Chuyên đề ứng dụng đạo hàm tính đơn điệu của hàm số

1 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ §1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định nghĩa tính đơn điệu: Cho hàm số y = f ( x) xác định tập K  Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )  Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi đơn điệu K  Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét đồng biến, nghịch biến hàm f ( x) , ta hay dùng tỉ số : T = f ( x1 ) − f ( x2 ) , ∀x1 ≠ x2 x1 , x2 ∈ K Cụ thể là: x1 − x2 • Nếu T > hàm f ( x) đồng biến K (Tức f ( x1 ) − f ( x2 ) dấu với x1 − x2 ) • Nếu T < hàm f ( x) nghịch biến K (Tức f ( x1 ) − f ( x2 ) trái dấu với x1 − x2 ) Định lí (tính đơn điệu dấu đạo hàm): Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K  Nếu f ′( x) > với x ∈ K hàm f ( x) đồng biến K  Nếu f ′( x) < với x ∈ K hàm f ( x) nghịch biến K  Chú ý: • Định lí mở rộng với f ′( x) ≥ (hay f ′( x) ≤ ) trường hợp f ′( x) = số hữu hạn điểm; kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [ a; b ] có đạo hàm f ′( x) > 0, ∀x ∈ (a; b) hàm số • đồng biến [ a; b ] (Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến [ a; b ] ) Dạng toán Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số  Bài tốn 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên suy tính đơn điệu hàm số  Phương pháp: o Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số Tìm nghiệm o Bước 2: Tính y′ = f ′( x) ; cho y′ =   x1 , x2 (nếu có) o Bước 3: Lập bảng biến thiên o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng tập xác định  Lưu ý: o Khi lập bảng biến thiên, việc xét dấu cho đạo hàm bước định, nên học sinh phải tuyệt đối xác o Ở lớp 10, em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh quen với thuật ngữ “trong trái cùng” Nghĩa là: Khu vực bên hai nghiệm biểu thức trái dấu a , khu vực ngồi hai nghiệm biểu thức dấu a Tuy nhiên đạo hàm khơng có dạng bậc hai, thuật ngữ “trong trái ngồi cùng” khơng thể áp dụng Vậy có quy tắc chung cho việc xét dấu toán?  Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm: o Để xét dấu đạo hàm y′ khoảng (α ; β ) đó, ta chọn giá trị x0 ∈ (α ; β ) thay vào y′ , từ suy dấu y′ (α ; β ) o Với quy tắc này, hàm số có đạo hàm phức tạp ta xét dấu xác sau ta tìm nghiệm đạo hàm Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ví dụ Cho hàm số y = x + x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến ( 5; +∞ ) C Hàm số đồng biến  Lời giải:  Tập xác định: D =  x =  Ta có y′ = x + x − ; y′= ⇔   x = −3  Bảng biến thiên: y′ y −3 −∞ x + +∞ − + 42 +∞ −∞ 10  Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng: ( −∞; −3) , (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến Choïn khoảng ( −3;1)  →C Ví dụ Các khoảng nghịch biến hàm số y = − x + x − A (−1;0) (1; +∞) C (−1;0) (0;1) B (−∞;1) (1; +∞) D (−∞; −1) (0;1) Lời giải:  Tập xác định: D =  x =  Ta có: y′ = −4x + 4x ; y′= ⇔   x = ±1  Bảng biến thiên: x −∞ y′ y −1 + − −3 −∞ + +∞ − −3 −4 −∞  Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng: ( −∞; −1) , ( 0;1) Hàm số nghịch biến Choïn khoảng: ( −1;0 ) , (1; +∞ )  → A Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2x −1 x+2 A Hàm số nghịch biến khoảng xác định B Hàm số đồng biến tập xác định C Hàm số đồng biến khoảng xác định D Hàm số nghịch biến tập xác định Lời giải: Ví dụ Chọn mệnh đề hàm số y = D  \ {−2}  Tập xác định:=  Ta= có: y′ ( x + 2) > 0, ∀x ≠ −2 Nên hàm số đồng biến khoảng xác định  Bảng biến thiên: −∞ x y′ −2 +∞ + + +∞ y −∞ Chọn  →C Ví dụ Cho hàm số= y x − x Hàm số đồng biến khoảng nào?  3 A  0;   2 3  C  ;3  2  Lời giải: B ( 0;3 )   D  −∞;     Tập xác định: D = [ 0;3] x − x )′ (=  = Ta có: y′ 3x − x − 2x 3x − x ; y′ = ⇔ x = (nhận)  Bảng biến thiên: x y′ y + 3  3  Kết luận: Hàm số đồng biến  0;  , nghịch biến  2 − 3  Choïn → A  ;3   2  Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ví dụ Cho hàm số y = x + + 2 − x Khẳng định sau khẳng đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) nghịch biến khoảng (−2; 2) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) nghịch biến khoảng (1; 2) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) đồng biến khoảng (−2; 2) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1) đồng biến khoảng (1; 2) Lời giải:  Tập xác định: D = ( −∞; 2] − x −1 = 1−  Đạo hàm: y′ = ; y′ =0 ⇔ − x =1 ⇔ x =1 ⇒ y =6 2− x 2− x  Bảng biến thiên: x −∞ +∞ y′ − + y −∞  Vậy ta hàm số cho đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; ) Choïn  → B x + sin x, với x ∈ [ 0; π ] Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến [ 0; π ] B Hàm số nghịch biến [ 0; π ] Ví dụ Cho hàm số y=  7π  C Hàm số nghịch biến 0;   12   7π 11π  D Hàm số nghịch biến  ;  12 12  Lời giải:  Tập xác định: D = ( −∞; 2] 1 + 2sin x cos x = + sin x ; y′ = ⇔ sin x = −  Đạo hàm: y′ = 2 π π   − + k 2π − + kπ x= 2 x =  12 (k ∈ ) Do ⇔ ⇔ 7 π π 2 x = x = + k 2π + kπ   12 11π  x=  x ∈ [ 0; π ]  12 ⇒  k ∈   x = 7π  12 Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  Bảng biến thiên: x 7π 12 y′ + π 11π 12 0 − + y  7π 11π  Choïn  Ta thấy mệnh đề là: Hàm số cho nghịch biến  ;  → D  12 12   Ví dụ Hàm số y = x − x − đồng biến khoảng ? 5  B  −1;  2  3  D  −1;  4  Lời giải: 3 5 A ( −∞; −1)  ;  4 2 5  C  −∞;  2   Tập xác định: D = 5   ; +∞  2  ( −∞; 2]  Áp dụng công thức (= u )′ ( ) ′ = u )′ ( u= 2 u2 x − x − ) ( x − 3) ( 2u.u ′ u.u ′ , ta có: y′ = = u 2u 2 x − 3x −    −1 ≤ x ≤   − < ≤ x ( x − x − ) ( x − 3) ≥    Xét y′ ≥ ⇔  ⇔  x ≥ ⇔  x >   x − x − ≠    x ≠ −1 ∧ x ≠  3 5   Choïn  Ta thấy hàm số đồng biến khoảng:  −1;   ; +∞   → D 4 2   Bài toán 2: Xét dấu đạo hàm cho sẵn để kết luận tính đơn điệu hàm số MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý: Cho hàm số f  x  , g  x  có đạo hàm tập D Khi đó:  k f ( x ) ′ = k f ′ ( x ) với k số x ) g ( x ) ′ f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x )  f (= ′  f ( x ) ± g ( x )  =f ′ ( x ) ± g ′ ( x )  f ( x ) ′ f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x )   =  g ( x )   g ( x)  Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Thay x u y = f ( x )   y = f (u )  f ( u ) ′ = u ′ f ′ ( u ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm  f ′= ( x ) x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng: B ( −∞; +∞ ) A (1; +∞ ) C ( 0;1) D ( −∞;1) Lời giải:  Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu: x =  Ta có f ' ( x ) = ⇔ x ( x − 1) = ⇔  x =  Bảng biến thiên: −∞ x y′ − − +∞ + +∞ y +∞ Choïn  Ta thấy hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ )  → A  Cách 2: Giải bất phương trình (cách thuận lợi trắc nghiệm) x ) x ( x − 1) ≥ ⇔ x − ≥ (do x ≥ 0, ∀x ∈  ) ⇔ x ≥  Ta có: f ' ( =  Vậy hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + )( x − 1) 2018 ( x − 2) 2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại điểm x = đạt cực tiểu điểm x = ±2 B Hàm số đồng biến khoảng (1; ) ( 2; + ∞ ) C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số nghịch biến khoảng ( −2; ) Lời giải:  Ta có f ′ ( x ) = ( x + )( x − 1) =( x − ) ( x − 1) 2018 ( x − 2) 2018 2018 ( x − 2) 2019 = ( x + )( x − 1) 2018 ( x − 2) 2018 ( x − 2) Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  Xét f ′ ( x ) ≥ ⇔ ( x − ) ( x − 1) 2018 ( x − 2) 2018 ( x − 1)2018 ≥ , ∀x ∈  ) ≥ ⇔ x − ≥ (do  2018 ( x − ) ≥  x ≤ −2 ⇔ Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) , ( 2; +∞ ) ; hàm số nghịch biến x ≥ Choïn khoảng ( −2; )  → D Ví dụ 10 Cho y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) =− x + x − 6, ∀x ∈  Hàm số y = −5 f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A ( −∞; ) ( 3; +∞ ) B ( 3; +∞ ) C ( 2; +∞ ) D ( 2;3) Lời giải:  Đặt g ( x ) =−5 f ( x ) , ∀x ∈  Ta có g ′ ( x ) = −5 f ′ ( x ) mà f ' ( x ) =− x + x − 6, ∀x ∈  nên −5 ( − x + x − ) = g′( x) = x − 25 x + 30 ;  Xét g ′ ( x ) ≤ ⇔ x − 25 x + 30 ≤ ⇔ ≤ x ≤ Do hàm số g ( x ) nghịch biến ( 2;3) Choïn  → D Ví dụ 11 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( − x ) ( x − 1) + x, ∀x ∈  Hỏi hàm số g ( x= ) f ( x ) − x − đồng biến khoảng khoảng ? B ( −∞ ;1) A ( 3; + ∞ ) C (1; ) D ( −1;0 ) Lời giải:  Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x =( − x ) ( x − 1) + x − x =( − x ) ( x − 1) ; x = f ′ ( x ) = ⇔ ( − x ) ( x − 1) = ⇔   x = ±1  Bảng biến thiên: x y′ −∞ −1 + − + +∞ − y Choïn  Ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) , (1;3)  →C Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ví dụ 12 Cho hàm số y = f ( x ) xác định  có đạo hàm y = f ' ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) =− (1 x )( x + ) g ( x ) + 2021 g ( x ) > 0, ∀x ∈  Hàm số y = f (1 − x ) + 2021x + 2020 nghịch biến khoảng nào? A ( 0;3) B ( −∞;3) C (1; +∞ ) D ( 3; +∞ ) Lời giải: − f ′ (1 − x ) + 2021  Đặt h ( x ) = f (1 − x ) + 2021x + 2020 ⇒ h′ ( x ) =− (1 x )′ f ′ (1 − x ) + 2021 =  Theo đề f ′ ( x ) = (1 − x )( x + ) g ( x ) + 2021 ⇒ f ′ (1 − x ) = x ( − x ) g (1 − x ) + 2021 Thay x – x  Do h′ ( x ) = −  x ( − x ) g (1 − x ) + 2021 + 2021 = x ( x − 3) g (1 − x ) Mặt khác g ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇒ g (1 − x ) > 0, ∀x ∈  Chọn  Do h′ ( x ) ≤ ⇔ x ( x − 3) ≤ ⇔ ≤ x ≤  → A x ( x + 1) g ( x ) + Ví dụ 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  f ′ ( x ) = g ( x ) > 0, ∀x ∈  Hàm số y= f ( − x ) + x đồng biến khoảng khoảng sau?  5 A  2;   2 B ( −∞; 1)  3 C 1;   2 Lời giải: D ( 0; 1) − f ′(2 − x) +1  Đặt h ( x )= f ( − x ) + x , suy h′ ( x ) = ( − x )′ f ′ ( − x ) + x′ = x ( x + 1) g ( x ) +  Ta có f ′ ( x ) = ⇒ f ′ ( − x ) = ( − x )  ( − x ) + 1 g ( − x ) + = ( − x )( − x ) g ( − x ) + Do đó: h′ ( x ) = − ( − x )( − x ) g ( − x ) + 1 + = ( x − )( − x ) g ( − x )  Theo đề, g ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇒ g ( − x ) > 0, ∀x ∈  , đó: h′ ( x ) ≥ ⇔ ( x − )( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤  5 Choïn  Vậy hàm số y= f ( − x ) + x đồng biến  2;   → A  2 Bài tốn 3: Dựa vào bảng biến thiên có sẵn để kết luận tính đơn điệu  Phương pháp chung: o Đặt g ( x ) hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g ′ ( x ) Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 10 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ o Kết hợp nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) biểu thức để có bảng xét dấu cho g ′ ( x ) o Dựa vào bảng xét dấu g ′ ( x ) để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số  Nhắc lại quy tắc dấu tích, thương, tổng (hiệu) biểu thức: f ( x)     g ( x)     f ( x ) g ( x )     f ( x) : g ( x)     f ( x) + g ( x)   Chưa biết Chưa biết Ví dụ 14 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình bên Hàm số y = −2018 f ( x ) đồng biến khoảng đây? x  y     y  A ( −∞;0 ) C ( 0; +∞ ) B (1; +∞ ) D ( −∞;1) Lời giải:  Đặt g ( x ) = −2018 f ( x ) , ta có: g ′ ( x ) = −2018 f ′ ( x )  Xét g ′ ( x ) =−2018 f ′ ( x ) ≥ ⇔ f ′ ( x ) ≤ ⇔ x ≥ Choïn  Vậy hàm số y = −2018 f ( x ) đồng biến khoảng (1; +∞ )  → B Ví dụ 15 Cho hàm số f ( x ) Hàm số y = f ′( x ) có bảng xét dấu sau: x −∞ f ′( x) − ( ) −2 + + Hàm số y = f x + x nghịch biến khoảng đây? A ( 0;1) B ( −2; −1) C ( −2;1) +∞ − D ( −4; −3) Lời giải:  Đặt g ( x ) = f ( x + x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( x + x )′ f ′ ( x + x ) = ( x + ) f ′ ( x + x ) 2 x + ≥ 2 x + ≤  Xét g ( x ) ≤ ⇔ ( x + ) f ′ ( x + x ) ≤ ⇔  (1) (2) ∨  ′ ′  f ( x + x ) ≤  f ( x + x ) ≥ Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 10 38 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ví dụ 50 Cho hàm y = f ( x ) số có f ′ ( x ) < , ∀x ∈  Tìm tất giá trị thực x để 1 f   > f ( 2) x A  0;   2 B ( −∞; ) ∪  ; +∞  2  D ( −∞; ) ∪  0;   2 C  −∞;  2  Lời giải:  Ta có: f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈  nên hàm số y = f ( x ) nghịch biến  1 1− 2x 1  Chọn  Do đó: f   > f ( ) ⇔ < ⇔ → D < ⇔ x ∈ ( −∞; ) ∪  ; +∞   x x x 2   π Ví dụ 51 Cho x ∈  0;  Chọn mệnh đề mệnh đề sau:  2 A tan x > x B tan x > x + C tan x ≤ x D tan x < x + Lời giải:  π  π  Xét hàm số f (= x) tan x − x, ∀x ∈  0;  Ta cần chứng minh f ( x) > 0, ∀x ∈  0;   2  2  π  Ta có: f ′( x) = − = + tan x − = tan x ⇒ f ′( x) > 0, ∀x ∈  0;  , hàm số cos x  2  π f ( x) đồng biến khoảng    2  π  π Vậy tan x − x > 0, ∀x ∈  0;   Hơn nữa, f (0) = Vậy ∀x ∈  0;  f ( x) > f (0) =  2  2 Chọn  → A Ví dụ 52 Tìm tập nghiệm bất phương trình 3 − x + A ∅  3 B 1;   2  3 C 1;   2 − x ≤ là: 2x −1  3 D  ;   2 Lời giải:  Xét hàm số f ( x ) = 3 − x +  3 − x với x ∈  ;  2x −1  2 Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 38 39 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  Ta có: f ′ ( x ) =−  3 − − < 0, ∀x ∈ x ∈  ;  Do hàm f ( x ) − x ( x − 1) x −  2  3 nghịch biến x ∈  ;  Ta lại có f (1) =  2  f ( x ) ≤ f (1) x ≥    Do đó: 3 − x + ⇔ 1 − 2x ≤ ⇔  ⇔1≤ x ≤ 2x −1  < x ≤  2  Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =  ;  3  Choïn →C −2  3a − 2b = = , b suy P = Ví dụ 54 Khi giải phương trình: x3  x  ( x  1) x   , ta tìm nghiệm có dạng a+ b , b−a với a, b số nguyên Hãy tính a + b 13 A a + b = B a + b = 41 C a + b = 26 D a + b =  Nhận xét: Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 39 40 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ t  Sau chuyển vế: x + x = ( x + 1) x + Ta thử đặt = 2x +1 ⇒ t −1 = x  t −1   t2 +1  t3 + t + 1 = = t  t  Vế phải: VP=        Với mối liên hệ x + x = t3 + t ⇔ x + x = t + t ⇔ (2 x)3 + (2 x) = t + t Vậy hàm đặc ) 3t + > 0, ∀t ∈  nên việc chọn trưng xuất hiện: f (t )= t + t Thêm vào f ′(t = hàm đặc trưng phù hợp Lời giải:  Điều kiện: x ≥ −  Phương trình x3 + x = ( x + 1) x + ⇔ x + x = (2 x + 2) x + ⇔ (2 x)3 + (2 x) =   ( 2x +1 ) + 1 x + ⇔ (2 x)3 + (2 x) =  ( ) x + + x + (*)  Chọn f (t )= t + t với t ≥ Ta có f ′(t )= 3t + > 0, ∀t ≥ Vậy hàm số f (t ) đồng biến [ 0; +∞ )    f (2 x)  f  Phương trình (*) viết:    2x    f ( x) đồng biến 0;   2 x ≥ 1+ ⇔ ⇔x= 2 x + =4 x  Với định dạng = x  2x  2x  Cần nhớ: Phương trình A = B B ≥ giải: A= B ⇔  A = B a = 1+ a + b 26 Do đó: a + b = = ⇒ b = b−a  Chọn  → D Ví dụ 55 Cho phương trình: x − x + x3 − x + = x + + x + Biết phương trình có tập nghiệm S Tính tổng phần tử S 1 A B C D Lời giải:  Phương trình ⇔ x3 − x + x3 − x + = x + + x + ⇔ (2 x3 − x + 1) + x3 − x + = ( x + 2) + x + (*) Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 40 41 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ − 23 > 0, ∀t ≥  Xét hàm đặc trưng: f (t ) = t + t , ∀t ≥ Ta có f ′(t ) = + t = + 3 t2  f (2 x3  3x  1)  f ( x2  2)  x3  x   x2   Vậy phương trình (*) viết:   f (t) đồng biến 2;    x = − Vậy tập nghiệm phương trình S = ⇔ 1±   x =  1 ±  − ;    1+ 1− Choïn  Tổng nghiệm phương trình: − + + =  → D 2 2 Ví dụ 56 Cho phương trình: x x + x + = 12 12( − x + − x ) Hỏi phương trình cho có nghiệm thực? A B C D Lời giải:  x ≥ 0, x ≥ −12 ⇔ 0≤ x≤  Điều kiện:   x ≤ 5, x ≤  Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình (1)  Xét vế trái: Hàm f ( x) = x x + x + 12 ; f ′( x)= x + x Dó hàm f ( x) đồng biến [ 0; 4] (2)  Xét vế phải: Hàm g = ( x) 12 ( x + > 0, ∀x ∈ [ 0; 4] x + 12 ) 5− x + 4− x −1    −1  + + g ′( x) =12   =−6   < 0, ∀x ∈ [ 0; 4] Do hàm số 4− x   5− x 4− x   5− x g ( x) nghịch biến [ 0; 4] (3) Choïn  Từ (1), (2), (3) suy tập nghiệm phương trình S = {4}  → D BÀI TẬP RÈN LUYỆN y x3 − 3x Mệnh đề đúng? Câu Cho hàm số = A Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) nghịch biến khoảng (1; +∞ ) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 41 42 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) đồng biến khoảng (1; +∞ ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) Câu Trong hàm số sau, hàm số đồng biến  ? A y = 2x −1 x+3 y x4 − 2x2 B = C = y 3x + D y = x + x − Câu Hàm số sau nghịch biến tập số thực  B = y A y = sin x 1− x C y = x D y = − x3 y x + đồng biến khoảng ? Câu Hàm số= 1  B  −∞; −  2  A ( 0; +∞ )   C  − ; +∞    D ( −∞;0 ) − x + 2x − Câu Các khoảng nghịch biến hàm số y = A (−1;0) (1; +∞) B (−∞;1) (1; +∞) C (−1;0) (0;1) D (−∞; −1) (0;1) Câu Cho hàm số y = x −1 Mệnh đề sau mệnh đề đúng? x+2 A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến  \{ − 2} D Hàm số đồng biến khoảng miền xác định Câu Cho hàm số y = x +1 Khẳng định sau đúng? x −1 A Hàm số nghịch biến  B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến  \ {1} D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng (1; +∞ ) Câu Cho hàm số y = x − x + x + Khẳng định sau đúng? Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 42 43 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1  A Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞ ) B Hàm số đồng biến khoảng  ;1 3  1  C Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 D Hàm số nghịch biến khoảng 3  Câu Cho hàm số= y  3 A  0;   2 1   −∞;  3  x − x Hàm số đồng biến khoảng nào? B ( 0;3 ) 3  C  ;3  2    D  −∞;    Câu 10 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm  f ′= ( x ) x ( x − 1) Hàm số cho đồng biến khoảng A (1; +∞ ) B ( −∞; +∞ ) D ( −∞;1) C ( 0;1) Câu 11 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( − x ) Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A ( −1;1) B (1; ) C ( −∞; −1) D ( 2; +∞ ) ∀x ∈ ( ) Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) xác định khoảng ( 0; 3) có tính chất f ′ ( x ) ≥ 0, 0;3 f ′ ( x ) = 0, 1; ∀x ∈ ( ) Tìm khẳng định khẳng định sau: A Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số f ( x ) có giá trị khơng đổi khoảng (1; ) C Hàm số f ( x )  đồng biến khoảng (1;3) D Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( 0;3) Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + )( x − 1) 2018 ( x − 2) 2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại điểm x = đạt cực tiểu điểm x = ±2 B Hàm số đồng biến khoảng (1; ) ( 2; + ∞ ) C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số nghịch biến khoảng ( −2; ) Câu 14 Hàm số y = x đồng biến khoảng sau đây? x +1 Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 43 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A ( −∞; −1) Câu 15 Hàm số y = B ( −1;1) C ( −∞; +∞ ) D ( 0; +∞ ) x − mx + (2m + 15) x + đồng biến  A −3 ≤ m ≤ Câu 16 Cho hàm số= y m ≥ B   m ≤ −3 C −3 < m < m > D   m < −3 x − Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) C Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; +∞ ) Câu 17 Hàm số= y x − x nghịch biến khoảng 1  A  −∞;  2  B ( 0;1) C ( −∞;0 ) D (1; +∞ ) Câu 18 Cho hàm số f ( x)= (1 − x ) 2019 Khẳng định sau ? A Hàm số đồng biến R B Hàm số đồng biến (−∞;0) C Hàm số nghịch biến (−∞;0) D Hàm số nghịch biến R Câu 19 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = xác định? A m ≤ B m ≤ −3 x+2−m nghịch biến khoảng mà x +1 C m < −3 Câu 20 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = xác định nó? A B Vô số B m ∈ ( −∞; −1) 9x + m đồng biến khoảng mx + C Câu 21 Tìm giá trị tham số m để hàm số y = A m ∈ [ −1; +∞ ) D m < D x−m đồng biến khoảng xác định x +1 C m ∈ ( −1; +∞ ) D m ∈ ( −∞; −1] Câu 22 Biết hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ ) đồng biến ( 0; +∞ ) , mệnh đề đúng? A a < 0; b ≤ B ab < C a > 0; b ≥ D ab ≥ Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ sau Hồng Xn Nhàn thayxuannhan@gmail.com 44 45 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −1;3) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;1) D Hàm số nghịch biến khoảng (1; ) Câu 24 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x f ′( x) −∞ − − 0 + − +∞ + +∞ f ( x) +∞ −2 Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng đây? −2 A ( −2; +∞ ) D ( −2; ) B ( −∞; −2 ) C ( −1;0 ) Câu 25 Bảng biến thiên hàm số nào? x y y       A y = x +1 x−2 B y = x+3 2+ x C y = 2x +1 x−2 D y = x −1 2x + Câu 26 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình bên.Hàm số y = −2018 f ( x ) đồng biến khoảng đây? x y      y A ( −∞;0 )   B (1; +∞ ) C ( 0; +∞ ) Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com D ( −∞;1) 45 46 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 27 Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f ( x) đồng biến khoảng A (−∞;0) B (0; 2) C (−2;0) D (2; +∞) (1 − m) x + nghịch biến  Câu 28 Tìm m để hàm số y = A m ≥ B m > C m < D m ≠ − x3 + mx nghịch biến  Câu 29 Tìm m để hàm số y = A m ≤ B m > C m < D m ≥ − x3 − mx + ( 4m + ) x + (với m tham số) Có giá trị nguyên Câu 30 Cho hàm số y = m để hàm số nghịch biến  ? A B C D Câu 31 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = A −1 ≤ m ≤ B −1 < m < C ≤ m ≤ Câu 32 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = A −1 < m < B −1 ≤ m ≤ Câu 33 Có số nguyên m để hàm số y= A B x − 2mx + x − đồng biến  3 x − 2mx + x − đồng biến  C ≤ m ≤ (m D < m < D < m < ) − x3 + ( m − 1) x − x + nghịch biến  ? C D x − mx + 2mx − 3m + nghịch biến đoạn có độ dài Tính tổng tất phần tử S Câu 34 Gọi S tập hợp giá trị tham số m để hàm số y = A B −1 C −8 D x − ( m − ) x + ( 3m − ) x + 2019 nghịch biến đoạn có độ dài 11 m nhận giá trị m1 , m2 Tính tổng T= m1 + m2 Câu 35 Biết hàm số y = Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 46 47 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A T = 13 B T = C T = D T = Câu 36 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = (1; +∞ ) ? A B C D Câu 37 Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = A B Câu 38 Tìm m để hàm số y = A m ∈ [ − 1; +∞) mx + nghịch biến khoảng x+m x+3 nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) x + 4m D C vô số x −1 đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) x+m B m ∈ ( 2; +∞ ) C m ∈ ( −∞; −2 ) D m ∈ ( −1; +∞ ) mx  , m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham 2x  m số m để hàm số nghịch biến khoảng 0;1 Tìm số phần tử S Câu 39 Cho hàm số y  A B C D Câu 40 Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = ( −∞; −4 ) (11; +∞ ) ? A 13 B 12 C Vô số Câu 41 Tập hợp giá trị thực m để hàm số y = A [ −2; 2] B ( −2; ) 2x + m +1 nghịch biến khoảng x + m −1 D 14 mx − (1) đồng biến khoảng ( 3; +∞ ) x − 2m 3  C  −2;  2  Câu 42 Tìm tât giá trị tham số m để hàm số y = 3  D  −2;  2  mx + đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) x+m A −2 ≤ m < −1 m > B m < −1 m > C −1 < m < D m < −1 m > Câu 43 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = (10; +∞ ) ? x+6 nghịch biến khoảng x + 5m Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 47 48 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A B Vô số C D số y cos x + mx đồng biến  Câu 44 Tìm tất giá trị tham số m để hàm= A m ≥ −2 B m ≥ C −2 ≤ m ≤ D m ≤ −2 Câu 45 Tìm tất giá trị m ∈  để hàm số y = sin x + cosx + mx đồng biến  A − ≤ m ≤ B − < m < Câu 46 Tìm m để hàm số y = m > A   m < −2 C m ≥ D m ≥ π cos x − nghịch biến khoảng (0; ) cos x − m B m > m ≤ C  1 ≤ m < D −1 < m < Câu 47 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y =  π  0;   3 cos x + nghịch biến khoảng cos x − m A m ∈ ( −3;1] ∪ [ 2; +∞ ) B m ∈ ( −3; +∞ ) C m ∈ ( −∞; −3) D m ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 2; +∞ ) Câu 48 Tìm tất giá trị m để hàm số y = tan x − đồng biến tan x − m  π  0;   4 A m < B m ≤ ≤ m < C ≤ m < D m ≤ Câu 49 Có giá trị nguyên tham số m ∈ ( −10;10 ) để hàm số y = π  khoảng  ; π  2  A 11 B C 10 Câu 50 Tìm giá trị tham số m để hàm số y = A m ≥ −1 B m > −1 Câu 51 Giá trị m để hàm số y = − 2sin x đồng biến 2sin x + m D 18 sin x −  −π π  đồng biến  ;  sin x + m  12  C m ≥ cot x − nghịch biến cot x − m D m > π π   ;  4 2 Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 48 49 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ m ≤ A  1 ≤ m < B ≤ m < D m > cos x −  π đồng biến khoảng  0;  cos x − m  2 Câu 52 Tìm m để hàm số y = m ≥ A   m ≤ −2 C m ≤ m ≤ C  1 ≤ m < B m > Câu 53 Tìm m để hàm số y = D −1 < m < cot x + π π  đồng biến khoảng  ;  ? cot x + m 4 2 A m ∈ ( −∞; −2 ) B m ∈ ( −∞; −1] ∪ 0;   2 C m ∈ ( −2; +∞ ) D m ∈  ; +∞  2  Câu 54 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y =sin x − 3cos x − m sin x − đồng biến  3π  π ;  A m ≥ Câu 55 Tìm tất B m ≥ giá C m ≤ để hàm  π = y sin 2x + cos 2x − m + 3m sin 2x − nghịch biến khoảng  0;   4 ( A m ≤ trị thực D tham số m số ) −3 − −3 + m ≥ 2 C −3 ≤ m ≤ D m ≤ B m ≤ −3 m ≥ −3 − −3 + ≤m ≤ 2 Câu 56 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = − x3 + ( m − 1) x + ( m + 3) x − đồng biến khoảng ( 0;3) A m ≥ B m ≥ C m ≥ D m ≥ 12 Câu 57 Tìm giá trị thực tham số m để hàm sô f ( x ) =x3 + x − ( m − 3m + ) x + đồng biến khoảng ( 0;2 ) Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 49 50 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ B < m < A m < 1, m > D ≤ m ≤ C m ≤ 1, m ≥ Câu 58 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − x + mx + đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) A m ≤ 12 B m ≥ C m ≤ Câu 59 Tập hợp S tất giá trị tham số m để hàm số y = nghịch biến khoảng ( −1;1) là: B S = [ 0;1] A S = ∅ C S = D m ≥ 12 x − ( m + 1) x + ( m + 2m ) x − 3 [ −1;0] D S = {−1} Câu 60 Cho hàm số y = x3 − 3(3m + 1) x + 6(2m + m) x − 12m + 3m + Tính tổng tất giá trị nguyên dương m để hàm số nghịch biến khoảng (1;3) A B C D Câu 61 Cho y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) =− x + x − 6, ∀x ∈  Hàm số y = −5 f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A ( −∞; ) ( 3; +∞ ) B ( 3; +∞ ) Câu 62 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x) = C ( 2; +∞ ) ( − x ) ( x − 1) + x, ∀x ∈  D ( 2;3) Hỏi hàm số g ( x= ) f ( x ) − x − đồng biến khoảng khoảng ? A ( 3; + ∞ ) B ( −∞ ;1) C (1; ) D ( −1;0 ) x ( x + 1) g ( x ) + Câu 63 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  f ′ ( x ) = g ( x ) > ∀x ∈  Hàm số y= f ( − x ) + x đồng biến khoảng khoảng sau?  5 A  2;   2 Câu 64 Cho hàm số B ( −∞; 1)  3 C 1;   2 y = f ( x ) xác định  D ( 0; 1) có đạo hàm y = f ' ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) =− (1 x )( x + ) g ( x ) + 2019 g ( x ) > 0, ∀x ∈  Hàm số y = f (1 − x ) + 2019 x + 2018 nghịch biến khoảng nào? A ( 0;3) B ( −∞;3) C (1; +∞ ) D ( 3; +∞ ) Câu 65 Cho hàm số f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng xét dấu sau Hồng Xn Nhàn thayxuannhan@gmail.com 50 51 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hàm số = y f ( x + x ) nghịch biến khoảng đây? A ( 0;1) B ( −2; − 1) C ( −2;1) D ( −4; − 3) Câu 66 Cho hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ x f ′( x) −∞ + − +∞ + Hàm số= y f ( − x ) đồng biến khoảng A ( −∞;0 ) B ( 0;1) D ( 0; +∞ ) C (1; ) Câu 67 Cho hàm số y  f  x  Biết đồ thị hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y  f 3  x   2018 đồng biến khoảng đây? x f ′( x) −6 −∞ − + −1 − B 2; 3 A 1; 0 +∞ + C 2; 1 D 0; 1 Câu 68 Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình bên Hàm số g = ( x) f ( − x ) đồng biến khoảng khoảng sau? x −∞ f ′( x) − −1 + − B ( 2;3) A ( 4; ) +∞ + C ( −∞; −1) D ( −1; ) Câu 69 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên m ∈ [ −5;5] để hàm số g = ( x ) f ( x + m ) nghịch biến khoảng (1; ) Hỏi S có phần tử? x f ′( x) A −∞ − −1 B + − +∞ + C D Câu 70 Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 51 52 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x −∞ f ′( x) − + + − + +∞ Hàm số = y f ( x + ) − x + x đồng biến khoảng đây? A (1; +∞ ) 1D 11B 21C 31A 41C 51A 61A 2C 12B 22C 32B 42A 52C 62C C ( −1;0 ) B ( −∞; −1) D ( 0; ) ĐÁP ÁN BÀI TẬP RÈN LUYỆN 3D 13D 23D 33B 43C 53B 63A 4A 14B 24C 34D 44B 54B 64A 5A 15A 25A 35C 45C 55B 65B 6D 16C 26B 36D 46C 56D 66B 7B 17C 27B 37A 47A 57D 67A 8C 18B 28B 38D 48B 58D 68D Hoàng Xuân Nhàn thayxuannhan@gmail.com 9A 19D 29A 39C 49C 59D 69D 10A 20A 30D 40A 50C 60C 70C 52