Hh9 cđ3 góc với đường tròn

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Chuyên đề: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN I Tóm tắt lý thuyết n A Góc tâm Định nghĩa: Là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn O Số đo cung + Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung + Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ A B m (có chung mút với cung lớn) C So sánh hai cung + Hai cung gọi chúng có số đo + Trong cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn AmB ) AOB gọi góc tâm chắn cung nhỏ  Trên hình vẽ: Góc  AB (hay  AmB =  AOB , sđ  AnB = 3600 −  AOB Ta có: sđ  Điểm thuộc cung trịn  AC + sđ CB Nếu C điểm nằm cung  AB = sđ  AB sđ  B Liên hệ cung dây D Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường E tròn nhau: + Hai cung căng hai dây C F + Hai dây căng cung O Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường A tròn B + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn  ⇔ AB = CD ;   ⇔ AB > EF AB = CD AB > EF Trên hình vẽ ta có:  C Góc nội tiếp Góc nội tiếp: Là góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa dây cung đường tròn GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn + Trong đường trịn: Các góc nội tiếp N M chắn cung + Các góc nội tiếp chắn cung chắn C P cung O + Góc nội tiếp (nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung + Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Trên hình vẽ ta có: A B AMB,  ANB góc nội tiếp chắn cung + Các góc  1  AB ⇒  AMB =  ANB = sd  AB =  AOB 2 ⇔  AB = BC AMB = BPC +  D Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Đường thẳng xy tiếp tuyến ( O ) điểm A M Tiếp điểm A gốc chung tia đối Ax, By, AB dây cung ,  xAB yAB ( O ) Khi góc y O góc tạo tia tiếp tuyến dây cung AB Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung A B nửa số đo cung bị chắn Trong đường trịn: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung    1= = xAB sd  AB  AMB= , yAM = sd AM ABM Trên hình vẽ, ta có: 2 E Góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn x GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho hai dây cung AB, CD ( O ) cắt C  điểm M nằm đường tròn ( O ) Khi BMC D gọi góc có đỉnh nằm đường tròn ( O ) Ta có định lý: Số đo góc có đỉnh nằm đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn, tức (  sd BC  + sd  = BMC AD O M N A B )  gọi góc Hai tia CD, BA cắt nhu N ( AB, CD hai dây cung ( O ) ) Khi góc BNC có đỉnh nằm ngồi đường trịn ( O ) *) Định lý: Số đo góc nằm ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn  = BNC Tức là: (  − sd  sd BC AD ) F Cung chứa góc Cho hai điểm cố định A, B Quỹ tích điểm M AMB = α nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc  M khơng đổi ( < α < 1800 ) hai cung tròn đối xứng α qua AB , gọi cung chứa góc α dựng đoạn thẳng y AB O Đặc biệt quỹ tích điểm M nhìn đoạn AB góc vng đường trịn đường kính AB A Cách dựng cung chứa góc α B α + Dựng đường trung trực ( d ) đoạn thẳng AB α + Dựng tia Ax tạo với AB góc α + Dựng tia Ay ⊥ Ax cắt ( d ) O x + Ta có O tâm đường trịn chứa cung α dựng đoạn thẳng AB M' GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 II Bài tập Dạng 1: Bài tốn liên quan đến góc nội tiếp Bài 1: Đề thi vào lớp 10 Bắc Kạn, năm học 2021 - 2022 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp A đường tròn tâm O Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H E a) Chứng minh tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp đường tròn F O H b) Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O điểm K khác điểm A Gọi I giao điểm B C D hai đường thẳng HK BC Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng BC c) Tính AH BH CH + + AD BE CF Lời giải A a) Ta có:  AEH = 900 (vì BE ⊥ AC )  AFH = 900 (vì CF ⊥ AB ) E Xét tứ giác AEHF có:  AFH +  AFH = 900 + 900 = 1800 , F mà hai góc vị trí đối nên tứ giác AEHF nội O H tiếp (dấu hiệu nhận biết) B  = 900 (vì BE ⊥ AC ) Ta có: BEC D C I  = 900 (vì CF ⊥ AB ) BFC K   Xét tứ giác BFEC có BEC = BFC = 900 , hai đỉnh F E thuộc cung chứa góc dựng đoạn BC nên tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn đường kính BC GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Xét đường tròn (O) có:  ABK = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), KB ⊥ AB Mặt khác: CH ⊥ AB (giả thiết) Suy ra: KB // CH (quan hệ vng góc song song) (1) Xét đường trịn (O) có:  ACK = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), KC ⊥ AC Mặt khác: BH ⊥ AC (giả thiết) Suy ra: KC // BH (quan hệ vng góc song song) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BHCK hình bình hành (dấu hiệu nhận biết), suy hai đường chéo BC HK cắt trung điểm đường (tính chất) Mà I giao điểm BC HK nên I trung điểm BC c) Tính AH BH CH + + AD BE CF Đặt P = AH BH CH + + AD BE CF AD − HD BE − HE CF − HF + + AD BE CF HD HE HF ⇔ P = 1− +1− +1− AD BE CF  HD HE HF  ⇔ P =3 −  + +   AD BE CF  = ⇔P HD ⋅ BC S HD Ta= có: = ∆ABC AD AD ⋅ BC S ∆ABC HE BE Chứng minh tương tự = ta có: ⇒ S ∆HAC HF S ∆HAB = ; S ∆ABC CF S ∆ABC HD HE HF S ∆HBC S ∆HAC S ∆HAB S ∆HBC + S ∆HAC + S ∆HAB S ABC + + = + + = = = AD BE CF S ∆ABC S ABC S AABC S ABC S ∆BC Vậy P = AH BH CH + + = −1 = AD BE CF GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 2: Đề thi vào lớp 10 Bình Dương, năm học 2021 - 2022 Cho tam giác ABC vuông A( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O Dựng đường thẳng d qua A song song BC , đường thẳng d ' qua C song song BA , gọi D giao điểm d d ' Dựng AE vng góc BD ( E nằm BD ), F giao điểm BD với đường tròn (O) Chứng minh: 1) Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn  = 2CAE  2) AOF 3) Tứ giác AECF hình bình hành 4) DF.DB = 2.AB2 Lời giải 1) Tứ giác AECD nội tiếp đường trịn Vì ∆ABC vng A nội tiếp (O) nên BC đường kính (O)  AB ⊥ AC Ta có:  CD / / AB = ( gt ) ⇒ AC ⊥ CD (từ vng góc đến song song) ⇒ ACD 90°   = ACD = 90° ⇒ AECD tứ giác nội tiếp (Tứ giác có đỉnh kề Xét tứ giác AECD có: AED nhìn cạnh góc nhau)  = 2CAE  2) AOF  = CDE  (hai góc nội tiếp chắn CE  ) Do tứ giác AECD tứ giác nội tiếp (cmt) nên CAE  = ABF  (so le trong) ⇒ CAE =  ABF Mà CDE GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = ABF  (góc tâm góc nội tiếp chắn AF =  (đpcm)  ) ⇒ AOF 2CAE Mặt khác: AOF 3) Tứ giác AECF hình bình hành  (hai góc nội tiếp chắn AE  ACE = ADE Do tứ giác AECD tứ giác nội tiếp (cmt) nên  )  = DBC =   (so le AD / / BC ) ⇒ ACE DBC Ta có: ADE    (hai góc nội tiếp chắn FC  )⇒  = FBC = FAC ACE = FAC Mà DBC Mà hai góc vị trí so le nên AF / / EC (dhnb) (1)  = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CF ⊥ FE hay CF ⊥ BD Măt khác: CFE Mà AE ⊥ BD( gt ) nên AE / /CF (từ vng góc đến song song) Từ (1) (2) suy tứ giác AECF hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song) (đpcm) DF.DB = 2.AB2 Gọi {= T } AC ∩ BD  AB / /CD Ta có:   AD / / BC ( gt ) ⇒ ABCD hình bình hành (dhnb) ⇒ TA = TC , TB = TD AB = CD (tính chất) Xét ∆DCT vng C có CF ⊥ BD(cmt) ⇒ CF ⊥ DT ⇒ CF đường cao nên: CD = DF.DT (hệ thức lượng tam giác vuông) ⇒ 2.CD= 2.DF.DT= (2.DT ).DF= DB.DF Mà AB = CD (cmt) Vậy DF.DB = AB2 (đpcm) Bài 3: Đề thi vào lớp 10 Bình Định, năm học 2021 - 2022 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  > 90° nội tiếp Cho tam giác ABC có ACB C D đường trịn tâm O Gọi M trung điểm M I  D BC , đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC  E Gọi F chân đường , cắt cung lớn BC vng góc hạ từ E xuống AB , H chân đường vng góc hạ từ B xuống AE F A B K O Q H a Chứng minh tứ giác BEHF tứ giác E nội tiếp b Chứng minh MF ⊥ AE c Đường thẳng MF cắt AC Q Đường thẳng EC cắt AD , AB I K = 90° EC = EK Chứng minh EQA IC IK Lời giải a Tứ giác BEHF có hai đỉnh H , F kề nhìn đoạn BE góc 90° nên nội tiếp đường trịn đường kính BE b Vì M trung điểm BC nên OM ⊥ BC Tứ giác BEFM có hai đỉnh F , M kề  = BEM  nhìn đoạn BE góc 90° nên nội tiếp đường trịn đường kính BE Do BFM  ) (1) Ngoài ra, ( O ) , ta có BAD  = BED  (cùng chắn AD  ) ( 2) (cùng chắn BM  , mà hai góc vị trí đồng vị nên AD // MF  = BAD Từ (1) ( ) suy BFM = 90° góc nội tiếp chắn nửa đường trịn nên AD ⊥ AE Từ suy MF ⊥ AE Ta có DAE  = BAE  Ngồi c Ta có ED đường trung trực BC nên EB = EC ( 3) , CBE  = QAE  (tứ giác ACBE nội tiếp) Từ suy QAE  = FAE  Tam giác AQF có đường cao CBE từ A đồng thời đường phân giác nên ∆AQF cân A AE đường trung trực QF = EFA = 90° ∆AFE ( c.c.c ) nên EQA Vì ∆AQE =  nên CAD  = BAD  hay AI phân giác ∆CAK Suy Ta có D điểm BC GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH IC AC = IK AK Zalo: 0382254027 ( 4) EB AC = ( 5) EK AK Vì ∆EKB # ∆AKC ( g.g ) nên Từ ( 3) , ( ) ( ) ta EC IC EC EK = = hay EK IK IC IK Bài 4: Đề thi vào lớp 10 Bình Phước, năm học 2021 - 2022 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC( B, C tiếp điểm) Kẻ cát tuyến AEF không qua tâm (E nằm A F ; O B nằm hai phía so với cát tuyến ) Gọi K trung điểm EF a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn  b) Chứnng minh KA phân giác BKC c) Kẻ dây ED vng góc OB cho ED cắt BC M Chúng minh FM qua trung điểm I đọan thẳng AB Lời giải a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp đường trịn Ta có: AB, AC tiếp tuyến đường tròn nên = OA ⊥ AB  ABO 90°  + ACO = ⇒ ⇒ ABO 180°   OC ⊥ AC   ACO= 90° GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ OBAC tứ giác nội tiếp đường tròn đường kinh AO (dhnb)  b) Chứnng minh KA phân giác BKC Vì AB, AC tiếp tuyến đường trịn nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Ta có K trung điểm EF nên OK ⊥ AK (quan hệ vng góc đường kính dây cung) = 90° ⇒ K thuộc đường tròn đường kính AO hay điểm O , K , B, A , C thuộc ⇒ OKA đường  = AKC  = sdAB = sdAC (góc chắn hai cung nhau) Tròn ⇒ BKA 2  Vậy KA phân giác BKC c) Kẻ dây ED vng góc OB cho ED cắt BC M Chúng minh FM qua trung điểm I đọn thẳng AB Gọi J giao điểm AK BC Gọi I giao điểm FM AB Ta chứng minh I trung điểm AB Xét tam giác ABJ AKB ta có:  chung BAK  BKA  ) = ABJ =( ACB ⇒ ∆ABJ đồng dạng với ∆AKB (g.g) ⇒ AJ AB = (cặp cạnh tương ứng) ⇒ AB2 = AJ AK AB AK g⋅g ⇒ Tương tự ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆AFB( ) ⇒ AJ AK = AE AF ⇒ ⇒ AB AE = ⇒ AB2 = AE ⋅ AF AF AB AF AK AF − AK FK EK = = = = AJ AE AJ − AE EJ EJ AF AJ = EK EJ 10 (Vì K trung điểm EF ) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 AM BN CP + + AD BE CF Ta có: S∆ABC =AD ⋅ BC , SABMC SABMC AM ⋅ BC AM = AM ⋅ BC ⇒ = = S∆ABC AD AD ⋅ BC S S∆ABC ABCN Chứng minh tương tự ta có: = ⇒ = BN SACBP CP , = BE S∆ABC CF AM BN CP SABMC + SABCN + SACBP + + = AD BE CF S∆ABC S∆ABC + S∆MBC + S∆ABC + S∆NAC + S∆ABC + S∆PAB S∆ABC = 3+ S∆MBC + S∆NAC + S∆PAB S∆ABC    (hai góc nội tiếp chắn cung MC ) Lại có: MBD = MBC = MAC = = =  ⇒ MBC 90 o − AHE 90 o − BHD HBD Xét tam giác HBD tam giác MBD có: ∠MBD = ∠HBD(cmt ) 90° ∠BDH = ∠BDM = ⇒ ∆HBD ~ ∆MBD( g.g ) ⇒ HD MD = ⇒ HD = MD BD BD ⇒ S HBC= 1 HD ⋅ BC= MD ⋅ BC= S∆MBC 2 Chứng minh tương tự ta có: = S∆NAC S= , S∆PAB S∆HAB ∆HAC ⇒ + S∆NAC + S∆PAB S AM BN CP + + =+ ∆MBC AD BE CF S∆ABC 45 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 S + S∆HAC + S∆HAB S = = + ∆HBC + ∆ABC = S∆ABC S∆ABC Vậy AM BN CP + + = AD BE CF Bài 5: Đề thi vào lớp 10 Kiên Giang, năm học 2021 - 2022 Cho hai đường tròn ( O; R ) ( O ' ; r ) tiếp xúc ngài A ( R > r ) Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (với B ∈ ( O ) C ∈ ( O ' ) ) Tiếp tuyến chung A hai đường tròn ( O ) ( O ' ) cắt đoạn thẳng BC M a) Chứng minh OM vng góc với O ' M b) Gọi E giao điểm AB với OM F giao điểm AC với O ' M Chứng minh tứ giác OEFO ' nội tiếp đường tròn c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO ' , K trung điểm AM 46 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Chứng minh OO ' = IK Lời giải ' a) Chứng minh OM vng góc với O M  = BMA  AMB Do OMA Vì MA MB tiếp tuyến ( O ) nên MO tia phân giác  1  ' MA = CMA AMC Do O MA MC tiếp tuyến ( O ' ) nên MO ' tia phân giác  ( )   ' =OMA  '  +O MA = BMA + CMA = 1800 =900 Suy OMO 2 ⇒ OM ⊥ O ' M b) Ta có : MB = MA ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OB = OA ( bán kính R ) ⇒ MO đường trung trực AB ⇒ MO ⊥ AB = E ⇒ MEA 900  = 900 Tương tự, ta có : MFA    Xét tứ giác MEAF có : MEA = MFE = OMO =' 900 ⇒ tứ giác MEAF hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết) =  MAE ⇒ MEAF tứ giác nội tiếp ⇒ MFE   = OAE Trong tam giác vuông AOM , ta có MAE '  = EOO Vì MFE Do đó, tứ giác OEFO ' nội tiếp đường trịn (góc ngồi góc đỉnh đối diện) c) Cần xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO ' Vẽ hai đường trung trực hai đoạn thẳng EO FO ' cắt EO FO ' H J Hai đường trung trực cắt I I tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác OEFO ' 47 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Qua O vẽ đường thẳng song song với MO ' Qua O ' vẽ đường thẳng song song với MO Hai đường thẳng cắt N Theo cách vẽ ta tứ giác MONO ' hình chữ nhật (vì có góc vuông) Suy OO ' = MN (hai đường chéo hình chữ nhật) Chứng minh I trung điểm AN : Hình thang AEON có HE = HO HI // EA // ON ⇒ HI qua trung điểm AN (1) Tương tự, ta có JI qua trung điểm AN (2) I HI ∩ JI (3) Mà = Từ (1), (2) (3) ⇒ I trung điểm AN Xét ∆AMN có IK đường trung bình tam giác ⇒ IK= 1 MN ⇒ IK= OO ' 2 Bài 6: Đề thi vào lớp 10 Lai Châu, năm học 2021 - 2022 Cho đường tròn tâm (O; R), từ điểm A đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn tâm O Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A), kẻ tiếp tuyến thứ hai MB (B tiếp điểm) a Chứng minh tứ giác AMBO tứ giác nội tiếp đường tròn b Gọi I giao điểm AB OM Chứng minh AB = OI OM R= ; OI IM 48 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 c Gọi điểm H trục tâm tam giác MAB Tìm quỹ tích điểm H điểm M di chuyển đường thẳng d Lời giải   a) Vì MA, MB tiếp truyến đường tròn (O) ⇒ MAO = 900 ; MBO = 900  + MBO = Ta có: MAO 1800 ⇒ AMBO nội tiếp đường trịn đường kính OM b) Ta có MA = MB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R ⇒ MO đường trung trực đoạn thẳng AB ⇒ OM ⊥ AB I  = 900 (tính chất tiếp tuyến) Ta lại có: MAO ⇒ ∆MAO vng A Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: OI OM = OA = R AB OI IM (đpcm) = IA = c) Ta có: OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến) AK ⊥ MB (AK đường cao ∆MAB ) ⇒ OB / / AK hay OB / / AH (1) Chứg minh tương tự ta có: OA / / BN hay OA / / BH (2) Từ (1) (2) suy ra: tứ giác AOBN hình bình hành Mà OA = OA = R ⇒ hình bình hành AOBN hình thoi ⇒ AH = AO = R Vậy M di chuyển đường thẳng (d) H ln cách A cố định khoảng R Do đó, quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng (d) nửa đường tròn tâm (A; AH), AH = R Bài 7: Đề thi vào lớp 10 Quảng Ngãi, năm học 2021 - 2022 49 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường tròn ( O; R ) điểm S A nằm bên ngồi đường trịn, SO = d C Kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn ( A, B tiếp điểm) S D O M a) Chứng minh điểm S , O, A, B thuộc đường tròn b) Trong trường hợp d = R , tính độ B dài đoạn thẳng AB theo R c) Gọi C điểm đối xứng B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn ( O ) D (khác C ) Hai đường thẳng AB SO cắt M Chứng minh SM = MD.MA d) Tìm mối liên hệ d R để tứ giác OAMB hình thoi Lời giải a) Chứng minh điểm S , O, A, B thuộc đường tròn =  =° SBO 90 (tính chất tiếp tuyến) ⇒ điểm Ta có SA, SB hai tiếp tuyến ( O ) ⇒ SAO S , O, A, B thuộc đường trịn đường kính SO b) Trong trường hợp d = R , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có SA = SB mà OA = OB (bán kính ( O ) ) ⇒ SO AH ; trung trực AB ⇒ SO ⊥ AB trung điểm H AB ⇒ AB = Trong ∆SAO vuông A , theo định lý Pi-ta-go, ta có SO = AO + SA2 ⇒ SA = SO − AO = ( 2R ) − R2 = R Trong ∆SAO vng A , có AH đường cao, theo hệ thức lượng, ta có 50 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH AH SO= SA AO ⇒ AH= Zalo: 0382254027 SA AO R 3.R R R ; ⇒ AB = AH = = = = R SO 2R 2 Vậy AB = R c) Gọi C điểm đối xứng B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn ( O ) D (khác C ) Hai đường thẳng AB SO cắt M Chứng minh SM = MD.MA Xét ∆MSD ∆MAS có:  chung; M Vì C đối xứng với B qua O ⇒ O trung điểm BC ⇒ BC đường kính ( O )  =° ⇒ BAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AC ⊥ AB ⇒ AC //SO (cùng vng góc với =  (hai góc so le trong); DCA  = MAS  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp DCA AB ) ⇒ MSD (   = MAS  = DCA tuyến dây cung chắn  AD ) ⇒ MSD ) MS MA ⇒ ∆MSD” ∆MAS ( g g ) ⇒ = ⇒ MS= MD.MA MD MS d) Tìm mối liên hệ d R để tứ giác OAMB hình thoi  ⇒ MAB =  (tính chất hình OAB Tứ giác OAMB hình thoi ⇒ AB phân giác MAO thoi);  = DCB  (hai góc nội tiếp chắn DB  = OSB  (hai góc nội tiếp chắn OB )  ); OAB MAB ( )  = OSB  = MAB  = OAB  ; ⇒ DCB Xét ∆BOS ∆BSC có:  = BCS  (chứng minh trên)  chung; BSO B BO BS ⇒ ∆BOS ” ∆BSC ( g g ) ⇒ = ⇒ BS= BO.BC = R.2= R 2R2 BS BC Trong ∆SBO vuông B , theo định lý Pi-ta-go, ta có: SO = SB + OB ⇒ SO = R + R = 3R ⇒ SO = R Vậy d = R tứ giác OAMB hình thoi Bài 8: Đề thi vào lớp 10 Sóc Trăng, năm học 2021 - 2022 51 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Từ điểm S nằm ngồi đường trịn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B tiếp điểm) A C D cát tuyến SCD không qua O (C nằm S D) Gọi K giao điểm SO với S O K H cung nhỏ AB H giao điểm SO với đoạn thẳng AB B Chứng minh: a) Tứ giác SAOB nội tiếp b) SA2 = SC.SD   = HCK c) SCK Lời giải   = SBO = 90o (vì SA, SB tiếp tuyến đường tròn (O)) a) Ta có: SAO  + SBO  = 90o + 90o = 180o nên tứ giác SAOB nội tiếp Xét tứ giác SAOB ta có: SAO b) Xét ∆SAC ∆SDA ta có:  ASD chung  (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AC)  = SDA SAC ⇒ ∆SAC đồng dạng với ∆SDA (g-g) ⇒ SA SC = (2 cạnh tương ứng) SD SA Vậy SA2 = SC.SD (đpcm) b) Áp dụng hệ thức lượng vào ∆SAO vuông A, đường cao AH ta có: SH SO= SC.SD ⇒ SH SC = (*) SD SO Xét tam giác SHC tam giác SDO ta có: SH SC = SD SO  chung DSO ⇒ ∆SHC đồng dạng với ∆SDO (g-c-g) 52 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ⇒ Zalo: 0382254027 SC SO SO SC SO = = = hay (1) (vì OD = OA) HC DO OA CH OA  = KAH  (cùng chắn cung nhau) ⇒ AK đường phân giác SAH  Lại có SAK Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: SK SA = (2) KH AH Xét ∆SHA ∆SAO ta có:  chung OSA   SHA = SAO = 90o ⇒ ∆SHA đồng dạng với ∆SAO (g – g) ⇒ Từ (1) (2) (3) suy SO SA = (3) OA AH SC SK = CH KH  ⇒ SCK =  HCK Do CK tia phân giác góc SCH Bài 9: Đề thi vào lớp 10 Sơn La, năm học 2021 - 2022 53 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD H trực tâm tam giác Vẽ đường tròn tâm I đường kính BC , từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( I ) ( M , N tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn AMN =  ADN  AHN =  AND b) Chứng minh  c) Chứng minh ba điểm M , H , N thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn Theo giả thiết, AM , AN tiếp tuyến đường tròn ( I ) với M , N tiếp điểm ⇒  AMI =  ANI = 900 ANI hai góc vị trí đối diện AMI +  ANI = 900 + 900 = 1800 , mà  Xét tứ giác AMIN có  AMI  suy tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết) Vậy tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn AMN =  ADN  AHN =  AND b) Chứng minh  ADI = 900 Theo giả thiết AD đường cao  ABC ⇒ AD ⊥ BC hay  ADI +  ANI = 900 + 900 = 1800 , mà hai góc  ANI vị trí đối diện Xét tứ giác ADIN có  ADI  ⇒ tứ giác ADIN nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết) ⇒  ADN =  AIN (góc nội tiếp chắn cung  AN ) (1) 54 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 AMN =  AIN (góc nội tiếp chắn cung Theo câu (a), tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn ⇒   AN ) (2) AMN =  ADN Từ (1) (2) suy  Gọi E chân đường cao hạ từ B xuống AC , BE ⊥ AC ⇒  AEH = 900 Xét ∆AEH ∆ADC có   Chung DAC  ⇒ ∆AEH # ∆ADC ( g − g )  AEH =  ADC = 900  ⇒ AH AE AC AE (3) = ⇒ AH AD = AC AD Xét ∆AEN ∆ANC có  Chung EAN  ) ANE =  ACN (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung EN ⇒ ∆AEN # ∆ANC ( g − g ) ⇒ AE AN = ⇒ AC AE = AN (4) AN AC Từ (3) (4) suy AH AD = AN ⇒ AH AN = AN AD Xét ∆AHN ∆AND có   Chung HAN   ⇒ ∆AHN # ∆AND (c− g − c) AH AN = (cmt)  AN AD   ⇒ AHN = AND (đpcm) c) Chứng minh ba điểm M , H , N thẳng hàng  ( I ) ) AMN =  ANM (hai góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung MN Ta có   ⇒ ANM = ADN  Theo câu (b), ta có ∆AHN # ∆AND ⇒  ANH = ADN  ⇒ ANH = ANM , mà H , M nằm phía với AN ⇒ ba điểm H , M , N thẳng hàng 55 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy ba điểm M , H , N thẳng hàng Bài 10: Đề thi vào lớp 10 Thái Bình, năm học 2021 - 2022 Qua điểm M nằm bên ngồi đường trịn ( O; R ) kẻ hai tiếp tuyến E MA; MB ( A, B hai tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O ( C nằm M D ) A a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp D MO ⊥ AB C b) Chứng minh MA AD = MD AC P I M O c) Gọi I trung điểm dây cung CD E giao điểm hai đường thẳng B AB OI Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R OI = Q R d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt đường thẳng MA;MB P Q Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp MO ⊥ AB Vì MA; MB hai tiếp tuyến ( O ) cắt M (với A; B hai tiếp điểm)  =MBO  =90° ⇒ MA ⊥ OA; MB ⊥ OB ⇒ MAB Mà MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  + MBO = 180° Xét tứ giác MAOB có tổng hai góc đối MAO Do tứ giác MAOB tứ giác nội tiếp Lại có MA = MB ( cmt ) ; OA = OB = R A; B ∈ ( O; R ) 56 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ M ; O thuộc đường trung trực đoạn AB ⇒ MO đường trung trực đoạn AB ⇒ MO ⊥ AB (đpcm) b) Chứng minh MA AD = MD AC Xét ∆MCA ∆MAD có:  AMC chung  = MDA  (góc tạo tiếp tuyến góc nội tiếp chắn cung AC ) MAC ⇒ ∆MCA đồng dạng với ∆MAD (g.g) ⇒ MA AC = ⇔ MA AD = MD AC ( dpcm ) MD AD c) Gọi I trung điểm dây cung CD E giao điểm hai đường thẳng AB OI Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R OI = R = 90° Gọi H giao điểm OM AB OM ⊥ AH ⇒ OHE  =90° Xét ( O ) có I trung điểm dây cung CD ⇒ OI ⊥ CD ⇒ OIM  chung Xét ∆OHE ∆OIM ta có: MOE = OIM = 90° OHE ⇒ ∆OHE đồng dạng với ∆OIM (g.g) ⇒ OH OE = ⇔ OH OM = OE.OI (1) OI OM ∆OAM vuông A có OM ⊥ AH ⇒ OH OM = OA2 (hệ thức lượng tam giác vuông) (2) OA2 R = =3R (dpcm) R OI Từ (1) (2) ⇒ OE = d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vng góc với OM cắt đường thẳng MA; MB P Q Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ ∆MAB cân M (vì MA = MB có MO trung trực) 57 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 AMB ⇒ MO đồng thời đường phân giác  ∆MPQ cân M ⇒ MP phân giác đồng thời trung tuyến ⇒ O trung điểm PQ ⇒ PQ = 2OP Ta có:= S ∆MPQ PQ MO OP OA ( AM + AP ) = = MO 2R Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: AM + AP ≥ AM AP = ⇒ S MPQ ≥ R.2 R =2 R ⇒ S MPQ =2 R Dấu “=” xảy ⇔ AM = R ⇔ AM = AP =⇔ R OM = R AP AM AP = Vậy M vị trí cho OM = R để thỏa mãn yêu cầu đề Bài 11: Đề thi vào lớp 10 Thừa Thiên Huế, năm học 2021 - 2022 Cho ba điểm A, B, C phân biệt, cố định thẳng hàng cho B nằm A C Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC Từ A kẻ tiếp tuyến AM đến nửa đường tròn ( O ) ( M tiếp điểm) Trên cung MC lấy điểm E ( E không trùng với M C ), đường thẳng AE cắt nửa đường tròn ( O ) điểm thứ hai F ( F không trùng E ) Gọi I trung điểm đoạn thẳng EF H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMIO nội tiếp; b) Hai tam giác OFH OAF đồng dạng với nhau; c) Trọng tâm G tam giác OEF ln nằm đường trịn cố định điểm E thay đổi MC E M I G C O F H 58 B K A GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a) Ta có: I trung điểm dây EF ⇒ OI ⊥ EF AMO=  AIO= 90° Xét tứ giác AMIO ta có:  Hai góc nhìn cạnh OA Nên AMIO nội tiếp đường trịn đường kính OA OH OA b) Xét ∆OMA vng M có MH đường cao ⇒ OM = Mà OM = OF (cùng bán kính đường nửa đường trịn ( O ) ⇒ OF = OH OA ⇒ OF OA = OH OF Xét ∆OFH ∆OAF  chung O   OF OH ⇒ ∆OFH ” ∆OAF ( c − g − c ) =   OA OF OI c) Gọi G trọng tâm tam giác ∆OEF ⇒ OG = Qua G kẻ đường thẳng song song AI , đường thẳng cắt OA K Theo định lý Ta-let ta có: OK OG 2 = = ⇒ OK = OA OA OI 3 Mà OA cố định nên OK cố định Mà ∆OGK vuông G (vì GK // AI , AI ⊥ OI ) Suy G thuộc đường trịn đường kính OK E di chuyển cung MC 59