CHỦ ĐỀ HÌNH CHỮ NHẬT TÍNH CHẤT CỦA CÁC ĐIỂM CÁCH ĐỀU MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC A LÝ THUYẾT Định nghĩa Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng (h.5.1) Hình 5.1 Hình 5.2 Tính chất Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường (h.5.2) Dấu hiệu nhận biết • Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật; • Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật; • Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật; • Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác (h.5.3) ∆ABC: MB = MC Hình 5.3 µ = 90o ⇔ AM = BC A Tính chất điểm cách đường thẳng cho trước (h.5.4) Tập hợp điểm cách đường thẳng cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h B BÀI TẬP VẬN DỤNG Hình 5.4 I MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm M Trên tia AM lấy điểm N cho M trung điểm AN Gọi E F hình chiếu N đường thẳng BC CD Chứng minh ba điểm M, E, F thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Xét ∆CAN, đường thẳng EF qua trung điểm CN, muốn cho EF qua trung điểm M AN ta cần chứng minh EF // AC * Trình bày lời giải Tứ giác ENFC có ba góc vng nên hình chữ nhật Gọi O giao điểm AC BD K giao điểm EF CN Theo tính chất hình chữ nhật ta có: OA = OB = OC = OD; KC = KN = KE = FF Xét ∆CAN có OM đường trung bình nên OM // CN, đo BD // CN ∆OCD, ∆KCF cân, suy Mặt khác, ¶ =C ¶ D ¶ =C µ, C ¶ = Fµ D 1 2 (cặp góc đồng vị) nên µ = Fµ C Suy AC // EF Xét ∆CAN có đường thẳng EF qua trung điểm K CN EF // AC nên EF qua trung điểm AN, tức qua M Vậy ba điểm M, E, F thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Từ điểm đáy BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AC, AB M N Gọi H K trung điểm BC MN Chứng minh tứ giác AKDH hình chữ nhật Giải * Tìm cách giải o µ µ Dễ thấy tứ giác AKDH có hai góc vng H = D = 90 nên cần chứng minh tứ giác có góc vng thành hình chữ nhật * Trình bày lời giải ∆ABC cân A, AH đường trung tuyến nên đường cao, đường phân giác Do ¶ = 90o ¶ =A ¶ H A Ta có AH // DN (vì vng góc với BC) =A ả ả ả N (cp gúc đồng vị); M1 = A (cặp góc so le trong) Do ú =M ả ả ả N (vì A1 = A ) o µ Vậy ∆AMN cân A mà AK đường trung tuyến nên AK đường cao, K = 90 o µ µ µ Tứ giác AKDH có K = H = D = 90 nên hình chữ nhật Ví dụ Cho tam giác ABC vng cân A Trên cạnh huyền BC lấy điểm D Vẽ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC Biết AB = a, tính giá trị lớn tích DH DK Giải * Tìm cách giải Ta thấy DH + DK = AB (không đổi) Dựa vào đẳng thức ta tìm mối quan hệ tích DH DK với tổng DH + DK Mối quan hệ biểu diễn sau: 2 2 2 Ta có (x – y) ≥ ⇔ x + y ≥ 2xy ⇔ x + y + 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y) ≥ 4xy x + y) ( ⇔ xy ≤ * Trình bày lời giải Tứ giác AHDK có ba góc vng nên hình chữ nhật o µ µ o Tam giác HBD có H = 90 ; B = 45 nên tam giác vuông cân Ta đặt DH = x, DK = y HB = x, AH = y x + y = a Ta có x + y) ( xy ≤ a2 = (không đổi) Dấu "=" xảy ⇔ x = y ⇔ D trung điểm BC a2 Vậy giá trị lớn tích DH DK D trung điểm BC o o µ µ · Ví dụ Cho hình thang ABCD, A = D = 90 Trên cạnh AD có điểm H mà AH < DH BHC = 90 Chứng minh o · cạnh AD điểm K cho BKC = 90 Giải * Tìm cách giải o · Giả sử chứng minh BKC = 90 ∆BHC ∆ BKC hai tam giác vuông chung cạnh huyền BC nên hai đường trung tuyến ứng với BC phải Do cần chứng minh hai đường trung tuyến * Trình bày lời giải Gọi M N trung điểm AD BC Khi MN đường trung bình hình thang ABCD, suy MN // AB ⇒ MN ⊥ AD (vì AB ⊥ AD) Trên cạnh AD lấy điểm K cho DK = AH ⇒ MK = MH ∆NHK có NM vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên tam giác cân ⇒ KN = HN HN = BC Xét ∆HBC vuông H có (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) KN = BC Suy (vì KN = HN) o · Do ∆KBC vng K ⇒ BKC = 90 Ví dụ Cho đường thẳng xy Một điểm A cố định nằm xy điểm B di động xy Gọi O trung điểm AB Hỏi điểm O di động đường nào? Giải Vẽ AH ⊥ xy, OK ⊥ xy Ta có AH đoạn thẳng cố định Xét ∆ABH có OK // AH OA = OB nên KH = KB Vậy OK đường trung bình suy OK = AH (khơng đổi) AH Điểm O cách đường thẳng xy cho trước khoảng không đổi nên điểm O di động đường thẳng AH a // xy cách xy (đường thẳng a điểm A nằm nửa mặt phẳng bờ xy) II LUYỆN TẬP • Tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật 5.1 Cho tam giác ABC vng cân A, đường cao AD Gọi M điểm cạnh BC Vẽ ME ⊥ AB, MF ⊥ AC Tính số đo góc tam giác DEF 5.2 Cho hình bình hành ABCD Biết AD = 1· · AC BAC = DAC 2 Chứng minh hình bình hành ABCD hình chữ nhật 5.3 Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = Điểm M nằm hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ tổng S = MA + 2 MB + MC + MD 5.4 Cho tam giác ABC vuông A Gọi O điểm tam giác Vẽ OD ⊥ AB, OE ⊥ BC OF ⊥ CA Tìm giá 2 trị nhỏ tổng: S = OD + OE + OF 5.5 Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d Trên cạnh AB, BC, CD DA lấy điểm M, N, P, Q Tính 2 2 giá trị nhỏ tổng: S = MN + NP + PQ + QM 5.6 Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = CE Tìm giá trị nhỏ độ dài DE • Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông 5.7 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh huyền BC lấy điểm M Vẽ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC AH ⊥ BC Tính số đo góc DHE 5.8 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường trung tuyến AD Vẽ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC Gọi M N trung điểm HB HC a) Chứng minh EM // FN // AD; b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện ba đường thẳng EM, FN, AD ba đường thẳng song song cách 5.9 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = AB Gọi M trung điểm BD Chứng minh tia HM tia phân giác góc AHC 5.10 Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 15, BC = Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H Tính giá trị nhỏ chu vi tứ giác EFGH • Đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 5.11 o Cho góc xOy có số đo 30 Điểm A cố định tia Ox cho OA = 2cm Lấy điểm B tia Oy Trên tia đối tia BA lấy điểm C cho BC = 2BA Hỏi điểm B di động tia Oy điểm C di động đường nào? 5.12 o Cho góc xOy có số đo 45 Điểm A cố định tia Ox cho OA = cm Lấy điểm B tia Oy Gọi G trọng tâm tam giác OAB Hỏi điểm B di động tia Oy điểm G di động đường nào? 5.13 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M N cho AM = CN Gọi O trung điểm MN Hỏi điểm O di động đường nào? 5.14 Bên hình chữ nhật kích thước × cho 10 điểm Chứng minh tồn hai điểm số 10 điểm có khoảng cách nhỏ 2,3 5.15 Bên hình chữ nhật kích thước × cho điểm Chứng minh tồn hai số điểm có khoảng cách nhỏ 2,3 ... BAC = DAC 2 Chứng minh hình bình hành ABCD hình chữ nhật 5. 3 Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = Điểm M nằm hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ tổng S = MA + 2 MB + MC + MD 5. 4 Cho tam giác ABC vuông... góc AHC 5. 10 Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 15, BC = Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H Tính giá trị nhỏ chu vi tứ giác EFGH • Đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 5. 11 o Cho... trung điểm MN Hỏi điểm O di động đường nào? 5. 14 Bên hình chữ nhật kích thước × cho 10 điểm Chứng minh tồn hai điểm số 10 điểm có khoảng cách nhỏ 2,3 5. 15 Bên hình chữ nhật kích thước × cho điểm Chứng