1, ĐINH LÍ.
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn ( M , N là các tiếp điểm).
a, Chứng minh OA⊥MN.
b, Vẽ đường kính NOC, Chứng minh MC/¿AO. c, Cho OM=3cm, OA=5cm. Tính các cạnh △AMN.
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB¿, By, nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By tại N.
a, Tính ^MON.
b, Chứng minh MN=AM+BN. c, Chứng minh AM . BN=R2.
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Gọi C và D là hai điểm di chuyển trên cung tròn sao cho góc COD^=90∘ ( C nằm giữa A và B ). Tiếp tuyến tại C và D cắt đường thẳng AB lần lượt tại F và G. Gọi E là giao điểm của FC và GD.
a, Tính chu vi tam giác △ECD theo R.
b, Khi tứ giác FCDG là hình thang cân. Tính FGAB. c, Chứng minh $FC.DG$ không đổi.
d, Tìm vị trí của C, D sao cho tích $AD.BC$ lớn nhất.
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AD, Vẽ tiếp tuyến tại A của đường tròn, từ C trên tiếp tuyến đó vẽ tiếp tuyến thứ hai CM của (O) ( M là tiếp điểm và M khác A ) cắt AD tại B.
a, Cho AC=6,AB=8. Tính BC, BM.
b, Chứng minh BM . AC=BA . MO suy ra bán kính (O).
Bài 5: Cho đường tròn (O ; R) lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K. a, Tính AB theo R.
b, Tính số đo ^BOA.
c, Chứng minh △OAK cân tại K.
Bài 6: Cho ba điểm A , B , C theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. vẽ đường tròn (O ; R) có đường kính là BC. Từ A kẻ tia tiếp tuyến AM với đường tròn ( M là tiếp điểm). Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt AM tại D. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt đường thẳng AM ở E.
a, Chứng minh MD . ME=R2.
b, Chứng minh EC là tiếp tuyến của đường tròn.
c, Chứng minh DM . AE=AD . EM
Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính MN, tiếp tuyến Nx. Qua A trên nửa đường tròn ( A không trùng với M , N ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Nx ở B. Tia MA cắt Nx ở C.
Bài 8: Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn, Qua A vẽ các tiếp tuyến AB và AC với (O) ( B ,C là các tiếp điểm). vẽ đường kính BOD của (O).
a, Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh rằng DC/¿OA.
c, Đường trung trực của BD cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh OCEA là hình thang cân.
Bài 9: Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn đó, qua A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) ( B và C là các tiếp điểm). Vẽ đường kinh BOD của (O).
a, Chứng minh A , B , O ,C cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh DC/¿OA.
c, Đường trung trực của BD cắt CD tại E. Chứng minh tứ giác OCEA là hình thang cân.
Bài 10: Cho (O ;3cm) và điểm A sao cho OA=5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB , AC với (O) ( B ,C là các tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a, Tính độ dài OH.
b, Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Tính chu vi △ADE.
Bài 11: Cho (O ;2cm) các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A¿, C là các tiếp điểm)
a, Tứ giác ABOC là hình gì?
Bài 12: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R), kẻ tiếp tuyến AB , AC với (O), ( B và C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của BC và OA.
a, Chứng minh AO⊥BC.
b, Cho OA=10cm, R=5cm. Tính OH và BC.
c, Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Khi (O ; R) cố định.
Xác định A để △AEF có diện tích nhỏ nhất.
Bài 13: Cho đường tròn (O ; R) và A là một điểm cố định thuộc đường tròn. Kẻ đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn tại A. Trên đường thẳng (d) lấy điểm M¿ khác A¿, kẻ dây cung AB⊥OM tại H.
c, Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA và MB lần lượt tại P và Q. Tìm M để diện tích
△MPQ có giá trị nhỏ nhất.
Bài 14: Cho điểm A năm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (O) ( B ,C là các tiếp điểm)
a, Chứng minh A , B , O ,C cùng thuộc một đường tròn và AO⊥BC.
b, Trên cung nhỏ BC của (O) lấy M bất kì ( M khác B ,C và đoạn AO ). Tiếp tuyến tại M cắt AB , AC lần lượt tại D và E. Chứng minh chu vi △ADE bằng $2.AB $.
c, Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh 4.PD.
QE=P Q2.
a, Chứng minh 4 điểm A , O , B , M cùng thuộc một đường tròn.
b, Tính tỉ số OHOM.
c, Gọi E là giao điểm của CM và đường tròn (O). Chứng minh HE⊥BE.
Bài 17: Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) ( A và B là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BC của (O).
a, Chứng minh A , B , O , M cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh OI . OM=O A2.
c ,QuaO vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh FC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 18: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O ; R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O). a, Chứng minh OA⊥BC tại H và bốn điểm A , B , C ,O cùng nằm trên 1 đường tròn.
b, Vẽ đường kinh BD của (O), vẽ CK⊥BD tại K. Chứng minh AC .CD=CK . AO. c, Tia AO cắt (O) tại M và N¿ nằm giữa A và N ). Chứng minh MH . NA=MA . NH.
Bài 20: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB. Gọi H là trung điểm của OA , QuaH kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt (O) tại C và D.
a, Tứ giác ACOD là hình gì?
b, Qua D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt OA tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O) và △MCD đều.
Bài 21: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) ( B ,C là các tiếp điểm).
Bài 22: Cho đường tròn (O) có bán kính R. Qua điểm M ở ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn ( A , B là tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn.
a, Chứng minh OM⊥AB tù đó chứng minh CB/¿OM.
b, Gọi K là giao điểm thứ hai của MC với đường tròn (O). Chứng minh CK .CM=4R2. c, Chứng minh ^MBK=^MCB.
Bài 23: Cho đường tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) ( B ,C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a, Chứng minh A , B , C ,O cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh OA là đường trung trực của BC.
c, Lấy điểm D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn AD với đường tròn (O)¿ không trùng với D ). Chứng minh DE . BA=BD⋅BE.
d, Tính ^HEC.
Bài 24: Cho đường tròn (O ; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến ME và MF đến đường tròn ( E , F là các tiếp điểm)
a, Chứng minh M , E , O , F cùng thuộc một đường tròn.
b, Đoạn OM cắt (O) tại I. Chứng minh EI là phân giác ^FEM.
c, Kẻ đường kính ED của (O ; R). Hạ FK⊥ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chứng minh P là trung điểm của FK.
Bài 25: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
a, Tính ^MAO và chứng minh ^MAB=^MBA.
b, Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt AB và MB lần lượt tại I và S. Chứng minh △SOM cân và SI+SO=MB.
c, Gọi G là điểm đối xứng với O qua S. MO cắt AG ở E và cắt AB ở H. Chứng minh EH . EO<E G2.
Bài 26: Cho đường tròn (O ; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM=2R. Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với (O)¿ là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OM cắt AB tại H và cắt (O) tại C.
a, Chứng minh OM⊥AB tại H.
b, Chứng minh tứ giác AOBC là hình thoi.
c, Trên tia đối của tia AB lấy D ( D khác A ). vẽ hai tiếp tuyến DN và DK của (O) ( N, K là các tiếp điểm). Chứng minh M , N , K thẳng hàng.
Bài 27: Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx, Lấy điểm M thuộc (O) ( M khác A và B ) sao cho MA>MB. Tia AM cắt Bx tại C. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O) ( D là tiếp điểm)
a, Chứng minh OC⊥BD.
b, Chứng minh O , B , C , D cùng thuộc một đường tròn.
Bài 28: Cho đường tròn (O ;3cm). Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm)
a, Chứng minh AO⊥BC.
b, Kẻ đường kính BD. Chứng minh DC song song với OA. c, Tính chu vi và diện tích △ABC.
d, Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt DC tại E . AE cắt OC tại I, OE cắt AC tại G. Chứng minh IG là trung trực của OA.
Bài 29: Cho đường tròn (O ; R) có đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho AM<MB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt OM tại S. Đường cao AH của △SAO ( H thuộc SO¿ cắt đường tròn (O) tại D.
a, Chứng minh OH . OS=R2.
b, Chứng minh SD là tiếp tuyến của (O).
c, Kẻ đường kính DE của (O). Gọi r là bán kinh đường tròn nội tiếp △SAD. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp △SAD và tính AE theo R và r.
d, Cho AM=R. Gọi K là giao điểm của BM và AD. Chứng minh M D2=6⋅KH⋅KD
Bài 30: Lấy điểm A trên đường tròn (O ; R), Vẽ tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm B, trên (O) lấy C sao cho BC=AB.
d, Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O).
b, Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK⊥AD. Chứng minh CD/¿OB và BC⋅DC=CK .OB.
c, Lấy M trên cung nhỏ AC của (O). Vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB , BC lần lượt tại E , F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp △BFE. Chứng minh △MAC△IFE.
Bài 31: Cho đường tròn (O ; R) và H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với OH. Từ một điểm S trên đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến SA và SB với (O) ( A , B là hai tiếp điểm). Gọi M và N lần lượt là giao của SO với AB và đường tròn (O ; R).
a, Chứng minh S , A ,O , B cùng nằm trên 1 đường tròn.
b, Chứng minh OM . OS=R2.
c, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp △SAB.
d, Khi S di chuyển trên d thì M di chuyển trên đường nào?
Bài 32: Cho đường tròn (O ; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MA và MB¿ là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
a, Chứng minh OM⊥AB và OH . OM=R2.
c Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt MA và MB lần lượt tại C và D. Biết MA=5cm. Tính chu vi △MCD.
d, Qua O kẻ đường thẳng d⊥OM cắt MA và MB lần lượt tại E và F. Xác định M để △MEF có diện tích nhỏ nhất.
Bài 33: Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A ; AH), kẻ các tiếp tuyến BD và CE với đường tròn ( D , E là các tiếp điểm).
a, Chứng minh D , A , E thẳng hàng.
b, Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Bài 34: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax , By ( Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D.
Bài 35: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax , By ( Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC , H là giao MN và AB.
a, Chứng minh MN⊥AB. b, Chứng minh MN=NH.
Bài 36: Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d') với đường tròn (O). Một đường thẳng đi qua O cắt (d) ở M và cắt (d') ở P. Từ O kẻ tia vuông góc với MP và cắt (d') tại N. Kẻ OI⊥MN tại I.
a, Chứng minh OM=OP và △NMP cân.
b, Chứng minh OI=R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 37: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn ( Ax, By cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa (O) ). Qua M nằm trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt ở D và E.
a, Chứng minh ^DOE=90∘. b, Chứng minh AD⋅BE=R2.
c, Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích ADEB nhỏ nhất.
Bài 38: Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa
Bài 39: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Trên nửa mặt phẳng có bờ là AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Từ điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn ( M khác A , B ) vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của CO và AM , F là giao điểm của DO và BM.
a, Chứng minh A , C , M , O cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh AC+BD=CD và tứ giác MEOF là hình chữ nhật.
c, Chứng minh tích $ AC . BD $ không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
Bài 40: Cho nửa đường tròn (O ; R) có đường kính AB. Gọi Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn ( Ax, By và nửa đường tròn cùng nằm trên một nửa mặt phẳng). Qua E thuộc nửa đường
c, Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
d, Giả sử AE=R. Gọi I là giao điểm của AE và OC. Tính độ dài IC theo R.
Bài 41: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB=2R. Trên đường tròn (O) lấy điểm M(MA<MB). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D.
a, Chứng minh CD=AC+BD.
b, Vẽ đường thẳng BM cắt tia AC tại E và vẽ MH⊥AB. Chứng minh OC/¿MB và ME . MB=AH . AB .
c, Chứng minh HM là tia phân giác CHD^.
Bài 43: Cho đường tròn (O ;4cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc AO sao cho OH=1cm. Kẻ dây cung DC⊥AB tại H.
a, Chứng minh △ABC vuông tại A và tính AC.
b, Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh △CBD cân và DHEC=EADB.
c, Gọi I là trung điểm của EA, đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) và
^ICQ=^CBI.
d, Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB , HC và AF đồng quy.
a, Chứng minh A , M , C , H cùng thuộc một dường tròn.
b, Gọi I là giao điểm của AC và MH. Chứng minh A M2=AI . AC.
c, Kẻ đường kính MD của đường tròn (A). Đường thẳng qua A và vuông góc với CD tại A cắt MH tại F. Chứng minh BD là tiếp tuyến của (A). Chứng minh D , F , B thẳng hàng.
d, Đường tròn đường kính BC cắt đường tròn (A) tại P và Q. Gọi G là giao điểm của PQ và AH.
Chứng minh G là trung điểm của AH.
Bài 45: Cho (O ;3cm) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB¿, B là hai tiếp điểm) sao cho ^AMB=60∘.
a, △AMB là tam giác gì?
b, Qua điểm C trên cùng nhỏ AB, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA , MB lần lượt tại P và Q. Tính
^POQ.
c, Tính chu vi △MPQ.
Bài 46: Cho điểm M nằm ngoài (O ; R). Gọi MA , MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính AD của (O). Gọi H là giao điểm của OM và AB. I là trung điểm của BD.
Bài 47: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M , N là các tiếp điểm)
a, Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt AN ở S. Chứng minh SO=SA. b, Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt ON ở I. Chứng minh OI=AI.
Bài 48: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Bx. Qua điểm C trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx tại M. Tia AC cắt Bx tại N.
c, Kẻ CH⊥AB, AM cắt CH tại I. Chứng minh I là trung điểm của CH.
Bài 49: Cho △ABC có AB=5cm , AC=7cm , BC=6cm ngoại tiếp đường tròn (O) và đường tròn (O1) bàng tiếp góc A tiếp xúc với cạnh BC tại D và phần kéo dài của AB , AC lần lượt tại E , F.
a, Chứng minh A , O ,O1 thẳng hàng.
b, Tính AE , AF , BE và CF.
Gọi H là giao điểm OO’ và AB.
Các tam giác OAB, O’AB cân tại O và O’ nên OO’ là trung trực của AB Trong tam giác ABC, OH là đường trung bình
BC // OH BC // OO’
Tương tự: BD // OO’
Vì BC và BD cùng song song với OO’ nên BC và BD cùng nằm trên một đường thẳng song song với OO’.
Vậy C, B, D thẳng hàng.
Ta có: CD // OO’ mà ABOO' ABCD Vậy ABCD.
Bài 2.
Hình thang OO’KH có OI = IO’; IA // OH // O’K Nên AH = AK.
Ta lại có: 2 ; 2
AC AD
AH AK ACAD Bài 3.
a) Xét (O) có đỉnh A trên (O) CO’ là đường kính (O)
CAO ' 90 CAAO'
CA là tiếp tuyến của (O’)
O’I là đường cao Mà CB O I ' I I là trực tâm
KI là đường cao còn lại
KI CO' (1)
Tứ giác CAO’E là hình chữ nhật (vì ECA CAO 'AO E' 90)
CE = AO’
Mà AO’ = O’B = R (O’) CE = O’B
CEO'CBO c g c'( . . )
ECO 'CO B '
tam giác CKO’ cân tại K
KO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
KOCO' (2)
Từ (1) và (2) K, I, O’ thẳng hàng Bài 4.
a) Vì A, I, B thẳng hàng nên BI = AB – AI
Vậy đường tròn (I; IA) tiếp xúc với đường tròn (B; BA) tại A
Bài 5.
a) Kẻ tiếp tuyến tại A cắt CD tại M
MA = MD; MA = MC
1 MA2CD
tam giác DAC vuông tại A (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
DAC90
b) Kẻ O N' OC O’DCN là hình chữ nhật
CD = O’N
Mà O N' 2 OO'2 ON2 6,52 (4,5 2) 2 36
O’N = 6 CD = 6