Bài 9 độ dài đường tròn

CHUYÊN ĐỀ BÀI 9: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày cơng thức tính độ dài đường trịn + Trình bày cách tính độ dài cung tròn  Kĩ + Vận dụng cơng thức tính độ dài đường trịn, độ dài cung trịn I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường trịn) Độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) C đường trịn bán kính R tính theo cơng thức: C 2 R C  d (với d 2R) Cơng thức tính độ dài cung trịn Trên đường trịn bán kính R, độ dài  cung no tính theo  Rn cơng thức:   180 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn Phương pháp giải Ví dụ: a) Tính độ dài cung 60° đường trịn có bán kính 3dm b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 600 Vận dụng cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường trịn) cơng thức tính độ dài cung trịn để tính tốn mm Hướng dẫn giải a) Ta có n  60 , R 3dm nên độ dài cung tròn l  Rn  3.60    dm  ; 180 180 Trang b) Ta có d 600  mm  nên chu vi vành xe đạp C  d 600  mm  6  dm  Ví dụ mẫu Ví dụ Một dây AB chia đường tròn (O;R) thành hai cung mà cung gấp ba lần cung a) Tính số đo độ dài cung lớn b) Tính góc tam giác OAB c) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB Hướng dẫn giải a) Gọi số đo cung nhỏ x Gọi số đo cung lớn y Theo ta có hệ phương trình  x 90o  x  y 360o    o  y 270  y 3.x Vậy số đo cung lớn 270° độ dài cung lớn  R.270 3 R  180   x 90o b) Ta có AOB sđAB    Áp dụng định lí tổng ba góc AOB ta có: AOB  OAB  OBA 180   Mà AOB cân O (OA OB R ) nên OAB OBA    Từ AOB 90o ; OAB OBA 45o c) Kẻ OH  AB  H  AB Mà AOB vuông cân O (theo chứng minh trên) nên ta có OH  AB (tính chất) AB2 OA  OB2 2R (định lí Py-ta-go) Do OH  R Ví dụ Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD) Trang Nối AC BD cắt K a) Tìm tỉ số đồng dạng KCD với KBA  b) Cho ABC 30 , tính độ dài cung nhỏ AC Hướng dẫn giải  chung; a) Xét KCD KBA ta có K    (cùng bù ACD ) KCD KBA Suy KCD KBA  g.g   CD R   AB 2R Tỷ số đồng dạng là: CD R   AB 2R R   b) ABC 30o  AOC 60o  l AC   Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho đường tròn tâm (O), bán kính R = 3cm Tính a) Độ dài đường trịn b) Độ dài cung trịn có số đo 30°, 60°, 120° Câu 2: Trong đường trịn (O;R), tính theo R độ dài cung nhỏ cung lớn tạo dây AB biết: a) AB R b) AB R Bài tập nâng cao ˆ 60 Đường trịn tâm I, đường kính AB cắt Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB 5cm, B BC D a) Chứng minh AD vng góc với BC b) Gọi K trung điểm AC Chứng minh đường trịn tâm K đường kính AC qua D c) Tính độ dài cung nhỏ BD Câu 4: Cho đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC  OA Biết độ dài đường trịn (O) 4π cm Tính:π cm Tính: a) Bán kính đường trịn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn Câu 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn Câu 6: Cho đường tròn (O;R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác  BAC cắt đường tròn (O) D Các tiếp tuyến đường tròn (O;R) C D cắt E Tia CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I a) Chứng minh BC // DE Trang b) Chứng minh AKIC tứ giác nội tiếp c) Cho BC R Tính theo R độ dài cung nhỏ BC đường tròn (O;R) Câu 7: Cho tam giác ABC cân A, M điểm BC Trên AB, AC lấy D, E cho BM = BD,CM = CE Tìm vị trí điểm M BC để độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE nhỏ Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác MDE đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 8: Cho K điểm chuyển động đường trịn tâm O đường kính MN Tìm vị trí điểm K để chu vi MNK đạt giá trị lớn Dạng 2: So sánh độ dài hai cung Phương pháp giải Tính độ dài cung theo bán kính đường Ví dụ: Cho đường trịn (O) bán kính OM Vẽ trịn theo số đo cung so sánh kết đường tròn tâm O , đường kính OM Một bán kính OA đường tròn (O) cắt đường tròn (O') B   Chứng minh MA có độ dài MB Hướng dẫn giải 1   MO ' B (góc nội tiếp nửa góc Ta có MOB tâm chắn cung)   B 2n  , Giả sử MOB n  MO   2n o suy sñMA n o ; sñMB  OM.n  Ta có I MA  1  180 I MB    OM.2n  OM.n     OM 2OM  180 180 I MB Từ (1) (2) suy I MA   Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cho B nằm A C Chứng minh độ dài nửa đường trịn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC Hướng dẫn giải Gọi C1 , C2 , C3 độ dài nửa đường trịn đường kính AC, AB BC Ta có C1  AC; C2  AB; C3  BC  C2  C3   AB  BC   AC C1 Vậy C1 C2  C3 Trang 4π cm Tính: Ví dụ Một tam giác hình vng có chu vi 72 cm Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? Hướng dẫn giải Độ dài cạnh tam giác 72 : 24π cm Tính:  cm  Độ dài cạnh hình vng 72 : 4π cm Tính: 18  cm  Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác R1  24π cm Tính: 8  cm  2sin 60o Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng R2  18 9  cm  2sin 4π cm Tính:5o Vì  nên R  R , độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác lớn độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vng Hiệu độ dài C1  C 2 ( R  R ) 2 (8  )  cm  Bài tập tự luyện dạng Bài tập  Câu 1: Cho hình dưới: So sánh độ dài cung AmB với độ dài đường gấp khúc AOB Câu 2: Cho đường tròn (O;R) hai dây cung AB R 3; AC R cho AO nằm hai tia AB; AC So sánh độ dài cung nhỏ AB, AC BC Bài tập nâng cao Câu 3: Cho đường tròn (O;R)  a) Tính góc AOB biết độ dài cung AB R 4π cm Tính: b) Trên cung lớn AB, lấy điểm C cho AOC tam giác AC cắt đoạn OB Tính độ dài cung lớn AC BC Trang Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên AB lấy hai điểm C D (C nằm A D) Vẽ nửa đường trịn đường kính AC, CD, DB Chứng minh tổng độ dài ba nửa đường tròn độ dài nửa đường trịn đường kính AB ĐÁP ÁN Dạng Tính độ dài đường trịn, độ dài cung trịn Câu a) Độ dài đường tròn C 2 R 6  cm   R30o  b) Độ dài cung trịn có số đo 30° I    cm  180o  R60o Độ dài cung trịn có số đo 60° I    cm  180o  R120o Độ dài cung trịn có số đo 120° I  2  cm  180o Câu a) Ta có AB dây cung đường tròn (O;R) AB R 2, suy AB cạnh hình vng nội   tiếp đường tròn (O;R) Gọi cung nhỏ cung lớn tạo dây AB AmB; AnB   nB 360  90 270 Do sđAmB 90o sđ A  Do I AB   R90  R  (đvđd) 180  R270 3 R (đvđd) I ABlớ    n 180 b) Ta có AB dây cung đường tròn (O;R) AB R , suy AB cạnh tam giác nội   tiếp đường tròn (O;R) Gọi cung nhỏ cung lớn tạo dây AB AmB; AnB   nB 360  120 240 Khi sổ sđAmB 120o sđ A  Do đó: I AB   R120 2 R  (đvđd) 180  R240 4 R (đvđd) I ABlớ    n 180 Câu  a) Ta có: BDA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy AD  BC (điều phải chứng minh) b) ADC vng D, suy DK  AC (tính chất tam giác vuông) Trang  AC  Do D   K;  (điều phải chứng minh)    60o nên IBD  BID  c) IBD cân I có B 60o  60     cm  180  I BD  Câu a) 2 R 4π cm Tính:  R 2  cm    b) AOB 60o (vì OAB đều) BOC 120o  R.120  I BCnhoû     cm  ; I BClớ    cm    n 180 3 Câu Gọi M; N; P; Q tiếp điểm cạnh AB; BC; CD; DA với đường tròn Đặt AM QA a; MB NB b; NC PC c; PD QD d Gọi C AB C CD C AD  C BC  nửa chu vi đường tròn ; ; ; 2 2 đường kính AB; CD; AD; BC, ta có: C AB  2  C AB  a b cd 2 C ;  CD   2 2 C CD 2  a b cd 2 Tương tự ta có  C AD   C BC  2  a bc d (điều phải chứng minh) 2 Câu   a) AD phân giác BAC, suy D điểm BC  OD  BC Mà DE tiếp tuyến nên DE  OD  1  2 Từ (1); (2) ta có BC / /DE (điều phải chứng minh)     b) ECD suy AKIC tứ giác nội  sñCD DAC BAD, tiếp (điều phải chứng minh) Trang c) HC  R    HOC 60o  BOC 120o  I BC    R.120   R 180 Câu +) Xác định vị trí điểm M: Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp DEM Khi O giao điểm đường trung trực DEM Vì hai tam giác BMD CME tam giác cân nên ta chứng minh O giao điểm hai đường phân giác góc B góc C tam giác ABC, suy O cố định Độ dài đường tròn ngoại tiếp DEM C 2 OM Do C nhỏ OM nhỏ hay OM vng góc với BC, M trung điểm BC +) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác đường tròn nội tiếp tam giác: Khi A, O, M thẳng hàng nên BO tiếp tuyến đường tròn (O;OM) Mà BM = BD; CM = CE nên AB, AC tiếp tuyến đường trịn (O;OM) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác DME đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu Chu vi KMN CKMN MN  KM  KN, MN khơng đổi nên chu vi KMN đạt giá trị lớn phụ thuộc vào vị trí điểm K để KM + KN đạt giá trị lớn Có thể tư theo hướng: tất tam giác vng có cạnh huyền tam giác vng cân có chu vi lớn mở rộng tất hình chữ nhật có đường chéo hình vng có chu vi lớn Áp dụng định lý Py-ta-go KMN vuông K ta có: KM  KN MN Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: (1.KM  1.KN)  12  12   KM  KN  2MN  KM  KN  2MN 2R Do KM + KN đạt giá trị lớn 2R KM KN  Khi K điểm MN Dạng So sánh độ dài hai cung Câu  Ta có I AmB   R.120 2 R   1 180 Độ dài đường gấp khúc AOB là: d OA  OB 2R   Trang Vì      1 3  d Từ (1), (2) (3) suy I AmB  Câu Ta có AB dây cung đường tròn (O;R) AB R 3, suy AB cạnh tam giác nội tiếp đường tròn (O;R), suy  AOB  sđAB 120o  1 Ta có AC dây cung đường tròn (O;R) AC R 2, suy AB cạnh hình vng nội tiếp đường trịn (O;R),  AOC  90o suy sñAC  360  1 ;    sñBC  Do đó: I AB  I AC   o  2     sñAC   sñAB 150 o  R120 2 R  (đvđd) 180  R90  R  (đvđd) 180  R150 5R I BC   (đvđd)  180  I BC  I AB Vậy I AC    Câu a) Gọi x số đo cung nhỏ AB, ta có:  R  Rx    x 4π cm Tính:5  AOB 4π cm Tính:5o 4π cm Tính: 180  60o nên số đo cung lớn AC 300° b) Vì sđAC  Do I AC   R300 5 R  180  60o  45 105 nên số đo cung lớn BC 255° Ta có sđBC  I BC    R255 17 R  180 12 Câu Gọi C1 , C , C3 , C 4π cm Tính: độ dài nửa đường trịn đường kính AC, CD, DB AB Ta có: Trang C1   AC  CD  DB ; C2  ; C3  2  C1  C  C3     AC  CD  DB   AB C4π cm Tính: 2 Vậy C1  C2  C3 C4π cm Tính: Trang 10