Chuyên đề các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giap của đồ thị hàm số

NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO NHĨM TỐN VD – VDC CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ Dạng 1: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = a , f ( u ( x ) ) = a Dạng 2: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = g ( m ) , f ( u ( x ) ) = g ( m ) Dạng 3: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng f ( x ) = f ( m ) , f ( u ( x ) ) = f ( m ) Dạng 4: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có ( ) dạng = f ( x )= a ; f ( x ) a= ; f u ( x) a= ; f ( u ( x ) ) a Dạng 5: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có ( ) dạng f ( x ) g= = ( m ) ; f ( x ) g ( m= ) ; f u ( x ) g ( m= ) ; f ( u ( x ) ) g ( m ) Dạng 6: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có NHĨM TỐN VD – VDC dạng f ( x ) g= = ( x ) ; f (u ( x )) g ( v ( x )) Dạng 7: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) Dạng 8: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến phương trình có dạng= f ( x ) 0; f = f ( x) g ( x); f = ( u ( x ) ) 0;= ( u ( x ) ) g ( v ( x ) ) Dạng 9: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét tốn liên quan đến phương trình có dạng= f ( x ) m ; f= ; f ( x ) g ( m) ; f= ( u ( x ) ) m= ( u ( x ) ) g ( m ) Dạng 10: Biết số nghiệm phương trình f ( x ) = , xét tốn liên quan đến phương trình có chứa f ' ( x ) ; f '' ( x ) Dạng 11: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số Dạng 12: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ (PHẦN Từ dạng đến dạng 4) phương trình có dạng f ( x ) = a , f ( u ( x ) ) = a Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ NHĨM TỐN VD – VDC Dạng 1: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ( x ) , xét toán liên quan đến Số nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) phương trình f ( sin x ) = −4 B A C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC Chọn C sin x = α ∈ ( −1;0 ) Xét phương trình: f ( sin x ) = −4 ⇔  sin x= β ∈ ( 0;1) β ( 0;1) Vậy Vì x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x ∈ ( 0;1] Suy với x ∈ ( 0; π ) f ( sin x ) = −4 ⇔ sin x =∈ phương trình cho có nghiệm x ∈ ( 0; π ) (thỏa mãn) Vậy chọn Câu C Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao 13 có nghiệm thuộc khoảng A B C Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Phương trình f ( cos x ) =  π π − ; ?  2 D Chọn C  π π Đặt t = cos x , x ∈  − ;  ⇒ t ∈ ( 0;1]  2 13 13 Phương trình f ( cos x ) = trở thành f ( t ) = 3 13 có nghiệm t ∈ ( 0;1) Với nghiệm t ∈ ( 0;1) , thay vào phép đặt ta phương trình cosx = t có hai nghiệm Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( t ) =  π π phân biệt thuộc thuộc khoảng  − ;   2 Vậy phương trình f ( cos x ) =  π π − ;   2 NHĨM TỐN VD – VDC Câu 13 có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng Cho hàm số y = f ( x ) xác định  \ {0} có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f ( x − ) − = A B C Lời giải D Chọn C f ( 3x − 5) − = ⇔ f ( 3x − 5) = t x − , phương trình trở thành f ( t ) = Đặt = t +5 nên số nghiệm t phương trình f ( t ) = số nghiệm phương trình f ( x − ) − = Với nghiệm t có nghiệm x = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) suy phương trình f ( t ) = phân biệt nên phương trình f ( x − ) − = có nghiệm phân biệt NHĨM TỐN VD – VDC Câu có nghiệm Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  thỏa mãn điều kiện lim f ( x ) = lim f ( x ) = −∞ có x →−∞ x →+∞ đồ thị hình ) ( Với giả thiết, phương trình f − x + x = a có nghiệm Giả sử tham số a thay đổi, phương trình cho có nhiều m nghiệm có n nghiệm Giá trị m + n A B C Lời giải D NHÓM TOÁN VD – VDC Chọn C Dễ thấy điều kiện phương trình cho x ≥ Đặt t = − x3 + x (1) ⇒ t ∈ (−∞;1] Dễ thấy phương trình (1) ln có nghiệm ∀t ∈ (−∞;1] = f ( t ) a (2), t ≤ Phương trình cho có dạng: Số nghiệm phương trình cho số nghiệm (2) Đồ thị hàm= số y f ( t ) , t ≤ có dạng: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨM TỐN VD – VDC Do đó: (2) vơ nghiệm a > (2) có hai nghiệm −3 ≤ a < (2) có nghiệm a = a < −3 Vậy m = 2, n =1 ⇒ m + n =3 Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Gọi m số nghiệm ( ) phương trình f f ( x ) = Khẳng định sau đúng? B m = C m = Lời giải D m = Chọn B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC A m = NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao  f ( x ) = x1 (1)  x2 ( ) ⇔  f ( x) = Suy ra: f ( f ( x ) ) = f x =x  ( ) 3( ) +) Xét (1): f ( x ) = x1 ∈ ( −1;0 ) , ta có đường thẳng y = x1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt NHĨM TỐN VD – VDC  x = x1 ∈ ( −1;0 )   x =x2 ∈ ( 0;1) Ta có: f ( x ) =⇔ =  x x3 > +) Xét ( ) : f ( x= ) x2 ∈ ( 0;1) , ta có đường thẳng y = x2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm phân biệt nên phương trình ( ) có nghiệm phân biệt +) Xét ( 3) : f ( x= ) x3 > , ta có đường thẳng y = x3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm nên phương trình ( 3) có nghiệm Do nghiệm không trùng nên tổng số nghiệm là: m = + + = Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ sau NHĨM TỐN VD – VDC Số nghiệm phương trình f ( 2sin x ) = đoạn [ 0; 2π ] A B C Lời giải D Chọn C Đặt t = 2sin x , t ∈ [ −2; 2] Xét phương trình f ( t ) = , dựa vào đồ thị ta thấy https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao (l ) ( n )  sin x = −2 sin x = ⇔ ⇔ ( n )  2sin x = −1 sin x =  (l ) − Với sin x = −1 ⇔ x = −1 − NHĨM TỐN VD – VDC t = −3  t = −2 1⇔  f (t ) = t = −1 t =  3π π + k 2π , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = 2 π  − + k 2π x = 5π 4π , x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ x = , Với sin x = − ⇔ 4π 3 = + k 2π x  Vậy phương trình có nghiệm Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ A B C Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Phương trình f ( f ( x ) ) = có nghiệm D Chọn D y=c y=b y=a = x a ( a ∈ ( −2; −1) )  Phương trình f ( x ) = có ba nghiệm phân biệt là: =  x b ( b ∈ ( 0;1) )  =  x c ( c ∈(1;2 ) ) f ( x ) a= , f ( x ) b= , f ( x ) c có nghiệm phân biệt Các phương trình= https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ NHĨM TỐN VD – VDC y -1 x -1 Số nghiệm phương trình f ( x) − = A B C Lời giải D Chọn B Ta có f ( x ) − = ⇔ f ( x ) = (1) Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số y NHĨM TỐN VD – VDC y= -1 x -1 ta thấy hai đồ thị cắt điểm phân biệt nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình ban đầu có nghiệm phân Dựa vào đồ thị hai hàm số y f= = ( x), y biệt Câu Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao A B C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC ⇔ f ( x) = Phương trình f ( x ) − = Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = Từ bảng biến thiên suy số nghiệm thực phương trình f ( x ) − = Câu 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục  có đồ thị y = f ( x ) hình vẽ bên Phương trình f ( − f ( x )) = có tất nghiệm phân biệt A B D Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Chọn B C Theo đồ thị:  x = a ( −2 < a < −1) 2 − f ( x ) = a  f ( x ) = − a (1)    ⇒ f ( − f ( x )) = ⇔ 2 − f ( x ) = b ⇔  f ( x ) = − b ( 2) f ( x ) = ⇔  x = b ( < b < 1)     x = c (1 < c < ) 2 − f ( x ) = c  f ( x ) = − c ( 3) Nghiệm phương trình (1); (2); (3) giao điểm đường thẳng y= − a ; y= − b ; y= − c với đồ thị hàm số f ( x )  a ∈ ( −2;1) ⇒ − a ∈ ( 3; ) suy phương trình (1) có nghiệm  b ∈ ( 0;1) ⇒ − b ∈ (1; ) suy phương trình (2) có nghiệm  c ∈ (1;2 ) ⇒ − c ∈ ( 0;1) suy phương trình (3) có nghiệm phân biệt Kết luận: Có tất nghiệm phân biệt Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Có số nguyên m để phương trình f ( x ) + m = có nghiệm phân biệt? A B C D Chọn B Ta có: f ( x ) + m = ⇔ f ( x ) = −m ( *) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng ( d ) : y = y = f ( x ) điểm phân biệt ⇔ −2 < −m cắt đồ thị hàm số −m < ⇔ −2 < m < Do m ∈  nên m ∈ { − 1; 0; 1; 2; 3} Chọn NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải B Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hỏi có điểm đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm phương trình B điểm C điểm Lời giải D Vô số ChọnC Dựa vào đồ thị ta thấy x ∈ [ −1;1] y ∈ [ 0;1] Do đặt t = cos x t ∈ [ −1;1] , f ( cos x ) ∈ [ 0;1]  f ( cos x ) =  Dựa vào đồ thị, ta có f  f ( cos x )  = ⇔  f ( cos x ) = a ( a < −1) ( loaïi )  f cos 2= x ) b ( b > 1) ( loaïi )  ( cos x =  Phương trình f ( cos x ) = ⇔ cos x = a ( a < −1) ( loaïi ) cos= x b ( b > 1) ( loaïi )  ⇔ cos x = ⇔ x = π +k π ( k ∈ ) Vậy phương trình cho có điểm biểu diễn nghiệm đường trịn lượng giác https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TOÁN VD – VDC f  f ( cos x )  = ? A điểm NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Ta có bất phương trình f ( x ) − x + ≥ ⇔ f ( x ) ≥ x − nên vẽ đường thẳng ∆ : y =x − hệ trục với đồ thị hàm số y = f ( x ) tập nghiệm S bất phương trình cho tập hợp hoành độ điểm cho đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía đường thẳng ∆ NHĨM TỐN VD – VDC Dựa vào đồ thị ta có tập nghiệm bất phương trình cho S = [ −1;1] ∪ [ 2; + ∞ ) Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình bên ) ( Có số nguyên m để bất phương trình mx + m − x + 2m + f ( x ) ≥ nghiệm với x ∈ [ −2;2] ? A B D NHĨM TỐNVD – VDC Đặt g ( x ) = mx + m − x + 2m + C Lời giải Từ đồ thị y = f ( x ) ta thấy f ( x ) đổi dấu qua x = nên suy g ( x ) phải đổi dấu qua x = Mặt khác g ( x ) liên tục nên g ( x ) = có nghiệm x = Kiểm tra: Với m = −1 Ta có  1+ x  g ( x ) f ( x ) = − x + − x2 −1 f ( x ) = + 1 f ( x ) (1 − x )   2+ 5− x  ( ) 1+ x + x + − x2 = +1 > 0, ∀x [ −2;2] + − x2 + − x2 Khi quan sát đồ thị f ( x ) , ta thấy: Nhận xét: + TH1: với x ∈ [1;2] f ( x ) ≤ nên (1 − x ) f ( x ) ≥ + TH2: với x ∈ [ −2;1] f ( x ) ≥ nên (1 − x ) f ( x ) ≥ Do hai trường hợp ta ln có g ( x ) f ( x ) ≥ , ∀x ∈ [ −2;2] Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao NHĨM TỐN VD – VDC Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f ( x ) + x > x + m nghiệm với x ∈ ( −1;3) A m < −3 B m < −10 Chọn B C m < −2 Lời giải BPT cho nghiệm với với x ∈ ( −1;3) ⇔ f ( x ) > D m < − x2 + 4x + m ∀x ∈ ( −1;3) − x2 + 4x + m < −3, ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ − x + x + m + < 0, ∀x ∈ ( −1;3) 2 ⇔ m < x − x − 6, ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ Xét hàm số h ( x ) = x − x − với x ∈ ( −1;3) h′ ( x= ) x − ⇒ h′ ( x ) = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên sau: NHĨM TỐNVD – VDC Từ BBT suy m < h ( x ) ⇔ m < −10 ( −1;3) Câu 19 Cho đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) hình vẽ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao Có giá trị ngun âm m để bất phương trình f ( x ) ≤ [0;3] ? B 10 Chọn A C Lời giải D NHĨM TỐN VD – VDC A m có nghiệm x − 2x + m có nghiệm [ 0;3] ⇔ m ≥ ( x − x + ) f ( x ) có nghiệm x ∈ [ 0;3] x − 2x + Xét hàm số g ( x ) = ( x − x + ) f ( x ) với x ∈ [ 0;3] f ( x) ≤ Ta có g ( x ) = x − x + f ( x ) ≤ 9.1 = 9, ∀x ∈ [ 0;3] (dấu xảy x = ) ⇒ g ( x ) = −9 [0;3] Do bất phương trình cho có nghiệm [ 0;3] ⇔ m ≥ −9 Vì m nguyên âm nên −9 ≤ m ≤ −1 ⇒ có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Dạng 12: Biết đồ thị BBT hàm số y = f ' ( x ) , xét toán liên quan đến BẤT PHƯƠNG TRÌNH có dạng f ( x ) ≥ g ( x ) ; f ( u ( x ) ) ≥ g ( x ) ( > , < , ≤ ) có tham số Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình A m > f ( 3) B m ≥ f ( 3) C m > f ( −1) + NHĨM TỐNVD – VDC Bất phương trình f ( x ) ≤ x − x + m với x ∈ ( −1;3) D m ≥ f ( −1) + Chọn D Ta có: f ( x ) ≤ x3 − x + m ⇔ f ( x) − x3 + x ≤ m với x ∈ ( −1;3) Xét g ( x= ) f ( x) − x + x với x ∈ ( −1;3) Khi đó: g ′(= x) f ′( x) − x + 6= x  f ′( x) − x + x  Nghiệm phương trình g ′( x) = hoành độ giao điểm đồ thị y = f ′( x) parabol = y x2 − 2x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨM TỐN VD – VDC −1; x = 3; x = đoạn [ −1;3] Phương trình g ′( x) = có ba nghiệm x = lim+ g ( x )= x →−1 lim+ 3 f ( x ) − x3 + x = f ( −1) + ; x →−1 = + x  f ( 3) lim g ( x ) lim− 3 f ( x ) − x3= − x →3 x →3 Ta có bảng biến thiên sau: x g ′( x) g ( x) −1 - 3 f ( −1) + Bất phương trình f ( x ) ≤ x3 − x + m với x ∈ ( −1;3) NHĨM TỐNVD – VDC f ( 3) m ≥ g ( x ) , ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ m ≥ f (−1) + Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  thoả mãn f ( ) = f ( −2 ) = đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có hình dạng hình vẽ bên Bất phương trình f ( x ) + 2m − ≤ với số thực x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 30 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao A m < B m ≤ C m ≥ D m > NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) giả thiết ta có BBT hàm số y = f ( x ) sau: Ta có f ( x ) + 2m − ≤ ⇔ − 2m ≥ f ( x ) (*) Bất phương trình [*] với số thực x ⇔ − 2m ≥ m ax f ( x )  Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên bπ , c a, b, c ∈ * c > 2b Tổng S = 2a + 3b − c A −9 B C D −2 Lời giải Đặt g ( = x ) f ( x − x + 3) Ta có g ′ ( x )= ( x − 1) f ′ ( x − x + 3)   x − ≥   x − ≥   3   f ′ ( x − x + 3) ≥  2 x − x + ≥ Hàm số y = g ( x ) đồng biến g ′ ( x ) ≥ ⇒  ⇒     x − < − < x    2 x3 − x + <   f ′ ( x − x + 3) <    x − ≥   x − ≥    2 x − x + ≥  2 x − x − ≥ ⇒ x ∈ ( −∞, −1,53) ∪ ( −1; −0,35 ) ∪ (1;1,88 ) ⇒ ⇒ 2   − > − < x x      2 x − x + <  2 x − x − <   Ta thấy x ≈ 1,88 nghiệm lớn Để hàm số = y f ( x3 − x + 3) đồng biến với x > m ( m ∈  ) m ≥ x ≈ 1,88 Ta tìm cách giải cụ thể giá trị x ≈ 1,88 nghiệm x3 − x − = phương pháp đổi biến lượng giác https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM TỐNVD – VDC Để hàm số = y f ( x3 − x + 3) đồng biến với x > m ( m ∈  ) m ≥ sin Trang 31 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao 2π π , với t ∈ [ 0;2π ] ⇒ t =± + k b π 17π 17π −25 ta t = t = Do 2cos = a= sin π 2sin π (không thỏa mãn đk) 9 c 18 b π = 2cos sin π 2sin π a = 2, b = 7; c = 18 ⇒ S = (thỏa mãn) a= 18 c ⇔ − 2m ≥ ⇔ m ≤ ⇒ Chọn B Đặt x = 2cost ⇒ 8cos3t − 6cost − = ⇒ cos3t = Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x ) ≥ f ( x )− m +5 f ( x )− m − + 27 m 27 A f ( 3) ≤ m ≤ f ( 3) + B f ( −2 ) + ≤ m ≤ f ( 3) C f ( −2 ) − ≤ m ≤ f ( 3) nghiệm với x ∈ ( −2;3) D f ( 3) ≤ m ≤ f ( −2 ) − Ta có với x ∈ ( −2;3) f ′ ( x ) < Ta có f ( 3) < f ( x ) < f ( −2 ) , ∀x ∈ ( −2;3) f ( 3) − 2m < f ( x ) − m < f ( −2 ) − m Đặt = t f ( x ) − m ⇒ f ( 3) − m < t < f ( −2 ) − m Ta có f ( x ) ≥ f ( x )− m + f ( x ) m − + 27 m f ( x)−m + f ( x )−m − − 27 ( f ( x ) − m ) ≤ 27 − t 0;= t 2t + 5t − 27t − ≤ Vế trái có nghiệm= Xét dấu Câu  f ( 3) − m ≥ ⇒ f ( −2 ) − ≤ m ≤ f ( 3) ⇒ Chọn C Ta có ≤ t ≤ ⇒   f ( −2 ) − m ≤ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị sau: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 32 NHĨM TỐNVD – VDC Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Câu NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao NHĨM TỐN VD – VDC Bất phương trình f ( x ) > x − x + m với x ∈ (1; ) A m ≤ f ( ) B m < f (1) − C m ≥ f ( ) − Lời giải: D m ≥ f (1) + Chọn A x ) f ( x ) − x + x > m, ∀x ∈ (1; ) Ta có: f ( x ) > x − x + m , ∀x ∈ (1; ) ⇒ g (=   f ′( x) < Ta có: g ′ (= x ) f ′ ( x ) − x + < , ∀x ∈ (1; ) ∀x ∈ (1; ) ⇒   2 x − > Vậy ta có: g= ( 2) f ( 2) ≥ m ( x ) g= x∈(1;2 ) Câu Cho hàm số y = f ( x) liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f ( x ) < e x + m với x ∈ ( −1;1) A m ≥ f ( ) − B m > f ( −1) − e C m > f ( ) − D m ≥ f ( −1) − e Chọn A Đặt g ( x ) = e x NHĨM TỐNVD – VDC Lời giải Do x ∈ [ 0;1) ∀x ∈ ( −1;1) nên g ( x ) = e x ≥ e0 = Ta có max f ( x ) = f ( ) , g= ( x ) g= ( 0) x∈( −1;1) x∈( −1;1) Bất phơng trình f ( x ) < e x + m với x ∈ ( −1;1) ⇔ f ( x ) − e x < m , 2  f ( 0) −1 ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ m ≥ max  f ( x ) − e x =  x∈( −1;1)  Câu Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau  π Bất phương trình f ( x ) > 2cos x + 3m với x ∈  0;   2 1 A m ≤  f ( ) −  B m <  f ( ) −  3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 33 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao 1 C m ≤  f 3 π     − 1 2  1 D m <  f 3 NHĨM TỐN VD – VDC Chọn A π     − 1 2  Lời giải  π  π Ta có f ( x ) > 2cos x + 3m ∀x ∈  0;  ⇔ f ( x ) − 2cos x > 3m ∀x ∈  0;   2  2 Xét hàm g= ( x ) f ( x ) − 2cos x  0; π   2 cos x ′ ( x ) f ′ ( x ) + sin x.ln Ta có g=  π  π  π Vì f ′ ( x ) ≥ ∀x ∈  0;  ; sin x > ∀x ∈  0;  ⇒ 2cos x sin x.ln > ∀x ∈  0;  nên ta suy  2  2  2 π g′( x) = f ′ ( x ) + 2cos x sin x.ln > ∀x ∈  0;   2 Vậy ta có bảng biến thiên  π Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình f ( x ) > 2cos x + 3m với x ∈  0;   2 g ( ) ≥ 3m ⇔ 3m ≤ f ( ) − ⇔ m ≤  f ( ) −  Cho hàm số f ( x ) liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ NHĨM TỐNVD – VDC Câu Bất phương trình f ( 2sin x ) − 2sin x < m với x ∈ ( 0; π ) A m > f (1) − B m ≥ f (1) − Chọn A Ta có: f ( 2sin x ) − 2sin x < m C m ≥ f ( ) − Lời giải D m > f ( ) − (1) Đặt 2sin x = t , x ∈ ( 0; π ) nên t ∈ ( 0; 2] https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 34 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Với t ∈ ( 0; 2] (1) trở thành: f (t ) − t2 max g ( t ) , t∈( 0;2] t2 với NHĨM TỐN VD – VDC g= (t ) f (t ) − t = ′ ( t ) f ′ ( t ) − t Từ đồ thị ta có: g ′ ( t ) =0 ⇔ f ′ ( t ) =t ⇔ t =1 Ta có g=  t = Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có m > max g (1) ⇔ m > f (1) − bất phương trình NHĨM TỐNVD – VDC t∈( 0;2] f ( 2sin x ) − 2sin x < m với x ∈ ( 0; π ) Cô Hương Bùi Câu Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau x f'(x) ∞ +∞ + ∞ ∞ 1  Bất phương trình f ( x ) < ln x + m với x ∈  ;1 3  1 1 A m > f   + ln B m < f (1) C m ≥ f   + ln D m ≥ f (1) 3 3 Lời giải Chọn C Điều kiện x > https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 35 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao 1  1 1  ⇒ Hàm số g ( x ) nghịch biến đoạn  ;1 ⇒ g   > g ( x ) , ∀x ∈  ;1 3  3 3  1  1 1 Vậy m > f ( x ) − ln x , ∀x ∈  ;1 ⇒ m ≥ g  =  f   + ln 3  3 3 Câu 10 Cho hàm số y = f ( x) liên tục  hàm số y = f ′( x) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình − f (−2) − 14 C m ≥ f (−2) − A m ≤ f (−3 x − 8) ≥ x + 16 x − m NHĨM TỐNVD – VDC với x ∈ [ −2;0] : NHĨM TỐN VD – VDC 1  1  f ( x ) < ln x + m , ∀x ∈  ;1 ⇔ m > f ( x ) − ln x , ∀x ∈  ;1 3  3  Đặt g= ( x ) f ( x ) − ln x ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x 1  Xét đoạn  ;1 ta có: f ′ ( x ) ≤ − < ⇒ g ′ ( x ) < x 3  40 f (−4) − 3 40 D m ≥ f (−4) − 3 Lời giải B m ≤ Chọn D Bất phương trình cho tương đương với: f (−3 x − 8) + x + 16 x ≤ m với x ∈ [ −2;0] Xét hàm số g ( x)= f (−3 x − 8) + x + 16 x với x ∈ [ −2;0] Ta có: g ′( x) = − f ′(−3 x − 8) + x + 16 g ′( x) =0 ⇔ − f ′(−3 x − 8) + x + 16 =0 ⇔ f ′(−3 x − 8) =9 x + 16 (1) −3 x − phương trình (1) trở thành: f ′(t ) =−3t − (2) Đặt t = Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm ĐTHS y = f ′(t ) đường thẳng y =−3t − https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 36 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨM TỐN VD – VDC −4  x= t =−4  −3 x − =−4  Từ đồ thị ta được: (2) ⇔  ⇔ ⇔  t =−2  −3 x − =−2  x = −2 Bảng biến thiên: Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Tìm m để bất phương trình f (  π π sin x ≥ 5sin x + 10 x + m thỏa mãn ∀x ∈  − ;  ?  2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc ) Trang 37 NHĨM TỐNVD – VDC Từ bảng biến thiên suy ra: Bất phương trình f (−3 x − 8) + x + 16 x ≤ m với x ∈ [ −2;0] khi: 40 max g ( x) ≤ m ⇔ m ≥ f (−4) − [ −2;0] 3 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao   B m ≤ f ( −1) + − 10 arcsin  −  5    A m ≤ f (1) − + 10 arcsin    5 Chọn B Ta có f (   D m ≤ f ( ) + − 10 arcsin    5 Lời giải ) sin x ≥ 5sin x + 10 x + m ⇔ m ≤ f Xét hàm số g= ( x) f g ′ ( x ) cos x f ′ = ( ( ) ) ) ( ( ) Khi g ′ ( x ) = ⇔ f ′ sin x = cos x ⇔ f ′ Đặt t = sin x ta f ′ (= t) ( ) ) sin x = − 5sin x − t2 − x có đồ thị nửa đường trịn tâm O bán kính nằm phía trục NHĨM TỐNVD – VDC Dựa vào đồ thị suy f ′ ( t )=   ⇔   ) sin x − 5sin x − 10 x  π π sin x − 5sin x − 10 x  − ;  ta có  2 sin= x − 10 cos x − 10 cos x f ′ sin x − 20 cos x ( cos x  f ′ sin x − cos x     π π Do x ∈  − ;  nên cos x =− sin x > 2   Xét hàm số = y hồnh ( NHĨM TỐN VD – VDC   C m ≤ f ( ) − + 10 arcsin    5 − t ⇔ t ∈ {−1;1; 2}     x= arcsin  − = x1   sin x = −1     sin x = ⇔  x = arcsin   = x2  5  sin x =     x arcsin = =   x3   5  π π Ta có bảng biến thiên g ( x )  − ;  là:  2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 38 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến tốn tương giao NHĨM TỐN VD – VDC     Ta có g ( x1 = x3 ) f ( ) − + 10 arcsin  ) f ( −1) + − 10 arcsin  −  g (=  5   5 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ′ ( x ) trục hoành hai đường thẳng x= −1, x = Dựa vào đồ thị ta thấy diện tích hình ( H ) lớn Vì f ( ) −= f ( −1) ′ ( x ) dx S ( H ) nên f ( ) > f ( −1) + ∫ f= −1     Do g (= x3 ) f ( ) − + 10 arcsin   > f ( −1) + 12 + 10 arcsin   > g ( x1 )  5  5    π π Vậy để m ≤ g ( x ) với ∀x ∈  − ;  m ≤ g ( x1 = ) f ( −1) + − 10 arcsin  −  5  2  Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau A m ≥ f ( ) − Chon A ( ) m > f (e ) − e C m > f ( ) − B m ≥ f ( ) − 16 D m > f ( ) − 16 Lời giải Ta có f e x < e x + m nghiệm với x ∈ ( ln 2;ln ) x 2x , ∀x ∈ ( ln 2;ln ) (*) Đặt t = e x ⇒ t ∈ ( 2; ) Bất phương trình (*) trở thành : m > f ( t ) − t , ∀t ∈ ( 2; ) Xét hàm số g= ( t ) f ( t ) − t ( 2; ) Ta có g ′ ( t= ) f ′ ( t ) − 2t < ( f ′ ( t ) < 4, ∀t ∈ ( 2; ) ) Vậy g= ( t ) f ( t ) − t nghịch biến ( 2; ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 39 NHĨM TỐNVD – VDC ( ) Bất phương trình f e x < e x + m nghiệm với x ∈ ( ln 2;ln ) NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao Suy : g ( t ) < g ( ) = f ( ) − Do để thỏa mãn u cầu tốn ta có m ≥ f ( ) − NHĨM TỐN VD – VDC Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình Bất phương trình f ( x ) ≤ x − x + m với x ∈ ( −1;3) A m > f ( 3) B m ≥ f ( 3) C m > f ( −1) + D m ≥ f ( −1) + Chọn D Ta có: f ( x ) ≤ x3 − x + m ⇔ f ( x) − x3 + x ≤ m với x ∈ ( −1;3) ) f ( x) − x + x với x ∈ ( −1;3) Xét g ( x= Khi đó: g ′(= x) f ′( x) − x + 6= x  f ′( x) − x + x  NHĨM TỐNVD – VDC Nghiệm phương trình g ′( x) = hồnh độ giao điểm đồ thị y = f ′( x) parabol = y x2 − 2x −1; x = 3; x = đoạn [ −1;3] Phương trình g ′( x) = có ba nghiệm x = lim g ( x )= x →−1+ lim 3 f ( x ) − x3 + x = f ( −1) + ; x →−1+ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 40 NHĨM TỐN VD–VDC Hàm ẩn liên quan đến toán tương giao = + x  f ( 3) g ( x ) lim− 3 f ( x ) − x3= lim x →3 x →3− Ta có bảng biến thiên sau: g ( x) −1 - - NHĨM TỐN VD – VDC x g ′( x) f ( −1) + f ( 3) Bất phương trình f ( x ) ≤ x3 − x + m với x ∈ ( −1;3) m ≥ g ( x ) , ∀x ∈ ( −1;3) ⇔ m ≥ f (−1) + NHĨM TỐNVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 41