(Chuyên đề) cực trị của hàm số

CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục khoảng (a; b) điểm x0 ∈ (a; b) +) Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại x0 +) Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu x0 * Chú ý +) Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại x0 x0 gọi điểm cực đại hàm số; f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số, kí hiệu fCĐ ( fCT ) , cịn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số +) Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại gọi cực đại gọi chung cực trị hàm số Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x) đạt cực trị điểm x0 Khi hàm số y = f ( x) có đạo hàm x0 f ′( x0 ) = Page 61 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục K =( x0 − h; x0 + h) có đạo hàm K K \{x0 } , với h > +) Nếu f ' ( x ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f '( x) < ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực đại hàm số y = f ( x) +) Nếu f ′ ( x ) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ′( x) > ( x0 ; x0 + h) x0 điểm cực tiểu hàm số y = f ( x) Minh họa bảng biến thiến * Chú ý +) Giá trị cực đại f ( x0 ) hàm số y = f ( x) nói chung giá trị lớn hàm số y = f ( x) tập xác định +) Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm Ngược lại, đạo hàm điểm x0 hàm số không đạt cực trị điểm x0 Định lí 3: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp hai khoảng K =( x0 − h; x0 + h) với h > Khi đó: +) Nếu= f ′ ( x0 ) 0, f ′′ ( x0 ) > x0 điểm cực tiểu +) Nếu= f ′ ( x0 ) 0, f ′′ ( x0 ) < x0 điểm cực đại f ′ ( x0 ) 0,= f ′′ ( x0 ) phải lập bảng biến thiên để kết luận +) Nếu= a) Quy tắc QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f ′ ( x ) Tìm điểm f ′ ( x ) f ′ ( x ) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị b) Quy tắc Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Tính f ′ ( x ) Giải phương trình f ′ ( x ) = ký hiệu xi ( i = 1, 2,3, ) nghiệm Bước Tính f ′′ ( x ) f ′′ ( xi ) Bước Dựa vào dấu f ′′ ( xi ) suy tính chất cực trị điểm xi Page 62 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BIỂU THỨC Câu 1: Tìm cực trị hàm số y = x − x − x + Câu 2: Tìm cực trị hàm số y = Câu 3: −2 x3 − 3x − x + Tìm cực trị hàm số y = Câu 4: Tìm cực trị hàm số y = x − 2x2 + 4x − Câu 5: x − 2x2 − − x4 + 4x2 − Tìm cực trị hàm số y = Câu 6: Tìm cực trị hàm số y =x + x + Câu 7: Tìm cực trị hàm số y = (1 − x ) ( 3x − 8) DẠNG : RIÊNG VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) , ( 1) a Ta có y′ = 3ax + 2bx + c ; ∆′= b − 3ac • Hàm số khơng có điểm cực trị ⇔ phương trình y′ = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆′ ≤ • Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > b Trong trường hợp ∆′ > , gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số ( 1) , x1 , x2 nghiệm phân biệt phương trình y′ = Ta có f ( x ) =+ (mx n) f ' ( x ) + r ( x ) , với r ( x ) nhị thức bậc =  y1 f= ( x1 ) r ( x1 ) ⇒ = ( x2 ) r ( x2 )  y2 f= Suy tọa độ A, B thỏa mãn phương trình y = r ( x ) Do phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A, B y = r ( x ) Cơng thức tính nhanh: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, đồ thị hàm số ( 1) 2∆ ' 9ad − bc r ( x) − x+ là: y == 9a 9a Cách dùng MTCT x b  - Nhập biểu thức ax3 + bx + cx + d − 3ax + 2bx + c  +   9a  ( ) - Cho x = i ta kết Ai + B Suy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị = y Ax + B Page 63 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 8: Với giá trị tham số m hàm số y = cực trị? Câu 9: x − mx + ( m − 4m + 3) x + 2021 − 2020m có Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y= mx − (2m − 1) x + 2mx − m − có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh? ( ) Câu 10: Tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y =x3 − 3mx + m − x − m3 có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành khoảng ( a; b ) Giá trị a.b Câu 11: Cho hàm số y = x − mx + x − 2021 , với m tham số; gọi x1 , x2 điểm cực trị hàm số cho Giá trị lớn biểu thức P = ( x12 − 1)( x22 − 1) Câu 12: Cho hàm số y =x3 − 3mx + 4m − có đồ thị ( Cm ) Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số ( Cm ) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4, với C (1;4 ) − x3 + 3mx − 3m − có điểm cực Câu 13: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d : x + y − 74 = Câu 14: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + ( m − 1) x − m3 + m có hai điểm cực trị cho khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ Tính tổng phần tử S Câu 15: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y= x − ( 2m − 1) x + ( m − m + ) x + m − có hai điểm cực trị độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền 74 Câu 16: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − ) x − m + có hai điểm cực trị hai điểm cực trị nằm 2 phía trục hoành? x − mx + ( m + ) x có cực trị giá trị hàm số điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương Câu 17: Tìm tất giá trị m để hàm số y = − x3 + bx − x + có chung điểm Câu 18: Biết hai hàm số f ( x ) = x3 + ax + x − g ( x ) = cực trị Tìm giá trị nhổ biểu thức P= a + b A 30 B C + D 3 Câu 19: Cho hàm số y =x − 6mx + có đồ thị ( Cm ) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị ( Cm ) cắt đường tròn tâm I (1;0 ) , bán kính hai điểm phân biệt A; B cho tam giác IAB có diện tích lớn Câu 20: Cho hàm số y =x − x − ( m − ) x + m có đồ thị đường cong ( C ) Biết tồn hai số thực m1 , m2 tham số m để hai điểm cực trị ( C ) hai giao điểm ( C ) với trục hoành tạo thành bốn đỉnh hình chữ nhật Tính = T m14 + m24 Page 64 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 21: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − mx + ( m − 1) x có hai điểm cực trị A B cho A , B nằm khác phía cách đường thẳng = y x − Tính tích phần tử S 3m ( m − 1) x − 3mx − với m tham số thực Có tất giá 2 trị nguyên m thuộc khoảng ( −20; 22 ) cho đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị Câu 22: Cho hàm số f ( x) =x3 − nằm phía trục hồnh? Câu 23: Cho hàm số = y mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + 2021 với m tham số Tổng bình phương tất giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Câu 24: Tìm tổng tất giá trị nguyên tham số m ( −10;10 ) để đồ thị hàm số y = x + x + mx − có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung Câu 25: Có giá trị nguyên dương m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x + m nhỏ Page 65 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG : RIÊNG VỀ CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho hàm số: y = ax + bx + c ( a ≠ ) có đồ thị ( C ) +) Đồ thị ( C ) có điểm cực trị y′ = có nghiệm ⇔ ab ≥ +) Đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ ab <  b ∆  b ∆ Khi ba điểm cực trị là: A ( 0; c ) , B  − − ; −  , C  − ; −  với 2a 4a    2a 4a  ∆= b − 4ac b4 b b Độ dài đoạn thẳng: AB = tam giác ABC tam AC =2 − , BC = − 16a 2a 2a giác cân A II CÔNG THỨC NHANH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP DỮ KIỆN CÔNG THỨC NHANH CHỨNG MINH  =α BAC b3 + 8a α 8a cos α = ⇔ tan = − 3 b − 8a b Áp dụng định lý cosin ∆ABC ta có điều phải chứng minh ∆ABC vuông cân ⇔ BC = AB + AC  b4 b  2b ⇔= − − 2  a 2a   16a ∆ABC vuông b4 b ⇔ + = 16a 2a ⇔ b3 + 8a = Hoặc: b3 + 8a = b3 + 8a cos α = =0 ⇔ b3 + 8a =0 b − 8a ∆ABC ∆ABC ⇔ BC = AB 2b 3b b4 b b4 ⇔ −= − ⇔ += 2 Hoặc 16a 2a a 16a 2a ⇔ b + 24a = b3 + 24a = b3 + 8a cos α = = ⇔ b3 + 24a = b − 8a Gọi I trung điểm đoạn BC Khi đó: S∆ABC Bán kính đường trịn  −b  S ∆ABC = a    2a  R= b − 8a 8ab −b b − 4ac S ∆ABC =BC AI = − −c 2a 4a  −b  = a    2a  Áp dụng công thức Page 66 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ngoại tiếp ∆ABC Bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC ∆ABC có trọng tâm gốc tọa độ O ∆ABC có trực tâm gốc tọa độ O Phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆ABC Phương trình parabol qua điểm cực trị R= r= b2 a + 16a − 2ab3 b − 6ac = b3 + 8a − 4ac = AB AB.BC AC b3 − 8a = ⇔ R= AI S ∆ABC 8ab Áp dụng công thức r = S∆ABC p b2 ⇔r= a + 16a − 2ab3 Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm cho ∆ABC ta có: b − 4ac ⇔ b − 6ac = − +c = 2a ∆ABC có trực tâm gốc tọa độ O   OB AC= ⇔ b3 + 8a − 4ac = 2 ∆  2 ∆  x2 + y −  − + c  y + c  −  b 4a   b 4a  Lấy y chia y ' ta phần dư = y bx + c r= ( x) bx + c Khi phương trình parabol qua điểm cực trị = y r= ( x) bx + c Câu 26: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − ( m + 1) x + có ba điểm cực trị Câu 27: Cho hàm số y =x − ( m + 1) x + m Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân Câu 28: Cho hàm số y =x − ( m − 1) x + 2m − có đồ thị ( Cm ) Xác định tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác x + 2mx − có ba điểm cực trị tạo thành Câu 29: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = tam giác có diện tích Câu 30: Cho hàm số y = x − 2mx + m − , với m tham số thực Xác định giá trị tham số m để đồ thị hàm số có ba cực trị đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp x − 2mx + m , với m tham số thực Tìm tất giá trị tham số m để Câu 31: Cho hàm số y = đồ thị hàm số cho có điểm cực trị đường trịn qua điểm cực trị có bán kính = DẠNG 5: CỰC TRỊ CỦA HÀM y = f ( x) , y f (x) Page 67 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y = f ( x) Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức có f ( −2 ) < đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số = y g= ( x) f ( x) Câu 34: Cho hàm số = y x3 − x Tìm số điểm cực trị hàm số Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau : x ∞ f '(x) + +∞ + +∞ f (x) ∞ Hàm số= y f ( x − ) có điểm cực trị? Page 68 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + Tập tất giá trị m để đồ thị a a  hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị  ; c  với a , b , c số nguyên phân số b b  tối giản Tính a + b + c Câu 38: Tìm số giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = x − x3 − 12 x + m có điểm cực trị Câu 39: Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 3m x − Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có điểm cực trị Câu 40: Cho hàm số f ( x ) = ( m − 1) x − x + ( m + 3) x + Tìm tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? Câu 41: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tập giá trị tham số m để hàm số = y g= ( x) f ( x ) − m có điểm cực trị ( a; b ) Tính T= 2b − a Page 69 CHƯƠNG CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục khoảng (a; b) điểm x0 ∈ (a; b) +) Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại x0 +) Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu x0 * Chú ý +) Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại x0 x0 gọi điểm cực đại hàm số; f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số, kí hiệu fCĐ ( fCT ) , điểm M ( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số +) Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại gọi cực đại gọi chung cực trị hàm số Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số y = f ( x) đạt cực trị điểm x0 Khi hàm số y = f ( x) có đạo hàm x0 f ′( x0 ) = Page CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Với t = −1 sin x − =−1 ⇔ sin x =0 ⇔ x =π Như phương trình g ′ ( x ) = có nghiệm đơn thuộc khoảng ( 0; 2π ) Vậy hàm số g ( x ) có điểm cực trị thuộc khoảng ( 0; 2π ) Câu 8: Cho y = f ( x ) hàm bậc ba có f ′ ( ) = −3 Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng xét dấu sau: ( ) Hàm số y= g ( x= ) f x3 − 3x + m − giá trị lớn P = A 10 x6 + x − x3 − x + x − có cực trị biết m 2 sin x cos x + B C D Lời giải Chọn D  x = −1 Từ bảng biến thiên f ′ ( x ) =⇔ k ( x + 1)( x − 1) x = ⇒ f ′( x) =  Mà f ′ ( ) =−3 ⇒ k =3 ⇒ f ′ ( x ) =3 ( x − 1)( x + 1) =3 x − sin x ⇒ sin x − P cos x= P cos x + Theo P= Điều kiện P có nghiệm ( P ) ≤ P + ⇔ −1 ≤ P ≤ Nên m = x6 y g ( x= Khi = ) f ( x − 3x + 1) − + 3x − x3 − x + 3x − 2 Ta có: ( 3x − 3) f ′ ( x − 3x + 1) − 3x + 12 x − 3x − x + ⇔ g ′ ( x )= ( x − 3)  f ′ ( x − x + 1) − ( x − x + 1)  g ′ ( x= ) 3  x = ±1 ⇒ g′( x) = 0⇔ 3  f ′ ( x − x + 1) = x − x + (1)  x ≈ 1, 76137  x ≈ −0, 0602  + 37  t =  x ≈ −1, 7011 Đặt x − x + = ⇔ t suy (1) ⇔ f ′ ( t ) = t ⇔ 3t − = t ⇔  x ≈ 1, 21796  − 37  t =  x ≈ 0, 76486    x ≈ −1,9828 Do g ′ ( x ) = có nghiệm đơn Vậy hàm số y = g ( x ) có cực trị Page 10 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm  Hàm số y = f ′ ( x ) đồ thị hình vẽ bên dưới: x4 Số điểm cực tiểu hàm số g ( x = ) f ( x − x ) + − x3 + x + 2021 A B C D Lời giải Chọn B Ta có: g ′ ( x ) = ( x − ) f ′ ( x − x ) + x3 − x + x = ( x − 1) f ′ ( x − x ) + ( x − 1) ( x − x ) = ( x − 1)  f ′ ( x − x ) + ( x − x )  Đặt = t x − x Khi đồ thị hàm số f ′ ( t ) cắt đường thẳng y = −t bốn điểm phân biệt: t = −1 , t = , t = , t = Page 11 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x = x =   − = − x x x =  Suy ra: g ′ ( x ) = ⇔  x − x = ⇔  x = ∨ x =   x= 1±  x2 − 2x =   2  x = ±  x − 2x = x < 1− ∨ x > 1+  x2 − 2x >   Ta có: f ′ ( x − x ) > − ( x − x ) ⇔ 0 < x − x < ⇔ 1 − < x < ∨ < x < + VN    x − x < −1 Khi BBT sau: Vậy hàm số g ( x ) có bốn điểm cực tiểu Cho đồ thị hàm số f ( u ( x ) ) , f ′ ( u ( x ) ) bảng xét dấu hàm, f ( u ( x ) ) , f ′ ( u ( x ) ) Xét cực trị hàm f ( v ( x ) ) PHƯƠNG PHÁP o Đạo hàm xét dấu thông thường o Chọn hàm đại diện o Đặt ẩn phụ o Ghép trục  Nhắc lại quy tắc dấu tích, thương, tổng biểu thức: Câu 10: f ( x) + − + − g ( x) + − − + f ( x ) g ( x ) + + − − f ( x) : g ( x) + + − − f ( x) + g ( x) + − Chưa biết Chưa biết Cho hàm số y = f ( x ) bậc bốn có đạo hàm liên tục  Hàm= số y f ′ ( x − 1) có đồ thị hình Page 12 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ y f (1 − x ) có điểm cực đại? Hàm số= A B C D Lời giải Chọn D Cách Chọn hàm đại diện = y f ′ ( x − 1) hàm số bậc ba có nghiệm x = Quan sát đồ thị ta thấy −2, x = 1, x = − ( x + )( x − 1)( x − ) [chưa xác 100% phù hợp trắc Ta chọn: f ′ ( x − 1) = nghiệm] Đặt t = x − ⇒ x = t +1  t +1   t +1   t +1  ⇒ f ′ (t ) = − + 2 − 1  − 2 = − ( t + )( t − )( t − ) 27     ⇒ f ′( x) = − ( x + )( x − )( x − ) 27 1 Suy f ′ (1 − x ) = − (1 − x + )(1 − x − )(1 − x − ) = ( x − )( x + 1)( x + ) 27 27 y f (1 − x ) Xét hàm số= −2 ⇒ y′ = −2 f ′ (1 − x ) =( x − )( x + 1)( x + ) (1 − x )′ f ′ (1 − x ) = 27 Dấu y′ y f (1 − x ) có điểm cực đại Ta suy hàm số= Cách Xét dấu đạo hàm y′ y f (1 − x ) Xét= ⇒ y′ =− −2 f ′ (1 − x ) ⇒ y′ =0 ⇔ f ′ (1 − x ) =0 (1) (1 x )′ f ′ (1 − x ) = Page 13 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  x =−2 3 x − =−7  x = −7   Theo đồ thị f ′ ( x − 1) = ⇔  x = ⇔ 3 x − = ⇒ f ′ ( x ) =0 ⇔  x =2  x 3 x −  x = = = x = −7 1 − x =  Khi đó: (1) 1 − x = − , nghiệm nghiệm bội lẻ ⇔ x =  1 − x =  x = −2  Dấu y′ y f (1 − x ) có điểm cực đại Ta suy hàm số= Câu 11: y f ′ ( x + 1) hình vẽ Hàm số Cho hàm số y = f ( x ) bậc bốn có đồ thị hàm số= = y f ( x − 3) có điểm cực trị? A C B D Lời giải Chọn C Cách Chọn hàm đại diện = y f ′ ( x + 1) hàm số bậc ba có hai Hàm số y = f ( x ) bậc bốn, quan sát đồ thị ta thấy nghiệm x = −2 , x = , x = nghiệm bội chẵn Ta chọn: f ′ ( x + 1) = − ( x + )( x − 1) ⇒ f ′ ( x ) = − ( x + 1)( x − ) [nếu tự luận thêm k > ] 2 Xét = y f ( x − 3) ( ⇒ y′ = xf ′ ( x − 3) = −2 x ( x − )( x − ) = −2 x ( x − ) x − ) (x + 5) 2 Ta có bảng xét dấu hàm số = y f ( x − 3) Page 14 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ bảng biến thiên ta suy hàm số có điểm cực trị Cách Xét dấu đạo hàm y′ Xét hàm số = y f ( x − 3)  Ta có = y f ( x − 3) ⇒ y=′ xf ′ ( x − 3) x = y′ =0 ⇔ xf ′ ( x − 3) =0 ⇔  ′ − = f x ( )   x =−2  x + =−1  Từ đồ thị f ′ ( x + 1) = ⇔  ⇔ = = x x +1 t = −1 , t = nghiệm bội chẵn 0⇔ ⇒ f ′ (t ) = t = x = x = x =    Khi  ⇔  x − =−1 ⇔  x =± , x = ± nghiệm bội chẵn ′  f ( x − 3) =   2 x − = x = ± Ta có bảng biến thiên hàm số = y f ( x − 3) Từ bảng biến thiên ta suy hàm số có điểm cực trị Cách Xét dấu đạo hàm y′ t = −2 Đồ thị y = f ′ ( t + 1) = ⇔  t = 1( kep ) t x′ = x Đặt t + = x − ⇒  = t x −  ′ Khi y′=  f ( x − 3)  = x f ′ ( x − 3)= f ′ ( t + 1) t x′= x f ′ ( t + 1) x = ±  x − =−2 t = −2   ⇒ y′ =0 ⇔ t = ⇔  x2 − = ⇔  x =± x   x 0= = 2x =   BBT hàm số = y f ( x − 3) , nhờ y′= x f ′ ( x − 3)= f ′ ( t + 1) t x′= x f ′ ( t + 1) Page 15 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ bảng biến thiên ta suy hàm số có điểm cực trị = y f ′ ( x − 1) hình Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số vẽ Hỏi hàm số= y f (1 − x ) có điểm cực trị? A B D C Lời giải Chọn D Cách Chọn hàm đại diện = y f ′ ( x − 1) hàm số dạng bậc bốn có nghiệm x = Quan sát đồ thị ta thấy 0, x = 2, −2, x = x = −2 nghiệm bội chẵn Ta chọn: y = f ′ ( x − 1) = ( x + ) x ( x − ) ⇒ f ′ ( x ) = ( x + 3) ( x + 1)( x − 1) 2 Xét= y f (1 − x ) f ′ (1 − x ) −2 x (1 − x + 3) (1 − x= ⇒ y′ = −2 x = + 1)(1 − x − 1) −2 x ( − x ) ( x − ) 2 Ta có bảng xét dấu hàm số= y f (1 − x ) Từ bảng biến thiên ta suy hàm số có điểm cực trị Cách Xét dấu đạo hàm y′  Xét= y f (1 − x ) ta có y′ = −2 x f ′ (1 − x ) x = y′ = ⇔ −2 x f ′ (1 − x ) = ⇔   f ′ (1 − x ) =  x =−2  x − =−3  Từ đồ thị hàm số f ′ ( x − 1) ta có f ′ ( x − 1) =0 ⇔  x =0 ⇔  x − =−1  x  x − 1 = = Page 16 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  x = −3 ⇒ f ′( x) = −1 , x = −3 nghiệm bội chẵn ⇔  x =  x = x =  x = ±2  x = − x = −   Khi  ⇔ ⇔ x = ± , x = 0, x = ± nghiệm bội lẻ 1 − x = ′ −1   f (1 − x ) =  x = 1 − x =1 Ta có bảng xét dấu y′ Vậy hàm số= y f (1 − x ) có điểm cực trị Câu 13: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) Bảng xét dấu bên đạo hàm f ′ ( x − ) Hàm số g (= x) f ( ) x + x + có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn D = y f ′ ( x − ) ta suy bảng xét dấu hàm số y = f ′ ( x ) Từ bảng xét dấu Ta có g ′ ( x ) = x +1 x + 2x + f′ ( ) x2 + x +  x + =0   x = −1  x + =0 −1  x + 2x + =  g ′ ( x )= ⇔  ⇔ ⇔  x =−1 + 2  f ′ x + 2x + =  x + 2x + =  x =−1 − 2     x + 2x + = Bảng xét dấu: ( ) Page 17 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ bảng xét dấu ta suy hàm số g (= x) f Câu 14: ( ) x + x + có điểm cực trị y f ′ (1 − x ) hình Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số= vẽ Số điểm cực trị hàm số y= f ( x − x − ) A B C D Lời giải Chọn C Cách Chọn hàm đại diện y f ′ (1 − x ) hàm số bậc ba có nghiệm x = Quan sát đồ thị ta thấy= 0, x = −2, x = Ta chọn: y =f ′ (1 − x ) =( x + ) x ( x − 1) =− ( − x + − 3)( − x + − 1)( − x + 1) ⇒ f ′( x) = − ( x − 3)( x − 1) x Xét y= f ( x − x − ) ⇒ y′ = − ( x − ) ( x − x − − 3)( x − x − − 1)( x − x − ) ( 2x − 2) f ′ ( x2 − 2x − 2) = = − ( x − ) ( x − x − )( x − x − 3)( x − x − ) x = x =   x= 1± x − 2x − =  , nghiệm bội lẻ 0⇔ y′ = ⇔ x = −1  x − 2x − =   x =  x − x − =  x= 1± Vậy hàm số có điểm cực trị Cách Xét dấu đạo hàm y′ x = y f ′ (1 − x ) suy f ′ ( x ) =0 ⇔  x =1 Từ đồ thị hàm số=  x = Xét y = f ( x − x − ) ⇒ y′ = ( x − 2) f ′ ( x2 − x − 2) Page 18 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x = =  x 1= x    x= 1± 2 x x x x − = − − = − +) y′ = , nghiệm 0⇔ ⇔ ⇔ x = −1  x − x=  x − x=  −2 −3   x = 2  x − x − =  x − x − =  x= 1± nghiệm bội lẻ +) Bảng xét dấu y′ : Suy hàm số y= f ( x − x − ) có điểm cực trị Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) xác định  hình vẽ đồ thị hàm số = y f ′ ( x + x − 1) Hàm số = y f ( x − x ) có điểm cực đại? A B C D Lời giải Chọn C Xét = y f ( x − x ) , ta có y′ =− ( 2x 2) f ′ ( x2 − x )  x =−1 ⇔ t =x3 + x − =−5  Từ đồ thị ta suy f ′ ( x3 + x − 1) =0 ⇔  x =1 ⇔ t =x3 + x − =3  x = ⇔ t = x3 + x − = 35  t = −5  Đặt t = x3 + x − Suy f ′ ( t ) =0 ⇔ t =3 t = 35 Page 19 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x = x =  x = −1  x − 2x = −5   x x − = −  ⇔  x =3 Do f ′ ( x − x ) =0 ⇔  x − x =3 Suy y′ =0 ⇔   x − 2x =   x2 − x =  35 x =  35  x − x =  x = −5 Bảng xét dấu: Suy hàm số = y f ( x − x ) có điểm cực đại Câu 16: y f ′ ( − x ) hình Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số= vẽ Số điểm cực trị hàm số y = f ( x − x + 3) A C B D Lời giải Chọn A Xét hàm số y= g ( x = ) f ( x − x + 3) x = Ta có: y′ =( x − ) f ′ ( x − x + 3) =0 ⇔   f ′ ( x − x + 3) =  x = −6  x = −3  f ′ (3 − x ) ⇔  x = −1 Từ đồ thị ta có y =  x =  x = Page 20 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ t = t =  Đặt t = − x ⇒ f ' ( t ) = ⇔ t =  t = −1 t = −3 Do  x2 − x + =  x2 − x − =  x = −1   x =  x − 2x + =  x − 2x − = f ′ ( x − x + 3) =0 ⇔  x − x + =4 ⇔  x − x − = ⇔  x= 1±   2   x − x + =−1  x − 2x + =    x = ±  x − x + =−3  x − x + = Phương trình f ′ ( x − x + 3) = có nghiệm bội đơn phân biệt suy hàm số y= g ( x = ) f ( x − x + 3) có điểm cực trị có điểm cực trị dương Do hàm số y = f ( x − x + 3) có điểm cực trị Câu 17: Cho hàm số f ( x ) xác định liên tục  , g = ( x ) f ′ (1 − x ) hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ  x −1  Hàm số y = f   có tối đa điểm cực trị?  x−2 A B C D Lời giải Chọn D y f ′ (1 − x ) ta có: • Từ đồ thị hàm số= t =  x = −2  f ′ (1 − x ) =0 ⇔  x =0 Đặt t = − x Suy f ′ ( t ) =0 ⇔ t =1 t = −1  x = Page 21 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  x −1  • Xét h ( x ) = f   với x ≠  x−2 −1  x −1  ⇒ h′ ( x ) = f ′   ( x − 2)  x −   x −1  x − = −1   x = x −1  0⇔ ⇔ h′ ( x ) = = x−2 x =   x −   =3  x − • Ta có bảng biến thiên sau: Suy đồ thị hàm số y = h ( x ) có điểm cực trị • Ta thấy đường thẳng y = cắt đồ thị y = h ( x ) nhiều điểm Vậy hàm số = y h= ( x) Câu 18:  x −1  f  có tối đa điểm cực trị  x−2 = y f ′ ( x + 1) Cho hàm đa thức y = f ( x ) liên tục, có đạo hàm  , có bảng xét dấu sau: Số điểm cực đại hàm số = y f ( x + x + 1) A B C D Lời giải Chọn D Từ bảng xét dấu f ′ ( x + 1) ta có:  x = −1 t =  f ′ ( x + 1) = ⇔  x = Đặt t= x + ta có f ′ ( t ) =0 ⇔ t =1  x = t = Mặt khác ta có: g ( x )= f ( x + x + 1) ⇒ g ′ ( x )= ( x + 1) f ′ ( x + x + 1)= Page 22 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  x =    x = −1   2x + =0   x = −1 +  x x + + = ⇔ ⇔   x + x +1 =  1 − −  x =    x + x + =2  −1 x =  Ta có bảng biên thiên sau: Vì = x ) f ( x + x + 1) đối xứng qua trục tung nên hàm số y g ( x= ) f ( x + x + 1) g ( = = y f ( x + x + 1) có điểm cực đại Câu 19: = y f ( x + ) hình vẽ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số Tìm số điểm cực trị hàm số = y f ( x3 − ) A B C D Lời giải Chọn A  x = ( loaïi ) y′ =3 x f ′ ( x − ) ⇒ y′ =0 ⇔  (1)  f ′ ( x − ) = Page 23 CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  x = −1 t = x = t x + Suy f ′ ( t ) =0 ⇔ t =7 Ta có f ′ ( x + ) =0 ⇔  Đặt = x = t =   x = ( loaïi ) x =  x=  x3 −2 =    ⇒ (1) ⇔  x − = ⇔  x3 = ⇔  x =  x=  x3 11   x = 11  −2 =  Vậy hàm số có điểm cực trị Page 24