Tải Các bài toán về tiếp tuyến và cát tuyến (Có đáp án) - Bài tập Hình học Toán 9 ôn thi vào 10

Bài 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn O, kẻ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE.. Dây cung EN song song với BC.[r]

Tốn lớp 9

BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN

1 Những tính chất cần nhớ:

 Nếu hai đường thẳng chứa dây AB,CD,KCDcủa đường tròn cắt

M MA.MBMC.MD

 Đảo lại hai đường thẳng AB,CD cắt M MA.MBMC.MD bốn

điểm A, B,C, D thuộc đường tròn

 Nếu MC tiếp tuyến MAB cát tuyến MC2MA.MB MO 2 R2

 Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD,H ,

 Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD thì 

AC BC AD BD

Ta có:

      AC KC KAC ADK KAC KAD

AD KA #

Tương tự ta có: 

BC KC

BD KB mà KAKB nên suy  AC BC AD BD

Chú ý: Những tứ giác quen thuộc

ACBD ta ln có:  AC BC AD BD và

 CA DA

CB DB

2 Các toán tiêu biểu

Xét tứ giác ABOC có:

  900

B C  (tính chất tiếp tuyến)   1800

B C

  

Mà góc vị trí đối nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn Xét tam giác CIK tam giác BIC ta có

I chung

 

IBC KCI (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung

đó)

Suy tam giác CIK đồng dạng với tam giác BIC

2 . IC IK

IC IB IK IB IC

   

Vì AC // BD nên ABD1800 600 1200 (góc phía)

 1200 900 300

OBD  

 1800 300 300 1200

BOD

    

Áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt suy BAO CAO 300

 900 300 600

BOA

   

Nhận thấy BOA BOD   600 1200 1800

Mà góc vị trí kề suy A, O, D thẳng hàng

Bài 2: Từ điểm M cố định bên ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB đường trịn

a, Chứng minh ta ln có MT2 MA MB tích khơng phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB

b, Khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường trịn?

a, Xét hai tam giác BMT TMA có 

M chung

 

B MTA (cùng chắn cung nhỏ AT)

2 . MT MB

MT MA MB MA MT

   

Vì cát tuyến MAB kẻ tùy ý nên ta ln có MT2 MA MB. khơng phụ thuộc vị trí cát tuyến MAB

b, Gọi bán kính đường trịn R Ta có

 

2

.

2

MT MA MB

MT MB R MB 

 

Thay số ta có

 

 

20 50 50

400 2500 100 21 R R R cm     

Bài 2: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD

đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây DI qua M Chứng minh:

a) KIOD tứ giác nội tiếp

b) KO phân giác góc IKD Giải:

a) Để chứng minh KIOD tứ giác nội tiếp việc góc khó khăn.

Ta phải dựa vào tính chất cát tuyến , tiếp tuyến

Ta có: AIBD tứ giác nội tiếp ABIDM nên ta có: MA.MBMI.MD

Từ suy MO.MKMI.MD hay KIOD tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIODcó IO OD R   OKI OKD 

suy KO phân giác góc IKD

Bài 3: Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Chứng minh

a) CMOD tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD Giải:

a) Vì KB tiếp tuyến nên ta có: KB2 KC.KD KO 2 R2

Mặt khác tam giác KOB vuông B BMKO nên KB2 KM.KO suy ra



KC.KD KM.KO hay CMOD tứ giác nội tiếp

b) CMOD tứ giác nội tiếp nên KMC ODC,OMD OCD    .

Mặt khác ta có: ODC OCD  KMC OMD 

Trường hợp 1:

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A bờ KO (h1)

Hai góc AMC,AMD  có góc phụ với tương ứng KMC,ODC  mà KMC ODC  nên

 

Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B bờ KO (h2) tương tự ta có MB

tia phân giác góc CMD

Suy Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD .

Bài 4: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Vẽ dây AF qua H Chứng minh BF / /CD Giải:

Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh AHK AFB

Ta có

 1 AFB AOB

2 ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB).

Mặt khác KO phân giác góc AOB nên

  1    AOK BOK AOB AFB AOK

2 Vì A,K, B,O,H

cùng nằm đường trịn đường kính KO nên AHKAOK  AFB AHK   BF / /CD Bài 5: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến

KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CIOB

Ta có HI / /BD CHI CDB Mặt khác CAB CDB  chắn cung CB nên suy ra  

CHI CAB hay AHIC tứ giác nội tiếp Do IAH ICH   BAH ICH  Mặt khác ta có A,K, B,O,Hcùng nằm đường trịn đường kínhICH BKH  CI / /KB KO nên  

BAH BKH

Từ suy Mà KBOB CIOB

Nhận xét: Mấu chốt toán nằm vấn đề OBKB.Thay chứng minh CIOB ta

chứng minh CI / /KB

Bài 6: Cho đường tròn (O) dây cung ADI Gọi I điểm đối xứng với A qua D Kẻ

tiếp tuyến IB với đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt IB K.

Gọi C giao điểm thứ hai KD với đường tròn (O) Chứng minh BC / /AI. Giải:

Mặt khác ta có:

  1 đ KBC CAB s CB

2 nên ta chứng minh AIK CAB hay  BIDBCA

Thật theo tính chất ta có: 

CB DB

CA DA mà   

CB DB DA DI

CA DI

Tứ giác ACBD nội tiếp nên BCA BDI  BIDBCA AIK CAB 

Hay AIK KBC  BC / /AI

Bài 7: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây CF qua M Chứng minh

DF / /AB

Giải:

Kẻ OHCD

Ta chứng minh được: CMOD tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên M 1D 1 mà

      0  

1 2

M M 90 ; D DOH 90 M DOH

Mặt khác ta có:

 1  1    CFD COD, DOH COD CFD DOH

2 Từ suy M 2CFD  DF / /AB

Chú ý: DF / /AB ABFD hình thang cân có hai đáy

 

 

AB, DF OMD OMF

Bài 8: Từ điểm K nằm đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Kẻ OH vng góc với CD cắt AB E.

a) CMOE là tứ giác nội tiếp

b) CE, DE tiếp tuyến đường tròn (O)

Giải:

a) Theo tốn 2, ta có CMOD

tứ giác nội tiếp nên CMK ODC OCD  Do góc phụ với chúng nhau: CME COE  .

Suy CMOE tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc).

b) Cũng theo tốn 2, CMOD nội tiếp

Mặt khác CMOE tứ giác nội tiếp nên E,C,M,O, D thuộc đường trịn. Từ dễ chứng minh CE, DE tiếp tuyến đường tròn (O)

Bài 9: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Vẽ đường kính AI Các dây IC,ID cắt KO theo thứ tự G,N Chứng

Ta vẽ hình trường hợp O A nằm khác phía CD Các trường hợp

khác chứng minh tương tự

Để chứng minh OGON, ta chứng minh IOGAON.

Ta có OI OA,IOG  AON , cần chứng minh CIA IAN  , muốn phải có AN / /CI Ta

sẽ chứng minh AND CID  Chú ý đến AI đường kính, ta có ADI 90  0, ta kẻ



AM OKTa có AMND tứ giác nội tiếp, suy AND AMD  (1)

Sử dụng 2, ta có CMOD tứ giác nội tiếp

 1 1

AMD CMD COD

2 (2) Từ (1) và

(2) suy

 1

AND COD

2 Ta lại có

 1 CID COD

2 nên

 1 AND CID

2 .

HS tự giải tiếp

Bài 10: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M trung điểm AB Chứng minh ADC MDB  .

Kẻ OHCD, cắt AB E.

Theo , EC tiếp tuyến đường tròn  O , nên theo toán quen thuộc 3, ta

có ECMD tứ giác nội tiếp, suy EBD ECD  (2).

Từ (1) (2) suy CBD EMD  .

Do hai góc bù với chúng nhau: CAD BMD  CADBMD (g.g) nên  

ADC MDB

Tải thêm tài liệu tại:

https://vndoc.com/ 024 2242 6188 https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9