chương 5b đường tròn tiếp tuyến

– Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ 1 đường tròn Giao của bađường trung trực.. – Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm đối xứng là tâm của đường tròn – Đường

TUYỂN TẬP

13 CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 MỚI

3 CHƯƠNG TRÌNH

CHƯƠNG 5B ĐƯỜNG TRÒN – TIẾP

TUYẾN Biên soạn : Thầy giáo Hồ

KH: O; R

–

R O

A

B

M

Ư

– Điểm M nằm trên đường tròn thì OM  R

– Điểm A nằm bên trong đường tròn OA  R

– Điểm B nằm bên ngoài đường tròn OB  R

2, CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.

– Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ 1 đường tròn ( Giao của bađường trung trực)

– Đường tròn là hình có tâm đối xứng ( Tâm đối xứng là tâm của đường tròn)

– Đường tròn là hình có trục đối xứng ( Trục đối xứng là đường kính bất kì)

Chú ý:

– Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền

C O

B

3, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho HCN ABCD

có AB  12cm, BC  5cm Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc mộtđường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

Bài 2: Cho HCN ABCD

có AB  8cm, BC  15cm Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc mộtđường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

4,8cm 6cm

8cm

D A

Bài 4 Cho ABCvuông tại A có AB7,5cm,đường cao AH =4,5cm Tính bán kính đường tròn ngoạitiếp ABC

E D

C

O B

Bài 9, Cho ABCvuông tại A, biết AB6cm AC, 8 cm Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt BC tại H

a/ Tính AH CH,

Bài 10 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn (I) có đường kính HB cắt cạnh AB tại D Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E

b) Chứng minh AD.AB=AE.AC

Bài 11 Cho nửa đường tròn O R;  đường kính BC A là một điểm thay đổi trên đường

DK lần lượt vuông góc với AB và AC

D

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có OA = OB = OC = OD

Bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O nên bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn tâm

C D

R   cm

Bài 3.

4,8cm 6cm

Mà ABCD là hình thang cân nên tam giác ABD vuông tại B

Gọi I là trung điểm của AD.

Xét tam giác ACD vuông tại C

AD I

 

 

  (1)

a) Do BC vuông góc với OA tại trung điểm OA nên BC là trung trực của OA

b) Gọi M là trung điểm của OA

M

O

Xét tam giác ABH có

A

C

O B

BC O

b) Tam giác ABC có đường cao BE và CD cắt nhau tại H

 AH BC

H B

a) H thuộc (O; OB), AB là đường kính (O)

( )5

Xét tam giác OAD và tam giác ODH có:

Từ (1) và (2) suy ra: AD.AB = AE.AC

c) Tam giác BDH vuông tại D có BI = IH

 sinHBD DH DK sinDCK

 CXED nội tiếp

 ECX EDBADBACB

 BCX BCE ECX BCE ACB ACE90

Vì CE // AB, ABAC ACCE

Mà

452

1, ĐỊNH LÍ.

– Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

– Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.– Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây ( Dây không đi qua tâm) thì

vuông góc với dây ấy

b) Tính bán kính (O)

nằm giữa A và O, K nằm giữa B và O) Các đường thẳng qua H và K song song với nhau cắt nửađường

tròn lần lượt tại P và Q Chứng minh PH

 PQ

và QK  PQ

Bài 5: Cho ABC , đường cao BH và CK.

a, Chứng minh B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh HK  BC

Bài 6: Tứ giác ABCD có ^B= ^ D=900

a, Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b, So sánh AC và BD Nếu AC  BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 7: Cho nửa đường tròn O , đường kính AB và dây EF không cắt đường kính Gọi I và K lần lượt là

chân đường vuông góc kẻ từ A và B xuống EF Chứng minh IE  KF

HD:Kẻ OH  EF

Bài 8: Cho (O) đường kính AB  2R vẽ cung tròn tâm D bán kính R cắt (O) tại C và D

a) Tứ giác OBDC là hình gì ?

b) Tính các góc CBD CBO ,

c) Chứng minh tam giác ABC đều

Bài 9: Cho  đường kính AB, dây CD cắt AB tại I Gọi H, K lần lượt là

chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Chứng minh CH = DK

Bài 10: Cho đường tròn (O) , hai dây AB và CD song song với nhau ( O nằm trong phần mặt phẳng của hai dây) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB

tại H với CD tại K Biết BH = OK

a, Chứng minh OH = DK

b, Tính BD theo R

HB HC  BC cm

Tam giác ABH vuông tại H có AB2 AH2 BH2

 AH2 AB2 BH2  AH 8(cm)

25( )4

OB R  AC

B N

M

H

O A

C

Trên hình 25 kẻ OI CD thì OI // CM // DN (vì cùng vuông góc với CD) (1)

Do OI vuông góc với dây CD nên CI = ID (2)

Từ (1) và (2) suy ra CM, IO, DN là ba đường thẳng song song cách đều

Do đó: MO = ON (3)

Lại có: AO = OB (vì là bán kính của nửa đường tròn tâm O) (4)

Trừ (4) cho (3) theo vế ta được AM = NB.

Bài 4 Tương tự bài 3

b) Ta có HK là dây cung , BC là đường kính

=> HK < BC

Bài 6:

a) Tứ giác ABCD có B D 90 B D 90 90 180

Mà đây là hai góc đối nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC

Bài 7 Áp dụng đường kính dây cung và đường trung bình

Bài 8 Học sinh tự giải

Bài 9:

Ta có: BOD180 (HOB KOD )

Bài 11:

M

O A

B D

C

a) Gọi O là trung điểm của AB

b) CD < AB (vì dây cung nhỏ hơn đường kính)

Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chú ý rằng OA = OB ta được 2MO = MA + MB

MA MB

MO 

B D

Vẽ đường kính AD của đường tròn (O).

Ta có: ABDACD90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hình bình hành BHCD có K là trung điểm của BC.

Kết hợp với AC = BD suy ra EA = ED.

Vậy CB // AD.

3 Từ AD // CB và AC = BD

BÀI 3 LIÊN HỆ GIỬA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐÔI CỦA ĐƯỜNG THẮNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

1, LÍ THUYẾT.

 Trong một đường tròn:

 Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

 Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

 Trong hai dây của một đường tròn:

 Dây nào lớn hớn thì gần tâm hơn

Chú ý:

 Dây nào gần tâm hơn thì lớn hớn

 Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

2, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẢ̉NG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

 Đường thẳng và đường tròn cắt nhau:

Khi đó OH <R và HA=HB =√R2−O H2

 Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:

 Đường thẳng yà đường tròn không giao nhau:

Bài 1: Cho (O) hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn

a, Chứng minh IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi dây AB và CD

Bài 2: Cho (O), các bán kính OA và OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM =BN Gọi C là giao điểm của AM và BN.

a, Chứng minh OC là tia phân giác ^AOB

Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy là $ 12 cm $ Vẽ đường tròn (A ;13 cm).

a, Chứng minh (A) có hai giao điểm với xy

b, Gọi hai giao điểm là B và C Tính BC

Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD có ´A= ´D=90 ∘ , AB=4 cm, BC=13 cm , CD=9 cm

a, Tính AD

b, Chứng minh AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

Bài 7: Cho (O ;OA), Dây CD là trung trực của OA

Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d

của đường tròn Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc từ A và B đến d Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB

Bài 11: Cho hình thang vuông ABCD có ´A= ´D=90 ∘ Gọi M là trung diểm của AD, biết ^BMC=90 ∘ a,Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

b , BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD

Bài 12: Cho hình vuông ABCD, trên dường chéo BD lấy điểm I, sao cho BI=BA Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại E Chứng minh BD là tiếp tuyến của (E ; EA)

Bài 13: Cho △ ABC đều, đường cao BD và CE cắt nhau tại H , AH cắt BC tại M

a, Chứng minh 4 điểm A , D , H , E cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A , D , H , E

Bài 14: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C nằm trên nửa đường tròn sao cho BC=BO Tia AC cắt tiếp tuyến kẻ từ B với nửa đường tròn tại D.

Bài 16: Cho △ ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I.

a, Chứng minh đường tròn đường kính AI đi qua K

b, HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Bài 17: Cho △ ABC nội tiếp đường tròn (O ; R), đường kính BC Gọi H là trung điểm của AC Tia

OH cắt (O) tại M Từ A vẽ tiếp tuyến với (O) cắt tia OM tại N

a, Chứng minh OM /¿AB

b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của (O)

Bài 18: Cho △ ABC vuông tại A, đường cao AH, đường tròn (I) đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn (J ) đường kính HC cắt AC tại F.

a, Chứng minh AH là tiếp tuyến của hai đường tròn (I),(J )

b, EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J ) tại F

Bài 19: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB Từ một điểm M trên nửa đường tròn, ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD và BC vuông góc với xy

a, Chứng minh MC=MD

b, Chứng minh AD+ BC có giá trị không đổi khi M di động trên nửa đường tròn

c, Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AD , BC và AB

d, Xác định vị trí của M trên nửa (O) sao cho ABCD có diện tích lớn nhất

Bài 20: Cho điểm E thuộc nửa đường tròn (O), đường kính MN Kẻ tiếp tuyến tại N của đường tròn

(O), tiếp tuyến này cắt ME tại D

a, Chứng minh △ MEN vuông tại E và DE DM =D N2

b, Từ O kẻ OI ⊥ ME Chứng minh O , I , D , N cùng thuộc một đường tròn

c, Vẽ đường tròn đường kính OD cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là A

Chứng minh DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

D, Chứng minh ^DEA=^ DAM

Bài 21: Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho

AC>BC , C khác A và B Kẻ CH ⊥ AB và OI ⊥ AC

a, Chứng minh C , H , O, I cùng thuộc 1 đường tròn

b, Kẻ tiếp tuyến Ax của (O ; R), Tia OI cắt Ax tại M Chứng minh OI OM=R2 Tính OI biết

OM =2 R , R=6 cm

c, Gọi giao điểm BM với CH là K Chứng minh △ AMO △ HCB và CK=KH

d, Tìm vị trí của C để chu vi △OHC đạt giá trị lớn nhất tìm giá trị đó theo R

Bài 22: Cho nửa đường tròn O, đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn Từ C kẻ CH ⊥ AB.Gọi M là hình chiếu của H trên AC , N là hình chiếu của H trên BC.

a, Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật

b, Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH

c, Chứng minh MN ⊥ CO

d, Xác định C để MN có độ dài lớn nhất

Bài 23: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2 R Trên nửa đường tròn lấy điểm C¿ khác A và

B¿, KẻOK ⊥ BC tại K Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) và I là trung điểm của AD

a, Chứng minh OK /¿AC và BC ⋅BD=4 R2

b, Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

c, Từ C kẻ CH ⊥ AB, BI cắt CH tại N Chứng minh rằng N là trung điểm của CH

Bài 24: Cho (O ; R), đường kính AB Lấy C thuộc đường (O) ( C khác A và B ) Tiếp tuyến tại A củađường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.

a, Chứng minh △ ABC là tam giác vuông và BC ⋅BM =4 R2

b, Gọi K là trung điểm của MA Chứng minh KC là tiếp tuyến của (O)

c, Tia KC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại D Chứng minh MO ⊥ AD

Bài 25: Cho đường tròn (O) đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn ( C khác A và B ) Kẻ

CH ⊥ AB Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại M , MB cắt CH tại K

a, Chứng minh OI ⊥ AC và △ ABC vuông tại C

b, Chứng minh MC là tiếp tuyến (O)

c, Chứng minh K là trung điểm của CH

Bài 26: Cho đường tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ( B là tiếp điểm) Kẻ dây BC ⊥ AO tại H.

a, Chứng minh OH là tia phân giác ^BOC và AC là tiếp tuyến của (O)

b, Kẻ đường kính BD của (O), kẻ CK ⊥ BD Chứng minh BK BD=4 R2

Bài 27: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2 R Gọi I là trung điểm của OB Qua I kẻ dây CD

vuông góc với OB Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E

a, Chứng minh OI OE=R2

b, Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O)

c, Gọi F là trung điểm của dây AC Chứng minh ba điểm D , O, F thẳng hàng

Bài 28: Cho đường tròn (O) dây AB Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A

của đường tròn tại C

a, Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn

b, Vẽ đường kính BOD Chứng minh AD /¿OC

Bài 29: Cho △ ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) đường kính BC H là trung điểm của AC Tia OH cắt

(O) tại M Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt tia OM tại N

a, Chứng minh OM /¿AB

b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của (O)

Bài 30: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, Lấy C nằm trên nửa đường tròn (O) Gọi K là trung điểm của dây cung BC, Qua B dựng tiếp tuyến với (O) cắt OK tại D

a, Chứng minh DO ⊥ BC

b, Chứng minh △ ABC vuông

c, Chứng minh DC là tiếp tuyến (O)

d, Vẽ CH ⊥ AB tại H, Gọi I là trung điểm của CH Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BI tại E.Chứng minh E, C, D thẳng hàng

Bài 31: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d ) và (d ') với đường tròn Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d ) ở M và cắt đường thẳng (d ') ở P Từ O vẽ tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d ') ở N.

a, Chứng minh OM =OP và △ MNP cân

b, Hạ OI ⊥ MN Chứng minh OI =R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b, Gọi K là trung điểm của MA Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, KC cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại D Chứng minh △ KOD vuông

d, Xác định tâm của đường tròn nội tiếp △ BCD

Bài 33: Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của (O) Trên Ax lấy điểm M¿

M khác A ), Từ M vẽ tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OM và AC Đường thẳng MB cắt (O) tại D¿ nằm giữa M và B )

a, Chứng minh OM ⊥ AC tại H

b, Chứng minh MD MB=MH MO và ^MHD=^ MBA

c, Gọi K là trung điểm của BD Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OK tại E

Chứng minh A , E ,C thẳng hàng

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O ; R).

c ,CD là đường kính của (O ; R) Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AD tại E và cắt CB tại F Chứng minh ODF=90^ ∘

Bài 35: Cho điểm C thuộc đường tròn (O) đường kính AB sao cho AC< BC Gọi H là trung điểm của BC Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OH tại D

a, Chứng minh DH DO=D B2

b, Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, Đường thẳng AD cắt (O) tại E Gọi M là trung điểm của AE Chứng minh D , B , M ,C cùng thuộc một đường tròn

d, Gọi I là trung điểm của DH , BI cắt (O) tại F Chứng minh A , H , F thẳng hàng

Bài 36: Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O) ( C không trùng với

A và B¿ Gọi I là trung điểm của AC Gọi D là giao của tia OI và tiếp tuyến (O) tại A

a, Chứng minh △ ABC vuông

Bài 37: Cho △ ABC vuông tại A, đường cao AH Biết BH=9 cm , HC=16 cm và tan ⁡^ ACB=3

4

a, Tính AH và AC

b, Vẽ đường tròn (B ;BA) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn

c, Tia AH cắt (B) tại D¿ khác A ) Vẽ tiếp tuyến Dx của (B) với D là tiếp điểm Chứng minh Dx đi qua C

d , BC cắt (B) tại E Chứng minh AE là tia phân giác ^HAC và EG ⋅ tan ⁡^ ABC=EC ⋅sin ⁡^ ABC

Bài 38: Cho đường tròn (O ; R) Điểm M nằm ngoài đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( A là tiếp điểm) Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O) tại C và D¿ nằm giữa

M và D) Gọi I là trung điểm của dây CD Kẻ AH ⊥ MO tại H

a, Tính $ OH.OM$ theo R

b, Chứng minh A , M , I , O cùng thuộc một đường tròn

Bài 39: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB=2 R cố định và một đường kính MN của (O) thay đổi ( MN khác với AB ) Qua A vẽ đường thẳng (d ) là tiếp tuyến của đường tròn, (d ) cắt BM và BN

lần lượt tại C và D

a, Tứ giác AMBN là hình gì?

b, Chứng minh BM BC=BN BD

c, Tìm vị trí của đường kính MN để CD có độ dài nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất theo R

ĐÁP ÁN BÀI 3 LIÊN HỆ GIỮA CUNG – DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

O A

a) Xét tam giác AOB và tam giác COD có:

Từ (3), (4), (5) suy ra BIO CIO

Vậy IO là tia phân giác BIC hay IO là tia phân giác của một góc tạo bởi dây AB và CD.

b) Xét tam giác CIO và tam giác BIO có

 

Hay CAO CBO 

Xét tam giác CAO và tam giác CBO có:

b) Xét tam giác AOB có

OA = OB = R

Bài 5.

I

E H

 

 

Bài 7.

a) Gọi H là giao điểm của OA và CD.

Vì CD là đường trung trực của OA nên

Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

b) Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC.

Mà OC = OA (= R) nên tam giác OAC đều

Suy ra: COA 60  COI 60

Trong tam giác vuông OCI, ta có:

 tan tan 60 3

CI OC COI R  R

Bài 8.