chuyên đề về lương giác, các bài tập lượng giác hay

GV TRN QUC NGHA Chuyờn LNG GIC Vn HM S LNG GIC Hm sử y = sinx v y = cosx y = sinx Tp xỏc nh Tp giỏ tr Chu k Tớnh chn l S bin thiờn y = cosx D=R T = [ ; ] T = L D=R T = [ ; ] T = Chn HSB trờn: k2 ; k2 HSB trờn: k2 ; k2 HSB trờn: k2 ; k2 k2 ; k2 2 HSNB trờn: Bng bin thiờn x y = sinx 0 x y = cosx 1 th Hm sử y = tanx v y = cotx y = tanx Tp xỏc nh D=R\{ y = cotx + k} D = R \ {k} Tp giỏ tr Chu k Tớnh chn l R T= L S bin thiờn ng bin trờn k ; k x Bng bin thiờn y = tanx + R T= L Nghch bin k ; k x + trờn mi khong: y = cotx TI LIU HC TP TON 11 th Dng Tỡm tỗp xỏc nh ca hm sử A PHNG PHP GII Tp xỏc nh ca hm s y = f(x) l hp tt c cỏc giỏ tr ca bin s x cho f(x) cú ngha f(x) y cú ngha g( x ) g( x ) f ( x ) 0, ( n y 2n f ( x ) cú ngha y 2n f ( x ) cú ngha f(x) cú ngha ( n y tan f ( x ) cú ngha cos f(x) f ( x ) k ,( k ) y cot f ( x ) cú ngha sin f(x) f ( x ) k ,( k ) ) ) B BI TP MU VD 1.1 Tỡm xỏc nh ca mi hm s sau: a) y = cos x sin x b) y = sin x cos x c) y = tan x d) y = co t x GV TRN QUC NGHA C BI TP C BN Tỡm xỏc nh ca mi hm s sau: x a) y = sin3x b) y = cos e) y = sin x f) y = tan 2x 1.1 c) y = cos x g) y = cos x 2x x h) y = cot 2x d) y = cos D BI TP NNG CAO 1.2 Tỡm xỏc nh ca mi hm s sau: x x e) y = sin x a) y = sin sin x cos x f) y = cos x cos3x b) y = c) y = cot x cos x g) y = tanx + cotx d) y = tan h) y = x 3 sin x cos2 x 1.3 Tỡm m hm s sau xỏc nh x R: y sin x cos4 x 2msin x cos x 1.4 Tỡm xỏc nh ca cỏc hm s: b) y sin 2x sinx a) y tan x cos x Dng Tỡm giỏ tr ln nhọt Giỏ tr nh nhọt ca hm sử lng giỏc A PHNG PHP GII S dng phng phỏp giỏ tr ca hm s lng giỏc x : 2 sinx , co s x sin x , co s x sin x , co s x sinx , co s x (khi sinx 0, cosx 0) S dng cỏc tớnh cht ca bt ng thc: a b abba b c a c a b a c b c (cng v vi c) c d a c b d a b a.c b.c (nu c < 0: i chiu) a b a.c b.c (nu c > 0: gi nguyờn chiu) a b c d a.c b.d 2n 2n a b a b ( n a b a b0 a b * ) S dng cỏc bt ng thc quen thuc: Cụ-si, BCS, 2n b2n1 ( n a ba B BI TP MU VD 1.2 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca mi hm s sau: * ) TI LIU HC TP TON 11 a) y = cos x b) y = 2sinx c) y = 2cos x + 3 d) y = sin(x ) C BI TP C BN 1.5 a) d) g) j) Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca mi hm s sau: cos2 x y= b) y = 4sin x c) y = cos2x + 2cos2x e) y = + 3cosx f) y = 2sin x cos2x h) y = sinx i) y = 3sin x k)y = cos2 x sin2 x l) y= 2(1 cos x) y = 4sin2xcos2x y = 4sinx y = cosx+cos x D BI TP NNG CAO 1.6 Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca hm s a) y sinx cos x b) y sinx(1 2cos 2x) 1.7 Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s y cot x cot y tan x tan y Dng Xột tớnh chn l ca hm sử A PHNG PHP GII Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn D: x D x D a) Hm s chn trờn D nu f ( x ) f ( x ) GV TRN QUC NGHA x D x D b) Hm s l trờn D nu f ( x ) f ( x ) x D x0 D c) Hm s khụng chn, khụng l trờn D nu: x0 D : f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) Nhn xột: Chỳ ý: x x ( a b )2n ( b a )2n , n ( a b )2n1 ( b a )2n1 , n Hm s chn cú th i xng qua trc tung Hm s l cú th i xng qua gc ta B BI TP MU VD 1.3 Xột tớnh chn l ca mi hm s sau: a) y = x sinx d) y = sinxcosx + tanx b) y = 3sinx cos x e) y = x c) y = sinx cosx f) y = cos x TI LIU HC TP TON 11 C BI TP C BN V NNG CAO 1.8 Xột tớnh chn l ca mi hm s sau: a) y = tan x cot x sin 2x d) y = cos3x g) y x s inx t anx cos x cos x e) y = tan x b) y = h) y c) y = x3sin2x f) y = x3 sin x cos 2x sin x cos x 1 x Dng Tớnh tuón hon ca hm sử A PHNG PHP GII S dng nh ngha v tớnh tun hon ca hm s: Hm s y = f(x) xỏc nh trờn D c gi l hm s tun hon, nu cú s T cho x D, ta cú: x T D,x T D v f ( x T ) f ( x ) Nu s T dng nh nht tha cỏc iu kin trờn thỡ hm s ú c gi l hm s tun hon vi chu kỡ T B BI TP C BN V NNG CAO 1.9 Xột tớnh tun hon v tỡm chu k ca cỏc hm s sau (a 0): a) y = sin(ax + b) b) y = cos(ax + b) c) y = tan(ax + b) 1.10 Xột tớnh tun hon v tỡm chu k ca cỏc hm s: a) y = cos3x.(1 + cosx) b) y sin x cos6 x Dng S dng th A PHNG PHP GII V th hm s trờn ó ch Da vo th xỏc nh giỏ t cn tỡm B BI TP MU d) y = cot(ax + b) c) y sin(x ) GV TRN QUC NGHA VD 1.4 Hóy xỏc nh giỏ tr ca x trờn on ; a) bng b) bng hm s y = tanx nhn giỏ tr: c) dng d) õm ; hm s VD 1.5 Da vo th hm s y = sinx, tỡm nhng giỏ tr ca x trờn on ú: a) Nhn giỏ tr bng b) Nhn giỏ tr õm B BI TP C BN V NNG CAO 1.11 Da vo th hm s y = cosx, tỡm cỏc giỏ tr ca x cosx = 1.12 Cho cỏc hm s f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx v cỏc khong: 31 33 452 610 J1 ; ; ; , J4 , J ; , J3 4 Hi hm no ba hm trờn ng bin trờn khong J1? Trờn khong J2 ? Trờn khong J3? Trờn khong J4 ? (Tr li bng cỏch lp bng bin thiờn) 1.13 Trong mi khng nh sau, khng nh no ỳng? Khng nh no sai? Gii thớch vỡ sao? a) Trờn mi khong m hm s y = sinx ng bin thỡ hm s y = cosx nghch bin TI LIU HC TP TON 11 b) Trờn mi khong m hm s y = sin2 x ng bin thỡ hm s y = cos2x nghch bin 1.14 Da vo th hm s y = sinx hóy v th hm s y = |sinx| 1.15 Cho hm s y = f(x) = 2sin2x a) Chng minh rng vi s nguyờn dng k tựy ý, luụn cú f(x + k) = f(x) vi mi x b) Lp bng bin thiờn ca hm s y = 2sin2x trờn on ; 2 c) V th ca hm s y = 2sin2x 1.16 CMR: sin2(x + k) = sin2x vi mi s nguyờn k T ú v th hm s y = sin2x 1.17 CMR: cos (x + k4) = cos suy th hm s y = cos x x vi mi s nguyờn k T ú v th hm s y = cos ri 2 x GV TRN QUC NGHA Vn PHNG TRèNH LNG GIC Dng Phng trỡnh c bn A PHNG PHP GII Chỳ ý: Khi gp du tr trc thỡ: sinx = sin( x) cosx = cos( x) tanx = tan( x) cotx = cot( x) TI LIU HC TP TON 11 10 Khi gii phi dựng n v l rad nu bi khụng cho (0) B BI TP MU VD 1.6 Gii cỏc phng trỡnh sau: d) cot x 3 a) sinx = b) cos(3x e) sinx = )= c) tan(3x 300) = f) cos(x + 3) = TI LIU HC TP TON 11 138 C BI TP C BN V NNG CAO 5.54 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh a) Tỡm giao tuyn ca (SAB) v (SCD) b) Ly M SC (S M C) Tỡm (ABM) (SCD) c) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp vi (ABM), thit din l hỡnh gỡ ? 5.55 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vi ỏy ln AB Gi M, N ln lt l trng tõm ca SCD v SAB a) Tỡm (ABM) (SCD), (SAB) (SCD) v (SMN) (ABC) b) Chng minh MN // (ABC) c) Giao tuyn ca (ABM) vi (SCD) ct SD, SC ln lt ti I v J C/minh IN // (ABC) d) Tỡm P = MC (SAB) v Q = AN (SCD) Chng minh ba im S, P, Q thng hng e) Tỡm thit din ca hỡnh chúp vi mt phng (INJ) Dng Chng minh hai mt phng song song A PHNG PHP GII Cỏch ( ) a b ( ) a' b' ( ) a a',b b' Cỏch ( ) a ( ) ( ) a) Cỏch ( ) (P) ( ) ( ) (P) ( ) ( ) (Hc chng 3) ( ) (Hc chng 3) Cỏch ( ) a b a ( ) ( ) b ( ) ( ) a a b b a' b' B BI TP MU VD 5.23 Cho t din ABCD Trờn cnh AD ly trung im M v trờn cnh BC ly mt im N by kỡ Mt mt phng () i qua MN v song song vi CD a) Tỡm thit din ca t din vi () b) Tỡm v trớ ca N thit din l hỡnh bỡnh hnh GV TRN QUC NGHA 139 VD 5.24 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh ABCD tõm O Gi M, N, P, Q, R ln lt l trung im ca cỏc on SA, SD, AB, ON, SB Chng minh: a) (OMN) // (SBC); b) PQ // (SBC); c) (MOR) // (SCD) VD 5.25 Cho ABC nm mt phng (P), trờn ba na ng thng Ax, By, Cz cựng nm v mt phớa i vi (P) ln lt ly cỏc im A, B, C cho AA = BB = CC Chng minh: (P) // (ABC) TI LIU HC TP TON 11 140 VD 5.26 Cho hai ng thng chộo a v b Gi (P) l mt phng cha a v song song vi b, (Q) l mt phng cha b v song song vi a Chng minh: (P) // (Q) C BI TP C BN V NNG CAO 5.56 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh tõm O Gi M, N ln lt l trung im ca SA, SD Gi H l trung im ca OM Chng minh: a) (OMN) // (SBC) b) HN // (SBC) 5.57 Cho t din ABCD Gi G1, G2, G3 ln lt l trng tõm ca cỏc tam giỏc ABC, ACD v ABD a) Chng minh: (G1G2G3) // (BCD) b) Tỡm thit din ca t din vi (G1G2G3) Tớnh din tớch ca thit din theo din tớch ca ABC S: 4/9SABC 5.58 Cho hai hỡnh vuụng ABCD v ABEF khụng ng phng Trờn cỏc ng chộo AC v BF ln lt ly M, N cho AM = BN Cỏc ng thng song song vi AB v t M, N ln lt ct AD, AF ti M, N Chng minh: a) : (CBE) // (ADF) b) (DEF) // (MNNM) Dng nh lớ Talet khụng gian A PHNG PHP GII S dng nh lớ phn túm tt lớ thuyt GV TRN QUC NGHA 141 B BI TP MU VD 5.27 Mt phng (P) ct ng thng khụng ng phng Ox, Oy, Oz ln lt ti A, B, C Mt phng (Q) song song vi mt phng (P) ct cỏc ng thng trờn ln lt ti A, B, C a) Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC, chng minh rng OG i qua trng tõm ca tam giỏc ABC b) Chng minh ABC ABC Dng Hỡnh lng tr - Hỡnh hp - Hỡnh chúp ct A PHNG PHP GII Chỳ ý cỏc tớnh cht sau ca hỡnh lng tr: - Cỏc cnh bờn ca lng tr cựng song song v bng - Cỏc mt bờn l cỏc hỡnh bỡnh hnh - Hai a giỏc ỏy cú cỏc cnh i mt song song v bng hai a giỏc ỏy bng B BI TP MU VD 5.28 Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC Gi I, K G ln lt l trng tõm ca cỏc tam giỏc ABC, ABC, ACC Chng minh: a) (IKG) song song vi (BBCC) b) Xỏc nh thit din ca lng tr vi mt phng (IKG) Thit din l hỡnh gỡ? c) Gi H l trung im ca BB, chng minh (AHI) // (AKG) VD 5.29 Cho hỡnh hp ABCD.ABCD Chng minh rng: a) (ABD) // (CBD) b) Bn tõm i xng ca bn mt bờn l bn nh ca mt hỡnh bỡnh hnh TI LIU HC TP TON 11 142 VD 5.30 Cho hỡnh chúp ct ABC.ABC cú ỏy ln l ABC v cỏc cnh bờn AA, BB, CC Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC, CA Chng minh MNP.MNP l hỡnh chúp ct C BI TP C BN V NNG CAO 5.59 Trờn cỏc cnh AA, CC ca hỡnh hp ABCD.ABCD ln lt ly cỏc im M, N cho MA = 2MA; NC = 2NC Gi () l mt phng i qau MN v song song vi BD a) Xỏc nh giao im ca MN vi mt phng (ABCD) v giao tuyn ca mt phng () vi mt phng (ABCD) b) Tỡm thit din ca hỡnh hp ct bi () Thit din l hỡnh gỡ ? Ti ? c) Chng minh giao im ca hai ng chộo ca thit din trựng vi tõm ca hỡnh hp 5.60 Cho hỡnh chúp ct ABCD.ABCD cú ỏy ln ABCD l hỡnh bỡnh hnh v cỏc cnh AA, BB, CC, DD Gi M, N, P, Q ln lt l giao im ca cỏc cp ng thng CB v DA, AB v DC, AD v BC, BA v CD Chng minh bn im M, N, P, Q ng phng 5.61 Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC cú AACC, BBCC l hai hỡnh ch nht bng Gi D, E ln lt nm trờn AC v BC cho AD = BE T D, E th t k cỏc ng thng song song vi AA v BB ct AC, BC ti F, G a) DF // EG; b) FG // AB; c) DE // (ABBA) BI TP TNG HP VN 5.62 Cho t din ABCD Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, CD; G l trung im on MN a) Tỡm giao im A ca ng thng AG v mt phng (BCD) GV TRN QUC NGHA 143 b) Qua M k ng thng Mx song song AA v Mx ct (BCD) ti M Chng minh B, M, A thng hng v BM = MA = AN c) Chng minh GA = 3GA 5.63 Cho t din ABCD Cỏc im P, Q ln lt l trung im ca AB, CD im R nm trờn cnh BC cho BR = 2RC Gi S l giao im ca mt phng (PQR) v cnh AD Chng minh rng AS = 2SD 5.64 Cho t din ABCD gi M, N, Q ln lt l trung im ca AB, BC, CD a) Tỡm P l giao im ca ng thng AD vi mt phng (MNQ) Tỡm thit din ct t din bi mp(MNQ) Thit din l hỡnh gỡ? b) Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (AND) v (PBC) 5.65 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thang, cỏc cnh ỏy l AB v CD Gi I, J ln lt l trung im AD, BC Gi G l trng tõm tam giỏc SAB a) Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (SAB) v (IJG) b) Xỏc nh thit din ct hỡnh chúp bi mt phng (IJG) Thit din l hỡnh gỡ? Tỡm iu kin i vi AB v CD thit din l hỡnh bỡnh hnh 5.66 Cho t din ABCD Gi M, N ln lt l trung im ca AC, BC v P l im thuc on BD a) Tỡm giao tuyn ca mt phng (MNP) v (ABD) b) Gi Q l giao im ca AD vi mt phng (MNP) Xỏc nh v trớ P MNPQ l hỡnh bỡnh hnh c) Trong trng hp MQ v NP ct ti I, hóy xỏc nh giao tuyn ca hai mp (MNP) v (ABI) 5.67 Cho t din ABCD Gi M l trung im AD, N l im bt k trờn cnh BC, () l mt phng cha MN v song song vi CD a) Xỏc nh thit din ca () vi t din ABCD b) Ch v trớ ca N trờn BC cho thit din l hỡnh bỡnh hnh 5.68 Cho t din ABCD Mt mp() di ng luụn song song AB v CD ln lt ct cỏc cnh AC, AD, BD, BC ti M, N, P, Q a) Chng minh rng t giỏc MNPQ l hỡnh bỡnh hnh b) Tỡm hp tõm I ca hỡnh bỡnh hnh MNPQ 5.69 Cho hỡnh chúp S.ABCD, gi M, N ln lt nm trờn on AB, CD v () qua MN song song SA a) Tỡm giao tuyn ca () vi mt phng (SAB) v (SAC) b) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp ct bi mt phng () c) Tỡm v trớ MN thit din l hỡnh thang 5.70 Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh bỡnh hnh ABCD Gi M, N, P, Q l cỏc im ln lt nm trờn BC, SC, SD, AD cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD a) Chng minh PQ // SA; b) Gi K = MN PQ Chng minh K nm trờn mt ng thng c nh M di ng trờn cnh BC 5.71 Cho hai hỡnh bỡnh hnh ABCD v ABEF khụng cựng nm trờn mt mt phng a) Gi O v O ln lt l tõm ca hỡnh bỡnh hnh ABCD v ABEF Chng minh rng ng thng OO song song vi cỏc mt phng (ADF) v (BCE) b) Gi M v N ln lt l trng tõm tam giỏc ABD v ABE Chng minh ng thng MN song song vi mt phng (CEF) TI LIU HC TP TON 11 144 5.72 giỏc u Mt mt phng () di ng song song mt phng (SBD) v i qua im I trờn on OC a) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp vi mt phng () b) Tớnh din tớch thit din theo a, b, x = AI 5.73 Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC Gi M, M ln lt l trung im ca cỏc cnh BC, BC a) Chng minh AM song song AM b) Tỡm giao im ca ng thng AM vi mt phng (ABC); c) Tỡm giao tuyn d ca hai mt phng (ABC) v (BAC); d) Tỡm giao im G ca ng thng d vi mt phng (AMM) Chng minh G l trng tõm ABC 5.74 Cho hỡnh hp ABCD.ABCD a) Chng minh hai mt phng (BDA) v (BDC) song song vi b) Chng minh rng ng chộo AC i qua trng tõm G1 v G2 ca hai tam giỏc BDA v BDC c) Chng minh G1 v G2 chia on AC thnh ba phn bng Gi O v I ln lt l tõm ca cỏc hỡnh bỡnh hnh ABCD v AACC Xỏc nh thit din ca mt phng (AIO) vi hỡnh hp ó cho 5.75 Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC Gi H l trung im ca cnh AB a) Chng minh rng ng thng CB song song mp(AHC); b) Tỡm giao tuyn d ca hai mt phng (ABC) v (ABC) Chng minh rng d song song mp(BBCC); c) Xỏc nh thit din ca hỡnh lng tr ABC.ABC ct bi mp(H, d) 5.76 Cho t din ABCD Trờn cnh AB ly im M Cho () l mt phng qua M, song song vi hai ng thng AC v BD a) Tỡm giao tuyn ca () vi cỏc mt ca t din b) Thit din ca t din ct bi mt phng () l hỡnh gỡ ? 5.77 Cho hai hỡnh thang ABCD v ABEF cú chung ỏy ln AB v khụng cựng nm mt mt phng a) Tỡm giao tuyn ca cỏc mt phng sau: (AEC) v (BFD); (BCE) v (ADF) b) Ly M l im thuc on DF Tỡm giao im ca cỏc ng thng AM vi mt phng (BCE) c) Chng minh hai ng thng AC v BF khụng ct 5.78 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh Gi M, N, P theo th t l trung im ca cỏc on thng SA, BC, CD Tỡm thit din ca hỡnh chúp ct bi mt phng (MNP) Gi O l giao im hai ng chộo ca hỡnh bỡnh hnh ABCD, hóy tỡm giao im ca ng thng SO vi (MNP) 5.79 Cho hỡnh chúp nh S ỏy l hỡnh thang ABCD vi AB l ỏy ln Gi M, N theo th t l trung im ca cỏc cnh SB, SC a) Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (SAD) v (SBC); b) Tỡm giao im ca ng thng SD vi mt phng (AMN); c) Tỡm thit din ca hỡnh chúp S.ABCD ct bi (AMN) 5.80 Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD Qua A, B, C, D ln lt v bn na ng thng Ax, By, Cz, Dt cựng phớa i vi mt phng (ABCD), song song vi v khụng cựng nm mt phng (ABCD) Mt mp() ln lt ct Ax, By, Cz, Dt ti A, B, C, D a) Chng minh mt phng (Ax, By) song song mp(Cz, Dt) GV TRN QUC NGHA 145 b) Gi I = AC BD, J = AC BD Chng minh IJ // AA c) Cho AA = a, BB = b, CC = c Hóy tớnh DD 5.81 Cho hai hỡnh bỡnh hnh ABCD v ABEF nm hai mt phng khỏc Ly cỏc im M, N ln lt thuc cỏc ng chộo AC, BF cho MC = 2AM; NF = 2BN Qua M, N k cỏc ng thng song song vi AB ct cỏc cnh AD, AF ln lt ti M1, N1 Chng minh rng: a) MN // DE; b) M1N1 // mp(DEF); c) (MNN1M1) // (DEF) 5.82 Cho t din ABCD Qua nm trờn AC, dng mt ph t phng () ln lt ct cỏc cnh BC, BD, AD ti N, P, Q a) T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ ? b) Gi O l giao im ca hai ng chộo ca t giỏc MNPQ Tỡm qu tớch im O M chy trờn on AC 5.83 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l mt t giỏc li Gi O l giao im ca hai ng chộo AC v BD Xỏc nh thit din ct hỡnh chúp bi mt phng () qua O, song song vi AB v SC Thit din ú l hỡnh gỡ ? 5.84 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp ct bi mt phng i qua trung im M ca cnh AB, song song BD v SA 5.85 Cho t din ABCD Gi M, N, P, Q, R, S ln lt l trung im ca AB, CD, BD, AD v BC Gi A, B, C, D ln lt l trng tõm ca cỏc tam giỏc BCD, ACD, ABD, ABC Chng minh: a) Cỏc on thng MN, PQ, RS, AA, BB, CC, DD ng qui ti G (G gi l trng tõm ca t din; cỏc on AA, BB, CC, DD gi l cỏc trng tuyn ca t din) b) GA = 3GA 5.86 Cho hỡnh chúp S.ABC, O l mt im nm bờn tam giỏc ABC Qua O dng cỏc ng thng ln lt song song vi SA, SB, SC v ct cỏc mp (SBC), (SCA) v (SAB) theo th t ti cỏc im A, B, C a) Nờu cỏch dng cỏc im A, B, C b) Chng minh OA' OB' OC' cú giỏ tr khụng i O di ng bờn ABC SA SB SC c) Xỏc nh v trớ ca O tớch OA.OB.OC cú giỏ tr ln nht 5.87 Cho t din ABCD v bn im M, N, E, F ln lt nm trờn cỏc cnh AB, BC, CD v DA Chng minh rng: a) Bn im M, N, E, F ng phng thỡ b) Nu MA NB EC FD MB NC EA FA MA NB EC FD thỡ bn im M, N, E, F ng phng (nh lớ Mờnờlauyt MB NC EA FA khụng gian) 5.88 Cho t din ABCD v mt phng () ct cỏc cnh AB, BC, CD v DA ln lt ti bn im M, N, E, F Tỡm giỏ tr ln nht ca tớch MA.NB.EC.FD 5.89 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh Gi M l trung im SC; mt phng (P) qua AM v song song vi BD a) Xỏc nh thit din ca hỡnh chúp vi mt phng (P) b) Gi E, F ln lt l giao im ca (P) vi cỏc cnh SB, SD Tỡm t s din tớch ca SME vi SBC v t s din tớch ca SMF vi SCD c) Gi K = ME CB, J = MF CD C/m:ba im K, A, J nm trờn mt ng thng song song vi EF v tỡm t s EF:KJ TI LIU HC TP TON 11 146 5.90 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a v SAB u Mt im M di ng trờn BC vi BM = x Ly K trờn SA cho AK = MB a) Chng minh: KM // (SDC) b) Tỡm thit din ca hỡnh chúp vi mt phng (P) i qua M v song song vi SA, SB Thit din l hỡnh gỡ ? Tớnh din tớch ca thit din theo a v x c) Tỡm x KN // (ABCD) ỏp s: b) Hỡnh thang cõn, S ( a2 x2 ) (vdt), c) x a 5.91 Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú cỏc cnh AA, BB, CC, DD song song vi a) Chng minh rng (BDA) // (BDC) b) Chng minh rng AC i qua trng tõm G1 v G2 ca hai tam giỏc BDA v BDC c) Chng minh rng G1 v G2 chia on AC thnh ba phn bng d) Cỏc trung im ca sỏu cnh BC, CD, DD, DA, AB, BB cựng nm trờn mt mt phng 5.92 Trong mt phng (), cho hỡnh bỡnh hnh ABCD Dng cỏc na ng thng song song vi v nm v mt phớa i vi mt phng () Mt mt phng () ct bn na ng thng núi trờn ti A, B, C, D Chng minh: a) (AA, BB) // (CC, DD) b) ABCD l hỡnh bỡnh hnh c) AA+CC = BB+DD 5.93 Cho hỡnh lng tr ABC.ABC Gi H l trung im ca AB a) Chng minh rng: CB // (AHC) b) Tỡm giao tuyn d ca hai mt phng (ABC) v (ABC) Chng minh d // (BBCC) 5.94 Cho hỡnh hp ABCD.ABCD cú tt c cỏc mt bờn u l cỏc hỡnh vuụng cnh a Cỏc im M v N ln lt nm trờn AD v DB cho AM = DN = x Chng minh rng: a) Khi x bin thiờn thỡ ng thng MN luụn luụn song song vi mt mt phng c nh b) Khi x = a thỡ MN // AC 5.95 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang AB l ỏy ln Gi E = AD BC, M l trung im ca AB, G l trng tõm CDE a) Chng minh: S, E, M, G () v () (SAC) (SBD) = b) Gi C1 v D1 l hai im ln lt thuc cỏc cnh SC, SD cho AD1 BC1 = K Chng minh cỏc im S, K, E thng hng v AC1 BD1 = O1 5.96 Cho t din ABCD Gi () l mt phng thay i nhng luụn luụn i qua trung im I, K ca cỏc cnh AD v BD () ct AC, BC ln lt li M v N a) T giỏc MNKI cú tớnh cht gỡ ? Khi no nú l hỡnh bỡnh hnh ? b) Gi O = IM NK Chng t O luụn nm trờn mt ng thng c nh c) Gi d l giao tuyn ca () v (OAB) Chng minh d luụn luụn nm mt mt phng c nh v cú phng khụng i 5.97 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD = E, ADBC = F, ACBD = G Gi mt phng () ct SA, SB, SC ln lt ti A, B, C a) Tỡm D = SD () b) Tỡm iu kin ca () ABCD cú AB // CD c) Tỡm iu kin ca () ABCD l hỡnh bỡnh hnh Cú bao nhiờu mt phng () tha iu kin ? 5.98 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh Mt mt phng (P) ln lt ct cỏc cnh SA, SB, SC ti A, B, C Gi O l giao im ca AC v BD, I l giao im ca AC v SO a) Tỡm giao im D ca (P) vi cnh SD GV TRN QUC NGHA 147 SA SC 2SO SA' SC' SI SA SC SB SD c) Chng minh rng SA' SC' SB' SD' b) Chng minh rng 5.99 Cho hỡnh hp ABCD.ABCD Trờn ba cnh AB, DD, CB ln lt ly ba im M, N, P khụng trựng vi cỏc nh cho AM D'N B'P AB D'D B'C' a) Chng minh rng (MNP) // (ABD) b) Xỏc nh thit din ca hỡnh hp ct bi mt phng (MNP) 5.100 Cho hỡnh chúp ct ABC.ABC cú ỏy ln ABC v cỏc cnh bờn AA, BB, CC i M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC, CA v M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC, CA Chng minh rng MNP.MNP l hỡnh chúp ct MC LC Chuyờn LNG GIC Vn HM S LNG GIC Dng Tỡm xỏc nh ca hm s Dng Tỡm giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht ca hm s lng giỏc Dng Xột tớnh chn l ca hm s Dng Tớnh tun hon ca hm s Dng S dng th Vn PHNG TRèNH LNG GIC Dng Phng trỡnh c bn Dng Phng trỡnh bc nht theo mt hm s lng giỏc 11 Dng Tỡm nghim phng trỡnh lng giỏc trờn khon, on cho trc 13 Dng Phng trỡnh bc hai, bc i vi mt hm s lng giỏc 15 Dng Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cosx (Phng trỡnh c in) 16 Dng Phng trỡnh thun nht bc hai, bc ba i vi sinx v cosx (Phng trỡnh ng cp) 18 Dng (Nõng cao) Phng trỡnh i xng Phn i xng 21 Dng (Nõng cao) Phng trỡnh lng giỏc khụng mu mc 22 Dng Phng trỡnh dng khỏc (tng quỏt) 23 Dng 10 Phng trỡnh lng giỏc cú tham s 24 Chuyờn TI LIU HC TP TON 11 148 T HP V XC SUT Vn QUI TC M 26 Dng S dng cỏc qui tc thc hin bi toỏn m s phng ỏn 26 Dng S dng cỏc qui tc thc hin bi toỏn m s cỏc hỡnh thnh t A 28 Vn HON V - CHNH HP T HP 29 Dng Thc hin bi toỏn m theo hoỏn v, t hp, chnh hp 30 Dng Rỳt gn v tớnh cỏc giỏ tr ca biu thc cha cỏc toỏn t hoỏn v, chnh hp v t hp 32 Dng Chng minh ng thc, bt ng thc cha cỏc toỏn t hoỏn v, chnh hp v t hp 33 Dng Gii phng trỡnh, h phng trỡnh, bt phng trỡnh cha cỏc toỏn t hoỏn v, chnh hp v t hp 35 Vn NH THC NIU-TN 37 Dng Khai trin nh thc Niu-tn 37 Dng Giỏ tr ca h s khai trin nh thc Niu-tn 39 Dng Tớnh tng 41 Dng Chng minh 43 Dng Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh 44 Vn BIN C V XC SUT CA BIN C 45 Dng Mụ t khụng gian mu Tỡm s phn t ca khụng gian mu 46 Dng Xỏc nh hp cỏc kt qu thun li cho mt bit c 47 Dng Tớnh xỏc sut ca mt bin c 48 Vn CC QUI TC TNH XC SUT 50 Dng Xỏc nh xem cỏc bin c cho trc cú xung khc khụng ? c lp vi khụng ? 51 Dng Mụ t bin c theo cỏc phộp toỏn hoc phiờn dch thnh li mt bin c cho trc 52 Dng Tỡm xỏc sut ca mt bin c bng cỏch s dng cụng thc xỏc sut ca hai bin c i 53 Dng Tỡm xỏc sut ca bin c l hp ca cỏc bin c xung khc 53 Dng Tỡm xỏc sut ca bin c l giao cỏc bin c c lp 54 Vn [NC] BIN NGU NHIấN RI RC 55 Dng Xỏc nh giỏ tr ca mt bin ngu nhiờn ri rc 56 Dng Lp bng phõn phi b xỏc sut ca bin ngu nhiờn ri rc 57 Dng Cho bng phõn phi b xỏc sut ca bin ngu nhiờn Tớnh xỏc sut ca bin c tha iu kin cho trc 57 GV TRN QUC NGHA 149 Dng Tớnh kỡ vng, phng sai, lch chun ca mt bin ngu nhiờn ri rc 58 Chuyờn PHNG PHP QUY NP TON HC DY S - CP S CNG CP S NHN Vn PHNG PHP QUY NP TON HC 60 Dng Chng minh ng thc bng phng phỏp quy np 60 Dng Chng minh cỏc bi toỏn chia ht bng phng phỏp quy np 63 Dng [NC] Chng minh cỏc bi toỏn bt ng thc bng phng phỏp quy np 64 Vn DY S 65 Dng M u v dóy s 66 Dng Xỏc nh cụng thc ca dóy s (u n) 67 Dng S dng phng phỏp quy np chng minh dóy s (un) tha tớnh cht K 68 Dng Xột tớnh tng, gim (hay tớnh n iu) ca mt dóy s (u n) 68 Dng Xột tớnh b chn ca mt dóy s (u n) 69 Vn CP S CNG 72 Dng Chng minh tớnh cht ca mt cp s cng 72 Dng Chng minh ba s (dóy s) lp thnh mt cp s cng 74 Dng Tỡm cỏc phn t ca mt cp s cng (un) 75 Dng Xỏc nh s hng tng quỏt ca mt cp s cng 76 Dng Tỡm iu kin ca tham s b s lp thnh cp s cng 76 Dng Tớnh tng 77 Vn CP S NHN 80 Dng Chng minh tớnh cht ca mt cp s nhõn 81 Dng Chng minh ba s (dóy s) lp thnh mt cp s nhõn 81 Dng Tỡm cỏc phn t ca mt cp s nhõn (u n) 82 Dng Xỏc nh s hng tng quỏt ca mt cp s nhõn 83 Dng Tỡm iu kin ca tham s b s lp thnh cp s nhõn 84 Dng Tớnh tng 84 Dng Tớnh tng cỏc s hng ca cp s nhõn lựi vụ hn 85 Chuyờn CC PHẫP BIN HèNH TRONG MT PHNG TI LIU HC TP TON 11 150 Vn PHẫP BIN HèNH PHẫP TNH TIN - PHẫP DI HèNH 89 Dng Tỡm nh ca hỡnh H cho trc qua mt phộp tnh tin Dng Xỏc nh phộp tnh tin T u 90 Dng Tỡm qu tớch (tp hp im) bng phộp tnh tin Dng p dng phộp tnh tin T u 89 T u 91 T u vo dng hỡnh 92 Dng Chng minh hai hỡnh bng Tớnh di on thng, s o gúc 92 Dng Tớch ca cỏc phộp tnh tin 93 Dng Biu thc ta ca phộp tnh tin 94 Vn PHẫP I XNG TRC 96 Dng Giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht 96 Dng Tỡm qu tớch (tp hp im) bng phộp i xng trc D 97 Dng p dng phộp i xng trc D vo dng hỡnh 97 Dng p dng phộp i xng trc D vo chng minh 97 Dng Tớch ca cỏc phộp i xng trc 98 Dng Biu thc ta ca phộp i xng trc 98 Vn PHẫP I XNG TM 100 Dng Tỡm qu tớch (tp hp im) bng phộp i xng tõm I 100 Dng p dng phộp i xng tõm I vo dng hỡnh 101 Dng p dng phộp i xng tõm I vo chng minh 101 Dng Biu thc ta ca phộp i xng trc 101 Vn PHẫP QUAY 103 Dng Xỏc nh phộp quay 103 Dng Tỡm nh ca mt hỡnh (H) cho trc qua phộo quay Q (O , ) 103 Dng Tỡm qu tớch (tp hp im) bng phộp quay Q (O , ) 104 Dng p dng phộp quay Q(O , ) vo dng hỡnh 104 Dng p dng phộp quay Q(O , ) vo chng minh 105 Dng Giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht 105 Dng Tớch ca cỏc phộp quay 105 Dng Biu thc ta ca phộp quay 106 Vn PHẫP V T 107 Dng Xỏc nh phộp v t 107 Dng p dng phộp v t vo chng minh 107 GV TRN QUC NGHA 151 Dng Biu thc ta ca phộp v t 108 Vn PHẫP NG DNG 110 Dng Xỏc nh phộp ng dng 110 Dng Biu thc ta ca phộp ng dng 111 Vn HèNH BNG NHAU HèNH NG DNG 112 Dng Chng minh hai hỡnh (H) v (H) bng 112 Dng Chng minh hai hỡnh (H) v (H ) ng dng 112 TI LIU HC TP TON 11 152 Chuyờn NG THNG V MT PHNGTRONG KHễNG GIAN QUAN H SONG SONG Vn I CNG V NG THNG V MT PHNG 115 Dng Cỏc quan h c bn S dng h tiờn 116 Dng Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (loi 1) 118 Dng Tỡm giao im ca ng thng v mt phng Tỡm thit din ca hỡnh chúp v mp(P) (loi 1) 119 Dng Chng minh cỏc im thng hng Chng minh cỏc ng thng ng qui 123 Dng Chng minh ng thng di ng d i qua im c nh I 125 Dng Qu tớch giao im I ca hai ng thng di ng d1 v d2 126 Vn QUAN H SONG SONG TRONG KHễNG GIAN 130 Dng Chng minh hai ng thng song song 132 Dng Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (loi 2) 133 Dng Chng minh ng thng song song vi mt phng 135 Dng Tỡm thit din ca hỡnh chúp v mp(P) (loi 2) 136 Dng Chng minh hai mt phng song song 138 Dng nh lớ Talet khụng gian 140 Dng Hỡnh lng tr - Hỡnh hp - Hỡnh chúp ct 141 [...]... 0 thỡ (1) cosx.(bsinx + ccosx) = 0 b sin x ccos x 0 Nu c = 0 v b, a 0 thỡ (1) sinx.(asinx + bcosx) = 0 sin x 0 a sin x bcos x 0 Nu a, b, c 0: Kim tra xem vi cosx = 0 thỡ (1) cú tha hay khụng? (cosx = 0 thỡ sinx = 1) Nu tha thỡ + k (k Z) 2 Vi cosx 0, chia 2 v ca (1) cho cos2x, ta c phng trỡnh: atan2x + btanx + c = 0 (1) (1) l phng trỡnh bc 2 theo tanx, ta ó bit cỏch gii (Xem