Thông tin tài liệu
Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC MỤC LỤC Chủ đề ② Cực trị hàm số I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa 2 Định lý, quy tắc a Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị b Chú ý c Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị II =I CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN .3 https://luyenthitracnghiem.vn =I 1.1.Dạng 1.Tìm cực trị hàm số dựa vào bảng xét dấu, bảng biến thiên a Các toán trắc nghiệm b Các toán tự luận 1.2.Dạng 2: Tìm điểm cực trị hàm số dựa vào đồ thị hàm số a Các toán trắc nghiệm 1.3.Dạng 3.Tìm cực trị hàm số y f x đựa vào đồ thị hàm số y f ' x 13 Chú ý 13 a Các toán 13 b Các toán trắc nghiệm đề thi đại học .15 1.4.Dạng 4.Tìm cực trị hàm số y f u dựa vào đồ thị hàm số y f x 20 a Các toán trắc nghiệm 20 1.5.Dạng 5.Các toán cực trị hàm số bậc 25 a Các toán trắc nghiệm 26 b Các toán tự luận .30 1.6.Dạng 6.Các toán cực trị hàm số bậc 31 a Các toán trắc nghiệm 32 1.7.Dạng 7.Các toán cực trị hàm phân thức 34 a Các toán trắc nghiệm 34 CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO .35 2.2.Dạng 6.Các toán cực trị hàm số bậc chứa tham số .36 https://toanvd.edu.vn b Ví dụ minh họa: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: .12 Nguyễn Hồng Việt tổng hợp “Thành cơng nói khơng với lười biếng” a Các tốn 37 Chú ý 37 b Các toán trắc nghiệm 38 c Các toán trắc nghiệm tương tự 39 https://luyenthitracnghiem.vn 2.3.Dạng Các toán cực trị hàm số bậc chứa tham số .44 Chú ý 44 a Các toán 45 b Các toán minh họa 48 c Các toán trắc nghiệm tương tự 49 2.4.Dạng Các tốn cực trị hàm số phân thức, lượng giác vơ tỉ, hàm bậc cao 56 a Các toán trắc nghiệm 56 b Các toán tự luận minh họa .58 2.5.Dạng Các toán cực trị hàm chứa trị tuyện đối 58 https://toanvd.edu.vn a Các toán trắc nghiệm 59 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Chủ đề ② I Cực trị hàm số KIẾN THỨC CƠ BẢN Giả sử hàm số y f ( x) xác định tập hợp D D R xo D xo gọi điểm cực đại hàm số y f ( x) tồn khoảng a; b chứa điểm xo cho a; b D f ( x) f ( xo ) x a; b \ xo Khi f xo gọi giá trị cực đại hàm số f ( x) xo gọi điểm cực tiểu hàm số y f ( x) tồn khoảng a; b chứa điểm xo cho a; b D f ( x) f ( xo ) x a; b \ xo https://luyenthitracnghiem.vn =I Định nghĩa Khi f xo gọi giá trị cực tiểu hàm số f ( x) Định lý, quy tắc f xo b Chú ý f xo điểm xo hàm số f ( x) không đạt cực trị điểm xo Hàm số đạt cực trị điểm nằm tập xác định hàm mà đạo hàm hàm số khơng có đạo hàm Những điểm gọi “điểm tới hạn” xo đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm xo ; f xo tiếp tuyến song song với trục hồnh c Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lý Giả sử hàm số y f ( x) liên tục khoảng a; b chứa điểm xo có đạo hàm khoảng a; xo xo ; b Khi đó, https://toanvd.edu.vn a Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lý Giả sử hàm số y f ( x) đạt cực trị điểm xo Khi đó, f ( x) có đạo hàm điểm xo “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp f xo 0, x a; xo ếu hàm số đạt cực tiểu điểm xo f xo 0, x xo ; b Nói cách khác, f xo đổi dấu từ âm sang dương x qua xo hàm số đạt cực https://luyenthitracnghiem.vn tiểu xo x a xo y' b + f(a) f(b) y f(x0) f xo 0, x a; xo ếu hàm số đạt cực đại điểm xo f xo 0, x xo ; b Nói cách khác, f xo đổi dấu từ dương sang âm x qua xo hàm số đạt cực đại xo x a y' xo + b f(x0) y f(a) f(b) Định lý Giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp khoảng a; b chứa điểm xo , f xo f ( x) có đạo hàm cấp hai khác điểm xo https://toanvd.edu.vn ếu f xo hàm số f ( x) đạt cực đại điểm xo ếu f xo hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm xo II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA =I CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1.1.Dạng 1.Tìm cực trị hàm số dựa vào bảng xét dấu, bảng biến thiên Phương pháp giải Giả sử hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp khoảng a; b chứa điểm xo , f xo f ( x) có đạo hàm cấp hai khác điểm xo ếu f xo hàm số f ( x) đạt cực đại điểm xo ếu f xo hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm xo a Các toán trắc nghiệm Ví dụ Cho hàm số f x có bảng biến thiên hình vẽ Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Điểm cực tiểu hàm số cho Lời giải: B x C x D x Ví dụ Cho hàm số f x xác định có bảng xét dấu f x hình bên Khẳng định sau sai? A Hàm số đạt cực tiểu x B Hàm số đạt cực đại x 3 C x điểm cực trị hàm số D Hàm số có hai điểm cực trị Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn A x https://toanvd.edu.vn Ví dụ Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: Hàm số đạt cực đại điểm B 0; 3 A x Lời giải: C y 3 D x 3 Ví dụ Hàm số y f x xác định, liên tục có bảng biến thiên hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? “Thành cơng nói khơng với lười biếng” https://luyenthitracnghiem.vn Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp A Hàm số đạt cực tiểu x 1 B Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 1 C Hàm số có hai cực trị D Hàm số đạt cực đại x , x đạt cực tiểu x Lời giải: Ví dụ Cho hàm số y f ( x) liên tục x -∞ f '(x) có bảng xét dấu f x sau: + + +∞ + Kết luận sau A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có điểm cực đại C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số có điểm cực tiểu https://toanvd.edu.vn Lời giải: Ví dụ Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ: Hỏi hàm số có điểm cực trị? A Có điểm Lời giải: B Có ba điểm C Có hai điểm D Có bốn điểm Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục khoảng (;1),(1; ) có bảng biến thiên hình B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số đạt cực x đạt cực tiểu x D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực x đạt cực tiểu x Ví dụ Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình bên https://toanvd.edu.vn Mệnh đề sai? A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu 2 C Hàm số có giá trị nhỏ 2 D Hàm số đạt cực đại x Lời giải: Ví dụ Cho hàm số y f x xác định liên tục có bảng biến thiên sau: “Thành cơng nói khơng với lười biếng” https://luyenthitracnghiem.vn Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x B Đồ thị hàm số có điểm cực trị C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 4 D Hàm số có giá trị cực tiểu 3 Lời giải: Ví dụ 10 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số có điểm cực trị A https://toanvd.edu.vn Lời giải: B C D b Các toán tự luận Ví dụ 11 Tìm hàm số y Lời giải: ax4 bx2 c a biết hàm số có bảng biến thiên đây: Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Ví dụ 12 Cho hàm số y f x có đạo hàm có bảng xét dấu f x sau Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Hỏi hàm số y f x x có điểm cực tiểu? Ví dụ 13 cực trị Lời giải: https://toanvd.edu.vn Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Hàm số y f x có điểm Nguyễn Hồng Việt tổng hợp “Thành cơng nói khơng với lười biếng” https://luyenthitracnghiem.vn 1.2.Dạng 2: Tìm điểm cực trị hàm số dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải y yCĐ xCT O xCĐ yCT x Hình vẽ minh hoạ Đồ thị lên sau đổi hướng xuống điểm xo hàm số đạt cực đại điểm xo Khi f xo gọi giá trị cực đại hàm số f x Đồ thị xuống sau đổi hướng lên điểm xo hàm số đạt cực tiểu điểm xo Khi f xo gọi giá trị cực trị hàm số f x Các điểm cực đại, cực tiểu hàm số gọi chung điểm cực trị hàm số Các điểm M x0 ; f ( x0 ) hàm số gọi chung điểm cực trị hàm số đồ thị a Các tốn trắc nghiệm Ví dụ 14 https://toanvd.edu.vn Cho hàm số y f x xác định, liên tục có đồ thị đường cong hình vẽ Hàm số đạt cực đại điểm đây? y x O A x 3 Lời giải: B x C x D x Ví dụ 15 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Cho hàm số y f x xác định, liên tục , có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng? y x O A Hàm số đạt cực tiểu x B Giá trị cực đại hàm số C Giá trị cực tiểu hàm số 1 D Hàm số đạt cực tiểu x 1 Lời giải: Ví dụ 16 https://luyenthitracnghiem.vn Cho hàm số y f x xác định, liên tục đoạn 1; 3 có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? y 2 x https://toanvd.edu.vn O A Hàm số đạt cực đại x 1 x B Hàm số đạt cực tiểu x , x C Hàm số đạt cực tiểu x , cực đại x D Hàm số đạt cực tiểu x , cực đại x 1 Lời giải: Ví dụ 17 Cho hàm số y f x xác định, liên tục , có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng? 10 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp y https://luyenthitracnghiem.vn O x A Hàm số đạt cực tiểu x B Hàm số đạt cực đại x C Hàm số đạt cực đại x 1 x D Hàm số đạt cực tiểu x 1 x 1 Lời giải: Ví dụ 18 Đường cong bên đồ thị hàm số y ax4 bx c với a, b, c số thực a Mệnh đề đúng? y O x https://toanvd.edu.vn A Phương trình y có ba nghiệm thực phân biệt B Phương trình y có nghiệm thực C Phương trình y có hai nghiệm thực phân biệt D Phương trình y có vơ số nghiệm thực Lời giải: Ví dụ 19 Đường cong bên (nét đậm) đồ thị hàm số y f x x 3x Mệnh đề đúng? 11 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC y 25 O x C Giá trị cực đại Lời giải: 25 B Hàm số đạt cực tiểu x D Giá trị cực tiểu https://luyenthitracnghiem.vn A Hàm số đạt cực đại x Ví dụ 20 Đường cong bên (nét đậm) đồ thị hàm số y f x x x Xét phát biểu sau https://toanvd.edu.vn có phát biểu đúng? (1): Hàm số có điểm cực đại hai điểm cực tiểu (2): Giá trị cực đại f 1 giá trị cực tiểu f 1 f 1 (3): Hàm số có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu (4): Hàm số đạt cực đại x đạt cực tiểu x , loại điểm x y 1 O 1+ x A phát biểu B phát biểu C phát biểu D phát biểu Lời giải: 12 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp https://luyenthitracnghiem.vn b Ví dụ minh họa: Tìm cực trị (nếu có) hàm số sau: Ví dụ 21 y x4 2x2 1 y x4 2x2 Lời giải: 1.3.Dạng 3.Tìm cực trị hàm số y f x đựa vào đồ thị hàm số y f ' x Phương pháp giải B1: Từ ĐTHS y f ' x xác định dấu f ' x khoảng xác định B2: Lập trục xét dấu hàm f ' x bảng biến thiên hàm số B3: Kết luận Chú ý +) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Khi f ( x) đổi dấu từ dương sang âm qua x c x c gọi điểm cực đại hàm số Khi f ( x) đổi dấu từ âm sang dương qua x c x c gọi điểm cực tiểu hàm số +) Nếu x c điểm cực trị hàm y f ( x) f (c) f (c) không xác định, https://toanvd.edu.vn f (c) chưa x c điểm cực trị hàm số a Các toán Ví dụ 22 Cho hàm số y f x có đạo hàm đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ Xác định số điểm cực trị hàm số y f x y 1 O Lời giải: x 13 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Ví dụ 23 Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Tìm số điểm cực trị hàm số y f x 5x biết đồ thị hàm số y f x hình vẽ sau: https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải: Cho hàm số f x xác định có đồ thị hàm số f x hình vẽ Hỏi hàm số y f x cho có điểm cực tiểu? y O Lời giải: f x x 14 https://toanvd.edu.vn Ví dụ 24 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp Ví dụ 25 Cho hàm số y f x có đạo hàm Biết hàm số y f x có đồ thị hình vẽ https://luyenthitracnghiem.vn đây: Đặt g x f x x Hỏi hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu? Lời giải: b Các toán trắc nghiệm đề thi đại học Ví dụ 26 (THPT Chun Trần Phú-Hải Phịng-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f x xác định hàm số y f x có đồ thị hình dưới: https://toanvd.edu.vn y O x Xét khẳng định sau: (I) Hàm số y f x có cực trị (II) Phương trình f x m 2018 có nhiều ba nghiệm (III) Hàm số y f x 1 nghịch biến khoảng 0;1 Số khẳng định A B Lời giải: C D 15 Cực trị hàm số 2020 Nhóm toán VD - VDC Ví dụ 27 (SGD Hà Tĩnh – Lần năm 2017 – 2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số y f x hình vẽ sau Số điểm cực trị hàm số y f x x là: Lời giải: B C D https://luyenthitracnghiem.vn A Ví dụ 28 Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị khoảng K hình vẽ bên https://toanvd.edu.vn Trong khẳng định sau, có tất khẳng định đúng? I Trên K , hàm số y f x có hai điểm cực trị II Hàm số y f x đạt cực đại x3 III Hàm số y f x đạt cực tiểu x1 A Lời giải: B C D Ví dụ 29 16 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp https://luyenthitracnghiem.vn Cho hàm số y f x Hàm số y f ' x có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau sai? A f x có cực tiểu B f x có hai cực đại D f x có điểm cực trị C f x có điểm cực trị Lời giải: Ví dụ 30 Cho hàm số y f x xác định liên tục hàm số y f x có đồ thị hình vẽ y 2 O y f x x https://toanvd.edu.vn Khẳng định sau đúng? A f x đạt cực đại x B f x đạt cực đại x C f x đạt cực đại x 1 D f x đạt cực đại x 2 Lời giải: Ví dụ 31 (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình vẽ: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? 17 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC A Hàm số y f x đồng biến ;1 B Hàm số y f x đạt cực đại x C Đồ thị hàm số y f x có điểm cực tiểu D Đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị Lời giải: Ví dụ 32 (THPT Lục Ngạn-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Đồ thị sau hàm số y f x Khi hàm số y f x có điểm cực trị? y O A Lời giải: x B C https://luyenthitracnghiem.vn D Ví dụ 33 Hàm số f ( x) có đạo hàm hàm số f '( x) Biết đồ thị hàm số f '( x) cho hình vẽ Hàm số f ( x) đạt cực đại điểm nào? A x0 Lời giải: B x0 C f x D f x 18 https://toanvd.edu.vn “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp Ví dụ 34 (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) https://luyenthitracnghiem.vn Cho hàm số y f x có đạo hàm y 1 đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ x O Chọn khẳng định A f x đạt cực đại x B f x đạt cực tiểu x 1 C f x đạt cực tiểu x D f x có ba điểm cực trị Lời giải: Ví dụ 35 (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm đồ thị hàm số y f x hình vẽ https://toanvd.edu.vn Mệnh đề đúng? y O x A Hàm số y f x có điểm cực đại điểm cực tiểu B Hàm số y f x có điểm cực đại điểm cực tiểu C Hàm số y f x có điểm cực đại điểm cực tiểu D Hàm số y f x có điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải: 19 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Ví dụ 36 (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hàm số y f x xác định có đồ thị hàm số y f x đường cong hình bên Hỏi hàm số y f x có điểm cực trị? Lời giải: B C D https://luyenthitracnghiem.vn A https://toanvd.edu.vn 1.4.Dạng 4.Tìm cực trị hàm số y f u dựa vào đồ thị hàm số y f x Phương pháp giải a Các toán trắc nghiệm Ví dụ 37 Cho hàm số y f x xác định liên tục hàm số y f x có đồ thị hình vẽ Kết luận số điểm cực trị hàm số y f x là: 20 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp A Hai điểm cực đại điểm cực tiểu B Một điểm cực đại hai điểm cực tiểu C Hai điểm cực đại hai điểm cực tiểu D Một điểm cực đại điểm cực tiểu Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 38 (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần năm 2017 – 2018) Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình Hàm sơ y f x có điểm cực đại? A Lời giải: B C D https://toanvd.edu.vn Ví dụ 39 Cho hàm số y f x có đạo hàm y f x liên tục có đồ thị hình Hàm số y f (2 x 2) có điểm cực trị? A Lời giải: B C D 21 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Ví dụ 40 Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x hình bên A Lời giải: B C D Ví dụ 41 https://luyenthitracnghiem.vn Hỏi hàm số g x f 1 x 2019 có điểm cực trị? Cho hàm số y f x có đồ thị f x hình vẽ Tìm số điểm cực tiểu hàm số y f 1 x Lời giải: B C https://toanvd.edu.vn A x2 x D Ví dụ 42 (Trích câu hỏi dẫn THPT Chun Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm y f x , ( y f x liên tục Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số ) Xét hàm số g x f x Mệnh đề đúng? 22 “Thành công nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp y 1 O x https://luyenthitracnghiem.vn 2 4 A Hàm số g x có điểm cực đại điểm cực tiểu B Hàm số g x có điểm cực đại điểm cực tiểu C Hàm số g x có điểm cực tiểu điểm cực đại D Hàm số g x điểm cực trị Lời giải: Ví dụ 43 (trích dẫn đề THPT Chuyên Tiền Giang-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y f x ( y f x liên tục y ) Xét hàm số g x f x 3 Kết luận cực đại hàm số g(x) là? A Hàm số g x đạt cực đại x = - https://toanvd.edu.vn B Hàm số g x đạt cực đại x = 2 1 O x C Hàm số g x đạt cực đại x = D Hàm số g x đạt cực đại x = -2 Lời giải: Ví dụ 44 (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần năm 2017-2018) Biết hàm số f x có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y f f x 23 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC y O x 4 A C D Ví dụ 45 (Theo đề THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần năm 2017-2018) Cho hàm số y f x Hàm số y f x có đồ thị hình bên Kết luận cực trị àm số y f x x là: y B Hàm số đạt cực tiểu x C Hàm số khơng có cực trị D Hàm số đạt cực đại x A Hàm số đạt cực tiểu x O x Ví dụ 46 (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số y f '( x) hình vẽ bên Xét hàm số g ( x) f ( x 3) mệnh đề sau: I Hàm số g ( x) có điểm cực trị II Hàm số g ( x) đạt cực tiểu x III Hàm số g ( x) đạt cực đại x IV Hàm số g ( x) đồng biến khoảng 2;0 V Hàm số g ( x) nghịch biến khoảng 1;1 Có mệnh đề mệnh đề trên? A B C D 24 https://toanvd.edu.vn Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Lời giải: B “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 47 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f x xác định có đồ thị f x hình vẽ Đặt g x f x x Hàm số g x đạt cực đại điểm sau đây? y 1 O 2x 1 B x A x Lời giải: C x 1 D x Ví dụ 48 (Trích theo đề THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) https://toanvd.edu.vn Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm y f x hình vẽ Xét hàm số g ( x) f x Số điểm cực trị hàm số là? y O 1 x 2 4 A Hàm số g ( x) có điểm cực trị B Hàm số g ( x) có điểm cực trị C Hàm số g ( x) có điểm cực trị D Hàm số g ( x) có điểm cực trị Lời giải: 25 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC 1.5.Dạng 5.Các toán cực trị hàm số bậc Phương pháp giải Bài toán 1: Xác định điểm cực trị, cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số ax y bx cx d ax Bài tốn 2:Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị hàm số y bx cx d Cách 1: Tìm tọa độ điểm cực đại cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B Để viết phương trình đường thẳng nối điểm cực trị hàm số bậc ba, thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc phép chia y cho y ), nghĩa là: Phân tích (bằng cách chia đa thức y cho y ) : y Đường thẳng qua điểm cực trị d : y y q(x ) h(x ) y1 y2 h(x ) h(x ) h(x ) a Các tốn trắc nghiệm Ví dụ 49 https://luyenthitracnghiem.vn - Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số Cho hàm số y x3 3x Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x cực tiểu x 2 B Hàm số đạt cực tiểu x cực đại x C Hàm số đạt cực đại x 2 cực tiểu x Lời giải: Ví dụ 50 Cho hàm số y f ( x) x3 3x Các giá trị cực đại cực tiểu hàm số A yCĐ 0; yCT 4 Lời giải: B yCĐ 4; yCT 4 C yCĐ 0; yCT D yCĐ 0; yCT 6 Ví dụ 51 26 https://toanvd.edu.vn D Hàm số đạt cực đại x cực tiểu x “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp Số điểm cực trị hàm số y x3 3x2 x A B Lời giải: C D https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 52 Tìm điểm cực đại x hàm số y A x Lời giải: B x x3 3x 1 C x D x Ví dụ 53 Gọi x1 x2 hai điểm cực trị hàm số f x A 13 Lời giải: B 32 x 3x x Giá trị x12 x22 C 40 D 36 https://toanvd.edu.vn Ví dụ 54 Hệ thức liên hệ giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y x3 x A yCT yCD Lời giải: B yCD yCT C yCD yCT D yCD yCT Ví dụ 55 Trong hàm số sau, hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn xCD xCT 27 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC A y x x x B y 2 x 3x C y x3 x2 3x Lời giải: D y x3 x x Ví dụ 56 Tìm cực đại hàm số y x3 3x m (với m tham số thực) B 4 m A Lời giải: C D m https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 57 Gọi A x1; y1 , B x2 ; y2 hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x Giá trị y1 y2 A C 2 D 4 Ví dụ 58 Cho hàm số y x3 3x có giá trị cực đại cực tiểu y1 , y2 Mệnh đề sau đúng? A y1 y2 Lời giải: B y1 y2 4 C y1 y2 6 D y1 y2 Ví dụ 59 28 https://toanvd.edu.vn Lời giải: B “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x A x y Lời giải: B x y C x y D x y https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 60 Đồ thị hàm số y x3 3x x có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB ? A M 0; 1 Lời giải: B Q 1;10 C P 1;0 D N 1; 10 Ví dụ 61 Đồ thị hàm số y x3 3x2 có hai điểm cực trị A B Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc tọa độ A S https://toanvd.edu.vn Lời giải: B S 10 C S 10 D S Ví dụ 62 ho hàm số y x3 3x 12 x 2019 Gọi x1 x2 điểm cực đại cực tiểu hàm số Kết luận sau đúng? A x1 x2 Lời giải: B x2 x1 C x1 x2 3 D x1 x2 29 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Ví dụ 63 Biết hàm số y x3 x x đạt cực trị hai điểm x1 , x2 Tích x1 x2 A Lời giải: B C D Ví dụ 64 Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y 3m 1 x m vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x 1 A B C m 6 Lời giải: D https://luyenthitracnghiem.vn Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x3 x2 m 3 x m có hai điểm cực trị điểm M 9; 5 nằm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị A m 1 Lời giải: B m 5 C m D m Ví dụ 66 Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng y 2m 1 x m song song với đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x 3 A m B m C m 4 Lời giải: D m 30 https://toanvd.edu.vn Ví dụ 65 Nguyễn Hồng Việt tổng hợp “Thành cơng nói khơng với lười biếng” https://luyenthitracnghiem.vn b Các tốn tự luận Ví dụ 67 Xác định điểm cực trị hàm số y x3 x2 x Lời giải: Ví dụ 68 Tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x 3x Lời giải: Ví dụ 69 Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x m vng góc với đường https://toanvd.edu.vn thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3x Lời giải: 1.6.Dạng 6.Các toán cực trị hàm số bậc Phương pháp giải Tìm cực trị hàm số qua dấu đạo hàm y’ + Tìm TXĐ hàm số + Tìm y’ + Lập bảng xét dấu y’ + Dựa vào đổi dấu y’ để kết luận cực đại; cực tiểu Tìm cực trị hàm số qua bảng biến thiên + Quan sát bảng biến thiên (chiều chuyển động lên, xuống thay đổi dấu y’) 31 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC + y’ đổi dấu từ “ – ” sang dấu “ + ” qua x0 Kết luận hàm số đạt cực tiểu x0 tương ứng + y’ đổi dấu từ “ + ” “ sang dấu “ – ” qua x0 Kết luận hàm số đạt cực đại x0 tương ứng + y’ không đổi dấu qua điểm x0 Kết luận hàm số không đạt cực tại x0 tương ứng Tìm cực trị hàm số qua đồ thị hàm y = f(x) + Quan sát đồ thị hàm số (chiều chuyển động lên, xuống xuống lên) + Đồ thị lên xuống qua x0 Kết luận hàm số đạt cực đại x0 tương ứng + Đồ thị xuống toàn lên qua điểm x0 Kết luận hàm số không đạt cực tại x0 a Các tốn trắc nghiệm Ví dụ 70 Điểm cực tiểu hàm số: y B x = A x = Lời giải: x x là: C x = D x = https://luyenthitracnghiem.vn + Đồ thị xuống lên qua x0 Kết luận hàm số đạt cực tiểu x0 tương ứng Ví dụ 71 x 10 Khẳng định đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x 1 B Hàm số đạt cực đại x C Hàm số đạt cực đại x 1 D Hàm số có cực trị x Cho hàm số: y x Ví dụ 72 Giá trị cực đại hàm số y x4 x là: A yCD 3 Lời giải: B x CD 3 C yCD 4 D x CD 4 Ví dụ 73 Cho hàm số: y x 2x Điểm cực tiểu đồ thị hàm số là? A x CT 1 Lời giải: B x CT C yCT D A(0;3) Ví dụ 74 Cho hàm số: y x 2x Khẳng định đúng? 32 https://toanvd.edu.vn Lời giải: “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp A x điểm cực tiểu B x điểm cực đại C Hàm số có cực đại cực tiểu D Hàm số khơng có cực tiểu, có cực đại Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 75 Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên hình vẽ: Kết luận cực trị hàm số là: A Có cực tiểu, có cực đại B Có cực tiểu, có cực đại C Có cực tiểu D Có cực đại Lời giải: Ví dụ 76 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ Kết luận cực trị hàm số là: B x CT 1 A yCD https://toanvd.edu.vn Lời giải: C x CD 1 D yCD Ví dụ 77 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho có điểm cực đại là? y 1 O 1 x 2 A 1; Lời giải: B 1; C 1;1 D 0; 1 Ví dụ 78 Cho hàm số 33 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) y ax4 bx2 c ( a , b , c ) có đồ thị hình vẽ bên Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC A B Lời giải: C D Ví dụ 79 Giá trị tham số m để hàm số: y mx m 1 x (m2 1) x đạt cực tiểu x =1 là: A m 1 Lời giải: C m 3 B m D m Ví dụ 80 https://luyenthitracnghiem.vn Số điểm cực trị hàm số cho Số điểm cực trị hàm số: y x x 1 (x 1) là: A B Lời giải: C D https://toanvd.edu.vn 1.7.Dạng 7.Các toán cực trị hàm phân thức a Các toán trắc nghiệm Ví dụ 81 Hàm số y A Lời giải: 2x có điểm cực trị? x 1 B C D Ví dụ 82 Hàm số có hai điểm cực trị? x2 x A y x x B y x 1 Lời giải: C y x 3x 3x D y x 1 x 1 34 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp Ví dụ 83 https://luyenthitracnghiem.vn Cho hàm số y f x có đạo hàm f x A Lời giải: B x2 , x Số điểm cực trị hàm số cho 3x C D Ví dụ 84 Hàm số y f ( x) xác định liên tục R có đạo hàm f '( x) ( x 1)3 ( x 2)2 , x Số điểm cực x trị hàm số y f ( x) A Lời giải: B C D CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO 2.1.Dạng Cực trị hàm số f (u ) dựa vào đồ thị hàm số f '( x) https://toanvd.edu.vn Ví dụ 85 Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f x x3 x 3x đạt cực tiểu điểm đây? B x C x D x 3 Hỏi hàm số g x f 1 x A x 1 Lời giải: Ví dụ 86 Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm liên tục 35 Đồ thị hàm số y f ( x) hình vẽ sau: Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC A Lời giải: B C D Ví dụ 87 https://luyenthitracnghiem.vn Số điểm cực trị hàm số y f ( x) 5x Cho hàm số y f x hàm số bậc bốn Hàm số y f x có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số f x x 2019 y A Lời giải: O https://toanvd.edu.vn -1 x B C D 2.2.Dạng 6.Các toán cực trị hàm số bậc chứa tham số Phương pháp giải Đây dạng toán cực trị, nhiên xuất nhiều đề thi Ở dạng toán ta áp dụng quy tắc sau Qui tắc 1: Dùng định lí 36 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp Bước Tìm Tập xác định D Bước Tìm f ( x) Tìm điểm f ( x) f ( x) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Qui tắc 2: Dùng định lí https://luyenthitracnghiem.vn f ' x0 +) x0 điểm cực đại hàm số f '' x0 f ' x0 +) x0 điểm cực tiểu hàm số f '' x0 Chú ý: Hàm số bậc ba dạng y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) Ta có y 3ax 2bx c Để hàm số bậc ba có cực trị phương trình f x có hai nghiệm phân biệt b2 3ac Ngược lại, để hàm số khơng có cực trị phương trình f x vơ nghiệm có nghiệm b2 3ac a Các toán Bài tốn Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm Bài toán Viết phương trình qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) https://toanvd.edu.vn Giả sử hàm bậc ba dạng y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) có hai điểm cực trị x1 ; x2 Khi ta thực phép chia f ( x) cho f ( x) ta y f x1 Ax1 B Khi ta có y2 f x2 Ax2 B Suy điểm cực trị x1; y1 ; x2 ; y2 đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y Ax B Vậy để viết phương trình qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y f x ta làm sau: B1: Tính y ' B2: Thực phép chia y cho y ' phần dư Ax B B3: KL điểm cực trị x1; y1 ; x2 ; y2 đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y Ax B Chú ý Sau thực hienj phép chia trường hớp tổng quát phương trình đường thẳng qua 2c 2b bc y xd điểm cựa trị hàm số bận có dạng: 9a 9a 37 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Bài tốn Tìm điều kiện để điểm cực đại, cực tiểu y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) nằm hai phía trục tung đồ thị hàm số Để hàm số có điểm cực trị y 3ax2 2bx c có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 b2 3ac Để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) nằm hai c a.c 3a Bài tốn Tìm điều kiện để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) thỏa mãn điều kiện K liên quan đến định lí Viet số Bài tốn Tìm điều kiện để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) đối xứng qua đường thẳng y kx c hàm số Do đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn I x1; y1 làm tâm đối xứng nên điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y f ( x) ax3 bx2 cx d (a 0) đối xứng qua đường thẳng d https://luyenthitracnghiem.vn phía trục tung x1.x2 I d y kx c 2c 2b k 1 Lời giải: Ví dụ 89 Cho hàm số y f ( x) x3 mx 3x Tìm giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x Lời giải: Ví dụ 90 Cho hàm số y x3 3mx 3m Tìm giá trị m để hàm số có điểm cực trị Lời giải: 38 https://toanvd.edu.vn b Các toán trắc nghiệm Ví dụ 88 Cho hàm số y f ( x) 3x3 6mx 3m2 x Tìm giá trị m để hàm số đạt cực đại x “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp Ví dụ 91 https://luyenthitracnghiem.vn Cho hàm số y x3 3x 1 m x 3m tìm m cho đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho Lời giải: Ví dụ 92 Cho hàm số y x3 3m x m2 3m x có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Lời giải: Ví dụ 93 Tìm giá trị m để điểm cực trị x1 ; x2 hàm số y f ( x) x3 m 1 x x thỏa mãn x1 x2 Lời giải: https://toanvd.edu.vn Ví dụ 94 Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3mx 4m3 có cực đại, cực tiểu hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng d : y x Lời giải: c Các tốn trắc nghiệm tương tự Ví dụ 95 Cho hàm số y x3 mx m2 m 1 x Tìm giá trị m để hàm số đạt cực đại x 1 A m B m C m D m 2; m 39 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Lời giải: Ví dụ 96 B ;0 8; A 0; Lời giải: C 0;8 D ;0 2; Ví dụ 97 Cho hàm số y x3 mx 2m 1 x Khẳng định sau sai A m hàm số có điểm cực trị B Hàm số ln có cực đại cực tiểu C m hàm số có cực đại cực tiểu Lời giải: https://luyenthitracnghiem.vn Cho hàm số y x3 3mx2 6mx m Tìm giá trị m để hàm số có cực trị D m hàm số có cực trị Ví dụ 98 Cho hàm số y f ( x) m 3 x3 2mx Tìm giá trị m để hàm số khơng có cực trị B m A m Lời giải: C m D m 0; m Ví dụ 99 Đồ thị hàm số y x3 3x2 mx m có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d : y x khi: A m Lời giải: B m C m D m 40 https://toanvd.edu.vn “Thành công nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp Ví dụ 100 Cho hàm số y f ( x) x3 x mx Tìm giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x https://luyenthitracnghiem.vn A m 1 Lời giải: D m 2 C m B m Ví dụ 101 1 Cho hàm số y f ( x) x3 2m 1 x m2 x m Với giá trị m hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x12 x2 81 A m 15 7 m B m 4 Lời giải: C m 15 D Không tồn m Ví dụ 102 Cho hàm số y f ( x) mx3 2mx m x Tìm giá trị m để hàm số khơng có cực https://toanvd.edu.vn trị A ;0 6; Lời giải: B ;0 6; C 0;6 D 0;6 Ví dụ 103 Đồ thị hàm số y x3 m 1 x 6mx có đường thẳng qua hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng d : y x khi: A m Lời giải: B m C m 2 m D m v m Ví dụ 104 41 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Cho hàm số y x3 3mx m2 x m3 m Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho có dạng A 2mx y 2m B x y Lời giải: C 2 x y D 2mx y Ví dụ 105 Cho hàm số y x3 x m2 3m x có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung A m B m Lời giải: C m D m https://luyenthitracnghiem.vn Ví dụ 106 Tìm giá trị m để điểm cực trị x1 ; x2 hàm số y f ( x) x3 x m x thỏa mãn x1.x2 10 A m 12 D m 8 Ví dụ 107 x mx 3m2 x Với giá trị m hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 x1.x2 Cho hàm số y f ( x) A m m Lời giải: B m C m D Không tồn m Ví dụ 108 42 https://toanvd.edu.vn Lời giải: C m 12 B m “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp Cho hàm số y f ( x) x3 mx x Với giá trị m hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 2 thỏa mãn x1 x2 x1.x2 https://luyenthitracnghiem.vn A m 2 Lời giải: B m 3 C m 1 D m 4 Ví dụ 109 Cho hàm số y 1 m x3 3x 3x Tìm giá trị m để hàm số có điểm cực trị Lời giải: C m B m 1 A m D m Ví dụ 110 x 3m 1 x m2 m x có đồ thị Cm Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung A m B 2 m C 2 m D m Cho hàm số y https://toanvd.edu.vn Lời giải: Ví dụ 111 Tìm tập hợp tất giá trị m để hàm số y x3 3mx 4m3 có cực đại, cực tiểu hai điểm cực trị đồ thị hàm số với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích A m B m 1 C m D m Lời giải: Ví dụ 112 43 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC Cho đồ thị hàm số y ax3 bx c có hai điểm cực trị A 0;1 B 1; Tính giá trị abc A B Lời giải: C D 2.3.Dạng Các toán cực trị hàm số bậc chứa tham số Phương pháp giải Đây dạng toán cực trị, nhiên xuất nhiều đề thi Ở dạng toán ta áp dụng tính chất sau Qui tắc 1: Dùng định lí Bước Tìm Tập xác định D Bước Tìm f ( x) Tìm điểm f ( x) f ( x) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị https://luyenthitracnghiem.vn Qui tắc 2: Dùng định lí f ' x0 +) x0 điểm cực đại hàm số f '' x0 Chú ý Xét hàm bậc bốn trùng phương dạng y ax4 bx c (a 0) x0 y 4ax3 2bx 2ax b Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình 2ax2 b b Nếu tức a, b dấu b phương trình vơ nghiệm có nghiệm 2a x Khi đó, hàm số có điểm cực trị x Nếu b b tức a, b trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt x 2a 2a Khi đó, hàm số có ba điểm cực trị x 0; x b 2a Đến ta suy ra, hệ số a, b khác dấu hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị Tức ab hàm số có ba điểm cực trị x 0; x b 2a Khi đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị là: 44 https://toanvd.edu.vn f ' x0 +) x0 điểm cực tiểu hàm số f '' x0 “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hoàng Việt tổng hợp b b A 0; c ; B ; ; C ; với b2 4ac 2a 4a 2a 4a (Chứng minh: https://luyenthitracnghiem.vn b b b ab b f c a b c 2a 2a 2a 4a 2a ab 2ab 4a 2c ab 4a 2c b 4ac (dpcm ) 4a 4a 4a AB AC b4 b b ; BC 16a 2a 2a a Các toán Bài tốn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng Với ab hàm số có ba điểm cực trị Do điểm A 0; c nằm trục Oy cách hai điểm B, C nên tam giác ABC tam giác vuông cân A Điều tương đương với AB AC ( AB=AC sẵn có) b b b2 b2 Mặt khác ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ; ; ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = ; 2a 4a 2a 4a Do AB AC nên b b4 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = 0 2a 16a b3 8 a Bài toán https://toanvd.edu.vn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác Với ab hàm số có ba điểm cực trị Do AB=AC, nên ta cần tìm điều kiện để AB=BC Mặt khác AB AC b4 b b ; BC 16a 2a 2a b4 b 2b b3 Do AB BC 24 16a 2a a a Bài tốn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có diện tích S0 Gọi H trung điểm BC H nằm đường thẳng chứa đoạn BC (hình vẽ) b2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 ; Lúc H 0; 𝐴𝐻 4a 4a Diện tích tam giác ABC là: 45 Cực trị hàm số 2020 Nhóm tốn VD - VDC b 2a b 2b b5 S0 S 16a a 32a S ABC 1 b2 AH BC S0 4a 2 Bài toán b5 Do ta tìm Max 32a Bài tốn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có góc đỉnh cân α ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.𝐴𝐶 Ta có: cos 𝛼 = |𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ |.|𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ | ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 cos 𝛼 b b b4 b4 cos =0 2a 16a 2a 16a 8a 1 cos b3 1 cos cos https://luyenthitracnghiem.vn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có diện tích lớn b5 Ở tốn ta có S0 32a3 b3 8a b3 8a Bài toán b5 S0 32a r AB BC AC b4 b b 2 16a 2a 2a r b2 b3 a 1 8a Bài tốn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R AB.BC.CA Ta có: S ABC 4R Gọi H trung điểm BC, AH đường cao tam giác ABC (hình vẽ) Lúc diện tích tam giác ABC là: AB.BC.CA S ABC AH BC 2.R AH AB 2 4R b b b b3 8a 2.R R a 16a 2a a b 46 https://toanvd.edu.vn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp r Ta có: S0 p.r “Thành cơng nói khơng với lười biếng” Nguyễn Hồng Việt tổng hợp Bài tốn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có điểm cực tạo thành tam giác: a Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm https://luyenthitracnghiem.vn b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm c Nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp a Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Ta có: b b A 0; c ; B ; ; C ; với b2 4ac 2a 4a 2a 4a Nên với G xG ; yG trọng tâm tam giác ABC thì: b b x A xB xC 3.0 x G 2a 2a b 4ac b 4ac y y A yB yC G 3.0 c a 4a b2 3c b 6c 2a b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm Do tam giác ABC cân A, mà A nằm trục Oy nên AO ln vng góc với BC Do để O trực tâm tam giác ABC ta cần tìm điều kiện để OB AC hoặc: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 ⊥ 𝐴𝐶 ⇔ 𝑂𝐵 𝐴𝐶 = b b b c b 8ab 4ab 2c 2a 4a 4a b3 8a 4abc c Nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp https://toanvd.edu.vn Để O làm tâm đường trịn ngoại tiếp OA OB OC Mà OB OC nên để O tâm đường trịn ngoại tiếp b b2 b b4 2b 2c OA OB c c 0 2a 4a 2a 16a 4a b 8ab 2c 8ab b3 8a 8abc Bài tốn Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y ax4 bx c (a 0) có ba điểm cực tạo thành tam giác cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Gọi M, N giao điểm AB, AC với trục hồnh S AO Ta có: AMN đồng dạng ABC AMN (Do trục hoành chia tam giác ABC thành S ABC AH hai phần có diện tích nhau) AH AO b2 ac Chú ý: Sau tìm m cần thử lại xem ab
Ngày đăng: 03/08/2023, 10:52
Xem thêm:
