(Chuyên đè) đơn điệu của hàm số

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y  f (x ) xác định K với K khoảng +) Hàm số y  f (x ) gọi đồng biến K x 1, x  K , x  x  f (x )  f (x ) +) Hàm số y  f (x ) gọi nghịch biến K x 1, x  K , x  x  f (x )  f (x ) +) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Định lý: Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm khoảng K +) Nếu f (x )  0, x  K f (x )  xảy số hữu hạn điểm K hàm số y  f (x ) đồng biến khoảng K +) Nếu f (x )  0, x  K f (x )  xảy số hữu hạn điểm K hàm số y  f (x ) nghịch biến khoảng K Lưu ý: +) Nếu hàm số y  f (x ) liên tục đoạn [a;b ] f '(x )  0, x  (a;b) ta nói hàm số đồng biến đoạn [a;b ] +) Nếu hàm số y  f (x ) liên tục đoạn [a;b ] f '(x )  0, x  (a;b) ta nói hàm số nghịch biến đoạn [a;b ] +) Tương tự với khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến nửa khoảng PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm y′ = f ′( x) Bước 3: Tìm nghiệm f ′( x) giá trị x làm cho f ′( x) không xác định Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Chú ý: Đối với tốn trắc nghiệm, ta sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Cách 1: Sử dụng chức lập bảng giá trị MODE máy tính Casio Quan sát bảng kết nhận tính tăng, giảm giá trị f(x) dự đoán Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm Sử dụng tính giải bất phương trình INEQ máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba) II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BIỂU THỨC Câu 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y =x − x + Câu 2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = Câu 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = − x3 + x − 26 x − Câu 4: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = Câu 5: y x − 2x Tìm khoảng đơn điệu hàm số = Câu 6: y x + 4x Tìm khoảng đơn điệu hàm số = Câu 7: −2 x + x − Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = Câu 8: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = Câu 9: Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = x + x + 3 4 x + 3x + x − 3x + 1− x Câu 10: Tìm khoảng nghịch biến hàm số: y = − 2x x+7 − x2 + 2x −1 x+2 Câu 11: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số y = x2 + 4x + x +1 Câu 12: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số: y = − x2 − x + x+2 Câu 13: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = tan x −  π  0;  tan x −  4 −x + nÕu x < −1   Câu 14: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: y = −2 x + x + nÕu − ≤ x ≤  3x − nÕu x >  Câu 15: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y = x − x − b) y = x − x + + x + y x − x2 Câu 16: Tìm khoảng đơn điệu hàm số= DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP CHO BỞI BBT HOẶC Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) HOẶC y = f ′ ( x ) Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  có bảng biến thiên Tìm khoảng đồng biến hàm= số y f ( x + 1) Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = f ( −2 x + ) Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên 1 2   y f  x + 3x +  nghịch biến khoảng nào? Hỏi hàm số= Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên Tìm khoảng đồng biến hàm số y = f ( − x + x ) ? Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên = y g= Xét tính đơn điệu hàm số ( x) f ( x) + Câu 22: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ sau: Tìm khoảng đơn điệu hàm số g  x   f  x   x  Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 23: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên y −1 O x −1 x ) f ( x ) − x + 2020 Tìm khoảng đồng biến hàm số g ( = Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ y g= Hàm số= ( x ) f ( − x ) đồng biến khoảng nào? Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ = y g= Hàm số ( x ) f ( x − ) nghịch biến khoảng nào? Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên ( ) Hỏi hàm số y = f f ( x ) đồng biến khoảng nào? Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau Tìm khoảng đồng biến hàm số y = g ( x )= f ( − x ) − x3 + x − 6x +1 Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau ( ) Biết < f ( x ) < , ∀x ∈  Hàm số y= g ( x= ) f f ( x ) + x3 − x − có khoảng đồng biến? Câu 29: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Tìm khoảng nghịch biến hàm số y= f ( x) − x + x Câu 30: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Tìm khoảng đồng biến hàm số g ( x= ) f ( x) + x + x − 2019 Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 31: Cho hàm số f ( x ) liên tục  có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) − x3 + x đồng biến khoảng nào? Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục  có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên g ( x ) f ( x ) − x3 đồng biến khoảng nào? Hàm số = Câu 33: Cho hàm số f ( x ) liên tục  có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên  5x   nghịch biến khoảng nào?  x +4 Hàm số g ( x ) = f  Câu 34: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f (1 + x − x ) đồng biến khoảng nào? Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y g= = ( x ) f ( x3 ) đồng biến khoảng nào? Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y= g ( x )= f ( ) x + x + đồng biến khoảng nào? Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ y −1 O x −1 Hàm số y= g ( x )= f ( x − 1) + 2019 − 2018 x đồng biến khoảng nào? 2018 Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 38: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Tìm khoảng đồng biến hàm số y = g ( x ) = f ( −2 x + 1) + ( x + 1)( −2 x + ) Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên x3 − x + 12 x + có khoảng nghịch biến? Hàm số g ( x )= f ( x − ) + Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f (1 − x ) + x2 − x nghịch biến khoảng nào? Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 41: Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y= g ( x= ) f ( x ) − x3 + 3x − 3x + 2019 đồng biến khoảng nào? Page 10 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Khi nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ′ ( t ) và đường thẳng y = t − t =−1  Dựa vào đồ thị hàm số ta có f ′ ( t ) = t − ⇔ t = t = Bảng xét dấu g′ ( t ) Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số g ( t ) đồng biến khoảng ( −1; 1) ( 3; +∞ ) −1 < t < −1 < x − m <  m − < x < m + Hay  ⇔ ⇔ t > x − m > x > m +  m − ≤ < ≤ m + 5 ≤ m ≤ Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 5; )  ⇔ m + ≤ < m ≤ Vì m số nguyên dương nên S = {1; 2; 5; 6} Vậy tổng tất phần tử S là: + + + = 14 Câu 41: ( ) 2 Cho hàm số f ( x ) liên tục  có đạo hàm f ′ ( x )= x ( x − ) x − x + m với x   Có số nguyên m thuộc đoạn [ −2020; 2020] để hàm số g  x   f 1 x  nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ? A 2016 B 2014 C 2012 Lời giải D 2010 Chọn C 2 Ta có: g ′ ( x ) =f ′ (1 − x ) =− (1 − x ) ( − x − 1) (1 − x ) − (1 − x ) + m      x 1  x  1 x  x  m  5 Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −1) Page 33 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ⇔ g ′ ( x ) ≤ 0, ∀x < −1 * , Với x < −1 ( x − 1) > x + < nên *  x  x  m   0, x  1  m  x  x  5, x  1 Xét hàm số y  x  x  khoảng ( −∞; −1) , ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy m ≥ Kết hợp với m thuộc đoạn [ −2020; 2020] m nguyên nên m ∈ {9;10;11; ; 2020} Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn đề Câu 42: Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục R Hàm số y = f ′ ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ ( 2m − x ) + 2020 , với m tham số thực Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương m để hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( 3; ) Hỏi số Xét hàm số g ( x ) = f ( x − 2m ) + phần tử S bao nhiêu? A B C Lời giải D Vô số Chọn B Ta có g ' ( x ) = f ' ( x − 2m ) − ( 2m − x ) Page 34 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đặt h= ( x ) f ' ( x ) − ( − x ) Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) đồ thị hàm số y = − x hình vẽ suy  −3 ≤ x ≤ ra: h ( x ) ≤ ⇔ f ' ( x ) ≤ − x ⇔  x ≥  −3 ≤ x − 2m ≤  2m − ≤ x ≤ 2m + Ta có g ' ( x )= h ( x − 2m ) ≤ ⇔  ⇔  x − 2m ≥  x ≥ 2m + Suy hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( 2m − 3; 2m + 1) ( 2m + 3; +∞ )   2m − ≤  ≤m≤3  Do hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( 3; ) ⇔  2m + ≥ ⇔    2m + ≤ m ≤ Mặt khác, m nguyên dương nên m ∈ {2;3} ⇒ S = {2;3} Vậy số phần tử S Từ chọn đáp án B Câu 43: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm  f ′ ( x ) = ( x − 1)( x + 3) Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −10; 20] để hàm số y= A 18 f ( x + x − m ) đồng biến khoảng ( 0; ) ? B 17 C 16 D 20 Lời giải Chọn A ( ) ( x + 3) f ′ ( x Ta có y′ = f ′ x + x − m = + 3x − m ) Theo đề ta có: f ′ ( x ) = ( x − 1)( x + 3)  x < −3 suy f ′ ( x ) > ⇔  f ′ ( x ) < ⇔ −3 < x < x > Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) Page 35 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ⇔ ( x + 3) f ′ ( x + x − m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) Do x ∈ ( 0; ) nên x + > 0, ∀x ∈ ( 0; ) Do đó, ta có:  x + x − m ≤ −3  m ≥ x + x + ′ ′ y ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ f ( x + x − m ) ≥ ⇔  ⇔  x + 3x − m ≥  m ≤ x + 3x −  m ≥ max ( x + x + 3)  m ≥ 13 [0;2] ⇔ ⇔  m ≤ x + x − m ≤ −1  ( )  [0;2] Do m ∈ [ −10; 20] , m ∈  nên có 18 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu đề Câu 44: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x + 1) nguyên âm m để hàm số g= ( x) A B 2 (x + 2mx + 1) với x   Có số f ( x + 1) đồng biến khoảng ( 3;5 ) ? C Lời giải D Chọn A Ta có: g ′ ( x= ) f '(2 x + 1)= 2(2 x + 1)(2 x + 2)2 [(2 x + 1)2 + 2m(2 x + 1) + 1] Đặt = t 2x +1 Để hàm số g  x  đồng biến khoảng ( 3;5 ) g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 3;5 ) ⇔ t (t + 2mt + 1) ≥ 0, ∀t ∈ ( 7;11) ⇔ t + 2mt + ≥ 0, ∀t ∈ ( 7;11) ⇔ 2m ≥ Xét hàm số h(t ) = −t − , ∀t ∈ ( 7;11) t −t + −t − [ 7;11] , có h '(t ) = t t2 BBT: Dựa vào BBT ta có 2m ≥ −t − 50 , ∀t ∈ ( 7;11) ⇔ 2m ≥ max h ( t ) ⇔ m ≥ − [7;11] t 14 Vì m ∈  − ⇒ m ∈ { − 3; −2; −1} Câu 45: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau Page 36 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Có số nguyên m  2019 để hàm số g  x  f  x  x  m đồng biến khoảng 1; ? A 2016 B 2015 C 2017 Lời giải D 2018 Chọn A Ta có g   x    x  x  m f   x  x  m   x 1 f   x  x  m Hàm số y  g  x đồng biến khoảng 1; g   x  0, x  1;  g   x   hữu hạn điểm   x 1 f   x  x  m  0, x  1;   x  x  m  2, x  1;   f   x  x  m  0, x  1;     x  x  m  0, x  1;  Xét hàm số y  x  x  m , ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có TH1: x  x  m  2, x  1;   m 1   m  TH2: x  x  m  0, x  1;  : Khơng có giá trị m thỏa mãn Vậy có 2016 số nguyên m  2019 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm hàm số f ′ ( x )  Biết hàm số y= f ′ ( x − ) + có đồ thị hình vẽ bên Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng nào? Page 37 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A ( −∞;3) , ( 5; +∞ ) B ( −∞; −1) , (1; +∞ ) C ( −1;1) D ( 3;5 ) Lời giải Chọn B Hàm số y= f ′ ( x − ) + có đồ thị ( C ) sau: Dựa vào đồ thị ( C ) ta có: f ′ ( x − ) + > 2, ∀x ∈ ( −∞;1)  ( 3; +∞ ) ⇔ f ′ ( x − ) > 0, ∀x ∈ ( −∞;1)  ( 3; +∞ ) Đặt x*= x − suy ra: f ′ ( x *) > 0, ∀x* ∈ ( −∞; −1)  (1; +∞ ) Vậy: Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) , (1; +∞ ) Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm hàm số f ′ ( x )  Biết hàm số y= f ′ ( x + ) − có đồ thị hình vẽ bên Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A ( −3; −1) , (1;3) B ( −1;1) , ( 3;5 ) C ( −∞; −2 ) , ( 0; ) D ( −5; −3) , ( −1;1) Lời giải Chọn B Hàm số y= f ′ ( x + ) − có đồ thị ( C ) sau: Page 38 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Dựa vào đồ thị ( C ) ta có: f ′ ( x + ) − < −2, ∀x ∈ ( −3; −1)  (1;3) ⇔ f ′ ( x + ) < 0, ∀x ∈ ( −3; −1)  (1;3) Đặt x*= x + suy ra: f ′ ( x *) < 0, ∀x* ∈ ( −1;1)  ( 3;5 ) Vậy: Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( −1;1) , ( 3;5 ) Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm hàm số f ′ ( x )  Biết hàm số y= f ′ ( x − ) + có đồ thị hình vẽ bên Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A ( −∞; ) B ( −1;1) 3 5 C  ;  2 2 Lời giải D ( 2; +∞ ) Chọn B Hàm số y= f ′ ( x − ) + có đồ thị ( C ) sau: Dựa vào đồ thị ( C ) ta có: f ′ ( x − ) + < 2, ∀x ∈ (1;3) ⇔ f ′ ( x − ) < 0, ∀x ∈ (1;3) Đặt x*= x − f ′ ( x *) < 0, ∀x* ∈ ( −1;1) Vậy: Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;1) Cách khác: Tịnh tiến sang trái hai đơn vị xuống đơn vị từ đồ thị ( C ) thành đồ thị hàm y = f ′ ( x ) Khi đó: f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −1;1) Vậy: Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;1) Page 39 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 49: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp liên tục  thỏa mãn f ( x ) f ′′′ ( x ) =x ( x − 1) ( x + ) với x ∈  g ( x )  f ′ ( x )  − f ( x ) f ′′ ( x ) Hàm số = 2 h= ( x ) g ( x − x ) đồng biến khoảng đây? A ( −∞;1) B ( 2; +∞ ) C ( 0;1) D (1; ) Lời giải Chọn D f ′′ ( x ) f ′ ( x ) − f ′ ( x ) f ′′ ( x ) − f ( x ) f ′′′ ( x ) = −2 f ( x ) f ′′′ ( x ) ; Ta có g ′ ( x ) = −2 ( x − ) ( x − x )( x − x − 1) ( x − x + ) Khi ( h ( x ) )′ = ( 2x − 2) g′ ( x2 − 2x ) = x =0 x = ′ h ( x )= ⇔  x =   x = ± Ta có bảng xét dấu h′ ( x ) ( ) Suy hàm số h= ( x ) g x − x đồng biến khoảng (1; ) Câu 50: ) Cho hàm số y = f ( x) xác định  Hàm số y= g ( x= f ' ( x + 3) + có đồ thị parabol với tọa độ đỉnh I ( 2; −1) qua điểm A (1; ) Hỏi hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng đây? A ( 5;9 ) B (1; ) C ( −∞;9 ) D (1;3) Lời giải Chọn A x) f ' ( x + 3) + có đồ thị Parabol nên có phương trình dạng: Xét hàm số g (= y = g ( x) = ax + bx + c ( P)  −b =2 −b 4a =  4a + b  = ⇔ ⇔ Vì ( P ) có đỉnh I ( 2; −1) nên  2a + + = − + + = − a b c a b c 4    g ( ) = −1  ( P) qua điểm A (1; ) nên g (1) = ⇔ a + b + c = =  4a + b = a   Ta có hệ phương trình 4a + 2b + c =−1 ⇔ b =−12 nên g ( x ) = x − 12 x + 11 = c 11 a + b + c =  Page 40 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đồ thị hàm y = g ( x) Theo đồ thị ta thấy f '(2 x + 3) ≤ ⇔ f '(2 x + 3) + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Đặt t = x + ⇔ x = t −3 t −3 f '(t ) ≤ ⇔ ≤ ≤3⇔5≤t ≤9 2 Vậy y = f ( x) nghịch biến khoảng ( 5;9 ) Câu 51: Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ′ ( x ) = x + ax + bx + c ( a, b, c ∈  ) có đồ thị hình vẽ Hàm số g ( x ) = f ( f ′ ( x ) ) nghịch biến khoảng đây? A (1; +∞ ) B ( −∞; −2 ) C ( −1;0 )  3 ; D  −   3  Lời giải Chọn B Vì điểm ( −1;0 ) , ( 0;0 ) , (1;0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) nên ta có hệ: b+c = −1 + a −= a   ⇔ b =−1 ⇒ f ′ ( x ) =x3 − x ⇒ f '' ( x ) =3 x − c =0 1 + a += c b+c =   x ) f ( f ′ ( x )) ⇒ g′ ( = x ) f ′ ( f ′ ( x ) ) f '' ( x ) Ta có: g ( = Page 41 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  x3 − x =  x −x= Xét g ′ ( x ) = ⇔ g ′ ( x ) = f ′ ( f ' ( x ) ) f ′′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x3 − x )( x − 1) = ⇔  x − x =−1  3 x − =0   x = ±1  x =  ⇔  x= x1 ( x1 ≈ 1,325 )  x x2 ( x2 ≈ −1,325) =    x = ± Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có g ( x ) nghịch biến ( −∞; −2 ) Câu 52: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x )= x + x − 3, ∀x ∈  Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [ −10; 20] để hàm số g ( x= ) A 16 B 17 Chọn C f ( x + x − m ) + m + đồng biến ( 0; ) ? C 18 Lời giải D 19 t ≤ −3 Ta có f ' ( t ) = t + 2t − ≥ ⇔  ( *) t ≥ Có g ' ( x ) = ( x + 3) f ' ( x + x − m ) Vì x + > 0, ∀x ∈ ( 0; ) nên g ( x ) đồng biến ( 0; ) ⇔ g ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ f ' ( x + x − m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; )  x + x − m ≤ −3, ∀x ∈ ( 0; )  x + x ≤ m − 3, ∀x ∈ ( 0; ) ⇔ ⇔  x + x − m ≥ 1, ∀x ∈ ( 0; )  x + x ≥ m + 1, ∀x ∈ ( 0; )  m − ≥ 10  m ≥ 13 Có h ( x= ⇔ ) x + 3x đồng biến ( 0; ) nên từ ⇒  m + ≤  m ≤ −1 m ∈ [ −10; 20] ⇒ Có 18 giá trị tham số m Vì  m ∈  Vậy có 18 giá trị tham số m cần tìm Page 42 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 53: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ ( x − m − 1) + 2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dương m để hàm số y = g ( x ) đồng biến khoản ( 5;6 ) Tổng phần tử S Đặt g ( x )= f ( x − m ) − bằng: A B 11 Chọn C C 14 Lời giải D 20 Ta có g ' ( x= ) f ' ( x − m ) − ( x − m − 1) Đặt h ( x= ) f ' ( x ) − ( x − 1) Từ đồ thị y = f ' ( x ) đồ thị y= x − hình vẽ ta suy  −1 ≤ x ≤ h ( x) ≥ ⇔  x ≥  −1 ≤ x − m ≤  m − ≤ x ≤ m + Ta có g ' ( x )= h ( x − m ) ≥ ⇔  ⇔ x − m ≥ x ≥ m + Do hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( m − 1; m + 1) ( m + 3; +∞ ) Page 43 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  m − ≤ 5 ≤ m ≤  Do vậy, hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( 5;6 ) ⇔  m + ≥ ⇔  m ≤  m + ≤ Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2;5;6} , tức S = {1; 2;5;6} Tổng phần tử S 14 Câu 54: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Có giá trị ngun tham số m , m ∈ Z , − 2020 < m < 2020 để hàm số g ( x= ) f ( x ) + mx  x + x −  đồng biến khoảng ( −3;0 )   A 2021 B 2020 C 2019 Lời giải D 2022 Chọn B ′ ( x ) xf ′ ( x ) + 4mx ( x + x − 3) Ta có g= Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −3;0 ) suy g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −3;0 )  xf ′ ( x ) + 4mx ( x + x − 3) ≥ 0, ∀x ∈ ( −3; ) ⇔ f ′ ( x ) − 2m ( − x − x + 3) ≤ 0, ∀x ∈ ( −3; ) ⇔ f ′( x ) ≤ 2m ( − x ⇔ m ≥ max ( −3;0 ) − x + 3) , ∀x ∈ ( −3;0 ) ⇔ m ≥ f ′ ( x2 ) ( − x − x + 3) f ′ ( x2 ) ( − x − x + 3) , ∀x ∈ ( −3;0 )  Ta có −3 < x < ⇒ < x < ⇒ f ′ ( x ) ≤ −3 dấu “ = ” x =⇔ x= −1  − x2 − x + = − ( x + 1) + ⇒ < − x − x + ≤ 4, ∀x ∈ ( −3; ) ⇔ 1 ≥ , dấu “ = ” x = −1 −x − 2x + Page 44 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Suy f ′ ( x2 ) ( − x − x + 3) ⇒ max ( −3;0 ) ≤ −3 −3 =, ∀x ∈ ( −3;0 ) , dấu “ = ” x = −1 2.4 f ′ ( x2 ) = − ( x + x + 3) Vậy m ≥ − , mà m ∈  , −2020 < m < 2020 nên có 2020 giá trị tham số m thỏa mãn toán Câu 55: Cho hàm số f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình sau Có tất giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số g ( x) = f ( x − m) + x − 2mx + 2020 đồng biến khoảng (1;2) B A C Lời giải Chọn A D Ta có g ' ( x) = f ' ( x − m) + x − 2m g ' ( x ) ≥ ⇔ f ' ( x − m) ≥ − x−m (*) Đặt t = x − m (*) ⇔ f ' (t ) ≥ − Vẽ đường thẳng y = − t x hệ trục Oxy với đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ sau Từ đồ thị ta có f ' (t ) ≥ − − ≤ t ≤ m − ≤ x ≤ m t ⇔ ⇔ t ≥ x ≥ m + Page 45 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hàm số g (x) đồng biến khoảng (1;2) ⇔ g ' ( x) ≥ ∀x ∈ (1;2 ) m − ≤ < ≤ m ⇔ ⇔ m + ≤ 2 ≤ m ≤ m ≤ −3  Vì m nguyên dương nên m ∈ {2;3} Vậy có hai giá trị nguyên dương m đề hàm số g (x) đồng biến khoảng (1;2) Câu 56: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − ) ; ∀x ∈  Có số nguyên 2− x  m < 2020 để hàm số = − m  đồng biến ( 2; + ∞ ) g ( x) f   1+ x  A 2018 B 2019 C 2020 Lời giải D 2021 Chọn B 2− x  − m  1+ x  Ta có: g ′ ( x ) = − f ′ ( x + 1) Hàm số g ( x ) đồng biến ( 2; + ∞ ) ⇔ g ′ ( x ) ≥ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ ) ⇔− ( x + 1) 2− x  f ′ − m  ≥ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ )  1+ x  2− x  ⇔ f ′ − m  ≤ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ )  1+ x  Ta có: f ′ ( x ) ≤ ⇔  x ≤ −1 1 ≤ x ≤ ( x + 1)( x − 1)( x − ) ≤ ⇔  2 − x  + x − m ≤ −1; ∀x ∈ ( 2; + ∞ ) 2− x   Do đó: f ′  − m  ≤ 0; ∀x ∈ ( 2; + ∞ ) ⇔   1+ x  1 ≤ − x − m ≤ 4; ∀x ∈ ( 2; + ∞ )  + x Hàm số h= ( x) (1) ( 2) 2− x − m ; x ∈ ( 2; + ∞ ) có bảng biến thiên: 1+ x Page 46 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Căn bảng biến thiên suy ra: Điều kiện ( ) khơng có nghiệm m thỏa mãn Điều kiện (1) ⇔ − m ≤ −1 ⇔ m ≥ ,kết hợp điều kiện m < 2020 suy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn Nhận xét: Có thể mở rộng tốn nêu sau: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − ) ; ∀x ∈  Có số nguyên 2− x  m < 2020 để hàm số = g ( x) f  + h ( m )  đồng biến ( 2; + ∞ )  1+ x  Page 47