TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Trường THCS Hồng Văn Thụ Tuần 11 (15/11/2021 đến 19/11/2021) CHỦ ĐỀ 11 ĐƯỜNG TRỊN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÂY, ĐƯỜNG KÍNH, KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN – TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG Khái niệm đường tròn - Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng không đổi R – ký hiệu (O; R) hay (O) - Dây cung (hay dây) đoạn thẳng nối hai điểm đường trịn Ví dụ: AC dây (O) - Bán kính đoạn thẳng nối tâm đến điểm đường A trịn Ví dụ: OA, OB, OC bán kính (O) - Đường kính dây qua tâm Ví dụ: AB đường kính m (O) C R B O CHÚ Ý: + A (O; R ) OA = R + C (O; R) OC > R + B (O; R) OB < R Sự xác định đường tròn - Có vơ số đường trịn qua điểm A, B cho trước Tâm chúng thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB d O1 O A - Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn - Đường tròn qua ba điểm A, B, C gọi đường tròn ngoại tiếp ABC Khi đó, ABC gọi tam giác nội tiếp đường tròn - Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC giao điểm ba đường trung trực tam giác Như vậy: Trong tập, ta nói ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) ta hiểu ABC nội tiếp (O) hay đường trịn (O) ngoại tiếp ABC B A d1 d2 O B C - Khơng vẽ đường trịn qua ba điểm thẳng hàng TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Trường THCS Hoàng Văn Thụ CHÚ Ý: Ta có : ABC vng A ABC nội tiếp đường trịn đường kính cạnh huyền BC Tâm O trung điểm cạnh huyền BC A B Ta có : ABC nội tiếp (O ; R) BC đường kính ABC vng A Tính đối xứng a) Tâm đối xứng : Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn b) Trục đối xứng : Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường tròn C O A O M M' B II LIÊN HỆ ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN: So sánh độ dài đường kính dây cung Định lí: Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính (dây qua tâm) Xét (O): + AB MN hai dây + Dây AB qua tâm nên AB đường kính => AB > MN N M A R R O B 2R Quan hệ vuông góc đường kính dây cung Định lí: Trong đường trịn, đường kính (hoặc phần đường kính) vng góc với dây qua trung điểm dây * Cách trình bày: Xét (O) có: OH AB H => H trung điểm AB (liên hệ đường kính – dây cung) Lưu ý: Ở OH phần đường kính CD Thực tế rằng, phần lớn tập ta áp dụng định lí với phần đường kính TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Định lí: Trong đường trịn, đường kính (hoặc phần đường kính) qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Trường THCS Hồng Văn Thụ * Cách trình bày: Xét (O) có: H trung điểm dây AB => OH AB H (liên hệ đường kính – dây cung) Lưu ý: Ở OH phần đường kính CD Thực tế rằng, phần lớn tập ta áp dụng định lí với phần đường kính III LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM: Định lí: Trong đường trịn : + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm Ta có : I AB CD OI OK (liên hệ dâyvà khoảng cách đến tâm) Định lí: Trong hai dây đường trịn : + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn Ta có : C AB MN OK OH D M A K B O N H B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh bốn điểm thuộc đường tròn Vận dụng định lý tam giác vuông nội tiếp đường trịn có đường kính cạnh huyền Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Tính bán kính đường trịn 12cm Ta có : ABC vuông B (ABCD hcn) A B ABC nội tiếp đường trịn đường kính cạnh huyền AC 5cm Tâm O trung điểm cạnh huyền AC (1) Ta có : ADC vng D (ABCD hcn) D C ABC nội tiếp đường trịn đường kính cạnh huyền AC Tâm O trung điểm cạnh huyền AC (2) Từ (1) (2) , suy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn đường kính AC, tâm trung điểm AC Áp dụng định lý Pitago vào ABC vng B, ta có : AC AB BC AC 12 52 169 AC 169 13 TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Trường THCS Hồng Văn Thụ Ta có bán kính đường tròn : R AC 13 6, (cm) 2 Bài Cho ABC điểm M thuộc BC Kẻ MD AB D, ME AC E Chứng minh bốn điểm A, D, M, E thuộc đường tròn, xác định tâm O đường trịn Bài Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn b) Chứng minh bốn điểm A, H, D, E thuộc đường tròn c) Chứng minh H trực tâm ABC, từ suy AH BC Dạng 2: Chứng minh tốn có liên quan góc vng vng góc Vận dụng định lý tam giác nội tiếp đường trịn có có cạnh đường kính tam giác tam giác vng Ví dụ Cho (O ; R) có hai đường kính AC DB khơng vng góc với Chứng minh tứ giác ABCD hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật biết 3AB = 4BC độ dài đường kính (O) 10cm? Ta có: + ABC nội tiếp (O ; R) + AC đường kính (O; R) 900 ABC vuông B B Xét tứ giác ABCD, có: O trung điểm AC (AC đường kính) O trung điểm DB (DB đường kính) Tứ giác ABCD hình bình hành (hai đường chéo cắt trung điểm đường) 900 (cmt) Mà B Tứ giác ABCD hình chữ nhật A 3AB = 4BC B O D AC = 10cm C Ta có : AB BC AB BC Áp dụng định lý Pitago vào ABC vng B, ta có : AC AB BC 2 16 4 102 BC BC BC BC 25 100 BC 25 BC 100 : 36 BC (cm) 4 Ta có AB BC AB (6) (cm) 3 Ta có S ABCD AB.BC 8.6 48 (cm ) Bài Cho đường trịn (O) có đường kính MN Lấy hai điểm A, B thuộc (O) Chứng minh AMN BMN vuông Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường trịn (O) đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E a) Chứng minh BE AC CD AB TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Trường THCS Hồng Văn Thụ b) Gọi H giao điểm BE CD Chứng minh AH BC c) Chứng minh bốn điểm D, A, E, H thuộc đường tròn Xác định tâm I vẽ đường tròn d) Chứng minh OE EI Dạng 3: Tính tốn độ dài dây cung, bán kính khoảng cách từ tâm đến dây cung đường tròn Vận dụng định lý liên hệ đường kính dây cung Ví dụ Cho (O ; R) dây AB có trung điểm M Tính độ dài dây AB biết bán kính OA = 13cm OM = 5cm? Ta có : M trung điểm AB OM AB (liên hệ đường kính dây) Áp dụng định lý Pitago vào AOM vuông M, ta có : OA2 AM OM AM OA2 OM 132 52 144 AM 144 12 Ta có : AB = 2.AM (M trung điểm AB) AB = 2.12 = 24 (cm) Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC = 2R Từ B vẽ dây cung BA = R a) Chứng minh ∆ABC vng b) Tính C tính AC theo R Dạng 4: Các toán liên quan chứng minh vng góc trung điểm Vận dụng định lý liên hệ đường kính dây cung Ví dụ Cho (O ; R) hai dây AB CD Các tia AB CD kéo dài cắt E Kẻ OH AB OK CD a Chứng minh: HA = KC Ta có : OH AB (gt) H trung điểm AB (liên hệ đường kính dây) HA AB (1) Ta có : OK CD (gt) K trung điểm CD (liên hệ đường kính dây) KC CD (2) A B E O D Mà AB = CD (gt) (3) Từ (1), (2), (3) Suy : HA = KC b Chứng minh : EA = EC Ta có : AB = CD (gt) H C K OH = OK (liên hệ dây khoảng cách đến tâm) Xét OHE & OKE , CÓ : K 900 H OH = OK (cmt) OE chung TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Mà Trường THCS Hoàng Văn Thụ OHE OKE (ch-cgv) HE = KE HA = KC HE + HA = KE + KC AE = EC C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ở NHÀ Bài Cho ABC nhọn (O) đường kính BC cắt AB, AC D, E BE cắt CD H a) Chứng minh : BE AC AH BC F b) Chứng minh : AD.AB = AE.AC ADC AEB c) Chứng minh : AH AF BH BE AB Bài ABC nhọn có ba đường cao BD, EC a) Chứng minh : B, E, D, C thuộc đường tròn Xác dịnh tâm O b) So sánh DE BC c) Kẻ BM ED M CN ED N Chứng minh EM = DN Bài Cho (O) có bán kính R = 25cm, dây AB = 40cm Trên cung lớn AB vẽ dây CD song song với dây AB Gọi M, N trung điểm AB CD a) Chứng mnh : M, O, N thẳng hàng b) Cho biết khoảng cách từ dây CD đến dây AB 22cm Tính độ dài dây CD Bài (BT 15/SGK trang 106) Cho hình 70 hai đường trịn có tâm O Cho biết AB > CD Hãy so sánh độ dài : a) OH OK b) ME MF c) MH MK Bài Cho ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF cắt E H A O h.70 B K M C D F H a) Chứng minh : E, H, C, D thuộc đường tròn Xác định tâm I b) Chứng minh : B, E, F, C thuộc đường tròn Xác định tâm O ODK c) OI cắt AC K Chứng minh : OAK Bài Trên (O ; R) lấy hai dây cung liên tiếp AB R BC R a) Kẻ OM AB Tính OM b) Gọi N trung điểm BC Tính ON Bài Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường cao BE, CF cắt H Kẻ đường kính AM a) Chứng minh BH // MC CH // MB b) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành c) Gọi I giao điểm HM BC Chứng minh OI BC Bài Cho ABC nhọn nội tiếp (O) có hai đường cao BM, CN cắt H, Vẽ đường kính AD (O) a) Chứng minh B, M, N, C thuộc đường tròn xác định tâm I b) Chứng minh H, I, D thẳng hàng c) Gọi G trọng tâm ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Trường THCS Hồng Văn Thụ D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Đường trịn tâm O bán kính R tập hợp điểm : A có khoảng cách đến O R B có khoảng cách đến O nhỏ R C có khoảng cách đến O lớn R D có khoảng cách đến O nhỏ R Câu Khẳng định sau ĐÚNG nói trục đối xứng đường trịn : A Đường trịn khơng có trục đối xứng B Đường trịn có trục đối xứng đường kính C Đường trịn có hai trục đối xứng vng góc với D Đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính Câu Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác : A Giao điểm ba đường cao tam giác B Giao điểm ba đường trung tuyến tam giác C Giao điểm ba đường trung trực tam giác D Giao điểm ba đường phân giác tam giác Câu Tâm đường trịn ngoại tiếp ABC vuông A : A Chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC B Trung điểm đường cao ứng với cạnh huyền BC C Trung điểm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC D Trung điểm cạnh huyền BC Câu Cho ABC nhọn có hai đường cao BE CD cắt H, ta có câu ĐÚNG : A Bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn B Bốn điểm A, B, C, E thuộc đường tròn C Bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn D Bốn điểm B, C, D, H thuộc đường tròn Câu Cho đường tròn tâm (O ; R) có dây AB = 16cm Biết khoảng cách từ O đến AB OH = 6cm Tính bán kính R đường trịn (O) A R = 7cm B R = 8cm C R = 10cm D R = 12 cm O R A Câu Cho đường trịn tâm O , bán kính R = 5cm , có dây AB = 8cm M trung điểm AB Tính khoảng cách từ O đến AB ? A 3cm B 4cm C 2cm D cm H 16cm 5cm A 6cm B O M 8cm B TỔ BỘ MƠN TỐN – TIN Trường THCS Hồng Văn Thụ Câu Cho đường trịn (O) có hai dây AB, CD khơng qua tâm Biết khoảng cách từ tâm đến hai dây Kết luận sau A AB > CD B AB = CD C AB < CD D Khơng thể kết ln Câu Cho đường trịn (O) có bán kính OA = 4cm Dây BC đường trịn (O) vng góc với OA trung điểm H OA Tính BC A BC cm B BC cm C BC 3 cm D BC cm B 4cm O H 4cm A C Câu 10 Chọn KHẲNG ĐỊNH SAI khẳng định sau Trong hai dây đường trịn, ta có : A Dây lớn dây xa tâm B Dây nhỏ xa tâm C Dây gần tâm dây lớn D Hai dây chúng cách tâm ĐÁP ÁN TRẮC NGHIÊM 1A 2D 3C 4D 5C 6C 7A 8B 9B 10A