Bài 4 góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

BÀI GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG MỤC TIÊU  Kiến thức + Nắm khái niệm, định lí, hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung  Kỹ + Nhận biết góc tạo tia tiếp tuyến dây cung + Vẽ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với số đo cho trước + Chứng minh định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung + Vận dụng kiến thức góc tạo tia tiếp tuyến dây cung vào chứng minh góc nhau, hệ thức Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây  Ví dụ: xAB tạo tia Ax dây AB cung nửa số đo cung bị chắn  xAB  sđ ABC Chú ý: Tránh nhầm lẫn cung nhỏ AmB cung lớn AnB Hệ - Ví dụ: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung  tạo tia Ax dây AB , xAB   sđ AB suy xAB AKB góc nội tiếp chắn AB , Định lí đảo  suy AKB  sđ AB Do xAB  AKB Ví dụ:  - Nếu BAx với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc Ax tia tiếp tuyến đường tròn Trang   sđ AB  AOB Ax tiếp tuyến Nếu xAB đường tròn Chú ý: Đây coi phương pháp hữu hiệu để chứng minh tia tiếp tuyến đường tròn Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Định lí Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn sđ Hệ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung VÀ DÂY CUNG CUNG CUNG Định lí đảo Nếu với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc Ax tia tiếp tuyến đường tròn Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh góc nhau, đẳng thức tam giác đồng dạng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  Tiếp tuyến A cắt BC K a) Chứng minh KB AB  KC AC b) Tính KA, KC biết AB 20cm, AC 28cm, BC 24cm Hướng dẫn giải a) Xét BAK ACK ta có  AKB góc chung; KAB  ACB  sd AB (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB ) Do dó BAK ~ ACK (g.g)  AB KB KA AB KB KA KB       AC KA KC AC KA KC KC b) Theo chứng minh câu a), ta có BAK ~ ACK (g.g)  AK BK AB KA KC  24 20       CK AK CA KC KA 28 Giải tìm KA 35cm; KC 49cm Ví dụ Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với (O) ( B, C tiếp điểm) Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm A N) Gọi K giao điểm cuả AO BC Đoạn AO cắt đường tròn  O  I Chứng minh a) AK AO  AM AN b) I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải Trang   a) Xét ABM ANB có BAM góc chung; ABM  ANB  sđ BM (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung) Do ABM ANB ( g.g )  AB AM   AB  AM AN (1) AN AB Vì AO  BC K nên BK đường cao tam giác ABO Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABO vng B , ta có AB  AK AO (2) Từ (1) (2) suy AK AO  AM AN b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOB  AOC   AO phân giác BAC (*)  2 ABI ; Mặt khác AOB sđ IB AOC sđ IC  2 IBC   Suy ABI IBC  BI phân giác ABC (**) Từ (*) (**) suy I tâm đường trịn nội tiếp ABC Ví dụ Cho hình thang vng ABCD ( AB //CD) có BD  AB.CD Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC Hướng dẫn giải Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Xét DBC BAD có   (hai góc so le trong); BDC DBA BD  AB.CD  BD CD  AB BD Do DBC BAD (c.g.c)    DBC BAD Trang    DBC  sđ BmD  BC tiếp tuyến (O) (điều phải chứng minh) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho hình vng ABCD có cạnh dài 2cm Tính bán kính đường trịn qua A B (khơng qua hai điểm C, D) biết đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường trịn cm Câu Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP  R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh BM //OP b) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành c) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I, PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài tập nâng cao Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax T Tia phân giác góc TAM cắt nửa đường trịn E , cắt tia BM Tại F Tia BE cắt Ax H , cắt AM K a) Chứng minh AT TM TB b) Chứng minh tam giác BAF tam giác cân c) Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, tia tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải a) Chứng minh hai đường thẳng song song: Ví dụ: Cho đường trịn (O) (O') cắt + Chứng minh hai đường thẳng tạo với đường A B; AP tiếp tuyến (O') thẳng thứ ba cặp góc so le nhau, A  P   O   Tia PB cắt  O điểm thứ hai cặp góc đồng vị nhau… b) Chứng minh tia tiếp tuyến đường trịn: + Chứng minh tia vng góc với bán kính Q Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến P đường tròn  O  Hướng dẫn giải qua gốc tia + Dùng phương pháp phản chứng Trang Ta có:   (góc tạo tia tiếp tuyến dây BPx BAP  cung góc nội tiếp chắn PB )  BAP  AQB (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn AmB )   Suy ra: BPx AQB cặp  AQB mà BPx góc so le nên Px //AQ Ví dụ mẫu  Ví dụ Chứng minh định lí đảo định lí góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: “Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB) có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn” Hướng dẫn giải Cách 1: Kẻ đường kính AC, nối BC   sđ AB (góc nội tiếp chắn AB ) Ta có BCA  BAx  sđ AB (giả thiết)   Suy BCA (1) BAx Cách 2: (Sử dụng phương pháp phản chứng) Trang Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia Ax vẽ tia Ax' tia tiếp tuyến đường tròn  O  Ta có    sđ  (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AB ; BAx AB   BAx  sd AB (giả thiết)   BAx  Suy BAx Ví dụ Cho hai đường trịn (O) (O') tiếp xúc ngồi A Vẽ cát tuyến chung BAC DAE, B D thuộc (O), C E thuộc  O a) Chứng minh BD //CE b) Trong trường hợp BDCE hình bình hành? Hướng dẫn giải a) Kẻ tiếp tuyến chung xAy hai đường tròn Ta có   ABD DAx (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn AD ) (1)    DAx (hai góc đối đỉnh) (2) EAy   EAy  ACE (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn AE ) (3) Từ (1), (2), (3) suy ABD  ACE mà ADB ACE hai góc vị trí so le nên BD //CE b) Tứ giác BDCE có hai đường chéo BC DE cắt A BDCE hình bình hành AB  AC AD  AE   Tam giác OAB cân O (vì OA OB)  OBA (3) OAB  AC O  CA (4) Tam giác OAC cân O (vì OA OC )  O   AC (đối đỉnh) (5) Lại có OAB O    AC O  CA Từ (3), (4), (5) suy OBA OAB O Do OAB ~ OAC ( g g )  AB OA  AC OA Trang Suy AB  AC  OA OA Theo ý a ta lại có AB AD  nên AB  AC  AD  AE AC AE Vậy trường hợp hai đường trịn có bán kính AB = AC AD  AE , BDCE hình bình hành Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hai đường tròn  O  , ( I ) tiếp xúc A, BC tiếp tuyến chung hai đường tròn ( B  (O), C  ( I )) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm IM AC Chứng minh: a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật b) ME.MO MF MI c) OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC d) BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OI AB   Câu Cho đường tròn  T ; R   Vẽ dây cung CD  AB H Gọi M điểm cung   CB, I giao điểm CB TM, K giao điểm AM CB Chứng minh a) KC AC  KB AB  b) MA tia phân giác CMD c) Chứng minh đường vng góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường trịn M PHẦN ĐÁP ÁN BÀI GĨC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Dạng 1: Chứng minh góc nhau, đẳng thức tam giác đồng dạng Câu Gọi O tâm đường trịn qua hai điểm A, B khơng qua hai điểm C, D Kẻ đường kính BF O F, A, D thẳng hàng Gọi DE tiếp tuyến kẻ từ D Khi ta chứng minh DE  DA.DF  DF  DE 42  8(cm)  AF DF  DA 8  6(cm) DA Xét tam giác ABF vuông A có BF  AF  AB 62  22 40  BF 2 10(cm) Trang 10  OB  BF  10cm Vậy bán kính đường trịn cần tìm 10cm Câu a) Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM , AOM góc tâm chắn cung AM AOM (1)  ABM  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AOM AOP MOP  (2)  AOP  Từ (1) (2) suy ABM  AOP Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên BM //OP (3) b) Xét hai tam giác AOP OBN có    (chứng minh câu a) PAO  NOB 90 ; OA OB R; AOP OBN Do AOP OBN ( g c.g )  OP BN (4) Từ (3) (4) suy tứ giác OBNP hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song nhau) c) Tứ giác OBNP hình bình hành  PN //OB hay PJ //AB Mà ON  AB nên ON  PJ Ta có PM  OJ (PM tiếp tuyến) Mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ  JI  OP (5)   Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO  AON ONP 90  K trung điểm PO  AONP hình chữ nhật  APO  NOP  Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PO tia phân giác APM  APO MPO   Suy OPI IOP(  AOP )  OIP cân I Mặt khác K trung điểm OP  IK  OP (6) Từ (5) (6) suy I , J , K thẳng hàng (điều phải chứng minh) Câu  a) Ta có TAB 90 (vì AT tiếp tuyến đường trịn)  ATB vng A Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào tam giác ATB có đường cao AM, ta AT TM TB (điều phải chứng minh)  b) Theo giả thiết AE tia phân giác TAM Trang 11    (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp  TAE MAE  AE ME đường trịn)  (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)  ABE MBE  BE tia phân giác ABF (1)  Mặt khác HAK (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  BE  AF hay BE đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) (2) suy tam giác BAF tam giác cân B c) Theo chứng minh câu b) ta có BAF tam giác cân B có BE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến  E trung điểm AF (3) Từ BE  AF  AF  HK (4)   Mặt khác theo giả thiết AE tia phân giác TAM hay AE tia phân giác HAK (5) Từ (4) (5) suy HAK tam giác cân A Mà AE đường cao nên đồng thời đường trung tuyến  E trung điểm HK (6) Từ (3), (4) (6) suy AKFH hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường hình thoi) Bài tập tự luyện dạng Câu a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MA MB  AMB cân M Lại có ME tia phân giác AMB   ME  AB  MEA 90 (1)  Chứng minh tương tự ta có MFA 90 (2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MO MI tia    phân giác hai góc kề bù BMA CMA  MO  MI  EMF 90 (3) Từ (1), (2) (3) suy tứ giác MEAF hình chữ nhật b) Theo giả thiết AM tiếp tuyến chung hai đường trịn  MA  OI  MAO vng A có AE  MO (theo ME  AB )  MA2 ME.MO (4) Tương tự ta xét tam giác vng MAI có AF  MI  MA2 MF MI (5) Từ (4) (5) suy ME.MO MF MI c) Đường trịn đường kính BC có tâm M theo MB MC MA , đường trịn qua A có MA bán kính Theo OI  MA A  OI tiếp tuyến A đường trịn đường kính BC d) Gọi K trung điểm OI Ta có MK đường trung bình hình thang BCIO  KM  BC M (*) Trang 12  Theo chứng minh câu a) OMI 90 nên M thuộc đường trịn đường kính OI  MK bán kính đường trịn đường kính IO (* *) Từ (*) (**) suy BC tiếp tuyến đường trịn đường kính IO Câu a)   MB  MC  Theo giả thiết M điểm BC   (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)  CAM BAM   AK tia phân giác góc CAB  KC AC  (tính chất tia phân giác tam giác) KB AB  b) Theo giả thiết CD  AB  A điểm CD    CMA DMA  MA tia phân giác góc CMD c) Kẻ MJ  AC ta có MJ //BC (vì vng góc với AC)  Theo giả thiết M điểm BC  TM  BC I  TM  MJ J Suy MJ tiếp tuyến đường tròn M Trang 13