Chuyên đề một số điểm đặc biệt của hàm số

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam §BÀI Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶT BIỆT A LÝ THUYẾT I Tìm điểm cố định họ đường cong ① Bài toán: Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y  f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m khơng q Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi? ② Phương pháp o Bước 1: Đưa phương trình y  f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am  B  Am2  Bm  C  o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A  A    B   B  C   o Bước 3: Kết luận  Nếu hệ vô nghiệm họ đường cong (Cm ) khơng có điểm cố định  Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) ③ Ví dụ minh họa Ví dụ 1.(THPT Chun Thái Bình 2020) Họ parabol  Pm  : y  mx   m  3 x  m   m   tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A  0; 2  B  0;  C 1;8  D 1; 8 Lời giải Ví dụ 2.(THPT Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Biết đồ thị hàm số y   m   x3   m   x  12mx  7m  18 (với m tham số thực) có ba điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng qua ba điểm cố định A y  48 x  10 B y  3x  C y  x  D y  x  Lời giải 503 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Ví dụ 3.Đồ thị hàm số y  x  x  mx  m ( m tham số) ln qua điểm M cố định có tọa độ A M  1; 4  B M 1; 4  C M  1;  D M 1; 2  Lời giải ④ Câu hỏi trắc nghiệm Câu Đồ thị hàm số y  (m  1) x   m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M (0;3) B M (1; 2) C M (1; 2) D M (0;1) Lời giải Câu Đồ thị hàm số y  x  2mx  m  ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ 1 3 1 5 A M  0;1 B M  ;  C M  ;  D M (1;0) 2 2 2 4 Lời giải Câu Đồ thị hàm số y  x  x  mx  m ( m tham số) ln qua điểm M cố định có tọa độ A M  1;  B M  1; 4  C M 1; 2  D M 1; 4  Lời giải 504 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Câu Biết đồ thị  Cm  hàm số y  x  2mx  qua điểm M cố định m thay đổi, tọa độ điểm M A M  1;1 B M 1;  C M  0; 2  D M  0;3 Lời giải Câu Biết đồ thị  Cm  hàm số y  (m  1) x  m  m   qua điểm M cố định xm m thay đổi Tọa độ điểm M 1  A M  1;   2  B M  0;1 C M  1;1 D M  0; 1 Lời giải Câu Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y  x  3mx  x  3m qua điểm cố định ? A B C D Lời giải Câu Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y  (1  2m) x  3mx  m  qua điểm cố định ? A B C D Lời giải 505 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Câu Biết đồ thị (Cm ) hàm số y  x  mx  m  2016 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I (1;0) B I (1; 2016) C I (0;1) D I (0; 2017) Lời giải x  (1  m) x   m (m  2) luôn qua điểm x  m cố định m thay đổi, xM  yM Câu Biết đồ thị (Cm ) hàm số y  M  xM ; yM  A 1 B 3 C.1 D 2 Lời giải Câu 10 Cho hàm số y   x  mx  x  4m có đồ thị (Cm ) A điểm cố định có hồnh độ âm (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm ) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m  3 B m  6 C m  D m   Lời giải 506 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Câu 11 Cho hàm số y   m   x3   m   x  m  có đồ thị  Cm  Khẳng định sau khẳng định đúng? A  Cm  không qua điểm cố định C  Cm  có đúng ba điểm cố định B  Cm  có đúng hai điểm cố định D  Cm  có đúng điểm cố định Lời giải Câu 12 Cho hàm số y   x  2mx  2m  có đồ thị (Cm ) Gọi A điểm cố định có hồnh độ dương (Cm ) Khi tiếp tuyến A (Cm ) song song với đường thẳng d : y  16 x giá trị m 63 A m  B m  C m  D m  64 Lời giải II Tìm điểm có tọa độ ngun: ① Bài tốn: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f ( x) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Nhận xét: điểm có tọa độ nguyên điểm cho hồnh độ tung độ điểm số nguyên ② Phương pháp o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải tốn ③ Ví dụ minh họa 2x 1 có điểm có tọa độ nguyên? 3x  A B C D Lời giải Ví dụ Trên đồ thị hàm số y  507 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Ví dụ Số điểm có tọa độ số nguyên đồ thị hàm số: y  A B C 2x  là: x 1 D Lời giải ④ Câu hỏi trắc nghiệm có điểm có tọa độ nguyên ? x2 A B C D Lời giải Câu 13 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ số nguyên dương 2x 1 A B C D Lời giải Câu 14 Trên đồ thị (C ) hàm số y  có điểm có tọa độ nguyên ? 3x  A B C D Lời giải Câu 15 Trên đồ thị (C ) hàm số y  508 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt số điểm có tọa độ nguyên 4x 1 A B C D Lời giải Câu 16 Trên đồ thị (C ) hàm số y  x  10 có điểm có tọa độ nguyên ? x 1 A B C 10 D Lời giải Câu 17 Trên đồ thị (C ) hàm số y  x2 có điểm có tọa độ nguyên ? 2x 1 A B C D Lời giải Câu 18 Trên đồ thị (C ) hàm số y  5x  có điểm có tọa độ nguyên ? 3x  A B C D Lời giải Câu 19 Trên đồ thị (C ) hàm số y  509 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt x  11 có điểm có tọa độ nguyên ? 4x  A B C D Lời giải Câu 20 Trên đồ thị (C ) hàm số y  Câu 21 Trong tất điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C ) hàm số y  hoành độ lớn tung độ A B C 3x  , số điểm có x 1 D Lời giải Câu 22 Có điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y  A B C có tọa độ nguyên ? x  2x  D Lời giải x2  5x  có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có hồnh độ 2x  tung độ số tự nhiên A B C D Lời giải Câu 23 Cho hàm số y  510 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt III Tìm điểm có tính chất đối xứng: Bài tốn: Cho đường cong (C ) có phương trình y  f ( x) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng ① Loại 1: Cho đồ thị  C  : y  Ax  Bx  Cx  D đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI ) ② Phương pháp     o Gọi M a; Aa  Ba  Ca  D , N b; Ab3  Bb  Cb  D hai điểm  C  đối xứng qua điểm I a  b  xI o Ta có  3 2  A(a  b )  B  a  b   C  a  b   D  yI Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N ③ Ví dụ minh họa Ví dụ Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y  x  x  m  có hai điểm phân biệt đối xứng qua điểm I  0;1 A m  B  m  C m  D m  Lời giải Chọn A Giả sử M  x0 ; y0  điểm thuộc đồ thị hàm số cho, ta y0  x03  x0  m  1 Khi N  xN ; yN  điểm đối xứng với M qua I  x0  xN    xN   x0   N   x0 ;  y0   y  y y   y N 0   1  Để N thuộc đồ thị hàm số cho ta có phương trình  y0   x03  x0  m  (2) Lấy 1 cộng   vế theo vế biến đổi ta phương trình x0  m  , phương trình có nghiệm m  Hơn để M  N  x0   x0  x0  , ta chọn m  Đặc biệt : Trên đồ thị  C  tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O  0;0  a  b  ta có  3 2  A(a  b )  B  a  b   C  a  b   D  Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Ví dụ Có giá trị nguyên m lớn 2019 để đồ thị hàm số y  x3  3mx  m  x   m có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ  A 2017  B Vô số C 2019 D 2018 Lời giải 511 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt ④ Câu hỏi trắc nghiệm 2;  2;  x2 đối xứng qua gốc tọa độ x 1 B 3;   3; 2;  D  2; 2   2;  Câu 24 Tìm cặp điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y   C  A      2;  2     Lời giải Câu 25 Trên đồ thị  C  hàm số y  x  x  x  có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ ? A B C D Lời giải Câu 26 Số cặp điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y  x  x  đối xứng với qua điểm I  2;18 A B C D Lời giải 512 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt o Khoảng cách từ M  x0 ; y0  đến tiệm cận ngang y  b h  y0  b Các toán thường gặp: ax  b  c  0, ad  bc   có đồ thị  C  Hãy tìm (C ) hai điểm cx  d A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn ② Phương pháp d o  C  có tiệm cận đứng x   tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm c cận đứng Nên gọi hai số  ,  hai số dương ① Bài toán 1: Cho hàm số y d d d  xA       ; y A  f ( x A ) c c c d d d o Nếu B thuộc nhánh phải xB    xB       ; yB  f ( xB ) c c c o Nếu A thuộc nhánh trái xA   o Sau tính AB   xB  xA    yB  y A    a      a      yB  y A  o Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta tìm kết ③ Ví dụ minh họa 2 2 Ví dụ 9.(THPT Chun Thái Bình 2018) Cho A , B hai điểm di động thuộc hai nhánh khác 2x 1 đồ thị y  Khi khoảng cách AB bé là? x2 A 10 B 10 C D Lời giải Ví dụ 10.(Tạp chí THTT 2018) A B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số x y Khi độ dài đoạn AB ngắn x2 A B C D Lời giải 517 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Ví dụ 11.(Sở GD & ĐT Hà Nam 2018) Biết A  xA ; y A  , B  xB ; yB  hai điểm thuộc hai nhánh khác x4 cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ Tính P  y A2  yB2  xA xB x 1 A P  10 B P  C P   D P  10  Lời giải đồ thị hàm số y  Ví dụ 12.(THPT Chuyên Thái Bình 2018) Cho A , B hai điểm di động thuộc hai nhánh khác 2x 1 đồ thị y  Khi khoảng cách AB bé là? x2 A 10 B 10 C D Lời giải 518 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt ④ Câu hỏi trắc nghiệm Câu 36 Gọi A, B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị  C  hàm số y  dài ngắn đoạn thẳng AB A B C x3 , độ x 3 D Lời giải ① Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số  C  có phương trình y  f ( x) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ ② Phương pháp o Gọi M  x; y  tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d  x  y o Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung o Sau xét tổng qt, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến o Những điểm cịn lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d ③ Ví dụ minh họa x 3  C  điểm M  a; b  thuộc đồ thị  C  Đặt x 1 T   a  b   2ab , để tổng khoảng cách từ điểm M đến hai trục toạ độ nhỏ mệnh Ví dụ 13.(THPT Triệu Sơn 2018) Cho hàm số y  đề sau đúng? A 3  T  1 B 1  T  519 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân C  T  D  T  Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Lời giải 4x  có đồ thị  C  Biết đồ thị  C  có x 3 hai điểm phân biệt M , N tổng khoảng cách từ M N tới hai tiệm cận nhỏ Khi MN có giá trị A MN  B MN  C MN  D MN  Lời giải Ví dụ 14.(THPT Chuyên Trần Phú 2018) Cho hàm số y  520 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt x 1 có đồ thị x 1  C  Giả sử A , B hai điểm thuộc  C  đối xứng với Ví dụ 15.(THPT Kinh Môn 2018) Cho hàm số y  qua giao điểm hai đường tiệm cận Dựng hình vng AEBF Tìm diện tích nhỏ hình vuông AEBF A Smin  B Smin  C S  D S  16 Lời giải ④ Câu hỏi trắc nghiệm Câu 37 Tọa độ điểm thuộc đồ thị  C  hàm số y  đường tiệm cận  C  A  4;3 ,  2;1 C  2;5 ,  0; 1 ,  4;3 ,  2;1 2x 1 mà có tổng khoảng cách đến hai x 1 B  2;5 ,  0; 1 D  2;5 ,  4;3 Lời giải 521 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài 8-Một Số Điểm Đặc Biệt Câu 38 Tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc đồ thị hàm số y  x2 cho tổng khoảng x2 cách từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ A M (4;3) B M (3;5) C M (1; 3) D M (0; 1) Lời giải 2x  có đồ thị  C  Gọi M điểm thuộc đồ thị  C  d tổng x2 khoảng cách từ M đến hai tiệm cận  C  Giá trị nhỏ d đạt Câu 39 Cho hàm số y  A B 10 C D Lời giải 2x 1 có đồ thị  C  Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc  C  đến hai x 1 tiệm cận  C  đạt giá trị nhỏ ? Câu 40 Cho hàm số y  A B C D Lời giải 522 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880