Hh9 chủ đề 18 đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp ( 1 buổi )

HH9-CHỦ ĐỀ 18 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ( BUỔI ) A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn Định lí Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp gọi tâm đa giác Đường tròn tâm I bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác ABC Đường trịn tâm O bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác Chú ý: • Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ ABC tâm đến đỉnh • Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh • Cho n- giác cạnh a - Chu vi đa giác: 2p na (p nửa chu vi) - Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo  n   180o - Mỗi góc tâm đa giác có số đo 360o n - Bán kính đường trịn ngoại tiếp: Khi a 2R.sin a 180o 2sin n 180o n - Bán kính đường trịn nội tiếp: Khi a 2r.tan R n r a 180o tan n 180o n - Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp: Trang R2  r2  a2 - Diện tích đa giác đều: S  nar Một số hình ảnh đường trịn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường trịn, cạnh đa giác Phương pháp giải + Dựa vào tính chất đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn + Dựa vào định lý Py-ta go, hệ thức lượng tam giác để tính tốn Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi M, N, P trung điểm BC, AB, AC O giao điểm AM, BP, CN Vì ABC tam giác nên OA OB OC hay O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trang Mặt khác ta có OM ON OP hay O cách ba cạnh tam giác Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Xét tam giác vng AMB có 3a a a AB2 AM  MB2  a AM     AM   AM   2 a Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: R OA  AM  3 a Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC là: r OM  AM  Câu Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) Tính độ dài cạnh hình vng theo R Lời giải Vì (O) ngoại tiếp hình vng ABCD nên O giao điểm hai đường chéo AC BD Theo giả thiết ta có OA OB OC OD R Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAB có OA  OB2 AB2  AB2 R  R 2R  AB R Vậy cạnh hình vng có độ dài R Câu Cho tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường trịn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm Tính độ dài BC Lời giải Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với AB, AC, BC Trang Ta có AD AE, BD BF, CE CF nên AD  BF  CE  1  AB  BC  CA   20 10  cm  2 Đặt BC x, AD y ta có x  y 10  1 Vì MN / /BC nên ta có AMN ABC Suy MN chu vi AMN  BC chu vi ABC Mặt khác chu vi tam giác AMN là: AM  AN  MN AD  AE 2AD 2y Khi 2, 2y   xy 24   x 20  x 6 Từ (1) (2) suy x  10  x  24  x  10x  24 0    x 4 Vậy độ dài cạnh BC là: cm cm Câu Cho tam giác ABC có cạnh 18cm Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác cắt cạnh AB AC M N Tính diện tích tam giác AMN biết MN = 8cm Lời giải Gọi (O;r) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC E, F điểm tiếp xúc đường tròn với cạnh AC, AB Ta có AE AF, NE NI, MF MI Vì tam giác ABC nên bán kính đường tròn nội tiếp 1 AB tam giác r  BE  3  cm  3 Xét OEN OIN có NE NI r; NE NI (chứng minh trên); NO cạnh chung Suy OEN OIN  c  c  c  Chứng minh tương tự ta có OMI OMF Suy SOENMF SOENI  SOIMF 2SONI  2SOMI 2SOMN 2 OI.MN 3 3.8 24  cm  1 Diện tích tứ giác AEOF SAEOF 2SAEO AE.OE  AC.OE  18.3 27  cm  2 Vậy SAMN SAEOF  SOENMF 27  24 3  cm  Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), biết AB 8cm, AC 18cm, đường cao AH 6cm (H nằm bên ngồi cạnh BC) Tính bán kính đường trịn Lời giải Trang Kẻ đường kính AD Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên   ADC  ABC 180   Mặt khác ABH  ABC 180   Do ABH ADC   Xét hai tam giác vuông ABH ADC có ABH (chứng ADC minh trên) Suy ABH ADC  g  g   AH AB     R 12  cm  AC AD 18 2R Vậy R 12  cm  Dạng 2: Tính độ dài dây căng cung Phương pháp giải - Nếu cung cho căng dây cạnh đa giác n cạnh ta tính độ dài cạnh theo cơng thức: a 2R.sin 180o n - Áp dụng định lí Py-ta-go hệ thức cạnh góc tam giác vng để tính dây căng cung 90° Câu 1: Cho đường tròn (O;R) Từ điểm A đường tròn vẽ cung AB AC cho  30o ,sñAC  90 o (điểm A nằm cung nhỏ BC) Tính cạnh ABC diện tích sđAB Hướng dẫn giải  o   sđAC  90 45o Ta có B 2  o C  sñAB  30 15o 2  Suy sñBAC 30  90  120 Do BC cạnh tam giác nội tiếp Vậy BC R  90o nên AC cạnh hình vng nội tiếp Vì sđAC Vậy AC R Trang Vẽ đường cao AH ta AH AC.sin C R sin15o Xét tam giác vng HAB có: AB  AH AH R sin15o 2R sin15o sin 45o 1 Diện tích ABC S  AH.BC  R sin15o.R R sin15o 2 Câu 2: Cho đường tròn (O;R) Cho dây BC R Lấy A thuộc cung nhỏ BC cho BA R Vẽ AH  BC Tính AH; AC Hướng dẫn giải R Vẽ OI  BC, ta có BI CI  Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: OI OB2  BI R  3R R  4 R  Suy OI  Suy OI  BO Vậy IBO 30o 2  Ta có: BO  OA 2R AB2 nên OAB vng, BOA 90   Mà OA OB nên OAB vng cân, OAB ABO 45    ABC ABO  CBO 45  30 15  Xét ABH có AH AB.sin ABC R sin15o Trang 1  Mà ACB  AOB hệ góc nội tiếp  45o  Suy AHC vng cân, AH = HC Áp dụng định lí Py-ta-go AHC, ta có: AC2 AH  HC  AC AH R sin15o 2R.sin15o Câu 3: Cho đường tròn (O;R), S điểm cho OS 2R Vẽ cát tuyến SCO đến đường tròn (o) Lấy C, D thuộc đường tròn (O) Biết CD R Tính SC SD theo R Lời giải Vẽ OH  CD, H  CD  Ta có: CD R  CD cạnh tam giác nội tiếp (O; R)  COD 120  Do đó: HOC 60 Ta có HOC nửa tam giác nên OH  OC R R (vì OH  CD)  , DH HC  2  90o nên HOS có H OS2 OH  SH  SH OS2  OH  SH 4R   R 15R 15R   SH  4  51 Ta có SC SH  HC  15R  R  R; 2 SD SH  HD    1 15R R   R 2  120 Điểm A di động cung lớn Câu 4: Cho đường tròn (O; R), BC dây cung cố định, sđBC BC Tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC Lời giải Hạ OM  BC, AH  BC  H, M  BC   120o  BOC   Ta có sđBC 120 o  MOC 60 o Xét tam giác OMC vng M có R  OM OC.cos MOC R.cos 60 o  OM  BC 2MC 2 OC  OM  BC R Xét ba điểm A, O, M ta có: AM OA  OM Mà AH AM Do vậy: AH R  R 3R  nên 2 Trang SABC 3R (không đổi  AH.BC  Dấu " = " xảy  H M O nằm A M  A điểm cung lớn BC Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC 3R Trang