Chủ đề 14 độ dài diện tích

LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 14: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN CUNG TRỊN DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN HÌNH QUẠT TRỊN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I/ Độ dài đường tròn Cung tròn Độ dài C (chu vi) đường trịn bán kính R C = 2πRπRR Nếu gọi d độ dài đường kính đường trịn (d = 2πRR) C = πR.d d Trong πR ≈ 3,14 Trên đường trịn bán kính R, độ dài L cung no là: L ≈ πRRn/180 d II/ Diện tích hình trịn, quạt trịn Diện tích S hình trịn bán kính R là: S= πRR2πR Hình quạt trịn phần hình trịn giới hạn cung trịn hai bán kính qua hai mút cung đó.d Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung no la: Squạt = πRR2πRn / 360 hay Squạt = L.d R/2πR (L độ dài cung no hình quạt trịn) Hình viên phân phần hình trịn giới hạn cung dây căng cung ấy.d Diện tích hình viên phân hiệu (hoặc tổng) diện tích hình quạt trịn diện tích tam giác góc tâm hình quạt nhỏ 180o (hoặc lớn 180o) d Hình vành khăn phần hình trịn giới hạn đường trịn đồng tâm Diện tích hình vành khăn tạo hai đường trịn đồng tâm bán kính R1 R2πR là: Svành khăn = πR(R12πR - R2πR2πR) d B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG I/ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác có cạnh 5cm.d Hướng dẫn giải Giả sử ΔABC cạnh 5cm nội tiếp (O; R).ABC cạnh 5cm nội tiếp (O; R).d Nối OA cắt BC H => AH ⊥ BC H trung điểm BC.d ΔABC cạnh 5cm nội tiếp (O; R).AHB vuông H nên: AH2πR = AB2πR - BH2πR = 52πR - (5/2πR)2πR = 75/4 => AH = /2πR (cm) Vì ΔABC cạnh 5cm nội tiếp (O; R).ABC có O tâm đường trịn ngoại tiếp nên O trọng tâm tam giác đó, đó: OA = 2πR/3 AH = 2πR/3 d /2πR => R = OA = /3 LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Độ dài đường tròn ngoại tiếp ΔABC cạnh 5cm nội tiếp (O; R).ABC là: C = 2πRπRR = 10 d πR/3 ≈ 54,39(cm) Bài 2: Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính R = 3cm; R2πR = 6cm.d Một dây AB đường tròn (O;R1) tiếp xúc với đường trịn (O;R2πR) C.d a) Tính độ dài cung nhỏ AB đường tròn (O;R2πR) d b) Tính độ dài đường trịn đường kính AB.d Hướng dẫn giải a) Vì tiếp tuyến C với đường trịn (O;R1) nên OC ⊥ AB Tam giác OAC vng C có: cos ∠AOC = OC/OA = 1/2πR => ⊥AOC = 60o => ∠AOB = 12πR0o Vậy độ dài cung AB đường tròn (O;R2πR) là: I = πRRn/180 ≈ 12πR,56 (cm) b) Vì tam giác OAC vng C nên: AC 2πR = OA2πR - OC2πR = 36 - = 2πR7 => AC = 3√3 (cm) Trong đường trịn (O;R2πR) ta có: OC ⊥ AB => C trung điểm AB => Đường trịn đường kính AB có tâm C bán kính R= AC = 3 (cm).d Vậy độ dài đường tròn đường kính AB là: C = 2πRπRR ≈ 32πR,63(cm2πR Bài 1: Tính diện tích hình trịn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cạnh a.d Hướng dẫn giải Nối AO cắt BC H Vì O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên O đồng thời trực tâm, trọng tâm tam giác ABC.d Do đó: AH ⊥ BC HB = HC = BC/2πR = a/2πR Xét tam giác vuông ABH vuông H có: AH2πR = AB2πR - BH2πR = a2πR - (a/2πR)2πR = 3a2πR /4 => AH = a /2πR Do O trọng tâm tam giác ABC nên: AO = 2πR/3 AH = 2πR/3 d a /2πR = a /3 Vậy diện tích hình trịn (O) là: S = πRR2πR = πR(a /3)2πR = πRa2πR/3 (đvdt) Bài 2: Một hình vng hình trịn có diện tích nhau.d Hỏi hình có chu vi lớn hơn? LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Hướng dẫn giải Giả sử hình vng có cạnh a hình trịn có bán kính R.d Vì hình vng hình trịn có diện tích nên ta có: a2πR = πRR2πR ⇔ a = R  Mặt khác: Chu vi hình vng C1 = 4a = 4R  Chu vi hình trịn C2πR = 2πRπRR C1 2πR   => C1 > C2πR => C2πR Vậy hình vng có chu vi lớn hơn.d Bài 3: Cho tam giác ABC có tâm O, cạnh 6cm.d Vẽ đường trịn (O;2πRcm).d Tính diện tích phần tam giác nằm ngồi hình trịn (O).d Hướng dẫn giải Gọi diện tích phần phải tính (phần gạch sọc hình vẽ) S thì: S = 3(SAMON - SQuạt trịn OMN) Giả sử giao điểm đường tròn (O; 2πRcm) với hai cạnh AB, AC M N.d Nối CO cắt AB E => CE đường cao tam giác ABC cạnh 6cm nên: CE = /2πR = 3 (cm) Xét tam giác OEM vuông E nên: EM2πR = OM2πR - OE2πR = 2πR2πR - ( )2πR = (cm) => EM = 1(cm) => AM = 2πREM = 2πRcm = AN Dễ thấy tứ giác AMON hình thoi có OA = OC = 2πR (cm) MN = 2πRcm (do tam giác MON đều) nên: SAMOC = AO.d MN/2πR = 2πR (cm2πR) Diện tích hình quạt tròn OMN là: Squạt tròn OMN = πRR2πRn /360 = 2πRπR/3 (cm2πR) Do diện tích tam giác cong AMN là: SAMN = SAMON - Squạt tròn OMN = 2πR - 2πRπR/3 (cm2πR) Vậy diện tích phần tam giác nằm ngồi hình trịn là: S = 3(2πR - 2πRπR/3) = 2πR(3 - πR) ≈ 4,1 (cm2πR) II/ LUYỆN TẬP Bài 1: Cho đường tròn (O) haiđiểm M N thuộc đường trịn cho góc MON =150o d a) Tính độ dài cung MN.d b) Tính diện tích hình quạt trịn tạo góc MON.d LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.d Biết góc A 60°, tính diện tích hình viên phân tạo cung nhỏ BC dây BC.d Bài 3: Từ điểm c (O ; R) cho OC = 2πRR, kẻ tiếp tuyến CA, CB đường tròn (O) (B, A tiếp điểm).d Tia oc cắt (O) D.d a) Tính diện tích phần tam giác ABC nằm ngồi hình trịn (O ; R).d b) Tính diện tích hình trịn nội tiếp tam giác ABC.d Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O).d Tiếp tuyến c với đường tròn cắt AB, AD kéo dài E F.d a) Chứng minh AB.d AE = AD.d AF.d b) Tính diện tích phần tam giác AEF nằm ngồi đường trịn (O), biết AB = AD = Bài Cho đường tròn tâm O, bán kính R điểm A nằm ngồi đường tròn.d Từ điểm M chuyển động đường thẳng d vng góc với OA A, vẽ tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn.d Dây PP’ cắt OM N cắt OA B.d a) Chứng minh : OA.d OB = OM.d ON = R2πR b) Chứng minh tứ giác POMA nội tiếp đường trịn.d Khi điểm M di chuyển d tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác POMA chuyển động đường cố định ? c) Cho góc PMP’ = 60° R = 8, tính diện tíeh phần mặt phẳng giới hạn MP, MP’ cung lớn PP’.d Bài 6: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2πRR, điểm nửa đường tròn cho cung AC 60o, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC.d Tính diện tích hình giới hạn bới nửa đường trịn đường kính AB phân ngồi đường trịn (I).d