Tài liệu Chuyên đề về Tứ giác nội tiếp

tai lieu, document1 of 66 TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn - Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường tròn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác -Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau: Cách Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đơì 180° Cách Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Cách Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Cách Tìm điểm cách đỉnh tứ giác luan 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document2 of nhọn, 66 đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN 1.1 Cho tam giác ABC BNMC tứ giác nội tiêp 1.2 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, c tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp 2.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp 2.2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường tròn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp 3.1 Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AtìCK tứ giác nội tiếp; b) AHì.AB = AD2; c) Tam giác ACE tam giác cân 3.2 Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M  OA (M không trùng o A) Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c.Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn; b) NE2 = NC.NB;   NME  (H giao điểm AC d); c) NEH d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) 4.1 Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vuông góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AHAK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K c) Kẻ DN  CB, DM  AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy luan 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document3 4.2 Cho đường trònof (O;66 R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường trịn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh AM2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cơ' định III BÀI TẬP VỂ NHÀ CƠ BẢN  (C ≠ AC lớn cung BC Cho điểm C nằm nửa đường tròn (O) vói đường kính AB cho cung  B) Đường thăng vng góc vói AB O cắt dây AC D Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) c D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID MCHB tứ giác nội tiếp Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Kẻ đường kính AC (O) cắt đường trịn (O’) F Kẻ đường kính AE (O') cắt đưòng tròn (O) G Chứng minh: a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE AB đồng quy Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp 10 Cho tam giác ABC vuông A điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường trịn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N, AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp  b) Chứng minh CA phân giác BCD c) Chứng minh ABED hình thang d) Tìm vị trí M để đường trịn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ luan 3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document4 of có 66 11 Cho tam giác ABC ba góc nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Tia AH cắt BC D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F nằm đường tròn 12 Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BI cắt đường tròn E (E khác B) Nối OM cắt AB H a) Chứng minh AE song song CD b) Tìm vị trí M để MA  MB c) Chứng minh HB phân giác CHD 13 Cho đường tròn tâm Obán kính R, hai điểm cvà D thuộc đường trịn, B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đối tia AB lấy điểm S Nối S với cắt (O) M, MD cắt AB K, MB cắt AC H Chứng minh:   Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp; a) BM D  BAC b) HK song song CD 14.Cho hình vng ABCD E di động đoạn CD (Ekhác c,D) Tia AE cắt đường thẳng BC F, tia Ax vng góc vói AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh:   CKF ; a) CAF b) Tam giác KAF vuông cân; c) Đường thẳng BD qua trung điểm I KF; d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vuông góc với BC H, MI vng góc AC I   ICM  a) Chứng minh IHM b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K Chứng minh MK vng góc vói BK c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng vói tam giác MAB luan 4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, of 66.IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME d) Gọi document5 E trung điểm vng góc vói EF HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 1.1 Xét tứ giác AMHN có:  AMH   ANH  900  900  1800  ĐPCM Xét tứ giác BNMC có:   BMC   900  ĐPCM BNC 1.2 HS tự chứng minh ) AD + sđ MB 2.1 Ta có:  AED  (sđ     MCD   DEP   PCD   1800 sđ DM  PEDC nội tiếp   CHM   900 2.2 Ta có: MIC  MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) 3.1 a) Học sinh tự chứng minh b) ADB vng D, có đường cao DH  AD2 = AH.AB   KHC    EDC   sđ EC, EAC c) EAC (Tứ giác AKCH nội tiếp)   KHC   DF//HK (H trung điểm DC nên K  EDC trung điểm FC)  ĐPCM 3.1 a) Học sinh tự chứng minh luan 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document6 1of 66    b) NEC  CBE  sđ CE  NEC  NBE (g.g)  ĐPCM c) NCH  NMB (g.g)  NC.NB = NH.NM = NE2 NEH  NME (c.g.c)   EMN   NEH   EON  (Tứ giác NEMO nội tiếp) d) EMN   NOE   EH  NO  NEH   NOF   OEF cân O có ON phân giác  EON   NEO   900  ĐPCM  NEO = NFO NFO   HKB   1800 4.1 a) HIB  Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh được: AHI  ABK (g.g)  AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi) c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ  ĐPCM 4.2 a) Chú ý:  AMO   AIO   ANO  900    sđ MB b)  AMB  MCB  AMB  ACM (g.g)  ĐPCM c) AMIN nội tiếp AMN   AIN   luan 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document7 66  of BE//AM  AMN  BEN     BNM  AIN  Tứ giác BEIN nội tiếp  BIE  BEN   BCM   IE//CM Chứng minh được: BIE d) G trọng tâm MBC  G  MI Gọi K trung điểm AO  MK = IK = AO Từ G kẻ GG'//IK (G'  MK)  GG ' MG MG '    IK  AO không đổi (1) IK MI MK 3 MG '  MK  G ' cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc ( G '; AO ) Học sinh tự chứng minh Học sinh tự chứng minh Học sinh tự chứng minh Gợi ý: Chứng minh BEFC hình thang cân AFE   AHE (tính chất hình chữ nhật Gợi ý:   ) AHE   ABH (cùng phụ BHE 10 a) Học sinh tự chứng minh b) Học sinh tự chứng minh c) Học sinh tự chứng minh d) Chú ý:   BMA  , BMC   BKC  BIA  Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) đường tròn ngoại tiếp BIK Trong (T), dây BC không đổi luan 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document8 mà đường kính củaof (T)66 ≥ BC nên đường kính nhỏ BC   900  I  A  M  A Dấu "=" xảy  BIC 11 HS tự làm 12 a) HS tự chứng minh b) OM  R c) MC MD = MA2 = MH.MO  MC MD = MH.MO  MHC  MDO (c.g.c)   MDO   Tứ giác CHOD nội tiếp  MHC   OHD  Chứng minh được: MHC   BHD  (cùng phụ hai góc nhau)  CHB 13 HS tự chứng minh 14 a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I trung điểm KF  BD trung trực AC phải qua I d) HS tự chứng minh 15 HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) MIH  MAB  MH IH EH EH    MB AB FB FB  MHE  MBF luan 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document9  of 66  MFA  MEK (cùng bù với hai góc nhau)  = 900  KMEF nội tiếp  MEF B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Kẻ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh rằng: a) Tứ giác CBMD tứ giác nội tiếp   BCD  không đổi b) Khi điểm D di động đường trịn BMD c) DB.DC  DN AC Bài Cho hai đường tròn  O   O  cắt A B Các tiếp tuyến A đường tròn  O   O  cắt đường tròn  O   O  theo thứ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABD CBA đồng dạng  APB b) BQD c) Tứ giác APBQ nội tiếp Bài Cho hai vòng tròn  O1   O2  tiếp xúc điểm T Hai vòng tròn nằm vòng tròn  O3  tiếp xúc với  O3  tương ứng M N Tiếp tuyến chung T  O1   O2  cắt  O3  P PM cắt vòng tròn  O1  điểm thứ hai A MN cắt  O1  điểm thứ hai B PN cắt vòng tròn  O2  điểm thứ hai D MN cắt  O2  điểm thứ hai C a) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng quy Bài Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn  O  (M khác B C) Tiếp tuyến qua M cắt AB AC E F Đường thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBEQ, OCFP tứ giác nội tiếp luan 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document10 66 b) Tứ giác PQFE tứofgiác nội tiếp c) Tỉ số PQ không đổi M di chuyển đường tròn FE Bài Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình tam giác song song với cạnh AB đường thẳng DE đồng quy Bài Cho đưòng trịn  O; R  đường kính AB cố định đường kính CD quay quanh điểm O Các đường thẳng AC AD cắt tiếp tuyến B đường tròn theo thứ tự E F Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh điểm I di động đường thẳng cố định đường kính CD quay quanh điểm O Bài Cho tam giác ABC vuông A D điểm cạnh AC (Khác với A C) Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn  D  Gọi M trung điểm BC, N giao điểm BF AM Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn AN  NF Bài Cho hai đường tròn  O; R   O; R  cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB, vẽ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O M N (M, N khác với điểm) Đường thẳng DE cắt MN Chứng minh rằng: a) MI BE  BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường DE ln qua điểm cố định Bài Cho đường tròn  O; R  dây AB cố định, AB  R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi  C; R1  đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn  O; R  A,  D; R2  đường tròn qua P tiếp xúc với  O; R  B Hai đường tròn  C; R1   D; R2  cắt điểm thứ hai M a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM //CD điểm C, D, O, M thuộc đường tròn; b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường trịn cố định đường thẳng MP ln qua điểm cố định N; luan 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 10 of 66   tai lieu, Bài 13.document24 Chia lục giácof đều66 ABCDEF tâm O thành tam giác cạnh 4cm (hình vẽ) Theo nguyên lý Điriclê có điểm 19 điểm nằm hay cạnh tam giác Khơng tính tổng qt giả sử tam giác OAB Chia tam giác OAB trọng tâm G thành tứ giác nội tiếp (hình vẽ) với GM  AB ; GN  OB ; GP  OA OAB cạnh có đường cao 4   GA  Các tứ giác GMBN, GMAP, GPON nội tiếp đường trịn đường kính GB, GA, GO 3 Theo ngun lý Điriclê có điểm điểm xét nằm hay cạnh tứ giác nói trên, giả sử tứ giác GMBN  khoảng cách hai điểm khơng vượt q đường kính GB  giác  điều phải chứng minh Bài 14 a) Ta có E, M, O, F thẳng hàng, ME  MF (E, F đối xứng qua M) EF  BC   FEB   BEF cân B  BFE Mặt khác OB  OE suy OBE cân O   OEB   OBE   FEB   OBE  Ta có BFE  BEF ∽ OBE (g.g)  EB EF   EB  EF EO OB EB b) Khơng giảm tính tổng qt xét O nằm M F luan 24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 24 of 66   đường tròn ngoại tiếp tứ tai lieu, document25 of 66 Dễ thấy FBD ∽ EAB (g.g)  EB ED   EB  ED.EA EA EB Ta có ED.EA  EF EO   EB   Xét EOD EAF có EO ED  EA EF EO ED  , OED chung  EOD ∽ EAF (c.g.c)  EA EF   EAF  , dẫn đến tứ giác DAFO nội tiếp Vậy điểm A, D, O, F thuộc đường tròn  EOD   ,    CBE  EB   EC   , BAI ABI  BAI c) Ta có EIB ABI  IBC    IBC   CBE    EIB   EBI cân E  EB  EI  EBI ABI  BAI Mà EB  EC nên EB  EI  EC  E tâm đường tròn nội tiếp tam giác IBC Do EP  EB nên EP  EF EO Xét EPO EFP có EP EO  , PEO chung EPO ∽ EFP (c.g.c)  EF EP   EFP   EP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác POF  EPO Vậy tiếp tuvến đường tròn ngoại tiếp tam giác POF qua điểm E cố định D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN NÂNG CAO  = 1200 , B  = 1000  Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O ) có A Tính C,D Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O ) vẽ dây DE vng góc với OA cắt cạnh AB, AC S , K Chứng minh rằng: tứ giác BCKS nội tiếp Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) vẽ Ax tiếp tuyến đường tròn (O ) Đường thẳng song song với Ax cắt cạnh AB, AC D, E Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) AB = BD Tiếp tuyến O A cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB DC a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp đường trịn luan 25. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 25 of 66   tai lieu, of 66 b) document26 Chứng minh AD QR Bài 5: Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp đường trịn (O ) đường kính AI Gọi E trung điểm AB K trung điểm OI a) Chứng minh tam giác EKB tam giác cân b) Chứng minh tứ giác AEKC tứ giác nội tiếp Bài 6: Gọi M điểm đường tròn ngoại tiếp DABC ; P,Q, R hình chiếu M đường thẳng BC , CA Chứng minh rằng: a) Các điểm M , B, P, R thuộc đường tròn b) Các điểm R, P,Q thẳng hàng Bài 7: Từ điểm A đường tròn (O ) , kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C tiếp điểm) Trên tia đối BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O ) , tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K Chứng minh bốn điểm D, B,O, K thuộc đường tròn Bài 8: Cho đường tròn (O ) , nội tiếp tam giác ABC , D, E , F điểm tiếp xúc (O ) với BC ,CA, AB Vẽ BB1 ^ OA(B1 Ỵ OA), AA1 ^ OB(A1 Ỵ OB ) Chứng minh D, B1, A1, E thẳng hàng Bài 9: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) M điểm thuộc cạnh đáy BC Vẽ đường tròn qua B M đồng thời tiếp xúc với AB B Vẽ đường qua C M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt điểm N (khác M ) Chứng minh rằng: a) N thuộc đường tròn tâm O b) Khi M di động cạnh BC đường thẳng MN ln qua điểm cố định  = CAD  Bài 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) E đường chéo BD cho BAE a) Chứng minh DBAE ∽ DCAD b) AB.CD + BC AD = AC BD Bài 11: Cho tam giác ABC , kẻ đường cao AH Gọi H 1, H điểm đối xứng H qua AB AC Đường thẳng H 1H cắt AB AC K I luan 26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 26 of 66   tai lieu, of 66 CK đồng quy Chứngdocument27 tỏ rằng: AH , BI  = 450 Bài 12: Cho hình vng ABCD , góc xAy Ax cắt BC BD E F Ay cắt CD, BD G H Chứng minh tứ giác EFHG nội tiếp Bài 13: Bốn đường thẳng cắt tạo thành bốn tam giác Chứng minh bốn đường tròn ngoại tiếp bốn tam giác có chung điểm (Điểm Miquel) Bài 14: Cho đường trịn (O ) , dây AB khơng qua O Gọi I trung điểm AB Qua I kẻ hai dây cung CD EF (C E thuộc cung AB ) CF ED cắt theo thứ tự M N Chứng minh IM = IN Bài 15: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O ) Gọi E , F ,G , H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , BCD,CDA, DAB Chứng minh EFGH hình chữ nhật Bài 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) có CD = AD + BC (BC > AD ) Chứng minh   hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt điểm thuộc cạnh D Bài 17: Cho tứ giác nội tiếp đường trịn (O ) có AD cắt BC E AC cắt CD F Chứng minh EA.ED + FA.FB = EF HƯỚNG DẪN Bài 1: A Tứ giác ABCD nội tiếp (gt) D  +B  +C  +D  = 1800 A  = 1200  = 1000 Mà A (gt), B (gt) Do đó: C = 1800 - 1200 = 600  = 1800 - 1000 = 800 D Bài 2:  = AED  OA ^ DE (gt)  xAC  AD = AE luan 27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 27 of 66   B C tai lieu, document28 of 66 sđBCE + sđAD BSK = A (góc có đỉnh bên đường trịn)  sđA B  (góc nội tiếp) B SK = S D   + sđAD  + sđAB sđBCE  + BC  Do đó: BSK K = = E K O C B   + sđAE  + sđAB sđBCE 3600 = = 1800 2 x  Tứ giác nội BCKS nội tiếp A Bài 3: D  = ACD  Ax  DE (gt )  xAC (hệ góc tạo tia E O C B tiếp tuyến dây cung)  = DBC  Do đó: AED Suy tứ giác BCED nội tiếp Bài 4:  = BAD  a) QCR (vì tứ giác ABCD nội tiếp)    QA R = sđA B ( QAR góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)    BA D = sđB D ( BAD góc nội tiếp) Q AB = BD  = BD   AB  = QAR  Do đó: QCR A B O C  Tứ giác AQRC nội tiếp đường tròn  = QCA  (tứ giác AQRC nội tiếp) b) QCA luan 28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 28 of 66   D R tai lieu, document29 of 66  BAD = QCA (vì AB = BD )  = BAD    mà QRA BAD so le Suy ra: QRA A Do đó: AD  QR E Bài 5: a) Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE B Ta có: E trung điểm AB , AB không qua O (gt)  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà ABI Vì OE ^ AB, BI ^ AB(ABI = 900 )  OE  BI Do tứ giác BEOI hình thang Mà H , K trung điểm cạnh BE ,OI nên HK  OE Ta có: HK  OE ,OE ^ AB  HK ^ AB DEKB có HK vừa đường cao vừa đường trung tuyến  DEKB cân K b) OB = OC (= R) AB = AC (gt)  O A thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC  OA đường trung trực đoạn thẳng BC Mà K Ỵ OA nên KB = KC Xét DKBA DKCA có: AB = AC (gt) KB = KC ; AK (cạnh chung) Do đó: DKBA = DKCA (c.g.c)  = KCA   KBI  = KEB  ( DEKB cân K )  KBA luan 29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 29 of 66   O H C K I tai lieu, document30 of 66   Do đó: KEB = KCA  Tứ giác AEKC nội tiếp Bài 6: A  + BPM  = 900 + 900 = 1800 a) BRM Q  Tứ giác RBPM nội tiếp  Các điểm M , P, B,C thuộc đường tròn B R b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp P C M  + MCQ  = 1800  MPQ  = RPM  (tứ giác Mà RBM RBPM nôi tiếp)  = MCQ  Và RBM (tứ giác ABMC nội tiếp)  = MCQ  Do đó: RPM  + MPQ  = MCQ  + MPQ  = 1800 Ta có: RPM  R, P,Q thẳng hàng Bài 7: EK tiếp xúc với đường tròn (O ) M K EM , EC tiếp tuyến (O ) (gt) D B  = MOC   MOE M  = MOC  (hệ góc nội tiếp) Mà MBC E  + MBC  = 1800 (hai góc kề bù) Do đó: MOE  + MBD  = 1800 (hai góc kề bù) MBC  = MBD  Suy ra: MOD  D,O, M , B thuộc đường tròn (1)  = KBO  = 600 Mà KMO luan 30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 30 of 66   O C A tai lieu, document31 oftiếp 66  tứ giác KBOM nội  K ,O, M , B thuộc đườg tròn (2) Từ (1), (2) có điểm D, K ,O, M , B thuộc đường tròn  D,O, K , B thuộc đường tròn  D,O, K , B thuộc đường tròn Bài 8:  = 900 AE AEO ( tiếp tuyến O nên AE ^ OE )  = 900 (AA ^ OB )) (AAO 1  = AAO  = 900 Ta có: AEO  Tứ giác AEAO nội tiếp đường tròn A  + OA   OAE E = 1800 E F   AB1B = 900 (BB1 ^ OA)   = 900 AB B = AAO 1  Tứ giác AA1B1B nội tiếp đường tròn  = BAB   BAB 1  = OAE  (vì O tâm đường tròn nội tiếp DABC ) Mà BAB  = OAE  Do BAB  + OA  E = 1800 Ta có BAB 1  Ba điểm E , A1, B1 thẳng hàng Do bốn điểm D, B1, A1, E thẳng hàng Bài 9: luan 31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 31 of 66   O B B1 A1 D C tai lieu, document32  of 66 a) BNM = ABC (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)  = ACB  Tương tự: CNM D A  + ABC  + ACB  = 1800 Mà BAC Do tứ giác ABNC nội tiếp đường tròn (O ) hay N thuộc đường tròn (O ) M B C b) Gọi D giao điểm MN đường tròn (O ) ( D khác N ) N  = CND  Ta có: CAD (góc nội tiếp cung CD )  = ACB  (chứng minh câu a) Mà CND  = ACB  A, B,C cố định  CAD  D cố định hay đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 10: a) Xét DBAE DCAD có:  = CAD  ) BAE (hai góc nối tiếp chắn cung AD  = CAD  BAE (gt) Do DBAE ∽ DCAD b) Xét DEAD DBAC có: A D  = BAC   = CAD  EAD (vì BAE )  = ACB  (hai góc nội tiếp ADE ) chắn cung AB Do DEAD ∽ DBAC  AD DE = AC BC  BC AD = AC DE Từ DBAE ∽ DCAD (câu a) luan 32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 32 of 66   E B C tai lieu, document33 of 66 AB BE CD  AC = CD  AB.CD = AC BE Do đó: AB.CD + BC AD = AC BE + AC DE = AC (BE + DE ) = AC BD Bài 11:   Ta có: DAH 1H cân (AH = AH = AH )  AH H = AH H 2 I = AHI  (vì H H đối xưng qua AC ) Ta có: AH 2 I = AHI  Vậy AH H H nằm phía AI Do H H nằm cung chứa góc dựng đoạn AI  A, H 1, H , I thuộc đường tròn A Mặt khác: H2 I K H1 H H đối xứng qua AB   = 900  AH B = AHB B C x Do tứ giác AH 1BH nội tiếp đường tròn đường kính AB Từ ta có năm điểm A, H , B, H 1, I thuộc  = 900 đường trịn đường kính AB BIA  BI đường cao tam giác ABC Chứng minh tương tự CK đường cao tam giác ABC Vậy AH , BI ,CK đồng quy Bài 12:   ABCD hình vng nên BDC = 450 lại có GAF = 450 (gt) A D phía GF nên A D H A, D nằm cung chứa góc 45 vẽ đoạn FG G  = 900 nên  Tứ giác ADGH nối tiếp, có ADG luan 33. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 33 of 66   F B E C tai lieu, document34 AG đườngof kính66 đường tròn (ADGH )  = 900  = 900 Vì AFG hay EFG  = 900 Chứng minh tương tự EHG Vậy tứ giác EFGH nội tiếp B P Bài 13: Với giả thiết bốn đường thẳng cắt tạo A D C E F thành bốn tam giác nên khơng có ba đường thẳng chúng cắt điểm Giả sử đường thẳng AB, BC ,CA cắt đường thẳng thứ tư D, E , F (hình vẽ) Gọi P (P ¹ C ) giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC CEF  = BPC  + CPE  Ta có: BPE  = 1800 - BAC  = DAF  ;CPE  = CFE  Trong đó: BPC  = BPC  + CPE  = DAF  + CFE  = 1800 - ADE  Suy ra: BPE  + BDF  = 1800  BPE  Tứ giác BPED nội tiếp  P nằm đường tròn ngoại tiếp, tam giác BDE Chứng minh tương tự: Điểm P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF Bài 14:  = CDE  ) (hai góc nội tiếp chắn cung CE Ta có: CFE  = FED  ) FCD (góc nội tiếp chắn cung DF luan 34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 34 of 66   tai lieu, document35 of 66 CI Do DFIC ∽ DDIE  EI = FC (1) DE F Vẽ OH ,OK vng góc với CF ED (H Î CF , K Î ED ) D Ta có H , K trung điểm FC DE H K (Định lí đường kính vng góc với dây cung) Do đó: A M C CI FC CH = = EI DE EK N I E Xét DCHI DEKI có: CI CH   = ; HCI = KEI EI EK  = NKI  (2)  = EKI  hay MHI Do DCHI ∽ DEKI  CHI Mặt khác I trung điểm AB nên OI ^ AB,OH ^ PC  Tứ giác OHMI nội tiếp đường trịn đường kính MO  = MOI  (3) (góc nội tiếp chắn cung MI ) Ta có: MHI Tương tự: Tứ giác OKNI nội tiếp đường tròn  = NOI  Nên: NKI (4)  = NOI  Từ (2), (3) (4) ta có: MOI  DMON cân có OI đường cao nên OI đường trung tuyến Do IM = IN Bài 15: Gọi tia đối tia FC tia Fx A H O G  = ADC ,GCD  = ACD  GDC 2 (G tâm đường tròn nội tiếp DCDA )  + GCD  = (ADC  + ACD ) Do đó: GDC luan 35. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 35 of 66   D B x E F C B tai lieu, document36 of 66 1 =  ) = 900 - DAC  (1800 - DAC  = 1800 - (GDC  + GCD  ) = 900 + DAC  DGDC có DGC  = 900 + DBC  Tương tự: DFC  = DBC  ) Mà DAC (hai góc nội tiếp chắn cung DC  = DFC  Do đó: DGC  Tứ giác GFCD nội tiếp  = GDC   GFx  = EBC  Tương tự: xFE  + EBC  = ADC  + ABC  = 900 Mà GDC 2  = 900 , FGH  = 900 Chứng minh tương tự ta có: HEF Do tứ giác EFGH hình chữ nhật Bài 16: Tia phân giác DAB cắt cạnh CD E Trên cạnh CD lấy F cho: DF = AD = Tam giác CBF cân C ( (CF = BC )  BFC 1800 - BCD ) Tứ giác ABCD nội tiếp nên:  = BCD  = ABC  + CAD  = 1800 DAB B A   = DAB Do đó: BFC   = DAB Mà EAB  = EAB  Suy ra: BFC luan 36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 36 of 66   D F E C tai lieu, document37 of 66    DAF = ABE (1)   cân D (DF = AD )  AFD  = 180 - CDA Tam giác DAF   = ABC Nên AFD (2)   = ABC  ABE  = EBC  Từ (1) (2) có ABE  Do hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt Vậy BE tia phân giác góc ABC điểm E thuộc cạnh CD Bài 17:  = AEF  Gọi M cạnh EF cho FBM  = AEF  Xét DFBM DFEA có FBM (chung), FBM E Do DFBM ∽ DFEA  A FB FM = EF FA  FA.FB = EF FM  = AEF  FBM  Tứ giác AEMB nội tiếp  = EBA   EMA  = EBA  Mà EDF (tứ giác ABCD nội tiếp)  = EDF  Do đó: EMA  = EDF , AEM  Xét DEMA DEDF có EMA (chung) Do DEMA ∽ DEDF  EA EM = EF ED  EA.ED = EF EM luan 37. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 37 of 66   B O D C M F tai lieu, document38 of 66 Vậy EA.ED + AF FB = EF EM + EF FM = EF (EM + FM ) = EF -Toán Học Sơ Đồ luan 38. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 38 of 66   ... tứ giác AMHN 1.1 Cho tam giác ABC BNMC tứ giác nội tiêp 1.2 Cho điểm A nằm đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, c tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp. .. MIHC tứ giác nội tiếp Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp. .. EOQ  Suy EBQ Từ ta có O B hai đỉnh liên tiếp nhìn EQ góc Vậy OBEQ tứ giác nội tiếp Chứng minh tương tự ta có OCFP tứ giác nội tiếp b) OBEQ tứ giác nội tiếp nên   OQE   180  OQE   90