Hh9 chủ đề 17 tứ giác nội tiếp ( 4 buổi )

HH9-CHỦ ĐỂ 17 TỨ GIÁC NỘI TIẾP ( BUỔI ) A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Tứ giác ABCD nội tiếp đường Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện trịn (O) hay đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD 180o - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 o tứ giác nội tiếp đường trịn  180o Nếu A  C 180o B  D tứ giác ABCD nội tiếp Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Dấu hiệu 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 180o Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Dấu hiệu 3:Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp  Nếu A DCx tứ giác ABCD nội tiếp tứ giác Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc  Nếu OA = OB = OC = OD tứ giác ABCD nội tiếp (O) Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022   Nếu CAD tứ giác CBD  ) ABCD nội tiếp (cùng chắn CD Dấu hiệu 5: Phương tích ngồi - Chứng minh Tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB; CD kéo dài cắt điểm K, điểm K thỏa mãn tính chất KA.KB KC.KD tứ giác ABCD nội tiếp Xét KDA KBC có KA.KB  KC.KD  KA KD   ;K KC KB chung Do KDA ∽KBC  c.g.c     KAD  KCB  Tứ giác ABCD nội tiếp (dấu hiệu 2) Chú ý: Trường hợp đặc biệt tốn phương tích A trùng B hay ta có tính chất Dấu hiệu 6: Phương tích KA2  KC KD KA tiếp tuyến - Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC; BD cắt đường tròn ngoại tiếp ADC điểm K, điểm K thỏa mãn tính chất KA.KC KB.KD tứ giác Phần để bạn đọc tự chứng ABCD nội tiếp minh xem lại toán chứng minh tia tiếp tuyến đường tròn Chứng minh Xét KAD KBC có KA.KC  KB.KD  AKD  BKC  KA KD  ; KB KC (đối đỉnh) Do KAD ∽KBC  c.g.c     CAD CBD  Toán Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Tứ giác ABCD nội tiếp (dấu Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022 hiệu 4) B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Nhận biết tứ giác nội tiếp Câu Cho ABC có hai đường cao BM; CN Chứng minh tứ giác BNMC tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải Cách 1: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Gọi K trung điểm BC  Xét BMC có BMC 90o (giả thiết); MK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  KM KB KC (tính chất tam giác vng) (*) Tương tự xét BNC , ta đuọc KN = KB = KC (**)  BC  Từ (*) (**) suy B; N ; M ; C   K ;     Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn Cách 2: Chứng minh hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc  Ta có BMC 90o (giả thiết);  BNC 90o (giả thiết)  M ; N nhìn cạnh BC góc vng  M ; N nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BNMC nội tiếp đường trịn đường kính BC Cách 3: Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện sử dụng định lí tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp 180o  Ta có BMA 90o (giả thiết); ANC 90o (giả thiết)  Xét AMB ANC có AMB  ANC 90o BAC chung Do AMB ∽ANC  g g   Xét AMN ABC có AM AN  AB AC AM AN   BAC chung AB AC  Do AMN ∽ABC  c.g.c   AMN  ABC Tứ giác BNMC có góc ngồi đỉnh M góc đỉnh B Vậy tứ giác BNMC nội tiếp   Ngồi ra tứ giác BMNC có NBC  NMC 180o nên tứ giác BNMC tứ giác nội tiếp Toán Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022 Cách 4: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích ngồi  Xét AMB ANC có AMB  ANC 90o BAC chung Do AMB ∽ANC  g.g   AM AN   AM AC  AN AB AB AC  Tứ giác BNMC nội tiếp Cách 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích Gọi giao điểm BM NC T     Xét NTB MTC có BMC (đối đỉnh) BNC 90o NTB MTC Do NTB ∽MTC  g g   NT TB   TN TC TM TB MT TC  Tứ giác BNMC nội tiếp Câu 2: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F, (F B E) a)  Chứng minh ABD DFB b) Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Lời giải a) ADB có ADB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)   ABD  BAD 90o (tổng ba góc tam giác) (1) ABF có ABF 90o (BF tiếp tuyến)   AFB  BAF 90o (tổng ba góc tam giác) (2)  Từ (1) (2) suy ABD DFB b) Tứ giác ACDB nội tiếp (O)  ABD  ACD 180o  Mặt khác ECD  ACD 180o (hai góc kề bù)    ECD DBA      Theo chứng minh ABD DFB , ECD DBA  ECD DFB  tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Câu 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ AC, AD theo thứ tự đường kính hai đường tròn (O) (O’) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường trịn Lời giải Tốn Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022 a) ABC ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (O’)  ABC  ABD 90o  ABC  ABD 180o Suy C, B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có   CFD CFA 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))  CED  AED 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))    CFD CED 90o suy CDEF tứ giác nội tiếp Dạng Sử dụng dấu hiệu chứng minh tứ giác nội tiếp toán liên quan Bài toán Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 180o (hai góc đối diện bù nhau) Câu Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường trịn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Tứ giác ABCD hình gì? b) Chứng minh c) AC CD  BC BE Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Lời giải a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường  ABCD hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)   b) Tứ giác ABCD hình chữ nhật suy CAD BCE 90o (1)    s® BC Lại có CBE (góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD  s® AD  (góc nội tiếp)    AD (do BC  AD )  CBE Mặt khác BC  ACD (2) Từ (1) (2) suy ACD ∽CBE  g g   c) AC CD  (điều phải chứng minh) BC BE   Vì ABCD hình chữ nhật nên CB / / AF  CBE (hai góc đồng vị) DFE (3)  Từ (2) (3) suy ACD DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn Bài tốn Chứng minh tứ giác có bốn đỉnh cách điểm Tốn Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022 Câu Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh  BC cho IEM 90o (I M khơng trùng với đỉnh hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCE tứ giác nội tiếp Lời giải a) Xét tứ giác BIEM có     IBM IEM 90o  IBM  IEM 180o  tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy   IME IBE 45o (do ABCD hình vng)   c) Xét EBI ECM có BE = CE (do ABCD hình vng); BEI (cùng phụ với CEM    BEM ); EBI ECM 45o (do ABCD hình vng) Do EBI ECM  g c.g   MC IB  MB IA Vì CN //BA nên theo định lí Ta-lét, ta có MA MB IA   MN MC IB    IM / / BN (định lí Ta-lét đảo)  BKE IME 45o (hai góc đồng vị)  Lại có BCE 45o (do ABCD hình vng)   Suy BKE BCE  BKCE tứ giác nội tiếp Bài toán Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc Câu Cho đường trịn (O) có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vuông góc với MN cắt Ax By theo thứ tự C D a) Chứng minh tứ giác ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ANB ∽CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh tứ giác IMKN tứ giác nội tiếp Lời giải Toán Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022 a)  Xét tứ giác ACNM có MNC 90o (giả thiết);  MAC 90o (tính chất tiếp tuyến)  ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) Xét ANB CMD có ABN CDM  (do tứ giác BDNM nội tiếp);   (do tứ giác ACNM nội tiếp) BAN DCM Do ANB ∽CMD  g g  c) Theo chứng minh câu b) ta có ANB ∽CMD   CMD  ANB 90o (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))    IMK INK 90o  IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK Câu 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vuông góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh a) Tứ giác AKCH nội tiếp b) AD  AH AB c) ACF tam giác cân Lời giải a) Xét tứ giác AKCH có AHC  AKC 180o  tứ giác AKCH nội tiếp đường trịn đường kính AC b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào ADB vng D, đường cao DH, ta có AD  AH AB c)    EDC  s® EC Ta có EAC ;   (tứ giác AKCH nội tiếp) EAC KHC    EDC KHC  DF / / HK Mà H trung điểm DC nên HK đường trung bình tam giác DCF Tốn Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022  K trung điểm CF  ACF cân A (đường cao AK đồng thời đường trung tuyến) Câu 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung nhỏ BC, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K Kẻ DN  BC ; DM  AC  N  BC , M  AC  Chứng minh đường thẳng AB, CD, MN đồng c) quy Lời giải a)   Xét tứ giác BIHK có HIB  HKB 180o  tứ giác BIHK nội tiếp đường tròn đường kính HB b) Ta có AHI ∽ABK  g.g   chung; HAI  HIA  AKB 90o  AH AI   AH AK  AI AB (không đổi) AB AK c) Ta có MD // CN (cùng vng góc với MC) AC // DN (cùng vng góc BC)  MCND hình bình hành  I trung điểm MN  điều phải chứng minh Câu 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Lấy M  OA  M O; A  Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nối NB cắt (O) C Kẻ tiếp tuyến NE với (O), (E tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn b) NB.NC NE c)   (H giao điểm AC d) NEH NME d) FK tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) Lời giải a)   Xét tứ giác OMEN có NEO NMO 90o  tứ giác OMEN nội tiếp đường trịn đường kính NO Hay bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn    CBE  s® CE b) Ta có NEC Toán Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022  NEC ∽NBE  g.g   NE NC   NB.NC NE (1) NB NE Hai tam giác vuông NCH ∽NMB  g.g  c)  NC NM   NC.NB NH.NM (2) NH NB Từ (1) (2) suy NE NH.NM  NH NE  NE NM Mặt khác NEH NME có BNM chung    NEH ∽NME  c.g.c   NEH EMN d) Tứ giác NEMO nội tiếp      EMN EON  NEH NOE  EF  NO Mặt khác tam giác OEF cân O  ON trung trực EF  NF NE  NF tiếp tuyến đường tròn (O;R) Câu 5: Cho đường tròn (O;R) điểm K cố định nằm ngồi đường trịn Qua K kẻ hai tiếp tuyến KM; KN tới đường tròn (M; N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua K cắt đường tròn (O;R) B C  KB  KC  Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm K, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh KM KB.KC c) Đường thẳng qua B, song song với KM cắt MN E Chứng minh EI // CM Chứng minh d thay đổi quanh điểm K trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường tròn cố định Lời giải    Ta có KMO KIO KNO 90o a)  Năm điểm K, M, N, O, I nằm đường trịn đường kính KO b)    KMB  MCB  s® BM  KMB ∽KCM  g.g   c) KM KB   KM KB KC KC KM   Tứ giác KMIN nội tiếp  KMN KIN   BE / / KM  KMN BEN Toán Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 50 BUỔI CHỦ ĐỀ CHINH PHỤC VÀO 10 ĐẠI TRÀ – GIAI ĐOẠN 2021-2022   )  BEN KIN  tứ giác BEIN nội tiếp (hai góc nội tiếp chắn BN    ) (hai góc nội tiếp chắn BE  BIE BNE   ) Mặt khác BNM BCM (hai góc nội tiếp chắn BM    BIE BCM  IE / / CM d) G trọng tâm MBC  G  MI Gọi T trung điểm KO  MT IT  KO Từ G kẻ GG’ // IT  G '  MT   GG ' MG MG ' 2     GG '  IT  KO IT MI MT 3 MG '  MT  G ' cố định  G thuộc đường tròn    G '; KO    Dạng 3:Bài toán tổng hợp  C  Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn A  B AB, AC M N Gọi P Q giao điểm CI, BI với đường thẳng MN Chứng minh rằng: a) Tứ giác INQC nội tiếp b) Tứ giác BPQC nội tiếp Lời giải a) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC M N nên AM  AN  CNQ  ANM (hai góc đối đỉnh)  C  180  A B       IBC  ICB CIQ 2 Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I N nhìn cạnh QC góc nên tứ giác nội tiếp đường trịn   b) Vì INQC tứ giác nội tiếp nên INC  IQC  Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) N nên IN  AC hay INC 90  Suy IQC 90 (1) Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp Tốn Học Sơ Đồ -ĐT,Zalo 0945943199 Trang 10