CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG TRÒN

Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn(O). b) Tứ giác AFNE có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành( tứ giác này còn là hình thoi). Suy ra F[r]

CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

A/ LÝ THUYẾT.

Gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng OH

1 Đường thẳng cắt đường tròn hai điểm phân biệt:

 đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O)  OH < R 2 Đường thẳng  đường tròn (O) không giao

 Đường thẳng  đường trịn (O) khơng có điểm chung  OH R

3 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

 đường thẳng  có điểm chung Hvới đường tròn (O)  OH = R

4 Tiếp tuyến đường tròn.

 tiếp tuyến đường tròn (O) điểm H ∆ tiếp xúc với đường tròn H

Điểm H gọi tiếp điểm tiếp tuyến với đường trịn (O) Ta có OH R

* Nếu  tiếp tuyến (O)  vng góc với bán kính qua tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đến tâm O tia phân giác góc tạo tiếp tuyến

+Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm + Tia kẻ từ tâm qua điểm vng góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm trung điểm đoạn thẳng

4 Đường trịn nội tiếp tam giác

+ đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác

+ có tâm giao điểm đường phân giác tam giác 5 Đường tròn bàng tiếp tam giác

+ đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác phần kéo dài hai cạnh

+ Đường trịn bàng tiếp tam giác góc A có tâm giao điểm hai đường phân giác ngồi góc B góc C

+ Mỗi tam giác có đường trịn bàng tiếp

B/ BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN

I/ Phương pháp: Xét (O, R) đường thẳng d

* Bài toán khoảng cách OH từ tâm O tới đường thẳng d d cắt (O) hai điểm. Xét OHAB OH R,HA HB   R2 OH2 Theo định lý Pitago ta có: OH2MO2 MH2 Mặt khác ta có: OH2R2 AH2

CÁC KẾT QUẢ THU ĐƯỢC

+ Nếu M nằm ngồi đoạn AB MA.MB MO 2 R2 + Nếu Mnằm đoạn AB MA.MB R 2 MO2 + Mối liên hệ khoảng cách dây cung:  

2

2 AB

R OH

4

* Để chứng minh đường thẳng d tiếp tuyến (tiếp xúc) với đường tròn (O, R):

+ Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d R Hay nói cách khác ta vẽ OH  d,

chứng minh OH = R

+ Cách 2: Nếu biết d (O) có giao điểm A, ta cần chứng minh OA d

+ Cách 3: Sử dụng phương pháp trùng khít (Cách đề cập phần góc nội tiếp và góc tạo tiếp tuyến dây)

II/ BÀI TẬP MẪU.

Ví dụ Cho hình thang vng ABCD (A  B 90 ) có O trung điểm AB góc COD 90  0.

Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Giải

Kéo dài OC cắt BD E COD 90  0 suy EOD 90  0

Vì COD nên xét ∆vngCOD ∆vngEOD ta có

OD chung

   

OC OA

1 OC OD

OD OB

 CODEOD => DCDE => ∆ECD cân D Kẻ OHCD OBDOHD OH OB

mà OB OA  OH OB OA  hay A,H, B thuộc đường trịn (O) Do CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB.

Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M,N hai điểm cạnh AB,AD cho chu vi tam giác AMN 2a Chứng minh đường thẳng MN ln tiếp

xúc với 1 đường trịn cố định

Giải

Theo giả thiết ta có:

    

MN AM AN AB AD AM MB AN DN   AM AN MB BE  

Suy MN MB BE ME  

Từ ta suy MNCMEC CMN CMB 

Kẻ CHMN CH CB CD a  

Vậy D,H, B thuộc đường tròn tâm C bán kính CB a suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm C bán kính a

Ví dụ Cho tam giác ABC cân A đường cao BH Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ BxBA cắt đường tròn tâm B bán kính BH D Chứng minh CD tiếp tuyến (B)

Giải

Vì tam giác ABC cân A nên ta có: B C  

Vì BxBA B2  900

Mặt khác ta có B1  900 B1B2

Hai tam giác BHC BDC có BC chung, B 1B2 , BH BD R 

suy BHCBDC(c.g.c) suy BHC BDC900 Nói cách khác CD tiếp tuyến đường trịn (B)

Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A (AB AC) đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với B qua H Đường trịn tâm O đường kính ECcắt AC K Chứng minh HK tiếp tuyến đường tròn (O)

Giải

Vì tam giác EKC có cạnh EC đường kính (O) nên  

EKC 90

Kẻ HIAC BA / /HI / /EK suy AI IK từ ta có tam giác

AHK cân H

Do K 1B (cùng phụ với góc hai góc BAH,IHK )

Mặt khác ta có: K C (do tam giác KOC cân O)

Ví dụ Cho tam giác ABCvuông Ađường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH kẻ tiếp tuyến BD,CE với (A) (D,E tiếp điểm khác H) Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhu có: DAB HAB,CAH CAE   

Suy DAB CAE  HAB CAH  BAC 900

hay DAB CAE HAB CAH 180     0 D, A,Ethẳng hàng

Gọi O trung điểm BC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác AD AE nên OA đường trung bình hình thang vng BDEC

Suy OADE A Nói cách khác DE tiếp tuyến đường trịn (O) Đường kính BC III/ LUYỆN TẬP.

Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) C cắt AB D.Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc ODC, đường cắt CD M Chứng minh đường thẳng d qua M song song với AB tiếp xúc với (O) C thay đổi

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E F. BF CE cắt I Gọi M trung điểm AI Chứng minh: MF tiếp tuyến (O)

Bài 3: Cho đường trịn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) cho AB = R a Chứng minh tam giác ABC vng tính độ dài BC theo R

b Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Trên (O) lấy điểm D cho MD = MA (D khác A) Chứng minh MD tiếp tuyến (O)

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB = 4 Đường kính AD cắt BC H Đường thẳng BO cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm E

a Chứng minh AH vng góc với BC, tính độ dài AH bán kính đường trịn (O) b Chứng minh EC tiếp tuyến (O) tứ giác ABCE hình thoi

Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B) Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O I trung điểm AD

a Chứng minh BC.BD = 4R2

Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt nhai H Gọi I trung điểm BC. Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Bài 7: Cho đường trịn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho góc COD 90^0 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O)

Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một nửa đường thẳng qua A cắt đường kính CD vng góc với AB M cắt (O) N

a Chứng minh AM.AN = AC2

TỔNG ÔN CHƯƠNG II

PHIẾU SỐ 1

Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng:

1/ Bốn điểm B, C, E, F nằm đường tròn 2/ AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

Lời giải:

1/ Theo giả thiết: BE đường cao => BE  AC => BEC = 900

CF đường cao => CF  AB => BFC = 900

Lấy I trung điểm BC => IB = IC = IF = IE

Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường trịn đường kính BC

1. Xét hai tam giác AEH ADC ta có:  AEH =  ADC = 900 ; A góc chung

=>  AEH ADC => AE

AD=

AH

AC => AE.AC = AH.AD

* Xét hai tam giác BEC ADC ta có:  BEC =  ADC = 900 ; C góc chung

=>  BEC ADC => BE

AD=

BC

AC => AD.BC = BE.AC

H

1

3 2 1 1

O

E

D C

B

A

1/ Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn 2/ Chứng minh ED = 12 BC

3/ Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) 4/ Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm

Lời giải: 1 Chứng minh

2 Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900

Vậy tam giác BEC vng E có ED trung tuyến => DE = BC

3 Vì O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1)

Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2)

Mà B1 = A1 ( phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3

Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE E

Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E

4 Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vng E ta có

ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32  ED = 4cm

Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N

/

/

y x

N C

D I

M

B O

A 1/ Chứng minh AC + BD = CD 2/ Chứng minh COD = 900

3/ Chứng minh AC BD = 4/ Chứng minh OC // BM

5/ Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD 6/ Chứng minh MN  AB

1/ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có:

Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

2/ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900

3/ Theo COD = 900 nên tam giác COD vng O có OM  CD ( OM tiếp tuyến )

Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB2

4

4/ Theo COD = 900 nên OC  OD (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM  OD (2)

Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vng góc với OD)

5/ Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang

Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB

 IO // AC , mà AC  AB => IO  AB O

=> AB tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD

6/ Theo AC // BD => CN

BN=

AC

BD , mà CA = CM; DB = DM nên suy CN

BN=

CM DM

=> MN // BD mà BD  AB => MN  AB

7/ Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD => Chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi

=> Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB

=> M phải trung điểm cung AB

Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK

1/ Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn 2/ Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O)

3/ Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm

o 1 2 1

H

I

C A

B

K

1. Vì I tâm đường trịn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A nên BI BK hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B

Do BI  BK hay IBK = 900

Tương tự ta có ICK = 900

Lấy O’ trung điểm IK => O’K = O’I = OC = OB => B, C, I, K nằm đường trịn

2 Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH C2 + I1 = 900 (2) ( IHC = 900 )

I1 =  ICO (3) ( tam giác OIC cân O)

Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC Vậy AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3 Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm

AH2 = AC2 – HC2 => AH =

√202−122 = 16 ( cm)

CH2 = AH.OH => OH = CH2

AH =

122

16 = (cm)

OC = √OH2

+HC2=√92+122=√225 = 15 (cm)

Bài 5. Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC

 MB, BD  MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB

1/ Chứng minh tứ A, M, B, O thuộc đường tròn

2/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn 3/ Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.

4/ Chứng minh OAHB hình thoi

5/ Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng

6/ Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d

Lời giải

d

H I K

N P

M D

C

B A

O

2 Vì K trung điểm NP nên OK  NP (quan hệ đường kính

Và dây cung) => OKM = 900

Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900

=> K, A, B nhìn OM góc 900 nên nằm đường trịn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn

3 Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM trung trực AB => OM  AB I

Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vng A có AI đường cao

Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; OI IM = IA2.

4 Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH

OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH

=> Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi

5 Theo OAHB hình thoi => OH  AB; theo OM  AB

=> O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vng góc với AB)

6 Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R

Vậy M di động d H di động cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa (A) bán kính AH = R

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường tròn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E

1/ Chứng minh tam giác BEC cân

2/ Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH 3/ Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) 4/ Chứng minh BE = BH + DE

Lời giải

2

I

E

H D

C A

B

Vì AB CE (gt), AB vừa đường cao vừa đường trung tuyến BEC

=> BEC tam giác cân => B1 = B2

2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2

=>  AHB = AIB => AI = AH

3 AI = AH BE  AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I 4 DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

Bài 7: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M

1/ Chứng minh A, P, M, O thuộc đường tròn 2/ Chứng minh BM // OP

3/ Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành X

( (

2 1

1 1

K I

J

M N P

A O B

4/ Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Lời giải 1 (HS tự làm)

2 Ta có é ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM góc tâm chắn cung AM

=> ABM = (1)

OP tia phân giác AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt )

=> AOP = (2)

Từ (1) (2) => ABM = AOP (3)

Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4)

=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3))

=> AOP = OBN => OP = BN (5)

Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau)

4 Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON  AB => ON  PJ

Ta có PM  OJ ( PM tiếp tuyến ), mà ON PM cắt I

=> I trực tâm tam giác POJ (6)

Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO = AON = ONP = 900

=> K trung điểm PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật) (6) AONP hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7)

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có PO tia phân giác APM => APO = MPO (8)

Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đơng thời đường cao => IK  PO (9)

Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng

Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kớnh AB điểm M nửa đường trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F, tia BE cắt AM K

1) Chứng minh E, F, M, K thuộc đường tròn

2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.

Lời giải

1 Dùng đường tròn O xét ∆AEB , ∆AMB tam giác vuông (suy từ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh ấy)

=> ∆FEK , ∆FMK tam giác vng

2 Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vng A có AM  IB ( theo trên)

Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => AI2 = IM . IB.

Bài 9: Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm A B Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn lớn D DA,DB cắt nửa đường trịn có đường kính AC, CB theo thứ tự M, N

Hướng dẫn a, Ta có: Tam giác AMC nội tiếp đường trịn đường kính AC

=> ∠AMC = 90o

Tam giác CNB nội tiếp đường trịn đường kính CB => ∠CNB = 90o

Tam giác ADB nội tiếp đường tròn đường kính AB => ∠ADB = 900

Suy tứ giác DMCN hình chữ nhật b, Xét tam giác vng DCA có :

DC2 = DM.MA (1) (theo hệ thức lượng tam giác vng)

Xét tam giác vng DCB có: DC2 = DN.DB (2) (theo hệ thức lượng tam giác vuông) Từ (1) (2) ta suy DM.MA = DN.NB

c, Vì DMCN hình chữ nhật nên IM = IC suy tam giác IMC cân I => ∠M2 = ∠C2 Vì tam giác MFC cân F nên ∠M1 = ∠C1 Mà ∠C1 + ∠C2 = 90o

=> ∠M1 + ∠M2 = 90o Hay ∠FMN = 90o => FM ⊥ MN Chứng minh tương tự ∠MNC = 90o

=> HN ⊥ MN d, Ta có: DC = MN (vì DMCN hình chữ nhật) mà DC ≤ DO => MN ≤ DO MN = DO C ≡ O Suy C trung điểm AB

Bài 10: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung DE, D thuộc đường tròn tâm O, E thuộc đường tròn tâm O’ Kẻ tiếp tuyến chung A, cắt DE I Gọi M giao điểm OI AD, N giao điểm O’I AE

a, Tứ giác AMIN hình gì? Vì sao? b, Chứng minh IM.IO=IN.IO’

c, Chứng minh O O’ tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE

d, Tính độ dài DE biết OA=5cm, O’A=3,2 cm Hướng dẫn

Suy IO trung trực AD => IO ⊥ AD

=> ∠IMA = 90o + IE IA tiếp tuyến cắt I Suy IA = IE (2) Mà O’A = O’E

Suy IO’ trung trực AE => IO ⊥ AE => ∠INA = 90o

Từ (1) (2) suy IA = ID = IE Suy tam giác DAE vuông A => ∠DAE = 90o

Tứ giác MINA có góc ∠IMA = 90o ; ∠INA = 90o; ∠DAE = 90o nên tứ giác MINA hình chữ nhật b) Xét tam giác vng IAO có AN ⊥ IO' : IA2 = IM.IO (3) (theo hệ thức lượng tam giác)

Xét tam giác vng IAO’ có : IA2 = IN.IO' (4) (theo hệ thức lượng tam giác) Từ (3) (4) ta suy IM.IO = IN.IO'

c) Theo ta có tam giác DAE vuông A

=> điểm D, E, A nội tiếp đường trịn đường kính DE (5)

Do IA tiếp tuyến chung đường tròn (O) (O’) => IA ⊥ OO' (6) Từ (5) (6) ta suy OO’ tiếp tuyến đường trịn đường kính DE d) Xét tam giác vng IOO’ có IA2 = OA OA' => IA2 = 5.3,2 =16(cm)

Vậy IA = 4cm

Bài 11: Cho đường trịn (O), đường kính AB, đểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M.BN cắt đường tròn C.Gọi E giao điểm AC BM

a, Chứng minh NE ⊥ AB

b, Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến đường tròn(O) c, Chứng minh FN tiếp tuyến đường tròn(B; BA)

Hướng dẫn

a) Tam giác AMB nội tiếp đường trịn đường kính AB => ∠AMB = 90o => AM ⊥ MB

Tam giác ACB nội tiếp đường trịn đường kính AB => ∠ACB = 90o => AC ⊥ CB

Suy E trực tâm tam giác NAB, NE ⊥ AB b) Tứ giác AFNE có đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành( tứ giác cịn hình thoi)

Do FA//NE

Do NE ⊥ AB nên FA ⊥ AB