c) Biết SB = a ; Tính SF BC = Bài : Từ điểm M đường tròn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME MF ( E F hai tiếp điểm ) Kẻ dây EG đường tròn (I) song song MF Gọi H giao điểm MG với (I) K giao điểm EH với MF a) Chứng minh KF2 = KE KH b) Chứng minh K trung điểm MF Bài : Cho đường trịn (O) đường kính EF điểm G nằm nằm đường tròn (O) cho EG > GF Trên tia GF lấy điểm H cho GH =GE Vẽ hình vng EGHI có đường chéo GI cắt (O) K a) Chứng minh ∆KFH cân b) Tiếp tuyến E với đường tròn (O) cắt FK M Chứng minh ba điểm M , I , H thẳng hàng Bài : Cho tứ giác ABCD có A, B, C , D nằm đường tròn (O) Các tia AB DC µ F µ cắt E , tia CB DA cắt F Hai phân giác góc E cắt K · Chứng minh : EKF = 900 Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O điểm D di chuyển cung AC Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh : a) ·AFB = ·ABD b) Tích AE BF khơng đổi Bài 8: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B C Gọi M,N P theo thứ tự điểm cung AB,BC AC BP cắt AN I , NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh : a) ∆BNI cân b) AE.BN = EB.AN c)EI // BC -HẾT d) AN AB = BN BD BÀI TẬP VỀ CUNG CHỨA GÓC Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính ( M thuộc cung AN ) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt · K a)Tính MIN ·AKB b)Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d)AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e)Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn ? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 2: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB , C điểm cung AB M điểm chuyển động cung CB Gọi H hình chiếu C AM Các tia OH BM cắt I Tìm quỹ tích điểm I Bài 3:Cho đường trịn (O) có đường kính AB cố định Một điểm C chạy đường tròn Kẻ CD vng góc với AB Trên OC đặt đoạn OM = CD Tìm quỹ tích điểm M Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB , M điểm chuyển động nửa đường trịn Vẽ hình vng BMDC ngồi tam giác AMB Tiếp tuyến B nửa đường tròn cắt CD E a) Chứng minh AB = BE b) Tìm quỹ tích điểm C Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Gọi (I) đường tròn nội tiếp tam giác M ,N tiếp điểm cạnh AC , BC Gọi H giao điểm AI MN Chứng minh điểm H thuộc đường trịn đường kính BI Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác góc D cắt đường thẳng AB , BC theo thứ tự I , K Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK Chứng minh : a) OB ⊥ IK b) Điểm O nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 7: Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định , M điểm chạy đường tròn Trên tia đối tia MA lấy điểm I cho MI = 2MB Tìm tập hợp điểm I M chạy đường tròn (O) -HẾT ƠN TẬP THI KỲ II – MƠN TỐN- PHẦN HÌNH HỌC A Lý thuyết : ( xem lại tổng kết chương SGK tập I & II ) B Phần tập: Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc xAC cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E a) Chứng minh ∆ABE cân b) Đường thẳng BD cắt AC K, cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp · c) Cho CAB = 300 Chứng minh AK = 2CK Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN không qua tâm O Gọi I trung điểm MN a) Chứng minh AB2 = AM AN b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp c) Gọi D giao điểm BC AI Chứng minh IB DB = IC DC · Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác BAC cắt BC D cắt đường trịn M Phân giác ngồi Acắt đường thẳng BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh: a) MN vng góc với BC trung điểm BC · b) ·ABN = EAK c) AK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Cho ba điểm A, B,C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm (O) mà AC > BC Kẻ CD ⊥ AB ( D ∈ AB ) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC E Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AE M OM cắt AC I MB cắt CD K a) Chứng minh M trung điểm AE b) Chứng minh IK // AB c) Cho OM = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC E F ; BF cắt EC H Tia AH cắt đường thẳng BC N a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp · b) Chứng minh FB phân giác EFN · c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC ∆ABC ( Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 1999- 2000) Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) ( C tiếp điểm ) Gọi E chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vng góc hạ từ D xuống đường thẳng AC Chứng minh: a) Tứ giác EFDA nội tiếp · b) AF phân giác EAD c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích ( Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001) · Bài Cho tam giác ABC ( BAC < 450 ) nội tiếp nửa đường trịn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường trịn (O) M ( M ≠ A) Đường vng góc với AC kẻ từ M cắt AC K AB P a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp b) Chứng minh ∆MAP cân c) Tìm điều kiện ∆ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng ( Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2001- 2002) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn tâm O đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A≠ M&N) Gọi I, P, Q trung điểm đoạn thẳng OH, BH, CH Chứng minh: a) ·AHN = ·ACB b) Tứ giác BMNC nội tiếp c) Điểm I trực tâm tam giác APQ ( Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2002- 2003) Bài 10.Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường trịn ( C≠ A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh: a)Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác b)KN tiếp tuyến đường tròn (O;R) c)Chứng minh C di động đường trịn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định ( Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2003- 2004) Bài 11 Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E ( D nằm A E , dây DE không qua tâm O) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC K a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) Chứng minh : 1 = + AK AD AE ( Trích đề thi tốt nghiệp khoá ngày 25/26/5/2005) Bài 12 Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Trên đường trịn (O;R) lấy điểm · M cho MAB = 600 Vẽ đường tròn (B;BM) cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai N a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B;BM) b) Kẻ đường kính MOI đường trịn (O;R) MBJ đường tròn (B;BM) Chứng minh N , I , J thẳng hàng JI JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình trịn (B;BM) nằm bên ngồi đường trịn (O;R) theo R ( Trích đề thi vào lớp 10 năm học 2005) Bài 13: Cho đường trịn (O;R) , đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A đường tròn lấy điểm C cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD đường tròn (O;R) , với D tiếp điểm a) Chứng minh ACDO tứ giác nội tiếp b)Gọi H giao điểm AD OC Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH ; AD · c)Đường thẳng BC cắt đường tròn (O;R) điểm thứ hai M.Chứng minh MHD = 450 d)Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi đường trịn (O;R) ( Trích đề thi vào lớp 10 năm học 2007- 2008) Bài 14: Cho đường trịn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB ) a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tg ·ABC c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH ( Trích đề thi vào lớp 10 năm học 2008- 2009) Bài 15 : Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC Chứng minh BC2= AP AQ d) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP 1 e) Chứng minh PQ = PB + PC Bài 16 : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn CA cắt nửa đường tròn M , CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM d) Chứng minh CH ⊥ AB e) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) ¼ f) Giả sử CH =2R Tính số đo cung MN Bài 17: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính ( M thuộc cung AN ) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K · a)Tính MIN ·AKB b)Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d)AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e)Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn ? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài 18: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B C Gọi M,N P theo thứ tự điểm cung AB,BC AC BP cắt AN I ,NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh : a) ∆BNI cân b) AE.BN = EB.AN c)EI // BC d) AN AB = BN BD Bài 19 : Cho hai đường tròn (O) (O1) Đường nối tâm OO1 cắt đường tròn (O) (O1) điểm A , B , C , D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF ( E ∈ (O) , F ∈ (O1) ) Gọi M giao điểm AE DF , N giao điểm EB FC Chứng minh : a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c)ME MA = MF MD -HẾT ... theo a Bài 3: Cho đường tròn (O1) tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường kính AB đường trịn (O) cắt đường tròn (O1) điểm thứ hai C khác A Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O1) cắt đường tròn. .. làđiểm nằm A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB... DC · Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác BAC cắt BC D cắt đường tròn M Phân giác Acắt đường thẳng BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh: a) MN vuông góc với BC