HH9-CHỦ ĐỀ 14 GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây Ví dụ: xAB tạo tia Ax dây AB cung nửa số đo cung bị chắn xAB sđ ABC Chú ý: Tránh nhầm lẫn cung nhỏ AmB cung lớn AnB Hệ - Ví dụ: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung tạo tia Ax dây AB , xAB sđ AB suy xAB AKB góc nội tiếp chắn AB , Định lí đảo - suy AKB sđ AB Do xAB AKB Ví dụ: Nếu BAx với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc Ax tia tiếp tuyến đường trịn Trang 1 sđ AB AOB Ax tiếp tuyến Nếu xAB đường tròn Chú ý: Đây coi phương pháp hữu hiệu để chứng minh tia tiếp tuyến đường tròn Trang B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh góc nhau, đẳng thức tam giác đồng dạng Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Tiếp tuyến A cắt BC K KB AB KC AC a) Chứng minh b) Tính KA, KC biết AB 20cm, AC 28cm, BC 24cm Lời giải a) Xét BAK ACK ta có AKB góc chung; KAB ACB sd AB (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB ) AB KB KA AB KB KA KB Do dó BAK ~ ACK (g.g) AC KA KC AC KA KC KC b) Theo chứng minh câu a), ta có BAK ~ ACK (g.g) AK BK AB KA KC 24 20 CK AK CA KC KA 28 Giải tìm KA 35cm; KC 49cm Câu Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với (O) ( B, C tiếp điểm) Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm A N) Gọi K giao điểm cuả AO BC Đoạn AO cắt đường tròn O I Chứng minh a) AK AO AM AN b) I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải Trang a) Xét ABM ANB có BAM góc chung; ABM ANB sđ BM (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung) Do ABM ANB( g g ) AB AM AB AM AN (1) AN AB Vì AO BC K nên BK đường cao tam giác ABO Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABO vng B , ta có AB AK AO (2) Từ (1) (2) suy AK AO AM AN b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOB AOC AO phân giác BAC (*) 2 ABI ; Mặt khác AOB sđ IB AOC sđ IC 2 IBC Suy ABI IBC BI phân giác ABC (**) Từ (*) (**) suy I tâm đường tròn nội tiếp ABC Câu Cho đường trịn O; R đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh BM //OP b) Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành c) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I, PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải a) Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM , AOM góc tâm chắn cung AM AOM (1) ABM Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOM AOP MOP (2) AOP Từ (1) (2) suy ABM AOP Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên BM //OP (3) b) Xét hai tam giác AOP OBN có Trang (chứng minh câu a) PAO NOB 90 ; OA OB R; AOP OBN Do AOP OBN ( g c.g ) OP BN (4) Từ (3) (4) suy tứ giác OBNP hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song nhau) c) Tứ giác OBNP hình bình hành PN //OB hay PJ //AB Mà ON AB nên ON PJ Ta có PM OJ (PM tiếp tuyến) Mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ JI OP (5) Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO AON ONP 90 K trung điểm PO AONP hình chữ nhật APO NOP Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PO tia phân giác APM APO MPO Suy OPI IOP( AOP ) OIP cân I Mặt khác K trung điểm OP IK OP (6) Từ (5) (6) suy I , J , K thẳng hàng (điều phải chứng minh) Câu Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường trịn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax T Tia phân giác góc TAM cắt nửa đường tròn E , cắt tia BM Tại F Tia BE cắt Ax H , cắt AM K a) Chứng minh AT TM TB b) Chứng minh tam giác BAF tam giác cân c) Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi Lời giải a) Ta có TAB 90 (vì AT tiếp tuyến đường trịn) ATB vng A Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng vào tam giác ATB có đường cao AM, ta AT TM TB (điều phải chứng minh) b) Theo giả thiết AE tia phân giác TAM (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung TAE MAE AE ME góc nội tiếp đường trịn) (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ABE MBE BE tia phân giác ABF (1) Mặt khác HAK (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BE AF hay BE đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) suy tam giác BAF tam giác cân B Trang c) Theo chứng minh câu b) ta có BAF tam giác cân B có BE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến E trung điểm AF (3) Từ BE AF AF HK (4) Mặt khác theo giả thiết AE tia phân giác TAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) suy HAK tam giác cân A Mà AE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến E trung điểm HK (6) Từ (3), (4) (6) suy AKFH hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường hình thoi) Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, tia tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải a) Chứng minh hai đường thẳng song song: + Chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba cặp góc so le nhau, cặp góc đồng vị nhau… b) Chứng minh tia tiếp tuyến đường tròn: + Chứng minh tia vng góc với bán kính qua gốc tia + Dùng phương pháp phản chứng Câu Chứng minh định lí đảo định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: “Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB) có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn” Hướng dẫn giải Cách 1: Kẻ đường kính AC, nối BC sđ AB (góc nội tiếp chắn AB ) Ta có BCA BAx sđ AB (giả thiết) Suy BCA (1) BAx Trang Cách 2: (Sử dụng phương pháp phản chứng) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax vẽ tia Ax' tia tiếp tuyến đường trịn O Ta có sđ (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB ; BAx AB BAx sd AB (giả thiết) BAx Suy BAx Câu Cho hai đường trịn (O) (O') tiếp xúc ngồi A Vẽ cát tuyến chung BAC DAE, B D thuộc (O), C E thuộc O a) Chứng minh BD //CE b) Trong trường hợp BDCE hình bình hành? Hướng dẫn giải a) Kẻ tiếp tuyến chung xAy hai đường trịn Ta có ABD DAx (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AD ) (1) (hai góc đối đỉnh) (2) DAx EAy EAy ACE (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn AE ) (3) Từ (1), (2), (3) suy ABD ACE mà ADB ACE hai góc vị trí so le nên BD //CE Trang b) Tứ giác BDCE có hai đường chéo BC DE cắt A BDCE hình bình hành AB AC AD AE Tam giác OAB cân O (vì OA OB ) OBA (3) OAB AC O CA (4) Tam giác OAC cân O (vì OA OC ) O AC (đối đỉnh) (5) Lại có OAB O AC O CA Từ (3), (4), (5) suy OBA OAB O Do OAB ~ OAC ( g g ) AB OA AC OA Suy AB AC OA OA Theo ý a ta lại có AB AD nên AB AC AD AE AC AE Vậy trường hợp hai đường trịn có bán kính AB = AC AD AE , BDCE hình bình hành Câu Cho hai đường trịn O , ( I ) tiếp xúc A, BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( B (O), C ( I )) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm IM AC Chứng minh: a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật b) ME.MO MF MI c) OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC d) BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OI Lời giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MA MB AMB cân M Lại có ME tia phân giác AMB ME AB MEA 90 (1) Chứng minh tương tự ta có MFA 90 (2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MO MI tia phân giác hai góc kề bù BMA CMA MO MI EMF 90 (3) Từ (1), (2) (3) suy tứ giác MEAF hình chữ nhật b) Theo giả thiết AM tiếp tuyến chung hai đường tròn MA OI MAO vng A có AE MO (theo ME AB ) MA2 ME.MO (4) Tương tự ta xét tam giác vng MAI có AF MI MA2 MF MI (5) Từ (4) (5) suy ME.MO MF MI c) Đường tròn đường kính BC có tâm M theo MB MC MA , đường tròn qua A Trang có MA bán kính Theo OI MA A OI tiếp tuyến A đường trịn đường kính BC d) Gọi K trung điểm OI Ta có MK đường trung bình hình thang BCIO KM BC M (*) Theo chứng minh câu a) OMI 90 nên M thuộc đường trịn đường kính OI MK bán kính đường trịn đường kính IO (* *) Từ (*) (**) suy BC tiếp tuyến đường trịn đường kính IO AB Câu Cho đường tròn T ; R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M điểm cung CB, I giao điểm CB TM, K giao điểm AM CB Chứng minh a) KC AC KB AB b) MA tia phân giác CMD c) Chứng minh đường vng góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường tròn M Lời giải a) MB MC Theo giả thiết M điểm BC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) CAM BAM AK tia phân giác góc CAB b) KC AC (tính chất tia phân giác tam giác) KB AB Theo giả thiết CD AB A điểm CD CMA DMA MA tia phân giác góc CMD c) Kẻ MJ AC ta có MJ //BC (vì vng góc với AC) Theo giả thiết M điểm BC TM BC I TM MJ J Suy MJ tiếp tuyến đường tròn M Trang