Bài 8 đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp

CHUYÊN ĐỀ BÀI 8: ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP Mục tiêu  Kiến thức + Nêu định nghĩa, tính chất đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp đa giác + Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đa giác biết cạnh đa giác + Tính cạnh đa giác biết bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp đa giác  Kĩ + Vẽ tâm đa giác đều, từ vẽ đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp đa giác cho trước + Tính cạnh a theo R ngược lại tính R theo a Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn Định lí Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Đường tròn tâm I bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác ABC Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với Đường trịn tâm O bán kính R tâm đường tròn ngoại tiếp gọi tâm đa đường tròn ngoại tiếp tam giác giác ABC Chú ý: • Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh • Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh • Cho n- giác cạnh a - Chu vi đa giác: 2p na (p nửa chu vi) - Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo  n   180o - Mỗi góc tâm đa giác có số đo 360o n - Bán kính đường trịn ngoại tiếp: Khi a 2R.sin a 180o 2sin n 180o n - Bán kính đường trịn nội tiếp: Khi a 2r.tan R n r a 180o tan n 180o n - Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp: Trang R  r2  a2 - Diện tích đa giác đều: S  nar Một số hình ảnh đường trịn nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đường tròn ngoại tiếp đa giác đường tròn qua tất đỉnh đa giác Định nghĩa ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP, NGOẠI TIẾP ĐA GIÁC Định lí Đường trịn nội tiếp đa giác đường trịn tiếp xúc với tất cạnh đa giác Đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tứ giác Ví dụ Đường trịn ngoại tiếp nội tiếp lục giác Tâm đa giác vừa tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa tâm đường trịn nội tiếp Bán kính đường trịn ngoại tiếp r: Bán kính đường trịn nội tiếp II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường trịn, cạnh đa giác Phương pháp giải + Dựa vào tính chất đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn + Dựa vào định lý Py-ta go, hệ thức lượng tam giác để tính tốn Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh a Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Trang Gọi M, N, P trung điểm BC, AB, AC O giao điểm AM, BP, CN Vì ABC tam giác nên OA OB OC hay O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác ta có OM ON OP hay O cách ba cạnh tam giác Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Xét tam giác vng AMB có 3a a a AB AM  MB  a AM     AM   AM   2 2 2 2 a Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là: R OA  AM  3 a Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: r OM  AM  Ví dụ Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O;R) Tính độ dài cạnh hình vng theo R Hướng dẫn giải Vì (O) ngoại tiếp hình vng ABCD nên O giao điểm hai đường chéo AC BD Theo giả thiết ta có OA OB OC OD R Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAB có OA  OB2 AB2  AB2 R  R 2R  AB R Vậy cạnh hình vng có độ dài R Ví dụ Cho tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm Tính độ dài BC Hướng dẫn giải Trang Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với AB, AC, BC Ta có AD AE, BD BF, CE CF nên AD  BF  CE  1  AB  BC  CA   20 10  cm  2 Đặt BC x, AD y ta có x  y 10  1 Vì MN / /BC nên ta có AMN ABC Suy MN chu vi AMN  BC chu vi ABC Mặt khác chu vi tam giác AMN là: AM  AN  MN AD  AE 2AD 2y Khi 2, 2y   xy 24   x 20  x 6 Từ (1) (2) suy x  10  x  24  x  10x  24 0    x 4 Vậy độ dài cạnh BC là: cm cm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Xác định bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp lục giác cạnh a Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính tỉ số AB  AC  BC r Bài tập nâng cao Câu 3: Cho tam giác ABC có cạnh 18cm Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác cắt cạnh AB AC M N Tính diện tích tam giác AMN biết MN = 8cm Câu 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), biết AB 8cm, AC 18cm, đường cao AH 6cm (H nằm bên cạnh BC) Tính bán kính đường trịn Dạng 2: Tính độ dài dây căng cung Phương pháp giải - Nếu cung cho căng dây cạnh Ví dụ: Trên đường trịn bán kính R đặt đa giác n cạnh ta tính độ dài cạnh theo chiều, kể từ A, ba cung AB, BC, 180o theo công thức: a 2R.sin n CB cho  60o ,sñBC  90 o sđCD  120 o sđAB - Áp dụng định lí Py-ta-go hệ thức cạnh góc tam giác vng để tính dây căng cung 90° Trang Tính độ dài cạnh tứ giác ABCD theo R Hướng dẫn giải  60o nên OAB tam giác - Vì sđAB Do AB = R  sñAD  90o nên BC AD - Vì sđBC cạnh hình vng nội tiếp, BC AD R  120o nên CD cạnh tam - Vì sđCD giác nội tiếp, CD R Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho đường trịn (O;R) Từ điểm A đường tròn vẽ cung AB AC cho  30o ,sñAC  90 o (điểm A nằm cung nhỏ BC) Tính cạnh ABC diện tích sđAB Hướng dẫn giải  o   sñAC  90 45o Ta có B 2  o   sđAB  30 15o C 2  Suy sñBAC 30  90  120 Do BC cạnh tam giác nội tiếp Vậy BC R  90o nên AC cạnh hình vng nội tiếp Vì sđAC Vậy AC R Vẽ đường cao AH ta AH AC.sin C R sin15o Xét tam giác vng HAB có: AB  AH AH R sin15o 2R sin15o o sin 45 Trang 1 Diện tích ABC S  AH.BC  R sin15o.R R sin15o 2 Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R) Cho dây BC R Lấy A thuộc cung nhỏ BC cho BA R Vẽ AH  BC Tính AH; AC Hướng dẫn giải R Vẽ OI  BC, ta có BI CI  Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: OI OB2  BI R  3R R  4 R  Suy OI  Suy OI  BO Vậy IBO 30o 2  Ta có: BO  OA 2R AB2 nên OAB vng, BOA 90   Mà OA OB nên OAB vuông cân, OAB ABO 45    ABC ABO  CBO 45  30 15  Xét ABH có AH AB.sin ABC R sin15o 1  Mà ACB  AOB hệ góc nội tiếp  45o  Suy AHC vuông cân, AH = HC Áp dụng định lí Py-ta-go AHC, ta có: AC2 AH  HC2  AC AH R sin15o 2R.sin15o Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Một đường trịn có bán kính R a) Tính diện tích tam giác nội tiếp đường trịn theo R b) Tính diện tích hình vng nội tiếp đường trịn theo R c) Tính diện tích lục giác nội tiếp đường trịn theo R Trang Câu 2: Trên đường trịn bán kính R, ta đặt theo chiều, kể từ điểm A, cung  60 cung BC  90 cung CD  120 Tứ giác ABCD hình gì? Chứng minh hai AB đường chéo vng góc với Tính cạnh đường chéo tứ giác ABCD theo R Bài tập nâng cao Câu 3: Cho đường tròn (O;R), S điểm cho OS 2R Vẽ cát tuyến SCO đến đường tròn (o) Lấy C, D thuộc đường tròn (O) Biết CD R Tính SC SD theo R  120 Điểm A di động cung lớn BC Câu 4: Cho đường tròn (O; R), BC dây cung cố định, sđBC Tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC ĐÁP ÁN Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường trịn, cạnh đa giác Bài tập Câu Gọi O tâm lục giác ABCDEF Khi O vừa tâm đường tròn nội tiếp, vừa tâm đường trịn ngoại tiếp lục giác ABCDEF Ta có OA OB OC OD OE OF AB a Do bán kính đường trịn ngoại tiếp R a Xét tam giác OAB cạnh a có đường cao OI  a Vậy bán kính đường trịn nội tiếp lục giác ABCBEF r  a Câu Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC E, G, H theo thứ tự điểm tiếp xúc đường tròn với cạnh AB, CA, AB Suy AH AG, BH BE, CE CG  H  G  90 AH AG nên AHOG Tứ giác AHOG có A hình vng Suy AH AG r Ta có AB  AC  BC AH  BH  AG  CG   BE  CE   r r  Vậy AH  AG 2r  2 r AB  AC  BC 2 r Trang Bài tập nâng cao Câu Gọi (O;r) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC E, F điểm tiếp xúc đường tròn với cạnh AC, AB Ta có AE AF, NE NI, MF MI Vì tam giác ABC nên bán kính đường trịn nội tiếp 1 AB tam giác r  BE  3  cm  3 Xét OEN OIN có NE NI r; NE NI (chứng minh trên); NO cạnh chung Suy OEN OIN  c  c  c  Chứng minh tương tự ta có OMI OMF Suy SOENMF SOENI  SOIMF 2SONI  2SOMI 2SOMN 2 OI.MN 3 3.8 24  cm  1 Diện tích tứ giác AEOF SAEOF 2SAEO AE.OE  AC.OE  18.3 27  cm  2 Vậy SAMN SAEOF  SOENMF 27  24 3  cm  Câu Kẻ đường kính AD Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) nên   ADC  ABC 180   Mặt khác ABH  ABC 180   Do ABH ADC   Xét hai tam giác vng ABH ADC có ABH (chứng ADC minh trên) Suy ABH ADC  g  g   AH AB     R 12  cm  AC AD 18 2R Vậy R 12  cm  Dạng 2: Tính độ dài dây căng cung Bài tập Câu Trang 10 a) R Gọi a độ dài cạnh tam giác đều, ta có: a  a 2R sin 60o R 180o sin   R Khi diện tích tam giác cho bởi: S  a  4 b) Gọi a độ dài cạnh hình vng, ta có: R  3R a  a 2R.sin 45o R o 180 2sin  Khi diện tích hình vng cho bởi: S a  R  2R c) Diện tích S lục giác gồm tam giác có cạnh R Do S 6 R 3R  Câu      o Ta có sđAD 360  sđAB  sđBC  sđCA  360   60  90  120  90  AD BC    ACD BAC  AB / /CD Suy ABCD hình thang mà tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) nên ABCD hình thang cân Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD   sñCD  sñAB  Suy sñAIB  90o Vậy AC  BD  60o Ta có AB dây cung (O;R) sñAB Suy AB cạnh lục giác nội tiếp (O;R)  AB R  90o Ta có BC dây cung (O;R) sđBC Suy BC cạnh hình vng nội tiếp (O;R)  BC R Do đó: AD BC R  120o Ta có CD dây cung (O;R) sñCD Suy CD cạnh tam giác nội tiếp (O;R)  CD R    Ta có sđBAC  sđBC 45o Khi AIB vng cân I (vì I 90o ; BAI 45o ) Suy AI IB  AB R  2 Trang 11 Tương tự DIC vuông cân I  IC  Ta có BD AC AI  IC  DC 2 R R  2 R R R   1 2   Bài tập nâng cao Câu Vẽ OH  CD, H  CD Ta có: CD R  CD cạnh tam giác nội tiếp  (O; R)  COD 120  Do đó: HOC 60 Ta có HOC nửa tam giác nên OH  OC R R (vì OH  CD)  , DH HC  2  90o nên HOS có H R 15R 15R OS OH  SH  SH OS  OH  SH 4R    SH  4 2 2 2 2     51 Ta có SC SH  HC  15R  R  R; 2 SD SH  HD  1 15R R   R 2 Câu Hạ OM  BC, AH  BC  H, M  BC   120o  BOC   Ta có sđBC 120 o  MOC 60 o Xét tam giác OMC vng M có R  OM OC.cos MOC R.cos 60 o  OM  BC 2MC 2 OC  OM  BC R Xét ba điểm A, O, M ta có: AM OA  OM Mà AH AM Do vậy: AH R  R 3R  nên 2 3R (không đổi SABC  AH.BC  Dấu " = " xảy  H M O nằm A M  A điểm cung lớn BC Trang 12 Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC 3R Trang 13