Dạng toán 50 tính đơn điệu của hàm liên kết

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 50: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định nghĩa y  f  x Giả sử K khoảng, đoạn khoảng hàm số xác định K Ta nói: y  f  x + Hàm số gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a Nhận xét f  x g  x f  x  g  x Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) D hàm số đồng biến f  x  g  x (nghịch biến) D Tính chất không hiệu b Nhận xét f  x g  x Nếu hàm số hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f  x , g  x không hàm số dương D c Nhận xét Cho hàm số x   a; b  u u  x  , xác định với x   a; b  u  x    c; d  Hàm số f  u  x   xác định với Ta có nhận xét sau: i Giả sử hàm số u u  x  x   a; b   f  u  ii Giả sử hàm số đồng biến với u u  x  x   a; b   f  u  đồng biến với x   a; b  u   c; d  nghịch biến với nghịch biến với Khi đó, hàm số f  u  x   đồng biến với x   a; b  u   c; d  Khi đó, hàm số f  u  x   nghịch biến với Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: f '  x  0, x  K a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '  x  0, x  K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f nghịch biến K Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f '  x  0, x  K c) Nếu hàm số f khơng đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn: x b a + f'(x) f(b) f(x) f(a)  a; b f '  x   0, x   a; b  hàm số f đồng biến đoạn Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b  Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: Định lí 3.(mở rộng định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x  0, x  K f '  x  0 hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K f '  x  0, x  K f '  x  0 b) Nếu hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K   f '  x  0 f '  x  0 Nếu với x  K số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K f '  x  0 f '  x  0 Nếu với x  K số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K BÀI TẬP MẪU: (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hàm số số g  x   f 1 2x  x2  x f  x Hàm số y  f ' x có đồ thị hình bên Hàm nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3  1;  A    1  0;  B   C   2;  1 D  2;3 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn dạng biết đồ thị hàm số HƯỚNG GIẢI: Cách 1: y  f  x  g  x   f  u  x    v  x  g  x  g  x  u  x  f   u  x    v x  B1: Tính đạo hàm hàm số , f  x  g  x  B2: Sử dụng đồ thị , lập bảng xét dấu B3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: g  x  g  x  u  x  f   u  x    v x  B1: Tính đạo hàm hàm số , g  x  g  x  0 g  x  g  x  0 B2: Hàm số đồng biến ; (Hàm số nghịch biến ) (*)  * (dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ) từ kết luận khoảng đồng biến, B3: Giải bất phương trình nghịch biến hàm số Cách 3: (Trắc nghiệm) g  x  g  x  u  x  f   u  x    v x  B1: Tính đạo hàm hàm số , g  x  g  x  0, x  K g  x B3: Hàm số đồng biến K ; (Hàm số nghịch biến K  g  x  0, x  K ) (*) g  x  B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào để loại phương án sai Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn A Cách 1: g  x   f   x   x  x  g  x   f   x   x  Ta có: 1 2x  g  x    f   x    Hàm số nghịch biến Xét tương giao đồ thị hàm số f  t    Dựa vào đồ thị ta có: y  f  t  y  t  2t 0 t   t  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 1 x     1 2x  g ' x     2 1  x  x  Khi đó: Cách 2: g  x   f   x   x  x  g  x   f   x   x  Ta có: 1 2x g  x  0  f '   x   Xét tương giao đồ thị hàm số y  f  t  y  t   x 2   x     g  x  0    x 0   x   t   t   x 4  f '  t     t 0  x   t 4  Từ đồ thị ta có: Khi đó: Ta có bảng xét dấu: 3   3   ;    ;    2  Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến khoảng  Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN:Đây dạng tốn xét tính đơn điệu hàm liên kết h( x)  f (u )  g ( x) biết BBT,BXD, đồ thị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: - Cách tính đạo hàm hàm hợp - Các bước lập bảng biến thiên hàm số - Đồ thị tương giao hai đồ thị HƯỚNG GIẢI: Lời giải Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE Ta có : 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA g  x   f   x   x  x  g '  x   f '   x   x   g '  x  0   f '   x   x  0 Đặt t 1  x   f '  t   t  f '  t   Vẽ đường thẳng y  t x đồ thị hàm số f '  x  hệ trục y –2 O x –2 Dựa vào đồ thị Hàm số g  x f '  t   t  t  2, t 0, t 4  g '  x  0  f '  t   nghịch biến t    t 0  t 4  1 x     1  x 0 1 2x f   x     2 2  1  x  x   Như Vậy hàm số g  x   f   2x   x2  x 3  3   ;    ;   2 nghịch biến khoảng  2    3  3  3  1;    ;   1;  g x  f  x  x  x     Mà    2  nên hàm số nghịch biến khoảng   Bài tập tương tự phát triển: Câu 50.1: Cho hàm số f  x Hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Trang GV: LÊ QUANG XE Hàm số 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA g  x   f  x  1  x  x  3  1;  A   đồng biến khoảng đây?  2  0;  B     1;0  C 2   ;2 D   Lời giải Chọn B Ta có: g  x  3 f  x  1   x    Hàm g ( x) đồng biến khoảng K g  x  0 (dấu = xảy số hữu hạn điểm)  f  x  1   x    0 (1) h  u  3 f  u   2u  Đặt u 3 x  ta được: Ta có: (1)  f  u   2u  0  f  u   Từ đồ thị hàm số y  f  x  2u 1 ta có đồ thị hàm số y  f  u  y 2u 1 hình vẽ Trang GV: LÊ QUANG XE Để h  u  0 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA ta cần có đồ thị y  f  u  phải nằm bên đồ thị hàm y 2u 1   2  x 3; 3     u 3  3x  3    x   h  u  0 u  3 x   3    Từ ta có    2  0;     ;  Cho nên ta chọn đáp án B    3  Câu 50.2: Cho hàm số f  x Đồ thị y  f ' x cho hình bên Hàm số g  x   f  x  1  x2 nghịch biến khoảng đây? A  2;  B  0;1 C   2;1 D  1;3 Lời giải Chọn A Ta có: g  x   f  x  1  x2  g  x   f  x  1  x  g  x  0  f  x  1  x 0  f  x  1  x  1  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  t  t  Đặt t  x  y  f  x  Vẽ đường thẳng y  x  hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số (như hình vẽ bên) f '  t  t   t  3, t 1, t 3 Dựa vào đồ thị Hàm số nghịch biến g  x   f  x  1  x 0  f  t  t  t  ( ;  3)  (1;3)  2;  Do x  ( ;  2)  (2; 4) g(x) nghịch biến Câu 50.3: Cho hàm số Hàm số y  f  x Hàm số y  f ' x g  x   f  x2  2x   x2  2x A   1 C   1;  có đồ thị hình bên đồng biến khoảng đây?  2;  B   1 D   1;    2;    Lời giải Chọn A Trang GV: LÊ QUANG XE Ta có: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA g  x   f  x2  x   x2  2x  g  x   x   f  x  x   x  2  x  1  f  x  x   1  g  x  0   x  1  f  x  x   1 0  x  1, x   2, x     x      f  x  x   g  x       x       f  x  x   Xét Xét tương giao đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị ta có: I  II  y  f  x  y 1 f  x  x    x  x  f  x  x    x  x  x     x     x     x    x      f  x  x   x  x     x      Xét hệ (I):  x   x      f  x  x   x  x     Xét hệ (II):   1  x       x    2  x   Vậy hàm số g  x đồng biến khoảng   1     2;  2;   Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Câu 50.4: Cho hàm số y  f  x y g  x   f  x   A Hàm số x2 Khẳng định sau đúng? y g  x  B Đồ thị hàm số y  f ' x có đạo hàm  Hàm số có đồ thị hình vẽ bên Đặt đồng biến khoảng y g  x   1;  có điểm cực trị C Hàm số y g  x  đạt cực tiểu x  D Hàm số y g  x  đạt cực đại x 1 Lời giải Chọn D Ta có: g '  x   f '  x   x; g '  x  0  f '  x  x (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y  f ' x đường thẳng y x Dựa vào hình bên ta thấy giao điểm   1;  1 ;  1;1 ;  2;   x   (*)   x 1  x 2 Bảng xét dấu x g ' x :  1   g ' x Từ bảng xét dấu g ' x Đồng biến khoảng ta thấy hàm số   ;1 y g  x   f  x   x2  2;  ; nghịch biến khoảng  1;  Trang 10