Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
SỐ PHỨC IV C H Ư Ơ N LÝ THUYẾT I = = = ĐỊNH NGHĨA I o Một số phức biểu thức dạng z = a + bi với a,b Ỵ ¡ i = - o i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z = a + bi Tập hợp số phức kí hiệu £ { } £ = a + bi / a,b Ỵ ¡ ;i = - o Chú ý: - Khi phần ảo b = Û z = a số thực - Khi phần thực a = Û z = bi Û z số ảo - Số = + 0i vừa số thực, vừa số ảo ìï a = c a + bi = c + di Û ïí ïï b = d ỵ o Hai số phức nhau: với a,b,c,d Ỵ ¡ z = a + bi ; z2 = - a - bi o Hai số phức gọi hai số phức đối SỐ PHỨC LIÊN HỢP Số phức liên hợp z = a + bi với a,b Ỵ ¡ a - bi kí hiệu z Một số tính chất số phức liên hợp: b) z + z ' = z + z ' a) z = z c) z.z ' = z.z ' d) c) z - z ' = z - z ' ổz z ỗ ữ = ỗ ữ ữ ữ z ỗ ốzÂứ z l s thc z = z ; z số ảo Û z = - z BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z = a + bi với a,b Ỵ ¡ biểu diễn điểm M ( a;b) MODULE CỦA SỐ PHỨC o Môđun số phức z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) 2 z = a + b o Như vậy, môđun số phức z z khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức uuur OM = a2 + b2 = zz z = a + bi ( a,b Ỵ ¡ ) đến gốc tọa độ O mặt phẳng phức là: o Một số tính chất môđun: · z ³ 0; z = Û z = 0; · z2 = z , - z = z , z = z · z1 + z2 £ z1 + z2 · z - z' £ z - z' £ z + z' · z1.z2 = z1 z2 · z1 z1 = z2 z2 CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC: CỘNG – TRỪ – NHÂN – CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức z = a + bi ; z ' = a '+ b'i với a,b,a ',b' Ỵ ¡ số k Î ¡ o Tổng hai số phức: z + z ' = a + a '+ (b + b')i o Hiệu hai số phức: z + z ' = a - a '+ (b - b')i o Số đối số phức z = a + bi - z = - a - bi r ur u o Nếu , u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z, z ' r ur u + u ' biểu diễn số phức z + z ' r ur u - u ' biểu diễn số phức z - z ' o Nhân hai số phức: z.z ' = ( a + bi ) ( a '+ b'i ) = ( aa '- bb ') + ( ab '+ a '.b) i z- = o Số phức nghịch đảo: o Chia hai số phức: Nếu z ¹ 0thì z ' z '.z = z z z z , nghĩa muốn chia số phức z ' cho số phức z' tử mẫu thương z cho z Chú ý: i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = - 1; i 4k+3 = - i (k Î ¢) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC z ¹ ta nhân Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z = w gọi thức bậc w z – z Mỗi số phức w ¹ 0 có hai bậc hai hai số phức đối o Trường hợp w số thực ( w = a Ỵ ¡ ) + Khi a w có hai bậc hai a - a + Khi a nên a = (- a)i , w có hai bậc hai Ví dụ: Hai bậc i –i - a.i - - a.i Hai bậc - a (a ¹ 0) , - o Trường hợp w = a + bi (a,b ẻ Ă ;b 0) Cách 1: Gọi z = x + yi (x, y Ỵ ¡ ) bậc w z = w , tức là: (x + yi )2 = a + bi ìï x2 - y2 = a Û ïí ® x = ;y = ïï 2xy = b ïỵ x;y Mỗi cặp số thực nghiệm hệ phương trình cho bậc hai z = x + yi số phức w = a + bi Cách 2: Có thể biến đổi w thành bình phương tổng, nghĩa w = z Từ kết luận bậc hai w z - z PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Cho phương trình bậc 2: Az + Bz + C = (1) A, B,C số phức A Xét biệt thức D = B - 4AC o Nếu D ¹ 0thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt: z1 = - B +s ; 2A z2 = -B- s 2A Trong s bậc D o Nếu D = 0thì phương trình (1) có nghiệm kép: CHÚ Ý: z1 = z2 = -B 2A A zn + A1zn- + + An- 1z + An = o Mọi phương trình bậc n: ln có n nghiệm phức (không thiết phân biệt) o Hệ thức Vi-ét phương trình bậc số phức hệ số thực: Cho phương trình bậc : Az + Bz +C = (A, B,C ẻ Ă ;A 0) có nghiệm phân ìï ïï S = z + z = - B ïí A ïï C ï P = z1z2 = A biệt (thực phức) Ta có: ïïỵ II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT = z = a + bi ( a,b Ỵ I o Bước 1: Gọi số phức z cần tìm ¡ ) o Bước 2: Biến đổi theo điều kiện cho trước đề (thường liên quan đến môđun, biểu z, z, z , thức có chứa ) để đưa phương trình hệ phương trình ẩn theo a b nhờ tính chất số phức ( phần thực phần ảo ), từ suy a b suy số phức z cần tìm Câu Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp tính mơđun số phức z : b) z = ( - 4i ) ( + 2i ) + a) z = ( + 4i ) + 2i ( 1- 3i ) - 5i 2+ i w = zi + z ( + 2i ) Câu Cho số phức z = + 2i Tìm mơđun số phức + ( + i ) + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) 20 Câu Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 2017 Câu Tính S = 1009 + i + 2i + 3i + + 2017i Câu Cho số phức Câu Tìm số z z ( ) 1+ i w = ( + z) ( + z2) ( + z3) ( + z2017 ) Tính cho: z + (2 + i )z = + 5i Câu Tìm số phức Câu Cho z =- z - (2 + i ) = 10 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: z Ỵ ¡ _ z z- z =2 z z số phức liên hợp z Biết Tìm z () Câu Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z + 1- 2i = z + + 4i Câu 10 Cho số phức z có mơđun 2018 Mơđun số phức w bằng? Câu 11 Cho số phức z, w khác cho w z - 2i z + i số ảo 1 + = số phức thỏa mãn biểu thức z w z + w z - w = 2z = w Phần thực số phức Câu 12 Tính mơđun số phức z.z = 25 z biết z¹ z z- z có phần thực u= z w ? SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN-PLUS ĐỂ GIẢI VỀ SỐ PHỨC Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm w2 o Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b o Tính mơđun số phức bấm qc o Để bấm số phức liên hợp z bấm q22để Conjg (liên hợp) PHÉP CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Câu Tính z = + i - (3 + 2i ) Hướng dẫn: Ta bấm phím sau: 1+bp(3+2b) Và ta kết là: Câu Tính z = (1 + 3i )(- + 4i ) Hướng dẫn: Ta bấm phím tương tự ta thu kết sau: Câu Tính z = (- + i) 1+ 3i - 7i Hướng dẫn: Ta nhập biểu thức kết quả: z = (- + i) 1+ 3i - 7i vào máy ta thu Câu Cho số phức z = a + bi Số phức z có phần ảo : C 2ab D ab Hướng dẫn: Vì đề cho dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” tốn cách chọn giá trị cho 2 A a b 2 B 2a b a,b (lưu ý nên chọn giá trị lẻ để tránh xảy trường hợp đặc biệt) Chọn a = 1.25 b = 2.1 ta có z = 1.25 + 2.1i Sử dụng máy tính Casio tính z + 21 Vậy phần ảo b ) d = 21 Xem đáp số có giá trị đáp án xác Ta có : Vậy 2ab = 21 Þ Đáp án C xác - Câu Cho số phức z = a + bi Số phức z có phần thực : a 2 B a + b A a + b -b 2 C a + b D a - b Hướng dẫn: Vì đề mang tính chất tổng qt nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a = 1;b = 1.25 Với z- = z Sử dụng máy tính Casio a R + b = - 16 : 41 giá trị dương Vì ta Ta thấy phần thực số phức z chọn b > a > nên ta thấy đáp số C D sai Thử đáp số A có a + b = + 1.25 = 16 ¹ 41 đáp số A sai Þ Đáp án xác B Câu Cho số phức z = ( + i ) + ( + i ) + + ( 1+ i ) 11 A - 11 B - + Dãy số cấp số nhân với 22 Phần thực số phức 11 C - - Hướng dẫn: U = ( 1+ i ) 11 D , số số hạng 21 công bội + i Thu gọn 21 : Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+b)= Þ Phần ảo số phức z - : 2 1- ( + i ) 1- qn z = U = ( 1+ i ) 1- q 1- ( + i ) Vậy z = - 2050 - 2048i z 2050 = - 211 - Þ Đáp số xác C z ta TÍNH MƠĐUN Câu Tìm môđun số phức (1- 2i )z + 2i = - Hướng dẫn: (1- 2i )z + 2i = - Þ z = z = - - 2i 1- 2i Nên ta thực bấm sau: qcap6p2bR1p2b= Ta thu kết quả: + 4i - 2(1- i )3 z1 = - 3i + (1- i ) , z2 = × w= 2.z1.z2 1+ i Câu Tìm số phức Biết Hướng dẫn: z = - 3i + (1- i )3 - Tính 4p3b+(1pb)^3qJz lưu vào biến A: + 4i - 2(1- i )3 1+ i - Tính lưu vào biến B a2+4bp2(1pb)^3R1+bqJx z2 = w= 2.z z 2: - Tính 2q22q22Qz)OQx)= PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Câu Tìm mơđun số phức A z = z thỏa mãn: B z = ( 1- 3i ) z + 3i = 7i - C z = 2 D z = Hướng dẫn: Ta chuyển z dạng: Quy trình bấm máy: Qca7bp2p3bR1p3b= Màn hình hiển thị: z= 7i - - 3i 1- 3i tìm mơđun >>> Chọn C Câu Cho số phức w= A z thỏa mãn (3 - i )(z + 1) + (2 - i )(z + 3i ) = 1- i Tìm mơđun số phức i- z 1+ z 82 B 82 C 82 D 82 Hướng dẫn: Ở cho phím X đại diện cho số phức z Đây phương trình bậc số phức Bước 1: Các em nhập lại phương trình với máy tính sau: (3 - i )(X + 1) + (2 - i )(C onj g(X ) + 3i ) - (1- i ) (3pb)(Q)+1)+(2pb)(q22Q))+3b)p(1pb) Màn hình hiển thị: Bước 2: Tìm số phức z = a + bi nghĩa tìm a b Ta cho trước a=10000 b=100 từ suy ngược lại mối quan hệ a b hệ phương trình ẩn theo a b, lúc tìm a b Cho z = 10000 + 100i cách nhập r10000+100b= Màn hình cho kết quả: Nghĩa là: (3 - i )(z + 1) + (2 - i )(z + 3i ) - (1- i ) = 50005 + 19894i = 5a + + (2a - b + 6)i Cho nên: (3 - i )(z + 1) + (2 - i )(z + 3i ) - (1- i ) = ïì 5a + = ïì 5a + = Û ïí Û ïí Þ a = - 1,b = ® z = - 1- 8i ïï 2a - b - = ïï 2a - b = ỵ ỵ Từ tính mơđun w : >>> Chọn B 2 3i z i z 3i Câu Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện Tìm P = 2a + b A C Giải: B - D Đáp án khác Û ( - 3i ) z + ( + i ) z + ( + 3i ) = Phương trình Nhập vế trái vào máy tính Casio CALC với X = 1000 + 100i ( p b ) Q +( + b ) ) d r +( + b ) q 2 Q ) 0 + 0 b = Vậy vế trái = 6392 - 2194i với ìï 6392 = 6.1000 + 4.100 - = 6a + 4b - ï í ïï 2194 = 2.1000 + 2.100 - = 2a + 2b - ỵ ìï 6a + 4b - = ï í ï 2a + 2b - = Û a = - 2;b = Để vế trái = ïỵ Vậy z = - + 5i Þ P = 2a + b = Þ Đáp số xác C ) BIỄU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Câu Các điểm M , N , P điểm biểu diễn cho số phức z1 = 4i ; i - z2 = ( 1- i ) ( + 2i ) ;z3 = - 1+ 2i A Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác Hướng dẫn: Rút gọn Ta z2 a b R b p = điểm Casio z2 = + i Tương tự Casio z1 = - 2i Rút gọn Ta z1 ( p b ) ( + b ) điểm z2 = - + 2i M ( 2;- 2) = N ( 3;1) điểm P ( - 1;2) Để phát tính chất tam giác MNP ta nên biểu diễn điểm M , N , P hệ trục tọa độ Dễ thấy tam giác MNP vng cân P Þ đáp án C xác Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M điểm biểu diễn số phức z = - 4i , điểm M ' điểm biểu diễn số phức z' = 1+ i z Tính diện tích D OMM ' A SD OMM ' = 25 B SD OMM ' = 25 SDOMM ' = C Hướng dẫn: 15 D 15 M ( 3;- 4) z = - 4i Þ Điểm M biểu diễn số phức tọa độ ỉ 1ư 1+ i ữ Nỗ ;- ữ ỗ z' = z ữ ỗ ÷ 2ø è Þ tọa độ Điểm M ' biểu diễn số phức a + b R $ O ( p b ) Gốc tọa độ SDOMM ' = = O ( 0;0) Để tính diện tích tam giác OMM ' ta ứng dụng tích có hướng vecto khơng gian Ta thêm cao độ cho tọa độ điểm O, M , M ' xong uuuur æ uuur éuuur uuuur ù ÷ ÷ OM 'ỗ ; ;0 ỗ ị S = OM ;OM 'ỳ ữ ỗ OM 3;- 4;0 ữ 2 ứ è ë û , ( ) uuur uuuur é ù OM ê ;OM 'ú ë û Tính w 1 = p = = q p P = = C q q P = q = uuur uuuur 25 éuuur uuuur ù 25 é ù OM ;OM 'ú= 12.5 = Þ SOMM ' = ê OM ;OM 'ú= ê û û 2ë Vậy ë GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC Câu Giải phương trình bậc hai sau: z + 2z + = Câu Giải phương trình bậc hai sau: z + 2z + 4i - = ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO VỀ NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bước 1: Để đưa phương trình thành nhân tử ta phải nhẩm nghiệm phương trình Có cách nhẩm nghiệm sau: x = o Tổng hệ số bậc chẳn tổng hệ số bậc lẻ nghiệm phương trình x = - o Tổng hệ số phương trình nghiệm phương trình o Định lý Bézout: Phần dư phép chia đa thức x- a Tức Hệ quả: Nếu f ( x) cho x - a giá trị đa thức f (x) f ( x) = ( x - a) g( x) - f ( a) f ( a) = f ( x) M ( x - a) f ( x) M ( x - a) f ( a) = Nếu o Sử dụng máy tính Casio để nhẩm nghiệm: - Nhập phương trình vào máy tính - Bấm phím r nhập giá trị X bất kỳ, máy tính cho nghiệm phương trình Sau dùng sơ đồ hoocne để phân tích thành nhân tử o Sơ đồ Hoocne: Với đa thức f(x) = g(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + + a1x + a0 bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + bn-3xn-3 + + bx + b0 chia cho x - a thương dư r f ( x) Mg( x) f ( x) = ( x - a) g( x) Nếu r = , nghĩa là: Ta tìm hệ số an a bn-1,bn-2,bn-3 b1,b0 an-1 an-2 bảng sau a bn- bn- bn- = an = abn- + an -1 = abn- + an-2 a1 a0 r b1 b0 = ab2 + a2 = ab1 + a1 = ab0 + a0 Bước 2: Giải phương trình bậc phương trình hai số phức, kết luận nghiệm Câu Giải phương trình: z - 27 = Câu Giải phương trình sau: Câu Cho phương trình sau: nghiệm ảo z3 - 3( + 2i ) z2 + ( - + 8i ) z + - 2i = z3 + ( – 2i ) z2 + ( – 4i ) z – 10i = 0( 1) biết phương trình có Câu Giải z3 - ( - i ) z2 - ( - i ) z + 16 - 2i = Câu Giải phương trình ảo Câu Gọi z1;z2;z3;z4 biết phương trình có nghiệm thực z - ( - 3i ) z + 3( 1- 2i ) z + 9i = nghiệm phức phương trình biết phương trình có nghiệm z4 m z2 4m (1) Tìm tất z z2 z3 z4 giá trị m để z ,z ,z ,z Câu Cho phương trình 4z mz tập số phức m tham số thực Gọi nghiệm phương trình cho Tìm tất giá trị m để z z22 z32 z42 324 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570VN-PLUS ĐỂ GIẢI Để thực phép toán tập số phức, ta chuyển qua chế độ CMPLX cách bấm w2 o Bấm đơn vị ảo i cách bấm phím b o Bấm q2 lựa chọn chức năng: arg z z Conjg z Chọn để bấm số phức liên hợp o Chọn để bấm acgumen z o o Chọn để chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác o Chọn để chuyển từ dạng lượng giác sang dạng đại số o Bấm dấu Ð cách bấm: qz Câu Giải phương trình bậc hai sau: z - 4z + 10 = Hướng dẫn: Quy trình bấm: w531=p4=10== Thu kết quả: z1, z2 nghiệm phương trình : z + z + = Tính Hướng dẫn : Quy trình bấm sau: z ,z o Tìm nghiệm Câu Gọi w531=1=1== Thu kết quả: o Lưu nghiệm vào X Y: o Màn hình hiển thị lưu biến X thành công, tương tự biến Y P = z12018 + z22018 o Tính P o Sau vào w2 nhập P thu kết quả: Sau Bài toán tương tự Bài toán giải theo dạng lượng giác số phức Cách giải với số mũ lớn bất kỳ, cách giải theo Bài toán khơng giải với số mũ lớn Câu Biết z nghiệm phương trình A P = z+ 1 P = z2009 + 2009 =1 z z Tính giá trị biểu thức P =- B P = C Hướng dẫn: D P = =0 z Quy đồng phương trình ta phương trình bậc hai z - z + = Tính nghiệm phương trình với chức MODE z+ w = p = = = Ta thu hai nghiệm z hai nghiệm có vai trị nên cần lấy nghiệm z đại diện ổ p pử ữ ỗ ữ ị z = cos + i sin ỗ ữ z= + i ỗ ữ 3 ố ứ 2 Vi ta chuyển dạng lượng giác a R $ + a s R $ b q Vậy = ỉ ỉ p pư p pư ữ ữ ỗ ữ ữ ị z2009 = 12009 ỗ cos2009 + i sin2009 = cos2009 + i sin2009 ỗ ç ÷ ÷ ç ç ÷ è ÷ 3ø 3ø è 2009 Tính z lưu biến A W k 0 O a q O a q K R $ ) K = q R $ ) J z + b j 0 Tổng kết Q P =A + =1 A z + a R Q Þ Đáp số xác A z = TẬP HỢP ĐIỂM CỦA SỐ PHỨC Trong dạng này, ta gặp tốn biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức Khi ta giải toán sau: Phương pháp tổng quát: Đặt z x yi (x,y ) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M ( x;y) Biến đổi điều kiện tốn thành để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Giả sử điểm M, A, B điểm biểu diễn số phức z, a, b o | z - a |=| z - b |Û MA = MB Û M thuộc đường trung trực đoạn AB o | z - a |=| z - b |= k(k Ỵ ¡ , k > 0, k >| a - b |) Û MA + MB = k Û M Ỵ (E ) nhận A, B hai tiêu điểm có độ dài trục lớn k Giả sử M M’ điểm biểu diễn số phức z w = f(z) Đặt z = x + yi w = u + vi (x, y, u,v Ỵ ¡ ) Hệ thức w = f(z) tương đương với hai hệ thức liên hệ x, y, u, v o Nếu biết hệ thức x, y ta tìm hệ thức u, v suy tập hợp điểm M’ o Nếu biết hệ thức u, v ta tìm hệ thức x, y suy tập hợp điểm M’ Các dạng phương trình đường thẳng - Dạng tổng quát: ax + by + c = ìï x = x + at ï í ï y = y0 + bt - Dạng tham số: ïỵ - Dạng đại số: y = ax + b x - x0 - Dạng tắc: a = y - y0 b x y + =1 - Phương trình đoạn chắn a b M ( x ;y ) y = k(x - x0) + y0 - Phương trình đường thẳng qua điểm 0 biết hệ số góc k: Phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán kính R: (x - a)2 + (y - b)2 = R Û x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với c = a2 + b2 - R 2 Lưu ý điều kiện để phương trình: x + y + 2ax + 2by + c = phương trình đường tròn: 2 a2 + b2 - c > có tâm I ( - a, - b) bán kính R = a + b - c x2 y2 + =1 b Phương trình (Elip): a 2 F (- c;0), F2(c;0), F1F2 = 2c Với hai tiêu cự Trục lớn 2a, trục bé 2b a = b + c Câu Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z 1i =2 b) z + 1- 3i £ c) z 1 i Câu Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - i = ( 1+ i ) z Câu Cho số phức z1, z2, z3 có biểu diễn mặt phẳng phức ba đỉnh tam giác có ( x + 2017) phương trình đường trịn ngoại tiếp ảo số phức w = z1 + z2 + z3 2 + ( y - 2018) = Tổng phần thực phần bằng? z + + 3i z- i Câu Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho số ảo Câu Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: u= z - i = z - z + 2i a) z - + z +1 = b) z z Câu Trong tập số phức £ , gọi nghiệm phương trình z - 2z + 10 = Gọi M , N , P điểm biểu diễn z1 , z2 số phức k = x + iy mặt phẳng phức Để tam giác MNP số phức k là? Câu Trong mặt phẳng phức, cho m M theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z x yi Z z z 2i Tìm tập hợp điểm m cho: Z số thực z - i + z +i = Câu Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là? z 2 Câu Cho số phức z thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 3i z đường trịn Tính bán kính đường trịn z - = Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w với ( - 2i ) w = iz + đường trịn Tìm tọa độ tâm I bán kính r đường trịn z1 = z2 = , biểu diễn mặt phẳng phức uuur uuur M , N điểm Biết góc tạo hai vectơ OM ON 30 Tính giá trị biểu thức Câu 11 Cho hai số phức A= z1 + z2 z1 - z2 z1, z2 thỏa mãn SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 570 VN- PLUS Câu Trên mặt phẳng Oxy tìm tập hợp biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện x 1 y – 2 B A x 2y x 1 y 2 C 4 9 D 3x 4y Hướng dẫn: Ta giả sử: z = A + Bi Nên điều kiện toán viết lại là: o w2 nhập điều kiện vào: ( A + Bi ) i Thử đáp án A x 2y 0x 1 2y – ( + i ) - = | zi – i | Cho y 1 ta x Nhập rp1=1=thu kết khác >>> Loại đáp án A x 1 y – 2 Thử đáp án B x 1 y 2 Thử đáp án C 9 Cho x ta y y rp1=5= kết khác >>> Loại đáp án B 2 4 Cho x 1 ta y y r1=0= r1=p4= kết Vậy đáp án C z =4 Câu Cho số phức z thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = ( + 4i ) z + i đường trịn Tính bán kính r đường trịn B r = A r = C r = 20 D r = 22 Hướng dẫn: Để xây dựng đường tròn ta cần điểm biểu diễn w , z sinh w nên ta chọn z =4 giá trị đại diện z thỏa mãn z =4 w = ( + 4i ) ( + 0i ) + i Chọn z = + 0i (thỏa mãn ) Tính ( + b ) O + b = Ta có điểm biểu diễn M ( 12;17) z =4 w = ( + 4i ) ( 4i ) + i Chọn z = 4i (thỏa mãn ) Tính ( + b ) O b + b = Ta có điểm biểu diễn z1 z2 N ( - 16;13) z =4 w = ( + 4i ) ( - 4i ) + i Chọn z = - 4i (thỏa mãn ) Tính ( + b ) ( p b ) + b = P ( 16;- 11) z Ta có điểm biểu diễn Vậy ta có điểm M , N , P thuộc đường tròn biểu diễn số phức w 2 Đường tròn có dạng tổng quát x + y + ax + by + c = Để tìm a,b,c ta sử dụng máy tính Casio với chức MODE w 2 = = = p d p d = p = = = p d p d = = p 1 = = p d p 1 d = = Vậy phương trình đường trịn biễu diễn số phức w là: x2 + y2 - 2y - 399 = Û x2 + ( y - 1) = 202 Bán kính đường trịn tập hợp điểm biểu diễn số phức w 20 Đáp án xác C Câu Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - = z - z + 2i 2 A y = 3x - 6x + B y= x - x Parabol có dạng: y= x - C Hướng dẫn: D y = x2 + 2x + Đặt số phức z = x + yi Nếu đáp số A với z = x + yi thỏa mãn y = 3x - 6x + Chọn cặp Xét hiệu q Vậy ( x;y) A ( 0;2) Þ z = 2i thỏa y = 3x - 6x + ví dụ z - - z - z + 2i c b p $ p q c b p ( p b ) z - - z - z + 2i = - + ị z - z - z + 2i Þ Đáp số A sai z = 1- i z - - z - z + 2i Xét hiệu Tương tự với đáp số B chọn + b = q c p a b R $ p $ p q R $ p ( + a b R $ ) c p a b + b = z - - z - z + 2i = Þ z - = z - z + 2i Þ Đáp số B xác Vậy D BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP QUY VỀ TÌM MIN-MAX CỦA HÀM MỘT BIẾN KẾT HỢP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC Bài tốn: Trong số phức z thoả mãn điều kiện T Tìm số phức z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn z = x + yi ( x;y Ỵ R ) Phương pháp tổng qt: Đặt Từ điều kiện T, biến đổi để tìm cách rút ẩn vào biểu thức P để hàm biến Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) tuỳ theo yêu cầu toán hàm số biến vừa tìm Sử dụngcác tính chất bất đẳng thức môđun số phức sau để giải toán min-max: · z ³ 0; z = Û z = 0; z z · z2 = z , - z = z , z = z z z ' z z ' · z1 + z2 £ z1 + z2 z z ' z z ' · z - z' £ z - z' £ z + z' z.z ' z.z ' · z1.z2 = z1 z2 z1 z1 z z · = z2 z2 z' z' Kết hợp sử dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, BĐT Bunhia- Cốpxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho số thực a,b, x, y ta ln có ( )( ( ax + by) £ a2 + b2 x2 + y2 Û ) a b = x y Dấu = xảy r r uuuuu r r r u + v ³ u + v u ( x;y) v( x ';y ') Bất đẳng thức Vectơ : Cho vecto ta ln có Û x2 + y2 + x '2+ y '2 ³ Û Dấu = xảy x y =