së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o bµi tëp hh9 cho hai đường tròn o r và o’ r cắt nhau tại hai điểm a và b r r đường thẳng mn là tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên cắt đường thẳng oo’ tại điểm

[r]

Bµi tËp HH9 : Cho hai đường tròn (O; R) (O’; r) cắt hai điểm A và B, (R > r) Đường thẳng MN tiếp tuyến chung hai đường tròn

   

M O R N; ,  O r';  , cắt đường thẳng OO’ điểm K cắt đường thẳng AB tại

điểm I Chứng minh rằng: 1)IM = IN

2)KA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AMN .

C

I

B A

K N

O O'

M

H

íng dÉn:

a)Ta có Δ IMB đồng dạng với Δ IAM (gg) nên IM2=IA.IB(1)

Tơng tự Δ INB đồng dạng với Δ IAN (gg) nên IN2=IA.IB(2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã IM=IN

b) Gäi giao cđa OO’ víi AB lµ C ta có AB vuông góc với OO BC=CA

chứng minh KA tiếp tuyến (AMN) ta chứng minh KA2=KM.KN

Ta cã KM.KN= (KI+IM)(KI-KN)=KI2-IN2

mà KI2=KC2+IC2; IN2=IA.IB =(IC+BC)(IC-AC) =IC2-AC2 nên

KM.KN=KC2+IC2-IC2+AC2 = KC2+AC2 =KA2 (Pitago cho tam giác vuông KAC)

Vậy KA2=KM.KN nên KA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN