Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word HH9 C3 CD6 T? GIÁC N?I TI?P docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS TOANMATH com TỨ GIÁC NỘI TIẾP A TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác[.]
TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn - Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° - Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác -Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau: Cách Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đơì 180° Cách Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Cách Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Cách Tìm điểm cách đỉnh tứ giác 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1.1 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp 1.2 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, c tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp 2.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp 2.2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp 3.1 Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AtìCK tứ giác nội tiếp; b) AHì.AB = AD2; c) Tam giác ACE tam giác cân 3.2 Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M OA (M khơng trùng o A) Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c.Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn; b) NE2 = NC.NB; NME (H giao điểm AC d); c) NEH d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) 4.1 Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AHAK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K c) Kẻ DN CB, DM AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 4.2 Cho đường trịn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh AM2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cơ' định III BÀI TẬP VỂ NHÀ CƠ BẢN (C ≠ AC lớn cung BC Cho điểm C nằm nửa đường trịn (O) vói đường kính AB cho cung B) Đường thăng vng góc vói AB O cắt dây AC D Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M đường tròn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) c D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID MCHB tứ giác nội tiếp Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Kẻ đường kính AC (O) cắt đường tròn (O’) F Kẻ đường kính AE (O') cắt đưịng trịn (O) G Chứng minh: a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE AB đồng quy Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp 10 Cho tam giác ABC vuông A điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N, AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA phân giác BCD c) Chứng minh ABED hình thang d) Tìm vị trí M để đường trịn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ 3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 11 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Tia AH cắt BC D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F nằm đường tròn 12 Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BI cắt đường tròn E (E khác B) Nối OM cắt AB H a) Chứng minh AE song song CD b) Tìm vị trí M để MA MB c) Chứng minh HB phân giác CHD 13 Cho đường trịn tâm Obán kính R, hai điểm cvà D thuộc đường trịn, B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đối tia AB lấy điểm S Nối S với cắt (O) M, MD cắt AB K, MB cắt AC H Chứng minh: Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp; D BAC a) BM b) HK song song CD 14.Cho hình vng ABCD E di động đoạn CD (Ekhác c,D) Tia AE cắt đường thẳng BC F, tia Ax vng góc vói AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh: CKF ; a) CAF b) Tam giác KAF vuông cân; c) Đường thẳng BD qua trung điểm I KF; d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vng góc với BC H, MI vng góc AC I ICM a) Chứng minh IHM b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K Chứng minh MK vng góc vói BK c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng vói tam giác MAB 4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com d) Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME vng góc vói EF HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 1.1 Xét tứ giác AMHN có: AMH ANH 900 900 1800 ĐPCM Xét tứ giác BNMC có: BMC 900 ĐPCM BNC 1.2 HS tự chứng minh ) AD + sđ MB 2.1 Ta có: AED (sđ MCD DEP PCD 1800 sđ DM PEDC nội tiếp CHM 900 2.2 Ta có: MIC MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) 3.1 a) Học sinh tự chứng minh b) ADB vng D, có đường cao DH AD2 = AH.AB KHC EDC sđ EC, EAC c) EAC (Tứ giác AKCH nội tiếp) KHC DF//HK (H trung điểm DC nên K EDC trung điểm FC) ĐPCM 3.1 a) Học sinh tự chứng minh 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com CBE sđ CE b) NEC NEC NBE (g.g) ĐPCM c) NCH NMB (g.g) NC.NB = NH.NM = NE2 NEH NME (c.g.c) EMN NEH EON (Tứ giác NEMO nội tiếp) d) EMN NOE EH NO NEH NOF OEF cân O có ON phân giác EON NEO 900 ĐPCM NEO = NFO NFO HKB 1800 4.1 a) HIB Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh được: AHI ABK (g.g) AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi) c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ ĐPCM 4.2 a) Chú ý: AMO AIO ANO 900 sđ MB b) AMB MCB AMB ACM (g.g) ĐPCM c) AMIN nội tiếp AMN AIN 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com BE//AM AMN BEN BNM AIN Tứ giác BEIN nội tiếp BIE BEN BCM IE//CM Chứng minh được: BIE d) G trọng tâm MBC G MI Gọi K trung điểm AO MK = IK = AO Từ G kẻ GG'//IK (G' MK) GG ' MG MG ' IK AO không đổi (1) IK MI MK 3 MG ' MK G ' cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc ( G '; AO ) Học sinh tự chứng minh Học sinh tự chứng minh Học sinh tự chứng minh Gợi ý: Chứng minh BEFC hình thang cân AFE AHE (tính chất hình chữ nhật Gợi ý: ) AHE ABH (cùng phụ BHE 10 a) Học sinh tự chứng minh b) Học sinh tự chứng minh c) Học sinh tự chứng minh d) Chú ý: BMA , BMC BKC BIA Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) đường tròn ngoại tiếp BIK Trong (T), dây BC khơng đổi 7. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com mà đường kính (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ BC 900 I A M A Dấu "=" xảy BIC 11 HS tự làm 12 a) HS tự chứng minh b) OM R c) MC MD = MA2 = MH.MO MC MD = MH.MO MHC MDO (c.g.c) MDO Tứ giác CHOD nội tiếp MHC OHD Chứng minh được: MHC BHD (cùng phụ hai góc nhau) CHB 13 HS tự chứng minh 14 a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I trung điểm KF BD trung trực AC phải qua I d) HS tự chứng minh 15 HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) MIH MAB MH IH EH EH MB AB FB FB MHE MBF 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com MEK (cùng bù với hai góc nhau) MFA = 900 KMEF nội tiếp MEF B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài Cho hình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Kẻ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh rằng: a) Tứ giác CBMD tứ giác nội tiếp BCD không đổi b) Khi điểm D di động đường trịn BMD c) DB.DC DN AC Bài Cho hai đường tròn O O cắt A B Các tiếp tuyến A đường tròn O O cắt đường tròn O O theo thứ tự C D Gọi P Q trung điểm dây AC AD Chứng minh rằng: a) Hai tam giác ABD CBA đồng dạng APB b) BQD c) Tứ giác APBQ nội tiếp Bài Cho hai vòng tròn O1 O2 tiếp xúc điểm T Hai vòng tròn nằm vòng tròn O3 tiếp xúc với O3 tương ứng M N Tiếp tuyến chung T O1 O2 cắt O3 P PM cắt vòng tròn O1 điểm thứ hai A MN cắt O1 điểm thứ hai B PN cắt vòng tròn O2 điểm thứ hai D MN cắt O2 điểm thứ hai C a) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AB, CD PT đồng quy Bài Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC (B C tiếp điểm) Gọi M điểm cung nhỏ BC đường tròn O (M khác B C) Tiếp tuyến qua M cắt AB AC E F Đường thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBEQ, OCFP tứ giác nội tiếp 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) Tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp c) Tỉ số PQ không đổi M di chuyển đường tròn FE Bài Cho tam giác ABC, D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB AC Chứng minh đường phân giác góc B, đường trung bình tam giác song song với cạnh AB đường thẳng DE đồng quy Bài Cho đưòng tròn O; R đường kính AB cố định đường kính CD quay quanh điểm O Các đường thẳng AC AD cắt tiếp tuyến B đường tròn theo thứ tự E F Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh điểm I di động đường thẳng cố định đường kính CD quay quanh điểm O Bài Cho tam giác ABC vuông A D điểm cạnh AC (Khác với A C) Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF với đường tròn D Gọi M trung điểm BC, N giao điểm BF AM Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn AN NF Bài Cho hai đường tròn O; R O; R cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB, vẽ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O ) Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O M N (M, N khác với điểm) Đường thẳng DE cắt MN Chứng minh rằng: a) MI BE BI AE b) Khi điểm C thay đổi đường DE ln qua điểm cố định Bài Cho đường tròn O; R dây AB cố định, AB R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi C; R1 đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn O; R A, D; R2 đường tròn qua P tiếp xúc với O; R B Hai đường tròn C; R1 D; R2 cắt điểm thứ hai M a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM //CD điểm C, D, O, M thuộc đường tròn; b) Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường trịn cố định đường thẳng MP qua điểm cố định N; 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com ... Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp 2.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp 2.2 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường... 90 OCFP tứ giác nội tiếp nên OCF EQF 90 Suy EPF 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vậy tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp c) Kẻ OH vng góc với BC Ta có: PQFE tứ giác nội tiếp ... C) Tiếp tuyến qua M cắt AB AC E F Đường thẳng BC cắt OE OF P Q Chứng minh rằng: a) Tứ giác OBEQ, OCFP tứ giác nội tiếp 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com b) Tứ giác PQFE tứ giác nội tiếp