Hh9 chủ đề 14 góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ( 1 buổi )

HH9-CHỦ ĐỀ 14 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây  Ví dụ: xAB tạo tia Ax dây AB cung nửa số đo cung bị chắn  xAB  sđ ABC Chú ý: Tránh nhầm lẫn cung nhỏ AmB cung lớn AnB Hệ - Ví dụ: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung  tạo tia Ax dây AB , xAB   sđ AB suy xAB AKB góc nội tiếp chắn AB , Định lí đảo -  suy AKB  sđ AB Do xAB  AKB Ví dụ:  Nếu BAx với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc Ax tia tiếp tuyến đường trịn Trang 1   sđ AB  AOB Ax tiếp tuyến Nếu xAB đường tròn Chú ý: Đây coi phương pháp hữu hiệu để chứng minh tia tiếp tuyến đường tròn Trang B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh góc nhau, đẳng thức tam giác đồng dạng Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  Tiếp tuyến A cắt BC K KB AB  KC AC a) Chứng minh b) Tính KA, KC biết AB 20cm, AC 28cm, BC 24cm Lời giải a) Xét BAK ACK ta có  AKB góc chung; KAB  ACB  sd AB (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB ) AB KB KA AB KB KA KB Do dó BAK ~ ACK (g.g)        AC KA KC AC KA KC KC b)  Theo chứng minh câu a), ta có BAK ~ ACK (g.g) AK BK AB KA KC  24 20       CK AK CA KC KA 28 Giải tìm KA 35cm; KC 49cm Câu Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với (O) ( B, C tiếp điểm) Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm A N) Gọi K giao điểm cuả AO BC Đoạn AO cắt đường tròn  O  I Chứng minh a) AK AO  AM AN b) I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Trang a)   Xét ABM ANB có BAM góc chung; ABM  ANB  sđ BM (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung) Do ABM ANB( g g )  AB AM   AB  AM AN (1) AN AB Vì AO  BC K nên BK đường cao tam giác ABO Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABO vng B , ta có AB  AK AO (2) Từ (1) (2) suy AK AO  AM AN b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOB  AOC   AO phân giác BAC (*)  2 ABI ; Mặt khác AOB sđ IB AOC sđ IC  2 IBC   Suy ABI IBC  BI phân giác ABC (**) Từ (*) (**) suy I tâm đường tròn nội tiếp ABC Câu Cho đường trịn  O; R  đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP  R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh BM //OP b) Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành c) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I, PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải a) Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM , AOM góc tâm chắn cung AM AOM (1)  ABM  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOM AOP MOP  (2)  AOP  Từ (1) (2) suy ABM  AOP Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên BM //OP (3) b) Xét hai tam giác AOP OBN có Trang    (chứng minh câu a) PAO  NOB 90 ; OA OB R; AOP OBN Do AOP OBN ( g c.g )  OP BN (4) Từ (3) (4) suy tứ giác OBNP hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song nhau) c) Tứ giác OBNP hình bình hành  PN //OB hay PJ //AB Mà ON  AB nên ON  PJ Ta có PM  OJ (PM tiếp tuyến) Mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ  JI  OP (5)   Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO  AON ONP 90  K trung điểm PO  AONP hình chữ nhật  APO  NOP  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PO tia phân giác APM  APO MPO   Suy OPI IOP(  AOP )  OIP cân I Mặt khác K trung điểm OP  IK  OP (6) Từ (5) (6) suy I , J , K thẳng hàng (điều phải chứng minh) Câu Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường trịn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax T Tia phân giác góc TAM cắt nửa đường tròn E , cắt tia BM Tại F Tia BE cắt Ax H , cắt AM K a) Chứng minh AT TM TB b) Chứng minh tam giác BAF tam giác cân c) Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi Lời giải  a) Ta có TAB 90 (vì AT tiếp tuyến đường trịn)  ATB vng A Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng vào tam giác ATB có đường cao AM, ta AT TM TB (điều phải chứng minh)  b) Theo giả thiết AE tia phân giác TAM    (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung  TAE MAE  AE ME góc nội tiếp đường trịn)  (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)  ABE MBE  BE tia phân giác ABF (1)  Mặt khác HAK (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  BE  AF hay BE đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) suy tam giác BAF tam giác cân B Trang c) Theo chứng minh câu b) ta có BAF tam giác cân B có BE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến  E trung điểm AF (3) Từ BE  AF  AF  HK (4)   Mặt khác theo giả thiết AE tia phân giác TAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) suy HAK tam giác cân A Mà AE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến  E trung điểm HK (6) Từ (3), (4) (6) suy AKFH hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường hình thoi) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, tia tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải a) Chứng minh hai đường thẳng song song: + Chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba cặp góc so le nhau, cặp góc đồng vị nhau… b) Chứng minh tia tiếp tuyến đường tròn: + Chứng minh tia vng góc với bán kính qua gốc tia + Dùng phương pháp phản chứng  Câu Chứng minh định lí đảo định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: “Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB) có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn” Hướng dẫn giải Cách 1: Kẻ đường kính AC, nối BC   sđ AB (góc nội tiếp chắn AB ) Ta có BCA  BAx  sđ AB (giả thiết)   Suy BCA (1) BAx Trang Cách 2: (Sử dụng phương pháp phản chứng) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax vẽ tia Ax' tia tiếp tuyến đường trịn  O  Ta có    sđ  (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB ; BAx AB   BAx  sd AB (giả thiết)   BAx  Suy BAx Câu Cho hai đường trịn (O) (O') tiếp xúc ngồi A Vẽ cát tuyến chung BAC DAE, B D thuộc (O), C E thuộc  O a) Chứng minh BD //CE b) Trong trường hợp BDCE hình bình hành? Hướng dẫn giải a) Kẻ tiếp tuyến chung xAy hai đường trịn Ta có  ABD DAx  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AD ) (1)    (hai góc đối đỉnh) (2) DAx EAy   EAy  ACE (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn AE ) (3) Từ (1), (2), (3) suy ABD  ACE mà ADB ACE hai góc vị trí so le nên BD //CE Trang b) Tứ giác BDCE có hai đường chéo BC DE cắt A BDCE hình bình hành AB  AC AD  AE   Tam giác OAB cân O (vì OA OB )  OBA (3) OAB  AC O  CA (4) Tam giác OAC cân O (vì OA OC )  O   AC (đối đỉnh) (5) Lại có OAB O    AC O  CA Từ (3), (4), (5) suy OBA OAB O Do OAB ~ OAC ( g g )  AB OA  AC OA Suy AB  AC  OA OA Theo ý a ta lại có AB AD  nên AB  AC  AD  AE AC AE Vậy trường hợp hai đường trịn có bán kính AB = AC AD  AE , BDCE hình bình hành Câu Cho hai đường trịn  O  , ( I ) tiếp xúc A, BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( B  (O), C  ( I )) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm IM AC Chứng minh: a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật b) ME.MO MF MI c) OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC d) BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OI Lời giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MA MB  AMB cân M Lại có ME tia phân giác AMB   ME  AB  MEA 90 (1)  Chứng minh tương tự ta có MFA 90 (2)   Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MO MI tia phân giác hai góc kề bù BMA CMA   MO  MI  EMF 90 (3) Từ (1), (2) (3) suy tứ giác MEAF hình chữ nhật b) Theo giả thiết AM tiếp tuyến chung hai đường tròn  MA  OI  MAO vng A có AE  MO (theo ME  AB )  MA2 ME.MO (4) Tương tự ta xét tam giác vng MAI có AF  MI  MA2 MF MI (5) Từ (4) (5) suy ME.MO MF MI c) Đường tròn đường kính BC có tâm M theo MB MC MA , đường tròn qua A Trang có MA bán kính Theo OI  MA A  OI tiếp tuyến A đường trịn đường kính BC d) Gọi K trung điểm OI Ta có MK đường trung bình hình thang BCIO  KM  BC M (*)  Theo chứng minh câu a) OMI 90 nên M thuộc đường trịn đường kính OI  MK bán kính đường trịn đường kính IO (* *) Từ (*) (**) suy BC tiếp tuyến đường trịn đường kính IO AB   Câu Cho đường tròn  T ; R   Vẽ dây cung CD  AB H Gọi M điểm cung   CB, I giao điểm CB TM, K giao điểm AM CB Chứng minh a) KC AC  KB AB b)  MA tia phân giác CMD c) Chứng minh đường vng góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường tròn M Lời giải a)   MB  MC  Theo giả thiết M điểm BC   (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)  CAM BAM   AK tia phân giác góc CAB  b) KC AC  (tính chất tia phân giác tam giác) KB AB  Theo giả thiết CD  AB  A điểm CD    CMA DMA  MA tia phân giác góc CMD c) Kẻ MJ  AC ta có MJ //BC (vì vng góc với AC)  Theo giả thiết M điểm BC  TM  BC I  TM  MJ J Suy MJ tiếp tuyến đường tròn M Trang