LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A/ LÝ THUYẾT Gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng OH O Δ H Đường thẳng cắt đường tròn hai điểm phân biệt: đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường tròn (O) OH < R Đường thẳng đường trịn (O) khơng giao Đường thẳng đường tròn (O) khơng có điểm chung OH R Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đường thẳng có điểm chung H với đường trịn (O) OH = R A O H M Δ H O B Tiếp tuyến đường tròn tiếp tuyến đường tròn (O) điểm H ∆ tiếp xúc với đường tròn H Điểm H gọi tiếp điểm tiếp tuyến với đường tròn (O) Ta có OH R * Nếu tiếp tuyến (O) vng góc với bán kính qua tiếp điểm * Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm + Điểm cách hai tiếp điểm + Tia kẻ từ điểm đến tâm O tia phân giác góc tạo tiếp tuyến LUYỆN THI TỐN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà +Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm + Tia kẻ từ tâm qua điểm vng góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm trung điểm đoạn thẳng Đường trịn nội tiếp tam giác + đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác + có tâm giao điểm đường phân giác tam giác Đường tròn bàng tiếp tam giác + đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác phần kéo dài hai cạnh + Đường tròn bàng tiếp tam giác góc A có tâm giao điểm hai đường phân giác ngồi góc B góc C + Mỗi tam giác có đường trịn bàng tiếp A P M D F B O O B N E Đường tròn nội tiếp ΔABC C A C Đường tròn bàng tiếp góc A B/ BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN I/ Phương pháp: Xét (O, R) đường thẳng d * Bài toán khoảng cách OH từ tâm O tới đường thẳng d d cắt (O) hai điểm 2 2 Xét OH AB OH R,HA HB R OH Theo định lý Pitago ta có: OH MO MH 2 Mặt khác ta có: OH R AH 2 2 2 2 2 (MH AH) MH AH MO R => MO MH R AH MH AH MO R O A M CÁC KẾT QUẢ THU ĐƯỢC O H B M A H B LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà 2 + Nếu M nằm đoạn AB MA.MB MO R 2 + Nếu M nằm đoạn AB MA.MB R MO + Mối liên hệ khoảng cách dây cung: R OH2 AB2 * Để chứng minh đường thẳng d tiếp tuyến (tiếp xúc) với đường tròn (O, R): + Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d R Hay nói cách khác ta vẽ OH d, chứng minh OH = R + Cách 2: Nếu biết d (O) có giao điểm A, ta cần chứng minh OA d + Cách 3: Sử dụng phương pháp trùng khít (Cách đề cập phần góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây) II/ BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho hình thang vng ABCD (A B 90 ) có O trung điểm AB góc COD 90 Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB A Giải C 0 Kéo dài OC cắt BD E COD 90 suy EOD 90 H Vì COD nên xét ∆vng COD ∆vng EOD ta có OD O chung OC OA 1 OC OD OD OB COD EOD => DC DE E => ∆ ECD D B cân D Kẻ OH CD OBD OHD OH OB mà OB OA OH OB OA hay A,H, B thuộc đường trịn (O) Do CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N hai điểm cạnh AB, AD cho chu vi tam giác AMN 2a Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Giải Trên tia đối BA ta lấy điểm E cho BE ND Ta có BCE DCN CN CE M A B H N Theo giả thiết ta có: MN AM AN AB AD AM MB AN DN AM AN MB BE D C E LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Suy MN MB BE ME Từ ta suy MNC MEC CMN CMB Kẻ CH MN CH CB CD a Vậy D,H, B thuộc đường tròn tâm C bán kính CB a suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm C bán kính a Ví dụ Cho tam giác ABC cân A đường cao BH Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ Bx BA cắt đường tròn tâm B bán kính BH D Chứng minh CD tiếp tuyến (B) Giải Vì tam giác ABC cân A nên ta có: A C B H Vì Bx BA B2 90 Mặt khác ta có 900 B B B 1 α B Hai tam giác BHC BDC có BC chung, B1 B2 , BH BD R C D x suy BHC BDC(c.g.c) suy BHC BDC 90 Nói cách khác CD tiếp tuyến đường trịn (B) Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A (AB AC) đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với B qua H Đường trịn tâm O đường kính EC cắt AC K Chứng minh HK tiếp tuyến đường trịn (O) Giải Vì tam giác EKC có cạnh EC đường kính (O) nên A EKC 900 Kẻ I HI AC BA / /HI / /EK suy AI IK từ ta có tam giác AHK cân H B K H E Do K1 B (cùng phụ với góc hai góc BAH,IHK ) Mặt khác ta có: K C3 (do tam giác KOC cân O ) 0 Mà B C3 90 K1 K 90 suy HKO 90 hay HK tiếp tuyến (O) O C LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH kẻ tiếp tuyến BD,CE E với (A) ( D,E tiếp A điểm khác H ) Chứng minh DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC Giải Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhu có: Suy D DAB HAB,CAH CAE DAB CAE HAB CAH BAC 90 B H O C hay DAB CAE HAB CAH 180 D,A,E thẳng hàng Gọi O trung điểm BC O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác AD AE nên OA đường trung bình hình thang vng BDEC Suy OA DE A Nói cách khác DE tiếp tuyến đường trịn (O) Đường kính BC III/ LUYỆN TẬP Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) C cắt AB D.Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc ODC, đường cắt CD M Chứng minh đường thẳng d qua M song song với AB tiếp xúc với (O) C thay đổi Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E F BF CE cắt I Gọi M trung điểm AI Chứng minh: MF tiếp tuyến (O) Bài 3: Cho đường trịn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) cho AB = R a Chứng minh tam giác ABC vng tính độ dài BC theo R b Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Trên (O) lấy điểm D cho MD = MA (D khác A) Chứng minh MD tiếp tuyến (O) Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB = Đường kính AD cắt BC H Đường thẳng BO cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm E a Chứng minh AH vng góc với BC, tính độ dài AH bán kính đường tròn (O) b Chứng minh EC tiếp tuyến (O) tứ giác ABCE hình thoi Bài 5: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A B) Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O I trung điểm AD a Chứng minh BC.BD = 4R2 b Chứng minh IC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt nhai H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho góc COD 90^0 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O) Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một nửa đường thẳng qua A cắt đường kính CD vng góc với AB M cắt (O) N a Chứng minh AM.AN = AC2 b Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN tiếp xúc với AC C