Cực trị hàm hợp và hàm liên kết

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 CỰC TRỊ HÀM HỢP VÀ HÀM LIÊN KẾT (Mức độ VD-VDC) ÔN THI TNTHPT 2020 Dạng 1: Cực trị f(x), f(u),… biết đồ thị không tham số Dạng 2: Cực trị f(x), f(u),… biết BBT, BXD không tham số Dạng 3: Cực trị f(x), f(u),…liên quan biểu thức đạo hàm không tham số ) Dạng 4: Cực trị hàm liên kết h(x) = f(u) + g(x) biết BBT, đồ thị không tham số Dạng 5: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)), hàm liên kết…có tham số ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 CỰC TRỊ HÀM HỢP VÀ HÀM LIÊN KẾT Dạng 1: Cực trị f(x), f(u),… biết đồ thị không tham số (Không GTTĐ) Câu Cho hàm số = ( ) có đồ thị hình bên Hàm số = ( ) có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn A Gọi = , với < < điểm cực tiểu hàm số = ( ) Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số = ( ) sau ) = =0 Cho = ⇔ =0⇔ ( )=0⇔ = Bảng biến thiên hàm số = ( ) Ta có = ( )⇒ =2 ( =0 , với < = ±√ Do đó, phương trình ( ) = có bốn nghiệm đơn phân biệt hai nghiệm bội ba nên hàm số có điểm cực trị Câu 22 Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ℝ có đồ thị đường cong hình vẽ ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông = ( ) Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A B 11 C Ôn thi TN THPT 2020 D 10 Lời giải Chọn C Ta có ( ) = ( ) − Suy rA ( ) = ⇔ ( ) = Do đó: Số nghiệm phương trình ( ) = 0tương đương với số giao điểm đồ thị hàm số ( )và đường thẳng = Nhận xét: Hàm số = ( )có hai điểm cực trị phương trình ( ) = 0có số nghiệm lớn 2, có 2nghiệm đơn ≤5 Dựa vào đồ thị lập luận trên, suy , 10 ≤ < 13 mà ∈ ℕnên ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 10; 11; 12} Vậy có 9giá trị thỏa mãn Câu 30: Cho hàm số = ( ) có đồ thị hàm số = ( ) (như hình vẽ) Gọi tập tất giá trị nguyên tham số thuộc khoảng (−5; 5) cho hàm số = ( ) − + 2020 có điểm cực trị Tổng phần tử A −5.−3 B C −1 D Lời giải Chọn B Ta có = ( ) − ; = ⇔ ( ) − = ⇔ ( ) = (1) Hàm số có điểm cực trị phương trình (1) có nghiệm có hai nghiệm ≤ −1 có nghiệm kép ⇒ ≥3 Vì ∈ (−5; 5) ⇒ ∈ −5; −1 ∪ 3; 5) ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn thi TN THPT 2020 Mặt khác nguyên nên ∈ {−4; −3; −2; −1; 3; 4} ⇒ = {−4; −3; −2; −1; 3; 4} Tổng phần tử bằng: −4 − − − + + = −3 Câu 31: Cho hàm số = ( ) = | − 1| + | − 5| + | − 8| Hỏi có giá trị nguyên tham số ∈ [−23; 23] để hàm số = (| | + ) có ba điểm cực trị? A 46 B 27 C 19 D 28 Lời giải Chọn D + Xét hàm số = ( ) = | − 1| + | − 5| + | − 8| có bảng biến thiên kép hình vẽ: + Hàm số ( ) có điểm cực trị = → hàm số ( + ) có điểm cực trị là: = (5 − ) + Hàm số (| | + ) có điểm cực trị hàm số: ( + ) phải có điểm cực trị dương + Suy ra: − > ⇔ < ⇒ −23 ≤ ≤ ⇒ có 28 giá trị nguyên thỏa mãn Câu 34: Cho hàm số = ( ) có đồ thị đường parabol hình vẽ bên Gọi tập chứa tất giá trị thực tham số để hàm số = ( ( ) + ) có hai điểm cực trị Tập A −∞; B −2; Chọn A Từ đồ thị hàm số ta thấy parabol có dạng: (3; 0) =2 Ta có hệ phương trình: + + = ⇔ +3 + =0 C Lời giải = ( )= ; +∞ + + D (0; +∞) v qua điểm (0; 2); (1; 0); = − +2 =− ⇒ ( )= =2 Suy hàm số = ( ( ) + ) = − +2+ = − + 3( + 2) ′ = − 16 + 3( + 2) ′ = ⇔ − 16 + 3( + 2) = có nghiệm phân biệt ⇔ (−8) − 3.6( + 2) > ⇔ < Câu 36: Cho hàm số = ( ) Hàm số = ( ) có đồ thị hình bên Tìm để hàm số = ( + ) có điểm cực trị? ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 y x A ∈ [0; 3] B ∈ 0; 3) C Lời giải ∈ (3; +∞) D ∈ (−∞; 0) Chọn B Ta có: =0 = =3 ( )=0⇔ =0⇔ ( + =0 ( ) không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn = [ ( + )] = ( + ) + =0 =− )=0 + = 1( ) ⇔ ⇔ = 3− + =3 =0 =0 ) có điểm cực trị  = có nghiệm phân biệt Hàm số = ( + ⇔ ∈ 0; 3) Câu 39: Cho hàm số ( )xác định, liên tục R có đồ thị hình vẽ: Để hàm số = ( + A < ≤8 đổi dấu qua ba nghiệm + 1), với , ≠ 0có năm cực trị điều kiện cần đủ B ≤4 C ≤ 0⇔4 < ≤8 −8 ≤0 ; − ; , phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép −4 ≤0⇔8 < ≤ vô lý −8 >0 Câu 41: Cho hàm số = ( ), ( ) đa thức Hàm số sau: ⇔ = ( ) có đồ thị hình vẽ Hỏi có nhiêu giá trị nguyên thuộc (−5; 5) để hàm số = ( ) = ( − 2| | + ) có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn B Ta có hàm = ( ) hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Xét ≥ 0, = ( ) = ( − + ), = ( ) = (2 2) ( + ) = 1(nghieọmđơn) + = 2(nghieọmđơn) ( ) = ⇔ (2 − 2) ( − + ) = + = 1(nghieọmđơn) + = 1(nghieọmđơn) + = 2( ℎ ä ä ℎ ü ) = 1(nghieọmđơn) ( 1) = (nghieọmđơn) ( 1) = (nghieọmđơn) ( 1) = (nghieọmđơn) ( 1) = − ( ℎ ä ä ℎ ü ) Để hàm số có cực trị hàm số = ( ) có điểm cực trị miền > ⇔ ( ) có nghiệm đơn −1 − > < −1 dương − > ⇔ < ⇔ < −1, kết hợp ∈ ℤ, ∈ (−5; 5) nên ∈ {−4; −3; −2} 2− >0 − ≈ 49,6 +5 ≥ Khi đó: < + < ⇔ −2 < < −3 ⇔ 0< −3 ≤1 3< ≤4 Trường hợp 3: Ôn thi TN THPT 2020 ∈ ∅ 1< +5 < −4 < < − ≈ 49,6 Khi đó: ⇔ ⇔ ∈ ∅ +3 ≤1 ≤ −2 −3 >0 >3 Vậy có giá trị nguyên tham số thỏa yêu cầu toán Câu 46: Cho hàm số = ( ) = + + + + có đồ thị Tìm tất giá trị tham số A C ∈ (0; 1) ∈ − √2; + √2 ∉ {0; 1; 2} để hàm số = = ( ) hình vẽ (0) = ( ) − ( ) có 11 điểm cực trị ? B ∈ − √2; + √2 D ∈ (0; 2) Lời giải Chọn C +) ( ) = ( − 1)( − 2) = − 12 + ⇒ ( ) = +) Do (0) = ⇒ = suy ( ) = −4 +4 −4 +4 + ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ( )=1⇔ −4 +4 −1=0⇔ Ôn thi TN THPT 2020 =1 = − √2 = + √2 +) Bảng biến thiên Đặt ( ) = ( ) =0 ⎡ =1 ⎢ =2 ( )=0 ( )=0⇔ ⇔ ⎢ ( ) = ( )(1) ( )− ( ) = ⎢ ⎢ ( ) = ( ) + 1(2) ⎣ ( ) = ( ) + 2(3) ( ) Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ≥ 0, ∀ ∈ ℝ nên ta xét trường hợp * Trường hợp 1: ( ) = 0, Phương trình (1) cho nghiệm kép = 0; = Phương trình (2) cho nghiệm: = nghiệm kép nghiệm đơn , ∉ − √2; + √2 Phương trình (3) cho nghiệm đơn , ∉ − √2; + √2 Suy hàm số = ( ) có tất điểm cực trị ∈ {0; 1; 2; ; ; ; } (loại) * Trường hợp 2: ( ) > 0, phương trình (2) (3) ln cho nghiệm không thuộc khoảng − √2; + √2 Vậy hàm số = ( ) có 11 điểm cực trị ⇔ phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ < ( ) < ∈ − √2; + √2 Dựa vào bảng biến thiên hàm số = ( ) ta có: < ( ) < ⇔ ∉ {0; 1; 2} ∈ − √2; + √2 Vậy ∉ {0; 1; 2} Câu 48: Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục ℝ đồ thị hàm số ( ) hình vẽ Có số nguyên để hàm số = ( + ) có điểm cực trị? A ( )− ( ) ⇒ ( )= B Vô số ( )− ( ) C Lời giải D Chọn D ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A =2 ( + Ôn thi TN THPT 2020 ) =0 =0 + =0 =− =0⇔ ⇔ )=0⇔ + =1 + =1 + =3 = − +3 Đồ thị hàm số ( ) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ Do phương trình = vơ nghiệm nghiệm phương trình + = nghiệm bội chẵn phương trình − ≠0 ≠0 Nếu ⇔ = nghiệm đơn phương trình = − +3≠0 ≠3 − =0 =0 Nếu ⇔ nghiệm = nghiệm bội ba phương trình = − +3=0 =3 Suy = điểm cực trị hàm số = ( + ), ∀ Xét phương trình: = − (1) = − + (2) Nhận xét: Phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung; − < − + 3, ∀ Minh họa đồ thị =0 ( + + = Xét − > phương trình (1) có nghiệm phân biệt ; phương trình (2) có nghiệm phân biệt ; Khi đổi dấu lần qua nghiệm ; ; ; nên hàm số = ( + ) có điểm cực trị Xét − + ≤ phương trình (1) vơ nghiệm; phương trình (2) vơ nghiệm có nghiệm kép = Khi hàm số = ( + ) có điểm cực trị − ≤0 ≥0 Xét ⇔ ⇔ ≤ < Khi phương trình (1) vơ nghiệm có nghiệm kép = − +3>0 0 36 − > < 18 ⎧ 36 − 2( − 4) > ′ >0 < 22 ⇔ ⇔ ⇔ < 18 ≠ 18 − 18 ≠ ⎨ (3) ≠ ≠ 22 − 22 ≠ ⎩ℎ(3) ≠ Vậy có 17 giá trị nguyên dương tham số thực thỏa mãn đề ) Có giá trị Câu 35: Cho hàm số = ( )có đạo hàm ( ) = ( + 1) ( − 3) ( + nguyên để hàm số = (2 + 1)có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn A Ta có ( ) = ( + 1) ( − 3) ( + ) = ( ) = ( + 1) ( − 3) ( + ) ′ = ′( + ) = ( + ) ( + ) ( − ) ( + + ) (2 + 1) = (1) ⎡ (2 + 2) = (2) =0⇔⎢ ⎢ (2 − 2) = (3) ⎣ + + = (4) Phương trình (1)có nghiệm bội lẻ = − Phương trình (2)có nghiệm bội chẵn = −1 Phương trình (3)có nghiệm bội lẻ = Số điểm cực trị hàm số số nghiệm bội lẻ phương trình = Do đó, hàm số có điểm cực trị =0 phương trình (4)có nghiệm = 1hoặc = − ⇔ = −3 Câu 37: Cho hàm số = ( ) liên tục ℝvà có ( ) = ( − 2) ( + − 4) Gọi S tập số nguyên ∈ [−10; 10]để hàm số = ( − + ) có điểm cực trị Số phần tử S A 10 B C 14 D Lời giải: Chọn B ( − 2) = Ta có: ( ) = ⇔ +3 −4= Đặt = ( ) = ( − + ) ( ) = (2 − 4) ( − + ) =2 ⎡ ( − + − 2) = −4=0 ( )=0⇔ ⇔ ⎢ℎ ( ) = − + − = 0(1) ( −4 + )=0 ⎢ ⎣ℎ ( ) = − + + = 0(2) Hàm số có cực trị phương trình có nghiêm phân biệt khác phương trình có lại có nghiệm vơ nghiệm ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A mà ∈ [−10; 10]  h1 (2)    1  0≤ nên ( ) điểm cực trị ⇔ ℝ ⇔ ≤ ⇔ 12 + (3 + − 24) ≤ ⇔ + ≤ 12 m  n   ( ) ⇒ , hai số thực thỏa mãn hệ bất phương trình:  m  n  12  3n  m  Biểu diễn miền nghiệm ( ) mặt phẳng tọa độ (3; 3), (4; 0) đây: , ta hình tứ giác ( ) ≥ 0∀ ∈ với (0; 2), Đặt ( ; ) = + , ta biết ( ; ) có GTLN giá trị đạt đỉnh tứ giác Mà (0; 0) = 0, (0; 2) = 2, (3; 3) = 9, (4; 0) = ( ; ) = (3; 3) = Vậy ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Câu 53: Cho hàm số = ( )có đạo hàm ( ) = ( − )( − + 3), ∀ ∈ ℝ Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m để hàm số ( ) = ( + ) có cực trị A B C D Lời giải Chọn C =0 Ta có ( ) = ( − 1) ( − 3) = ⇔ = =3 =0 =0 = − (1) =0 + =0 Lại có ( ) = ( + ) = ⇔ ⇔ ⇔ ( + )=0 = − (2) + =1 + =3 = − (3) Do (2)có nghiệm ln nghiệm bội chẵn; phương trình (1),(3) có nghiệm khơng chung − < − nên: 3− >0 Hàm số ( )có cực trị ⇔ ( ) = 0có nghiệm bội lẻ⇔ ⇔ ≤ < − ≤0 Vì ∈ ℤ ⇒ ∈ {0; 1; 2} Vậy tổng giá trị nguyên Câu 55: Cho hàm số = ( ) Hàm số = ( ) có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số để hàm số = ( − ) có ba điểm cực trị? A B Chọn A Cách 1: Ta có = =0⇔ ( =0 ( − − ( − )0⇔0< C Lời giải =0 − =0 ⇔ − =2 − =4 − +4 =0 = = = +2 +4 + TH1: Với ≤ −4 = ( − ) = ⇔ = Suy hàm số = ( − ) có ba cực trị ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A TH2: Với −4 < =2 ( − Bảng xét dấu Ôn thi TN THPT 2020 ≤ −2 )=0⇔ =2 ( =0 = ±√ − ) +4 Từ bảng suy hàm số có cực trị TH3: Với −2 < ≤ =0 = ±√ + =2 ( − )=0⇔ = ±√ + Bảng xét dấu = ( − ) Từ bảng suy hàm số có cực trị TH4: Với > =0 ⎡ =± √ =2 ( − )=0⇔⎢ = ± √ +2 ⎢ ⎣ = ±√ + ( Bảng xét dấu = − ) Từ bảng suy hàm số có cực trị Từ trường hợp trên, hàm số = ( − ) có ba cực trị ∈ −4; Vì ∈ ℤ nên ∈ {−3; −2; −1; 0} Cách 2: Ta có = ( − ) =0 =0 =0 − =0 = =0⇔ ⇔ ( − )=0⇔ = +2 − =2 − =4 = +4 Dễ thấy = nghiệm bội lẻ phương trình = ⇒ = điểm cực trị hàm số = ( − ) = + nghiệm bội chẵn phương trình = Mặt khác < + 4∀ nên hai phương trình = = + khơng có nghiệm trùng Vậy để hàm số = ( − ) có điểm cực trị có nghiệm phân biệt khác đồng thời vô nghiệm có nghiệm kép ⇒ −4 < ≤ ⇒ ∈ {−3; −2; −1; 0} ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Câu 54: Cho hàm số = ( ) có đồ thị hình vẽ bên Gọi tập chứa tất giá trị nguyên tham số ∈ [−2021; 2012] để hàm số = ( ( ) − + 1) có điểm cực trị Số phần tử tập A 4029 B 4038 C 4030 Lời giải D 4028 Chọn A Đặt ( ) = ( ( ) − + ) ⇒ ′( ) = ′( ) ′( ( ) − + ) = −1 =2 ′( ) = ⇔ ′ ( ( ) − + 1) = ( ) − + = −1 ( )+2 = Xét phương trình ′( ( ) − + 1) = ⇔ ⇔ ( )−2 +1 = ( )−1 = Ta áp dụng kĩ hợp hàm, tức xét tương giao đường thẳng = hai đồ thị hàm số ( ) + 2; = ( ) − = Để hàm số ( ) = ( ( ) − + 1) có điểm cực trị đường thẳng = phải cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt (không kể tiếp xúc) ] ≤ ∈[ ; ≥7 ≤ 2012 Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⇒ c ó 4029 giá trị m ≤ −4 −2021 ≤ ≤ −2 nguyên thỏa mãn yêu cầu ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 78