chương 8 đường tròn ngoại tiếp

ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾPĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾPI Đường tròn ngoại tiếp Định nghĩa Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác, đagiác này được gọi là đa giác nội

TUYỂN TẬP

Chuyên đề 8

ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP

Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ

Zalo-hotline : 03.4348.1625-03.5352.6757

ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

I) Đường tròn ngoại tiếp

Định nghĩa

Đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác, đa giác này được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn

Ví dụ 1: Đường tròn tâm trong các hình dưới đây được gọi là đường tròn ngoại tiếp vì nó

đi qua tất cả các đỉnh của tam giác, tứ giác và ngũ giác

Khi đó, tứ giác và ngũ giác lần lượt được gọi là tam giác nội tiếp, tứ giác nội tiếp và ngũ giác nội tiếp đường tròn (tứ giác ở bên trong đường tròn)

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác là giao của các đường trung trực của tất cả các cạnh

Do đó, để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác, ta có thể làm như sau:

- Kẻ các đường trung trực của các cạnh rồi xác định giao điểm

- Vẽ đường tròn có tâm là giao điểm các đường trung trực và bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến các đỉnh

Như vậy, một đa giác có đường tròn ngoại tiếp nếu đường trung trực của các cạnh đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác

II) Đường tròn nội tiếp

Định nghĩa

Đường tròn nội tiếp là đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác, đa giác này được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn

Ví dụ 2: Đường tròn trong hình dưới là đường tròn nội tiếp vì nó tiếp xúc với tất cả cạnh của đa giác

Khi đó, tứ giác và ngũ giác lần lượt được gọi là tam giác ngoại tiếp, tứ giác ngoại tiếp và ngũ giác ngoại tiếp đường tròn (đa giác nằm bên ngoài đường tròn)

Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác

Tâm đường tròn nội tiếp đa giác là giao của các đường phân giác của tất cả các góc trong

đa giác

Do đó để xác định tâm đường tròn nội tiếp đa giác, ta làm như sau:

- Kẻ các đường phân giác của các góc rồi xác định giao điểm ví dụ giao điểm

- Kẻ đường thẳng đi qua giao điểm và vuông góc với một cạnh bất kỳ để xác định bán kính ví dụ bán kính

Như vậy, một đa giác có đường tròn nội tiếp nếu đường phân giác của các góc trong đồng quy và điểm đồng quy chính là tâm đường tròn nội tiếp đa giác

III) Định lí

Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp; có một và chỉ một đường tròn nội tiếp (h.72)

Ví dụ:

Ngũ giác đều có một đường tròn nội tiếp và một đường tròn ngoại tiếp Đặc biệt, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp ngũ giác đều trùng nhau, đều là tâm Chú ý:

Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 VẼ ĐA GIÁC ĐỀU NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN CHO TRƯỚC TÍNH ĐỘ DÀI MỖI CẠNH a THEO R

Phương pháp giải

Vẽ góc ở tâm có số đo

360o

n , cung tương ứng căng một cạnh của đa giác đều n cạnh

Để tính các cạnh ta có thể dùng định lý Py – ta – go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong một tam giác vuông

Ví dụ 1

a) Vẽ đường trong tâm O, bán kính 2 cm

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn ở câu a)

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r)

Giải (h.73)

a) Vẽ đường tròn (O; 2 cm)

b) Vẽ hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau

Vẽ các dây AB; BC; CD; DA ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2 cm)

c) Vẽ OM ⊥ AB

OM là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

Dễ thấy, ∆MOB vuông cân, suy ra r2r2 OB2

Hay 2r2 22  r 2(cm)

Vẽ đường tròn (O; 2 cm) ta được đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

Ví dụ 2

Cho hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp một đường tròn (O;R) Tính các cạnh của hình đó theo R

Giải

a) Vẽ hình lục giác đều nội tiếp (h.74 a)

Cách vẽ:

Tính độ dài mỗi cạnh:

Dễ thấy ∆AOB đều nên: a = AB = R.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp (h.74 b)

Cách vẽ:

Tính độ dài mỗi cạnh:

Dễ thấy ∆COD vuông cân nên:

CD OC OD

a  R  a R

c) Vẽ tam giác đều nội tiếp (h.74 c)

Cách vẽ: Chia đường tròn làm 6 cung bằng nhau Nối các điểm chia cách nhau một điểm

ta được tam giác đều

Tính độ dài mỗi cạnh:

Xét ∆HAB vuông tại H, ta có:

3 2

AH  R

3 2 sin 3

sin 3

2

R AH

AH AB B AB a R

B

     

Chú ý: Cho đa giác đều n cạnh, độ dài mỗi cạnh là a, bán kình đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp lần lượt là R và r Ta có công thức tổng quát liên hệ giữa R và r với a như sau:

180

2 sin 180

2sin

o o

a

R a R

n n

  

180

2 tan 180

2 tan

o o

a

r a r

n n

  

Bạn có thể áp dụng các công thức này để kiểm tra lại các kết quả trên

Dạng 2 VẼ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP MỘT ĐA GIÁC ĐỀU CHO TRƯỚC TÍNH R, r

Phương pháp giải

- Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh kề nhau, chúng cắt nhau tại điểm O, điểm

này là tâm đường tròn ngoại tiếp, cũng là tâm đường tròn nội tiếp của đa giác đều

- Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp là đoạn thẳng nối O với một đỉnh của đa

giác

- Bán kính r của đường tròn nội tiếp là đoạn thẳng nối O với trung điểm của một

cạnh của đa giác

- Để tính R,r ta có thể dùng định lý Py- ta – go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong

một tam giác vuông

Ví dụ 3

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm

b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC Tính R

c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC Tính r

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R)

Giải (h.75)

a) Vẽ tam giác đều ABC, cạnh BC = a = 3cm

b) Vẽ các đường trung trực của các cạnh chúng gặp nhau tại O, đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đều ABC

Vẽ đường tròn (O; OA) ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Ta có:

2 2 3 3

3( )

3 3 2

R OA  AD  cm

c) Vẽ đường tròn (O; OD) ta được đường tròn nội tiếp tam giác đều

Ta có:

1 1 3 3 3

.

3 3 2 2

r OD  AD 

d) Vẽ các tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại A, B, C Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I; J;

K Tam giác IJK là tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; R)

Dạng 3 CHO TRƯỚC SỐ ĐO CỦA MỘT CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN (O;R) TÍNH ĐỘ DÀI CỦA DÂY CĂNG CUNG

Phương pháp giải

Nếu cung đã cho căng một dây là một cạnh của đa giác đều n cạnh thì ta tính độ dài của cạnh này theo công thức:

180

2 sin

o

a R

n



Một số trường hợp thường gặp, ta lấy ngay kết quả ở bài 63:

- Với n = 3 thì a3 R 3

- Với n = 4 thì a4 R 2

- Với n = 6 thì a4 R

Ví dụ 4

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ A, ba cung AB, BC,

CD sao cho sd AB  60o; số đo cung BC = 90o

; số đo cung CD = 120o a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R

Giải (h 76)

a) sd AD  360o (60o90o120 ) 90o  o

Vậy AD = BC

Ta có: B1 D1 (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Suy ra AB // CD, do đó tứ giác ABCD là hình thang

Hình thang này nội tiếp đường tròn (O) nên nó là hình thang cân

b) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo

Góc BIC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên

 d  90 90

90

2 2

o

s AD sd BC BIC    

Vậy AC ⊥ BD

c) Vì sđ cung AB 60o nên AB là cạnh của một lục giác đều nội tiếp, do đó AB = R

Vì sđ cung BC bằng sđ cung AD bằng 90o

nên BC và AD là các cạnh của một hình vuông nội tiếp, do đó BCAD R 2

Vì số đo cung CD là 120o

nên CD là cạnh của một tam giác đều nội tiếp, do đó CD R 3

LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Một đường tròn có bán kính 3 cm Tính diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn đó

2 (Dạng 2) Một đa giác đều nội tiếp đường tròn (O; 2cm) Biết độ dài mỗi cạnh của nó

là 2 3 cm Tính diện tích của đa giác đều đó

3 (Dạng 2) Cho hình lục giác đều ABCDEF, độ dài mỗi cạnh là c Các đường thẳng AB

và CD cắt nhau tại M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự tại N và P

a) Chứng minh rằng ∆MNP là tam giác đều

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆MNP

4 (Dạng 2) Cho ngũ giác đều ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC và AD cắt BE lần lượt tại M và N

a) Tính tỷ số giữa các bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều đó

b) Chứng minh rằng các tam giác AMN và CMB là những tam giác cân

c) Chứng minh rằng AC BM a2

5 (Dạng 3) Cho đường tròn (O;R) Từ điểm A trên đường tròn này vẽ các cung AB và

AC sao cho số đo cung AB 30o, số đo của cung AC 90o (điểm A nằm trên cung nhỏ BC) Tính các cạnh của ∆ABC và diện tích của nó

ĐÁP ÁN PHẦN LUYỆN TẬP

Bài 1 Bán kính đường tròn bằng nửa đường chéo hình vuông

 Đường chéo hình vuông là 6cm =>

2

6.6 18( ) 2

S   cm

Bài 2.

Trước hết ta tìm số cạnh của đa giác đều

Áp dụng công thức

180 2sin

a R

n





với R2cm a, 2 3 ,cm ta được :

2 3 180 3

2 sin sin 60

180 2

2sin n

n



    



Vậy

180

60 n 3

n



   

Đa giác đã cho là tam giác đều Diện tích tam giác đều đó là :

 

 2

2 3 3

1 1

.2 3 3 3

2 2 2

S  ah  cm

Bài 3.

M

A

F

D

E

a) Mỗi góc của lục giác đều bằng

 2 180 4.180

120 6

n n

  

  

Mỗi góc ngoài của lục giác đều bằng : 180   120   60 

Suy ra các tam giác MBC ANF DEP, , là những tam giác đều

Do đó MNPđều MN  3AB 3c

b)Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là :

3 3

3

180 3

2sin 2.

3 2

c c

R  c



Bài 4.

M N

B

C D

A

E

a)Ta có :

180

2 tan sin 36 4

5 0,8

180 tan 36 5 2sin

5

a r

R





   

 

b)Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Ta được AB BC CD DE EA    Dùng định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và định lý góc nội tiếp ta chứng minnh được AMNCMB, mỗi tam giác có hai góc bằng nhau nên là tam giác cân

) ( ) AB BM .

c ABM ACB g g AC BM AB BC a

AC BC

 ∽      

Bài 5

H

O B

A

C

Ta có

  45 ;   15  120

2 2

sd AC sd AB

B   C     BAC 

Do đó BC là cạnh của tam giác đều nội tiếp  BC R 3

Vì số đo cung AC =900 nên AC R 2

Vẽ đường cao AH ta được AH AC.sinC R 2 sin15  ’

Xét tam giác vuông HAB có :

2 2.sin15 2 2 sin15 sin 45

AH

AB AH R   R 



Diện tích tam giác ABC là

2

2.sin15 3 sin15

S AH BC R  R R 