Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG A Lý thuyết C Định nghĩa: B  *) Góc BAx có đỉnh nằm đường trịn cạnh Ax tia tiếp tuyến cạnh O n  chứa dây cung AB , góc BAx gọi góc tạo AB tiếp tuyến dây cung x A  +) AnB gọi cung bị chắn Định lý: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn  BAx  sđ AnB Ta có: B B B O x A y  BAx  sđ AB 900 sđ y O x A  BAx  sđ AB sđ y A x  BAx  sđ AB sđ Hệ quả: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp ACB BAx   sđ AnB chắn cung nhau:  Định lý bổ sung (Bổ đề): Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB ), có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên gó cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn B Bài tập Dạng 1: Chứng minh đẳng thức, góc Cách giải: Ta áp dụng kiến thức sau - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung - Hai góc kề đáy tam giác cân - Hai tam giác có hai cặp góc cặp góc cịn lại Bài 1: O Cho điểm A nằm ngồi đường trịn   Qua B A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với  O  ( B, C O tiếp điểm) Kẻ cát tuyến AMN với   ( A M nằm A N ) Gọi H  AO  BC H O M a) Chứng minh AB  AM AN b) I C Chứng N minh AH AO  AM AN O c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn   I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải ABM  ANB   sđ BM a) Ta có  ABM ANB  gg  b) Ta có AO đường trung trực BC nên  AO  BC Xét tam giác vuông AOB , có: AB  AH AO c) Chứng minh   ABI CBI   CI   BI : BI  BAC  I tâm đường tròn nội tiếp ABC Bài 2:  phân giác ABC mà AO tia phân giác O Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   A Tiếp tuyến A cắt BC I O IB AB  a) Chứng minh IC AC I C B b) Tính IA, IC biết AB 20cm , AC 28cm BC 24cm Lời giải    a) Xét BAI ACI có: I chung ACB BAI  BAI ACI  gg   AB IB AB IB    AC IA AC IA2 Mặt khác IA IB.IC  đpcm b) Do BAI #ACI  gg   AI BI AB IA IC  24      CI AI CA IC IA  IA 35cm; IC 49cm Bài 3: O Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   A O Tiếp tuyến A   cắt BC P a) Chứng minh tam giác PAC PBA O đồng dạng P b) Chứng minh PA PB.PC D M Chứng minh MB MA.MD Lời giải a) Ta có D M c) Tia phân giác góc A cắt BC  O B PAB#PCA  gg  C b) Vì PAB#PCA  gg   PA2 PB.PC  BAM MAC    MBC sđ BM c) Ta có  MAB#MBD  gg   MB MA.MD Bài 4: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB C Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trịn, gọi H 2a hình chiếu C AB M a Chứng minh CA phân giác a A H O  MCH b Giả sử MA a; MC 2a Tính AB CH theo a ? Lời giải  a Ta có: ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ACH B  ( phu.CAB  )     ACH  ACM ACM B  ( sd AC  )   b MAC MCB ( gg )  MA MC MC   MC MA.MB  MB  4a  AB 4a  a 3a MC MB MA  900 )  CM CO CH OM  CH  CM CO  2a.1,5a  6a COM (C OM 2,5a Xét Bài 5: B Cho nửa đường tròn  O F đường kính AB điểm C nửa đường tròn Qua D đoạn AB kẻ đường thẳng vng góc với AB I cắt BC F Tiếp tuyến nửa đường tròn C cắt đường vng góc D I Gọi E C giao điểm AC DF A    a So sánh IEC; ICE; ABC b EIC cân c IE IC FI Lời giải 0   a) Ta có ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  ECF 90  : chung  F     ABC IEC (1)   Xét CEF , DBF có: C D  ABC ICE  ( sd AC )(2)  IEC    ICE  ABC Lại có: b IEC cân I c) Ta có:   ICE    IEC  C 900 ; F 900      C1 F ICE IEC   ICF cân I  FI IC Bài 6: D O B Cho đường tròn  O; R  , A hai đường kính AB M CD vng góc với Trên tia đối tia CD lấy điểm S SA cắt đường tròn M , 1 S tiếp tuyến đường tròn M cắt CD P , P C D T BM cắt CD T Chứng minh O B a PT MA MT OA b PS PM PT c Biết PM R , tính TA.SM theo R Lời giải  a Ta có OMP 90  O   P 1 (cùng phụ O2 )  M   M (cùng phụ M )  PMT #OMA( gg )  PT MT   PT MA MT OA OA MA       b) S B (phụ góc MAB ), SNP OMB (phụ góc M )  PMS #OMB ( gg ) mà OMB cân O  PMS cân P  PS PM (1)   PMS  M 900     PTM  PTM  S 900   M  MPT   S PMS  Lại có: cân P  PM PT (2)  PS PM PT c) ATB#OMB( gg )  AT AB AT AB    ( SP PM )  AT MS  AB.PM 2R.R 2R   ATB#SPM  SMP#MOB(b)  SP MS PM MS Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, tia tiếp tuyến đường trịn Cách giải: Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung hệ hia góc nội tiếp Bài 1: Cho đường trịn  O; R  với A điểm cố định đường M O tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với   lấy M điểm thuộc tia Ax Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn  O  Gọi I K I trung điểm MA, K giao điểm B BI với  O  A O a) Chứng minh tam giác IKA IAB đồng dạng Từ C suy tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB O b) Giả sử MK cắt   C Chứng minh BC song song với MA Lời giải a) IAK IBA  gg   mà IA IM  IA IK  IB IA IM IK   IKM IMB  cgc  IB IM   b) Chứng minh IMK KCB  BC / / MA  đpcm Bài 2: Cho đường tròn  O I cắt C G D , tiếp tuyến chung MN song song O ,N với cát tuyến EDF , M E thuộc   M F thuộc  I  , D nằm E F Gọi K , H J N C I theo thứ tự giao điểm NC , MC với EF O E Gọi G giao điểm EM , FN Chứng minh: a) Các tam giác GMN DMN K D F H b) GD đường trung trực KH Lời giải    a) Ta có DMN E GMN    DNM  NFD DNG  GMN DMN b) Chứng minh MN đường trung trực GD  GD  EF  1 Gọi J giao điểm DC MN IM JN  CI     DH DK  CD  Ta có Mặt khác  JM  JN  JC.JD   DH DK   Từ (1)(2)  đpcm Bài 3: Cho nửa đường trịn  O K đường kính AB , tiếp tuyến Ax Gọi C điểm nửa  đường tròn Tia phân giác CAx cắt nửa E đường tròn E , AE BC cắt K C a ABK tam giác gì? Vì I b Gọi I giao điểm AC BE Chứng minh 2 IK / / Ax A c Chứng minh OE / / BC Lời giải  a) BE  AK ( E 90 ) O B   A  sd AE  B 1   B  A   sd EC    B  B   2 2  A  A ( gt )    ABK có BE đường cao, đường phân giác nên cân B b) I trực tâm ABK  KI  AB    OE / / BC ma : BC  AC  Bài 4: Cho đường trịn  O T đường kính B Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn A , qua M điểm T đường thẳng d kẻ tiếp tuyến TM Q với đường tròn ( M tiếp điểm ) Gọi P I Q hình chiếu cuả M AB đường thẳng d Chứng minh B a AM , PQ, OT đồng quy I   b MA tia phân giác QMO; TMP c AIQ, ATM , AIP, AOM đồng dạng Lời giải 10 P O A a Tứ giác APMQ hình chữ nhật  AM  PQ I Lại có TM TA (hai tiếp tuyến cắt nhau); OM OA  R   OT đường trung trực AM  OT cắt AM trung điểm I Vậy có đpcm AMP MAQ   ( slt )    AMP  AMQ  MA MAQ  AMT  sd AM     b tia phân giác PMT AMQ MAO    ( slt ) OAM cân O, ta có: OAM OMA  AMO  AMQ  MA phân giác  OMQ   c AIQ cân I , AMT cân T , có: IAQ MAT  IAQ#TAM ( gg )   Tương tự: AIP cân I , AOM cân O , có: IAP MAO  IAP#AOM ( gg ) Bài 5: Cho đường tròn  O , điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC cát B tuyến ADE với đường tròn ( D nằm A A E ) Tia phân giác cuả góc DBE cắt DE D O I CMR: I BD CD  a BE CE C b AI  AB  AC  c CI phân giác DCE Lời giải 11 2 E a) Xét ABD, AEB , có: A : chung  BD AB   ABD AEB ( gg )   (1)   E   sd BD  BE AE B   CD AC BD CD  (2), AB  AC (3)   BE CE Tương tự ta có: CE AE         b Ta có: I1 B2  E1 (góc ngồi tam giác), ABI B1  B3 B2  B3     Lại có: E1 B3  I1  ABI  ABI cân A  AI  AB    AI  AB  AC AB  AC   C   CD  E  C  C   C  E   I I  ACI  ICE 2 2 c cân A , lại có: (góc ngồi ), mà:  C   C (đpcm) 12