BÀI 2
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròna Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn cắt nhau.Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì mỗi điểm chung được gọi là một giao điểm.
Nhận xét: Đường thẳng cắt đường tròn khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn và ngược lại.
b Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn tiếp xúcnhau tại điểm chung đó.
Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn,điểm chung được gọi là tiếp điểm.
Nhận xét: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng và ngược lại.
c Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn không giaonhau.
Nhận xét: Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi khoảng cách từ tâm đến đườngthẳng lớn hơn và ngược lại.
Trang 2Bảng tóm vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn
( là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng )
2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thìđường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
2 Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm
1 Đường thẳng tiếp xúc đườngtròn
0 Đường thẳng không cắtđường tròn
Trang 3Chú ý: Ta có tính chất của tiếp tuyến như sau:
Tiếp tuyến của một đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Khoảng cách từ tâm của đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.
3 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
BO
Trang 4CHỦ ĐỀ 1
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Cho vuông tại có Vẽ đường tròn tâm bán kính Xácđịnh vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn tâm bán kính
Bài 2. Cho vuông tại có là đường phân giác Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn tâm bán kính
tiếp xúc với đường tròn đường kính
Bài 4. Cho điểm cách đường thẳng một đoạn bằng 6cm, vẽ đường tròn a Chứng minh rằng đường tròn tâm và đường thẳng cắt nhau
b Gọi hai giao điểm là và Tính
Bài 5. Cho hình vuông , trên đường chéo lấy điểm sao cho Đường thẳng kẻqua vuông góc với cắt ở
a) So sánh:
b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
Bài 6. Cho đoạn thẳng và trung điểm của Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ vẽ tia vuông góc với Trên các tia và lấy theo thứ tự hai điểm và sao cho
a) Chứng minh rằng thuộc đường tròn tâm đường kính b) Xác định vị trí tương đối của với đường tròn
Trang 5b) Gọi hai giao điểm của với là Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 9. Cho vuông cân tại Vẽ tia phân giác
a) Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng b) Cho biết Tính theo
Bài 10. Cho điểm cách đường thẳng là Vẽ đường tròn a) Chứng minh rằng có hai giao điểm với đường thẳng
b) Gọi hai giao điểm nói trên là và Tính độ dài
Bài 11. Cho đường thẳng và đường tròn không giao nhau là điểm trên Xác định vị tríđiểm để khoảng cách từ đến đường thẳng lớn nhất
Bài 12. Cho điểm nằm ngoài đường tròn Đường thẳng qua , gọi và là giao điểmcủa đường thẳng và đường tròn Xác định vị trí của đường thẳng để tổng lớn nhất
Trang 6CHỦ ĐỀ 2
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
DẠNG 1
CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Để chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm , ta có thể làmtheo một trong các cách sau:
Cách 1: Chứng minh nằm trên và vuông góc với tại
Cách 2: Kẻ vuông góc với tại và chứng minh
Cách 3: Vẽ tiếp tuyến của và chứng minh trùng với
Bài 1. Trong hình vẽ bên dưới, AB = 9, BC = 12, AC = 15 và BC là đường kính của đường tròn (O).Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Trang 7Bài 2. Cho đường tròn tâm có bán kính , dây vuông góc với tại trung điểm của
a) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại , cắt đường thẳng tại Tính độ dài theo
Bài 3. Cho đường kính Vẽ dây sao cho , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh rằng :
a) là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 4. Từ điểm ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến ( là tiếp điểm), là điểm trênđường tròn sao cho
a) Chứng minh rằng là tiếp điểm của đường tròn
b) là điểm trên Đường thẳng qua vuông góc với tại cắt đường tròn tại () Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 5. Cho tam giác có hai đường cao cắt nhau tại a) Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên 1 đường tròn.
b) Gọi là đường tròn đi qua bốn điểm và là trung điểm của Chứng minh làtiếp tuyến của
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 7. Cho đường tròn và một dây Gọi là trung điểm của , vẽ bán kính đi qua Từ vẽ đường thẳng Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 8. Cho đường tròn đường kính và tiếp tuyến Trên lấy một điểm , kẻ dâycung song song với Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 9. Cho cân tại có các đường cao và cắt nhau tại Chứng minh
Trang 8a) Đường tròn đường kính đi qua
b) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Bài 10. Cho , hai đường cao và cắt nhau tại
a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính
b) Gọi là trung điểm của Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Bài 11. Cho tam giác vuông tại , có Vẽ đường cao Gọi là điểmđối xứng với qua Vẽ đường tròn đường kính cắt ở
a) Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn.b) Tính
Bài 12. Cho đường tròn có dây khác đường kính Qua kẻ đường vuông góc với , cắt tiếptuyến tại của ở
a) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn
b) Cho bán kính của bằng và dây Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 13. Cho vuông tại , đường cao Đường tròn tâm đường kính cắt tại ,đường tròn tâm đường kính cắt tại Chứng minh rằng:
a) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và tại b) là tiếp tuyến của tại , tiếp tuyến của tại
Bài 14. Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn tâm Vẽ hình bình hành , tiếptuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại Chứng minh rằng :
a) Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Bài 15. Cho tam giác cân tại Vẽ đường tròn tâm đường kính cắt và lần lượt ở và Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng :
a) cùng thuộc 1 đường tròn.b) là tiếp tuyến của đường tròn ở câu
Bài 16. Cho vuông tại , là đường cao, Gọi là điểm đối xứngvới qua Vẽ đường tròn đường kính cắt ở
a) Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn.b) Tính độ dài đoạn thẳng .
Trang 9DẠNG 2
TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, GÓC LIÊN QUAN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1. Cho đường tròn đường kính và là tiếp tuyến của Gọi là một điểmtrên sao cho và là giao điểm của các tia và
a) Tính độ dài các đoạn thẳng và b) Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 2. Cho đường tròn và dây Vẽ một tiếp tuyến song song với , cắt các tia lần lượt tại và Tính diện tích tam giác
Bài 3. Cho đường tròn và một điểm chạy trên đường tròn đó Từ vẽ tiếp tuyến Trên lấy một điêm sao cho Hỏi điểm di động trên đường nào khi chạy trên
Bài 4. Từ một điểm ở bên ngoài đường tròn , vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn.Đường thẳng vuông góc với tại cắt tia tại Đường thẳng vuông góc với tại cắt tia
tại Xác định hình dạng của tứ giác
Bài 5. Từ một điểm ở bên ngoài đường tròn , vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn.Đường thẳng vuông góc với tại cắt tia tại Đường thẳng vuông góc với tại cắt tia tại Điểm phải cách một khoảng là bao nhiêu để cho là tiếp tuyến của đường tròn
.
Trang 10Bài 6. Cho đường tròn đường kính , vẽ tại trung điểm của Các tiếp tuyếnvới đường tròn tại và cắt nhau ở
a) Chứng minh rằng thẳng hàng.b) Tứ giác là hình gì ?
b) Tứ giác là hình gì?
c) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
Bài 9. Cho đường tròn đường kính Lấy thuộc sao cho Vẽ dây vuông góc với tại Đường thẳng cắt tại Đường thẳng qua vuông góc với tại
và cắt tại
a) Chứng minh cùng thuộc 1 đường tròn.b) Chứng minh là tia phân giác của
c) Chứng minh cân và là tiếp tuyến của
d) Tìm vị trí của trên để tứ giác trở thành hình thoi.
Bài 10. Cho nửa đường tròn tâm đường kính Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròntại Gọi và lần lượt là hình chiếu của và trên Chứng minh rằng:
a) là trung điểm của
b) Tổng không đổi khi di động trên nửa đường tròn.
Bài 11. Cho đường tròn và dây Vẽ một tiếp tuyến song song với , nó cắt các tia và theo thứ tự tại và Tính diện tích
Trang 11Bài 12. Cho đoạn thẳng và trung điểm của Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ vẽ tia vuông góc với Trên các tia và lấy theo thứ tự hai điểm và sao cho
TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Chú ý: là trung trực của thì phải chứng minh chứ không được dùng là giả thiết bài toán nhé. Ta
chứng minh như sau:
cân tại (do ) và là đường phân giác (do ) nên là là trungtrực của
DẠNG 1
TÍNH ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH, GÓC LIÊN QUAN TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
Giả thiết Tiếp tuyến tại và của cắt nhau tại ( và là tiếp điểm)
Kết luận - - -
- là trung trực của
Trang 12Bài 1. Tìm giá trị của x trong hình vẽ bên dưới.
Bài 2. Cho tam giác ABC có đường tròn (O) nằm trong và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác Biết AM= 6 cm, BP = 3 cm, CE = 8 cm (Hình vẽ) Tính chu vi tam giác ABC.
Bài 3. Bánh đà của một động cơ được thiết kế có dạng là một đường tròn tâm O, bán kính 15 cm đượckéo bởi một dây curoa Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm M (Hình vẽ) Cho biết khoảngcách OM là 35 cm.
a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MA và MB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Trang 13b) Tính số đo tạo bởi hai tiếp tuyến AM, BM và số đo (kết quả làm tròn đến phút).
Bài 4. Cho đường tròn Từ một điểm ở ngoài , vẽ hai tiếp tuyến ( là cáctiếp điểm ) sao cho Biết chu vi tam giác là
a) Tính độ dài dây b) Tính diện tích
b) Vẽ đường kính của Chứng minh
Bài 2. Từ 1 điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Đườngthẳng vuông góc với tại cắt tại Đường thẳng vuông góc với tại cắt tại a) Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi.
b) Điểm cách một khoảng là bao nhiêu để là tiếp tuyến của đường tròn
Trang 14Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm , đường kính Vẽ các tiếp tuyến với nửa đường tròn cùngphía đối với Từ điểm trên nửa đường tròn ( khác ) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt
và lần lượt tại và a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh không đổi khi di động trên nửa đường tròn.c) Cho biết Tính và theo
Bài 4. Từ điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến với và là các tiếpđiểm Gọi là chân đường vuông góc vẽ từ đến đường kính Chứng minh rằng cắt tạitrung điểm của
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 5. Cho tam giác vuông tại , đường cao Vẽ ( ), kẻ các tiếp tuyến và với đường tròn ( là các tiếp điểm khác ).
a) Chứng minh rằng: thẳng hàng.
b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn với đường kính
Bài 6. Từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến (với và là các tiếpđiểm) Kẻ
a) Chứng minh tứ giác là hình thoi.b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.c) Xác định vị trí điểm để nằm trên
Bài 7. Từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến (với và là các tiếpđiểm) Qua điểm thuộc cung nhỏ vẽ tiếp tuyến với đường tròn , cắt các tiếp tuyến
Trang 15Bài 9. Cho đường tròn các tiếp tuyến kẻ từ đến đường tròn vuông góc với nhautại ( là các tiếp điểm)
a) Chứng minh đường thẳng là trung trực của
b) Gọi là giao điểm của và Biết , tính chu vi và diện tích tam giác và diện tích tứ giác
Bài 11. Từ điểm nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn đó ( là các tiếp điểm)
a) Chứng minh rằng:
b) Vẽ đường kính Chứng minh rằng
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
Bài 12. Cho đường tròn đường kính Kẻ tiếp tuyến , lấy trên ( ) Từ kẻtiếp tuyến với
a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc 1 đường tròn.b) Chứng minh:
c) Đường thẳng vuông góc với tại cắt tia tại Chứng minh tứ giác là hình bìnhhành.
d) Giả sử cắt tại ; cắt tại ; cắt tại Chứng minh thẳng hàng.
Bài 13. Cho đường tròn Từ trên , kẻ tiếp tuyến với Trên đường thẳng lấy điểm bất kỳ ( khác ), kẻ cát tuyến , gọi là trung điểm của , kẻ tiếp tuyến , kẻ
Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh năm điểm cùng thuộc 1 đường tròn.
d) Chứng minh là hình thoi.
e) Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Trang 16Bài 14. Cho và là một điểm di động trên đường thẳng cố định nằm ngoài Từ kẻcác tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm) Gọi là hình chiếu vuông góc của
trên , dây cung cắt lần lượt tại Chứng minh
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó Ta có các
trường hợp tiếp tuyến chung của hai đường tròn như sau:1) Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài.
Trang 172) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung.
3) Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có một tiếp tuyến chung.
4) Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong.
Chú ý:
Hai đường tròn chứa nhau không có tiếp tuyến chung. Hai đường tròn đồng tâm không có tiếp tuyến chung.
DẠNG 1
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC NHAU
Bài 1. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại Gọi là tiếp tuyến chungcủa hai đường tròn Tính độ dài (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Trang 18Bài 2. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại Kẻ các đường kính , Gọi là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Gọi là giao điểm của và
a) Tính
b) Tứ giác là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh rằng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
ev Gọi là trung điểm của , chứng minh rằng
Bài 3. Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại Vẽ tiếp tuyến chung ngoài Vẽ đường tròn tiếp xúc với tại và tiếp xúc ngoài với hai đườngtròn và tại và Tính độ dài (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài 4. Cho ba điểm cùng nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự đó Cho biết , Vẽ đường tròn đường kính và đường tròn đường kính
a) Chứng minh và tiếp xúc ngoài ở
b) Gọi là 1 điểm trên đường tròn , tia cắt ở Chứng minh rằng c) Qua điểm kẻ 1 cát tuyến cắt ở ( và thuộc hai nửa mặt phẳng bờ ), cắt đường tròn