VỊ TRÍ TƯƠNG ĐễI CỦA ĐƯỜNG THẮNG VÀ ĐƯỜNG TRềN.
1, LÍ THUYẾT.
Trong một đường tròn:
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hai dây của một đường tròn:
Dây nào lớn hớn thì gần tâm hơn.
Chú ý:
Dây nào gần tâm hơn thì lớn hớn.
Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
2, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẢ̉NG VÀ ĐƯỜNG TRềN.
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau:
Khi đó OH<R và HA=HB=√R2−O H2.
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:
Đường thẳng yà đường tròn không giao nhau:
Khi đó OH>R.
Định lí:
Nếu đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O) thì (d) vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho (O) hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn.
Bài 2: Cho (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM=BN. Gọi C là giao điểm của AM và BN.
a, Chứng minh OC là tia phân giác ^AOB. b, Chứng minh OC⊥AB.
Bài 3: Cho (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại M. Biết ^BMD=30∘, MC=4cm, MD=12cm. Tính khoảng cách từ O đến CD.
Bài 4: Cho (O) có hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại 1 điểm S ở bên ngoài đường tròn ( A
Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy là $12cm $. Vẽ đường tròn (A ;13cm). a, Chứng minh (A) có hai giao điểm với xy.
b, Gọi hai giao điểm là B và C. Tính BC.
Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD có A= ´´ D=90∘, AB=4cm, BC=13cm , CD=9cm. a, Tính AD.
b, Chứng minh AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Bài 7: Cho (O ;OA), Dây CD là trung trực của OA.
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB.
a, Chứng minh CE=CF. b, AC là tia phân giác ^BAE. c, Chứng minh C H2=AE . BF.
Bài 9: Cho △ABC vuông tại A, vẽ đường tròn (B ;BA) và đường tròn (C ;CA) chúng cắt nhau tại D ( khác A ). Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Bài 11: Cho hình thang vuông ABCD có A= ´´ D=90∘. Gọi M là trung diểm của AD, biết ^BMC=90∘. a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
b , BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AD.
Bài 12: Cho hình vuông ABCD, trên dường chéo BD lấy điểm I, sao cho BI=BA. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AD tại E. Chứng minh BD là tiếp tuyến của (E ; EA).
Bài 13: Cho △ABC đều, đường cao BD và CE cắt nhau tại H , AH cắt BC tại M. a, Chứng minh 4 điểm A , D , H , E cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A , D , H , E.
Bài 14: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C nằm trên nửa đường tròn sao cho BC=BO. Tia AC cắt tiếp tuyến kẻ từ B với nửa đường tròn tại D.
a, Chứng minh BC2=AC . CD.
b, Cho bán kính đường tròn (O) là 4cm. Tính BD.
Bài 15: Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây CD/¿AB¿ thuộc cung AD ). Qua A kẻ đường thẳng song song với CB cắt (O) tại E , ED cắt AB tại F. Qua F kẻ đường thẳng song song với BC cắt DC tại G.
a, Chứng minh ACBE là hình chữ nhật.
b, Chứng minh AG // ED.
c, GA có là tiếp tuyến của (O) tại A hay không?
Bài 16: Cho △ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau tại I. a, Chứng minh đường tròn đường kính AI đi qua K.
b, HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 17: Cho △ABC nội tiếp đường tròn (O ; R), đường kính BC. Gọi H là trung điểm của AC. Tia OH cắt (O) tại M. Từ A vẽ tiếp tuyến với (O) cắt tia OM tại N.
a, Chứng minh OM/¿AB.
b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của (O).
Bài 18: Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH, đường tròn (I) đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn (J) đường kính HC cắt AC tại F.
a, Chứng minh AH là tiếp tuyến của hai đường tròn (I),(J). b, EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F.
Bài 19: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn, ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a, Chứng minh MC=MD.
b, Chứng minh AD+BC có giá trị không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
c, Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AD , BC và AB. d, Xác định vị trí của M trên nửa (O) sao cho ABCD có diện tích lớn nhất.
Bài 20: Cho điểm E thuộc nửa đường tròn (O), đường kính MN. Kẻ tiếp tuyến tại N của đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt ME tại D.
a, Chứng minh △MEN vuông tại E và DE . DM=D N2.
b, Từ O kẻ OI⊥ME. Chứng minh O , I , D , N cùng thuộc một đường tròn.
c, Vẽ đường tròn đường kính OD cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là A. Chứng minh DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
D, Chứng minh ^DEA=^DAM.
Bài 21: Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. C là điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AC>BC , C khác A và B. Kẻ CH⊥AB và OI⊥AC.
a, Chứng minh C , H , O, I cùng thuộc 1 đường tròn.
b, Kẻ tiếp tuyến Ax của (O ; R), Tia OI cắt Ax tại M. Chứng minh OI . OM=R2. Tính OI biết OM=2R , R=6cm.
c, Gọi giao điểm BM với CH là K. Chứng minh △AMO△HCB và CK=KH. d, Tìm vị trí của C để chu vi △OHC đạt giá trị lớn nhất. tìm giá trị đó theo R.
Bài 22: Cho nửa đường tròn O, đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn. Từ C kẻ CH⊥AB. Gọi M là hình chiếu của H trên AC , N là hình chiếu của H trên BC.
a, Chứng minh tứ giác HMCN là hình chữ nhật.
b, Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH. c, Chứng minh MN⊥CO.
d, Xác định C để MN có độ dài lớn nhất.
Bài 23: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C¿ khác A và B¿, KẻOK⊥BC tại K. Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O) và I là trung điểm của AD.
a, Chứng minh OK/¿AC và BC⋅BD=4R2.
b, Chứng minh IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
c, Từ C kẻ CH⊥AB, BI cắt CH tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của CH.
Bài 24: Cho (O ; R), đường kính AB. Lấy C thuộc đường (O) ( C khác A và B ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M.
a, Chứng minh △ABC là tam giác vuông và BC⋅BM=4R2.
b, Gọi K là trung điểm của MA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của (O).
c, Tia KC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại D. Chứng minh MO⊥AD.
Bài 25: Cho đường tròn (O) đường kính AB và C là một điểm trên đường tròn ( C khác A và B ). Kẻ CH⊥AB. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại M , MB cắt CH tại K. a, Chứng minh OI⊥AC và △ABC vuông tại C.
b, Chứng minh MC là tiếp tuyến (O). c, Chứng minh K là trung điểm của CH.
Bài 26: Cho đường tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ( B là tiếp điểm). Kẻ dây BC⊥AO tại H.
a, Chứng minh OH là tia phân giác ^BOC và AC là tiếp tuyến của (O). b, Kẻ đường kính BD của (O), kẻ CK⊥BD. Chứng minh BK . BD=4R2.
Bài 27: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Gọi I là trung điểm của OB. Qua I kẻ dây CD vuông góc với OB. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E.
a, Chứng minh OI . OE=R2.
b, Chứng minh ED là tiếp tuyến của (O).
c, Gọi F là trung điểm của dây AC. Chứng minh ba điểm D , O, F thẳng hàng.
Bài 28: Cho đường tròn (O) dây AB. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại C.
a, Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b, Vẽ đường kính BOD. Chứng minh AD/¿OC.
c, Cho biết bán kính của đường tròn là 15cm , AB=24cm. Tính OC.
Bài 29: Cho △ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) đường kính BC. H là trung điểm của AC. Tia OH cắt (O) tại M. Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt tia OM tại N.
a, Chứng minh OM/¿AB.
b, Chứng minh CN là tiếp tuyến của (O).
Bài 30: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, Lấy C nằm trên nửa đường tròn (O). Gọi K là trung điểm của dây cung BC, Qua B dựng tiếp tuyến với (O) cắt OK tại D.
a, Chứng minh DO⊥BC. b, Chứng minh △ABC vuông.
c, Chứng minh DC là tiếp tuyến (O).
d, Vẽ CH⊥AB tại H, Gọi I là trung điểm của CH. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt BI tại E.
Chứng minh E, C, D thẳng hàng.
Bài 31: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d') với đường tròn. Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d') ở P. Từ O vẽ tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d') ở N.
a, Chứng minh OM=OP và △MNP cân.
b, Hạ OI⊥MN. Chứng minh OI=R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). c, Chứng minh AM⋅BN=R2.
Bài 32: Cho đường tròn (O), đường kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) ( C khác A và B ). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại M.
a, Chứng minh △ABC vuông và B A2=BC⋅BM.
b, Gọi K là trung điểm của MA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O). c, KC cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại D. Chứng minh △KOD vuông.
d, Xác định tâm của đường tròn nội tiếp △BCD.
Bài 33: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của (O). Trên Ax lấy điểm M¿ M khác A ), Từ M vẽ tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AC. Đường thẳng MB cắt (O) tại D¿ nằm giữa M và B )
a, Chứng minh OM⊥AC tại H.
b, Chứng minh MD . MB=MH . MO và ^MHD=^MBA.
c, Gọi K là trung điểm của BD. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OK tại E. Chứng minh A , E ,C thẳng hàng.
b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O ; R).
c ,CD là đường kính của (O ; R). Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AD tại E và cắt CB tại F.
Chứng minh ODF^=90∘.
Bài 35: Cho điểm C thuộc đường tròn (O) đường kính AB sao cho AC<BC. Gọi H là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt OH tại D.
a, Chứng minh DH . DO=D B2.
b, Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c, Đường thẳng AD cắt (O) tại E. Gọi M là trung điểm của AE. Chứng minh D , B , M ,C cùng thuộc một đường tròn.
d, Gọi I là trung điểm của DH , BI cắt (O) tại F. Chứng minh A , H , F thẳng hàng.
Bài 36: Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O) ( C không trùng với A và B¿. Gọi I là trung điểm của AC. Gọi D là giao của tia OI và tiếp tuyến (O) tại A.
a, Chứng minh △ABC vuông.
Bài 37: Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH=9cm , HC=16cm và tan^ACB=34. a, Tính AH và AC.
b, Vẽ đường tròn (B ;BA). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn.
c, Tia AH cắt (B) tại D¿ khác A ). Vẽ tiếp tuyến Dx của (B) với D là tiếp điểm. Chứng minh Dx đi qua C.
d , BC cắt (B) tại E. Chứng minh AE là tia phân giác ^HAC và EG⋅tan^ABC=EC⋅sin^ABC.
Bài 38: Cho đường tròn (O ; R). Điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O) tại C và D¿ nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD. Kẻ AH⊥MO tại H.
a, Tính $ OH.OM$ theo R.
b, Chứng minh A , M , I , O cùng thuộc một đường tròn.
Bài 39: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB=2R cố định và một đường kính MN của (O) thay đổi ( MN khác với AB ). Qua A vẽ đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đường tròn, (d) cắt BM và BN lần lượt tại C và D.
a, Tứ giác AMBN là hình gì?
b, Chứng minh BM . BC=BN . BD.
c, Tìm vị trí của đường kính MN để CD có độ dài nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất theo R.
ĐÁP ÁN BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA CUNG – DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRềN
A O
a) Xét tam giác AOB và tam giác COD có:
OA = OB = OC = OD (1)
AB = CD sd AB sdCD AOB COD (2) Từ (1) và (2) ta suy ra AOB = COD
A D B C
Từ đó ta có: OBI ODI B ( D)
Tứ giác OBDI nội tiếp
BIO BDO (3) Tương tự tứ giác OCAI nội tiếp
CIO CAO (4) Từ AOB COD AOCBOD
AOC BOD
(tam giác cân có góc đỉnh và cạnh bên bằng nhau)
CAO BDO
(5)
Từ (3), (4), (5) suy ra BIO CIO
Vậy IO là tia phân giác BIC hay IO là tia phân giác của một góc tạo bởi dây AB và CD.
b) Xét tam giác CIO và tam giác BIO có
Mà AB = CD ID = IA
Vậy I chia AB và CD thành hai đoạn tương ứng: IA = ID, IB = IC.
Bài 2.
N
M
O B
A C
a) Xét tam giác AMO và tam giác BNO có:
AM = NB (gt) OA = OB (= R) OM = ON (= R)
AMOBNO c g c( . . )
MAO NBO (hai góc tương ứng) Hay CAO CBO
Xét tam giác CAO và tam giác CBO có:
CA = CB
CAO CBO (cmt) OA = OB (= R)
CAOCBO c g c( . . )
AOC COB
Hay OC là tia phân giác của AOB b) Xét tam giác AOB có
OA = OB = R
OC là tia phân giác của AOB
OC là đường cao của tam giác AOB.
4cm
B M
O A
C
a) CD = MC + MD = 4 + 12 = 16 (cm) Vì OH CD H là trung điểm CD.
1 1
.16 8( )
2 2
HD HC CD cm
Xét tam giác OHM vuông tại H có OMH BMD30 Ta có:
tan OH
OMH MH
tan 30 OH
MD HD
3
3 12 8
OH
4 3( ) OH 3 cm
Vậy khoảng cách từ O đến CD là
4 3 3 cm
.