Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn và tiếp tuyến của đường tròn

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

Trang |

VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA MỘT ĐƢỜNG THẲNG VỚI ĐƢỜNG TRỊN VÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRÒN

1 Vị trí tƣơng đối

Cho đường trịn     2 2 2

C : x a  y b R có tâm I a; b đường thẳng   : AxBy C 0

Cách 1: Xét  

2

Aa Bb C d I;

A B

 

 



+ Nếu d I;    R (C) khơng có điểm chung

+ Nếu d I;    R tiếp xúc với (C) H (H hình chiếu I lên ) Khi ta nói  tiếp tuyến (C) với H tiếp điểm

+ Nếu d I;    R cắt (C) hai điểm phân biệt (AB dây cung đường tròn)

Cách 2: Xét hệ

    2 2 2 

Ax By C

1

C x a y b R

  

 

 

 

   

 

 

+ Nếu hệ (1) vô nghiệm   (C) khơng có điểm chung

+ Nếu (1) có nghiệm x ; y0 0  tiếp xúc với (C) H x ; y 0 + Nếu (1) có ngiệm   cắt (C) điểm phân biệt A, B 2 Tiếp tuyến đƣờng tròn     2 2 2

C : x - a + y - b = R điểm M x ;y 0 0   C

Tiếp tuyến  M x ; y 0 (C) đường thẳng qua M x ; y 0 vng góc với MI  có VTPT

 0 

nIM x a; y b

 phương trình : x 0axx0  y b yy00 3 

 3

 phương trình tiếp tuyến (C) M

Lời giải

(C) có tâm I 1; 2  , bán kính R2

 

2

IM 0    2 R M C

Tiếp tuyến (C) M đường thẳng  qua M 3; 2   có VTPT IM 2;0

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho   C : x 1  2 y 2 2 4 phương trình tiếp tuyến (C)

 

M 3; 2 (C) d : xby c 0 Khi giá trị b c

Trang |

    b

: x y x b c

c  

               



Đáp án B Lƣu ý: Bạn áp dụng trực tiếp cơng thức (3) nhanh hơn:

    2 2  

C : x 1  y 2 4; M 3; 2

 Phương trình tiếp tuyến M đường tròn (C) là:

3 x 3         2   y  2    0 x

3 Tiếp tuyến đƣờng tròn  C qua điểm M nằm ngồi đƣờng trịn Cho đường trịn (C) tâm I, bán kính R điểm M thỏa mãn IMR

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho  C : x2y22x 2y 2  0 M 3;5  Khi khoảng cách từ điểm N 2;3 đến đường thẳng điq au M tiếp xúc với (C)  

A. B.

2 C. D.

3

Lời giải Cách 1:

+ (C) có tâm I 1;1 , bán kính   R 12  12 2

  2 2

IM 1  5  20 2 5 R Qua M có tiếp tuyến đến (C) + Gọi n a; b 0 VTPT đường thẳng  qua M 3;5  

   

: a x b y ax by 3a 5b

          

+  tiếp tuyến (C) d I;  R

2

2

a b 3a 5b

2 2a 4b a b a b

  

      



2

b

3b 4ab 4a

b   

    

   - Với b =0 chọn a =

     

n 1;0 :1 x y x

          

- Với b 4a 

Trang |

 

b n 3; : 3x 4y 11

          

Cách 2:

+  qua M 3;5 có hệ số góc k:  

 

yk x 3  5 kx  y 3k0

+  tiếp xúc với (C)  

2

k 3k

d I; R k

4 k

  

      



 Tiếp tuyến

   

1

3

: y x 3x 4y 11 d N;

          

Tiếp tuyến lại đường thẳng 2: x 3 0

Thật vậy:  2  2

2

d I; R d N;

1 

      



Đáp án A Tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn qua M x ; y 0 0

- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k:

 0

: y k x x y

   

- Bước 2: Buộc  tiếp xúc với (C) d I;   R f k 0  giá trị k tương ứng với tiếp tuyến 1 2

(Nếu từ phương trình tìm tiếp tuyến tiếp tuyến thứ đường thẳng 2: xx0 0) Bài tập

Lời giải

Gọi hai tiếp điểm A B

(C) có tâm I 1; bán kính   R2

 

Md : y  x M m; m 3

MA tạo với MB góc 600 AMB600 AMB 120

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, có điểm Md : x  y mà từ M kẻ đến

  2

C : x y 2x 4y 0   hai tiếp tuyến mà hai tiếp tuyến tạo với góc 600

Trang | - TH1: AMB 600 AMI 300 sin 300 AI

IM

    

  2 2

m

1

m

2 m 1 m 5

 

    



   có điểm M thỏa mãn (1) - TH2: AMB 1200 AMI 600 sin 600 AI

IM

    

   

2

2

3

6m 36m 62

2 m 1 m 5

     

   vô nghiệm (2)

Từ (1) (2) có điểm thỏa mãn yêu cầu toán

Đáp án C

Lời giải

Đường trịn (C) có tâm I 3;3 , bán kính   R 32 32 142 Gọi H trung điểm AB IH AB; HA AB

2

   

AIH

 vuông H    

2

2 2

IH IA AH d I;d

      

 đường thẳng d qua M 6; cách   I 3;3 khoảng   Gọi VTPT d n a; b 0

   

d : a x b y ax by 6a 2b

         

Mà  

2

a 3a 3b 6a 2b

d I; d 1 8a 6ab 3

a b

a b

4

 

   

      

 

 

- Với a = chọn b 1 d : y 2 0  1 - Với a 3b

4

 chọn b   4 a d : 3x4y 26 0  2 Từ (1) (2) ta chọn đáp án A

Đáp án A Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua M 6; cắt    C : x2y26x 6y 14  0 điểm A B cho AB 3 là:

A y2 3x4y 26 0 B. x2 3x4y 26 0

Trang |

Lời giải

Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I 2; 2, bán kính R Giả sử d C điểm A, B SIAB 1.IA.IB.sin AIB

2

 

2 2

IAB

1 1

.R sin AIB R max S R AIB 90

2 2

     

0

AIH 45

  (H trung điểm AB) IH AI.cos 450 2

   

   

 

2

m tm 2m 2m

d I; d IH 1 8

m ktm

1 m

15

 

    

       

 

 có giá trị m nguyên

Cách 2:

2 2

IAB

AH IH AI R

S AH.IH

2 2



   

2 IAB

R

max S AH IH IAH

2

     vuông cân H R

IH

2

   , làm tương tự ta kết

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C : x2y24x 8y 5  0 Viết phương trình đường thẳng song song với d : 4x 3y 3  0 cắt đường tròn theo dây cung

A. 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0

B. 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0 C. 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0

D. 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0

Lời giải Đáp án C

Đường thẳng d ' : 4x 3y m  0

Đường trịn (C) có bán kính R5 tâm I2; 4

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C : x2y24x4y 6 0 đường thẳng d : xmy 2m 3  0 Gọi I tâm (C) Có giá trị nguyên m để d cắt (C) điểm phân biệt A, B cho diện tích IAB lớn

Trang |  I;d '  2 2

4 3.4 m d

4

  





2

2 AB

R

2

 

   

 

m 11 4x 3y 11 m 19 4x 3y 19

    



       



Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C : x2y212x4y 27 0 điểm A 4;9 Viết   phương trình đường thẳng qua A cắt đường tròn (C) điểm cho độ dài cạnh hình vng ngoại tiếp đường trịn (C) khoảng cách điểm

A. 2x 11y 10  0

B. 2x 11y 34  0 C. 2x 11y 10  0

D. 11x2y 62 0

Lời giải Đáp án D

Cạnh hình vng ngoại tiếp (C) có độ dài đường kính (C)

Suy ra: Đường thẳng cần tìm d cắt điểm cho khoảng cách BK Như ta có: d qua

 

A 4;9 tâm (C) I 6; 2   Vậy d :x y 11x 2y

6

      

  

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C : x2y212x4y 15 0 điểm A 9; Lập   phương trình đường thẳng qua A cắt đường trịn (C) điểm cho khoảng cách điểm cạnh hình vng nội tiếp đường trịn (C)

A. 7x y 65

x 7y

  



   



B. 7x y 63

x 7y

  



    

C. 7x y

x 7y 63    

    

D. 7x y 63

x 7y 65

  



    

Trang |

Đáp án A

Tâm I 6; , R   5

Suy hình vng nội tiếp (C) có đường chéo 10 Cạnh hình vuông nội tiếp (C)

Đường thẳng cần tìm cắt (C) điểm M, N cho MN 2 Gọi H trung điểm MN suy ra:

2

2 MN

IH IM

2

 

   

 

Giả sử d qua A 9; có vtcp   u a; b 0 có dạng:

   

a x 9 b y 2 0

 

   

I;d 2 2

a b 2

d IH

a b    

 



5 2



2

5

3a 4b a b

2

    

 

2 25 2

9a 24ab 16b a b

    

2

a 7b

7a 48ab 7b 1

a b

7   

    

   

- Với a7b Chọn b 1  a

   

7 x y

    

7x y 65

   

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x  y đường tròn

  2

C : x y 4x 2y 0 Gọi I tâm (C), M điểm thuộc  Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10

A. M 2; , M 3;1  

B. M 2; , M 3;1    

Trang |

D. M 2; , M   3;1

Lời giải

Đường trịn (C) có tâm I 2;1 , bán kính IA  

Tứ giác AIBM có

MAIMBI90 MAMB MAIB

S IA.MA

 

MA

 

2

IM IA MA

   

M, có tọa độ M t; t  2

  2 2

IM  5 t  t 25

 

 

2 t M 2;

t t

t M 3;1

  

      

   



Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho:  C : x2y22x 4y 0,   : x  y

Tìm tọa độ điểm M thuộc  cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) cho diện tích tứ giác MAIB nhỏ

A. M 2; 5

B. M 2; 5  

C. M 2;5  

D. M2;5

Lời giải Đáp án D

   C : I 1; R

 

 

 H trung điểm AB Ta có: AHMI, N t; t 7

  2 2

2

MI  t  t 2t  8t 26 2 2

MA MI R 2t  8t 22

 

2 2 2

S IA MA 2 2t  8t 11

 

min

Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia