Chuyên đề cực trị hàm số

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT ❖ Định nghĩa • Giả sử hàm số f xác định tập K x0  K Ta nói: • x điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x cho ( a; b )  K f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f • x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng ( a; b ) chứa x cho ( a; b )  K f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị • Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K • Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số • Nếu x điểm cực trị hàm số điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f ❖ Quy tắc tìm cực trị ➢ Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  ( x ) • Bước 2: Tìm điểm x i ( i = 1; 2; ) mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục đạo hàm • Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f  ( x ) Nếu f  ( x ) đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i ➢ Định lý • Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng ( x0 − h; x0 + h ) với h  Khi đó: • Nếu f  ( x0 ) = 0, f  ( x0 )  hàm số f đạt cực đại x0 • Nếu f  ( x0 ) = 0, f  ( x0 )  hàm số f đạt cực tiểu x0 Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số ➢ Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f  ( x ) • Bước 2: Tìm nghiệm x i ( i = 1; 2; ) phương trình f  ( x ) = • Bước 3: Tính f  ( x ) tính f  ( xi ) Nếu f  ( xi )  hàm số f đạt cực đại điểm xi Nếu f  ( xi )  hàm số f đạt cực tiểu điểm xi | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Hàm số y = x + x − 3x + đạt cực tiểu điểm A x = −1 B x = C x = −3 D x = Chọn B Ta có hàm số y = x + x − 3x + có tập xác định D =  x=1 y  = x + x − ; y =    x = −3 y = x + ; y ( −3 ) = −4  ; y ( 1) =  Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x = VÍ DỤ Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − ) x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Lời giải Chọn B Xét hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − ) x (1)  y = 3x − ( m + 1) x + ( m − ) Ta có: y =  x − ( m + 1) x + m − = (2) Hàm số cho khơng có cực trị  Phương trình y = vơ nghiệm có nghiệm kép  ( )   ( m + 1) − ( m − )   m2 − 5m +    m  Do m số nguyên nên m   1; ; ;  Vậy tập S có phần tử ( ) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − ( x − ) với x  Hàm số g ( x ) = f ( − x ) có điểm cực đại? A B C D Lời giải Chọn B Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Ta có g ( x ) = f ( − x )  g ( x ) = − f  ( − x ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Từ bảng biến thiên hàm số f ( x ) ta có  − x  −1 x  g ( x )   f  ( − x )     1  − x   −1  x  Như ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g ( x ) có điểm cực đại VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Số điểm cực trị hàm số y = f ( x) A B C D Lời giải Chọn B Gọi đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) Đặt g ( x ) = f ( x ) gọi ( C  ) đồ thị hàm số y = g ( x ) Đồ thị ( C  ) suy từ đồ thị (C ) sau: Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) phía Ox ta phần I Với phần đồ thị ( C ) phía dưới Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta phần II Hợp phần I phần II ta ( C  ) Từ cách suy đồ thị ( C  ) từ ( C ) , kết hợp với bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) = f ( x ) sau: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x) có điểm cực trị VÍ DỤ Cho hàm số y = số đạt cực tiểu x = ? A.Vô số x5 m − ( 2m − 1) x − x + 2019 Có giá trị tham số m để hàm B.1 C.2 D.0 Lời giải Chọn B Ta có y = x − ( 2m − 1) x − mx = x  x − ( 2m − 1) x − m  Dễ thấy x = nghiệm đạo hàm y  Do hàm số đạt cực tiểu x = y  đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x = Ta thấy dấu y  dấu hàm số g ( x ) = x − ( m − 1) x − m Hàm số g ( x ) đổi dấu qua giá trị x = x = nghiệm g ( x ) Khi g ( ) =  m = Thử lại, với m = g ( x ) = x + x đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x = Vậy có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn VÍ DỤ Tìm tất giá trị m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = x − 3mx + cắt đường tròn tâm I ( 1;1) , bán kính R = hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất? A m = 1 B m = 2 C m = 2 D m = 2 Lời giải Chọn B Ta có y = x − 3mx +  y = 3x − 3m Hàm số y = x − 3mx + có điểm cực trị  phương trình y = 3x − 3m = có hai nghiệm phân biệt  m  ( 1) Ta có: y = x.y − 2mx + Suy phương trình đường thẳng  qua hai điểm cực đại cực tiểu y = −2 mx +  mx + y − = Đường thẳng  cắt đường trịn tâm I ( 1;1) , bán kính R = hai điểm phân biệt A , B Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  d( I; )  R  2m − 4m +   2m −  4m2 +  −4m  m  1 Ta có SIAB = IA.IB.sin AIB = sin AIB  Dấu xảy  sin AIB =  AIB = 90 2 Khi tam giác IAB vng cân I có IA = nên d( I; ) = 2m − 2 2 thỏa mãn đk (1)  =  m2 − m + =  m = 2 2 4m + Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn m = 2 VÍ DỤ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + ( m − ) x + 3m − có ba điểm cực trị A m  ( 2; + ) B m  ( −2; ) C m  ( −; ) D m  ( 0; ) Lời giải Chọn C ( Ta có: y = x + ( m − ) x + 3m − ; y ' = x + ( m − ) x = x x + m − ) x = y' =    x = − m (1) Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình y ' = có ba nghiệm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  − m   m  ( ) VÍ DỤ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x) = ( x + 1)2 x − x Có giá trị nguyên dương ( ) tham số m để hàm số g( x) = f x − 12 x + m có điểm cực trị ? A 18 B 17 C 16 D 19 Lời giải Chọn B  x = −1  Ta có : f ( x) =  ( x + 1) x − x =   x = , x = −1 nghiệm kép  x = ( ( ) ) ( g( x) = f x − 12 x + m  g ( x ) = ( x − 12 ) f  x − 12 x + m ( ) ) Xét g ( x ) =  ( x − 12 ) f  x − 12 x + m = (*) x = x =   2 x − 12 x + m = −1  x − 12 x + m = −1 (l)    2 x − 12 x = − m ( 1) x − 12 x + m =    x − 12 x = − m ( )  x − 12 x + m =  ( Điểm cực trị hàm số g ( x ) nghiệm bội lẻ phương trình (*) nên ta loại phương trình x − 12 x + m = −1 ) Xét hàm số y = x − 12 x có đồ thị (C) có y ' = x − 12 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số Ta có bảng biến thiên Để g ( x ) có điểm cực trị phương trình ( 1) ; ( ) có hai nghiệm phân biệt  Do đó, đường thẳng y = − m y = − m phải cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hồnh độ khác Nhận xét: đường thẳng y = − m nằm đường thẳng y = − m Ta có: −18  − m  m  18 Vậy có 17 giá trị m ngun dương VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) = x − ( 2m − 1) x + ( − m ) x + với m  Tập hợp tất giá trị m để hàm số y = f ( x ) có cực trị khoảng ( a; b ) Tích a.b A 12 B 16 C 10 D 14 Lời giải Chọn D Ta có y = x − ( 2m − 1) x + − m ( ) Vì f ( x ) hàm chẵn f ( − x ) = f ( x ) , nên đồ thị hàm f ( x ) đối xứng qua trục Oy Do đó, hàm f ( x ) có hai cực trị dương hàm f ( x ) có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy cực trị cịn lại giao điểm đồ thị hàm f ( x ) trục Oy Yêu cầu toán tương đương với phương trình y = có nghiệm dương phân biệt  m − 3m −    ( m − 1) − ( − m )       m  Điều kiện tương đương S   2 m −  P  8 − m    m     m  −1  m   7    m   m   ;8  Vậy a = , b = a.b = 14 4   m    Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 DẠNG Câu 1: Cơ cực trị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x − 2018 )( x − 2019 )( x − 2020 ) Hàm số cho có điểm cực trị? A B Câu 2: Câu 3: Hàm số y = x + x − 3x + đạt cực tiểu điểm A x = −1 B x = C x = −3 B B x = C M ( 0; ) D y = B Hàm số y = C 2x + có điểm cực trị? x+1 B C D D Đồ thị hàm số y = x − 3x − x + có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB ? A M ( 0; − 1) Câu 9: D Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = x ( x − 1)( x + ) Số điểm cực trị hàm số cho A Câu 8: C Hàm số y = x − x + có điểm cực đại A Câu 7: D Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = x ( x − 1)( x + ) Số điểm cực trị hàm số cho A x = Câu 6: D x = C B A Câu 5: D Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x + ) , x  Số cực trị hàm số cho A Câu 4: C B Q ( −1;10 ) C P ( 1; ) D N ( 1; − 10 ) Số sau điểm cực đại hàm số y = x − x + x + A B C D Câu 10: Cho y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 2)( x − 3)2 Khi số cực trị hàm số y = f ( x + 1) A B C D Câu 11: Cho hàm số y = x − x + Xét mệnh đề sau 1) Hàm số có điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến khoảng ( −1; ) ; ( 1; + ) 3) Hàm số có điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến khoảng ( −; −1) ; ( 0;1) Có mệnh đề bốn mệnh đề trên? A B C D 2019 2019 + C2019 x + C2019 x + + C2019 x Câu 12: Hàm số f ( x ) = C2019 có điểm cực trị? | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số A B 2018 D 2019 C Câu 13: Cho hàm số y = x − 3x + Tọa độ điểm cực tiểu đồ thị hàm số B ( −1; ) A ( −2; ) C ( 0;1) D ( 1; ) 2 10 10 x + C10 x + + C10 x Số điểm cực trị hàm số cho Câu 14: Cho hàm số f ( x) = + C10 A 10 B C D ( ) Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1)( x − ) 3x − , x  hàm số cho A C B ( )( D ) Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − x − 3x , x  hàm số cho Chọn khẳng định A T = f ( ) B T = f ( ) C T = f ( −3 ) ( )( ) Câu 17: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − x − 3x , x  hàm số cho Chọn khẳng định A T = f ( ) B T = f ( ) Số điểm cực trị C T = f ( −3 ) Gọi T giá trị cực đại D T = f ( ) Gọi T giá trị cực đại D T = f ( ) Câu 18: Gọi A , B , C điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x + Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC A +1 B C − D Câu 19: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác, gọi ABC Tính diện tích ABC A S = B S = C S = D S = Câu 20: Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m − ) x Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để hàm số khơng có cực trị Số phần tử S A B C D Vô số Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) có ba điểm cực trị −2; − 1; có đạo hàm liên tục Khi hàm số y = f ( x − x) có điểm cực trị? A B C D Câu 22: Cho hàm số f ( x) = x ( x − 1)e x có nguyên hàm hàm số F( x) Số điểm cực trị hàm số F( x) A B Câu 23: Số điểm cực trị hàm số y = sin x − C D x , x  ( − ;  ) B C D Câu 24: Biết phương trình ax + bx + cx + d = ( a  ) có hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số A y = ax + bx + cx + d có điểm cực trị? Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh A B Câu 25: Số điểm cực trị hàm số f ( x ) = Fanpage: Luyện thi Đại học 2022 D C x2 2tdt  1+ t 2x A B C D Câu 26: Cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số y = f ( −2 x + x) A B C D 1 Câu 27: Biết đồ thị hàm số y = x2 − 3x − có ba điểm cực trị thuộc đường tròn ( C ) Bán x kính ( C ) gần với giá trị đây? A 12,4 B 6,4 C 4,4 ( ) D 27 Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( − x ) x − + x , x  y = f  ( x ) − x − có điểm cực tiểu Hỏi hàm số A B C D ax + b Câu 29: Cho hàm số y = có đồ thị hình vẽ Chọn mệnh đề mệnh đề sau: cx + d A Hàm số y = ax + bx + cx + d có hai điểm cực trị trái dấu B Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục tung điểm có tung độ dương C Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung D Tâm đối xứng đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d nằm bên trái trục tung Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c với a  , c  2018 a + b + c  2018 Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) − 2018 B A Câu 31: Hàm số f ( x ) = A C D x − m có nhiều điểm cực trị? x +1 B C ( D ) Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − ( x − ) với x  g ( x ) = f ( − x ) có điểm cực đại? A B Câu 33: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục C D bảng xét dấu đạo hàm Hàm số y = f ( − x + x − 6) + x6 − 3x − 12 x có tất điểm cực tiểu? A B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C D Hàm số Chủ đề 02: Cực trị hàm số BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A 10 11 12.A 13.D 14.D 15.C 16.C 17.C 18.C 19.B 20.B 21 22.A 23.D 24.D 25.D 26.D 27.B 28.D 29.A 30.D 31 32.B 33.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A Tập xác định: D =  x = 2018  Ta có: f  ( x ) =   x = 2019  x = 2020 Bảng xét dấu f  ( x ) : Dựa vào bảng xét dấu f  ( x ) ta thấy f  ( x ) đổi dấu qua hai điểm x = 2018 ; x = 2019 nên hàm số cho có hai điểm cực trị Câu 2: Chọn B Ta có hàm số y = x + x − 3x + có tập xác định D =  x=1 y  = x + x − ; y =   ; y = x + ; y ( −3 ) = −4  ; y ( 1) =   x = −3 Suy hàm số đạt cực tiểu điểm x = Câu 3: Chọn B Ta có f ' ( x ) đổi dấu qua giá trị x = x = Câu 4: −3 nên hàm số có cực trị Chọn B  x=0  Xét phương trình f  ( x ) =   x =  x = −2 Ta có bảng xét dấu sau: Dễ thấy f  ( x ) đổi dấu qua x = −2 f  ( x ) đổi dấu qua x = nên hàm số có điểm cực trị Câu 5: Chọn B Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 21: Tìm m để đồ thị hàm số y x 2mx 2 3m có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận G 0;7 A m = B m = − C m = −1 D m = − Câu 22: Cho hai đường cong ( C1 ) : y = x − ( m + 1) x + ( C2 ) : y = ( x + 1) − x − x + 3m Biết đường cong có điểm cực trị tạo thành tam giác đồng thời tam giác đồng dạng với Hỏi m thuộc khoảng đây? A (1;2 ) B ( 0;1) C ( 2;3) D ( 3; ) Câu 23: Đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Mệnh đề đúng? A m  ( 6;9 ) B m  ( −6; −3) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C m  ( −3;2 ) D m  ( 2;6 ) Chủ đề 02: Cực trị hàm số HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + có ba điểm cực trị A ( 0;1) , B , C thỏa mãn BC = A m = Chọn D Tập xác định D = B m = 4 D m = C m = 2 Lời giải Ta có: y = x3 − 4mx = x ( x − m ) Để hàm số có cực trị m   y (0) = x = , suy A ( 0;1) , B y =    x =  m  y  m = − m2  ( ) ( ) ( ) m ;1 − m , C − m ;1 − m BC =  4m =  m = Câu 2: Cho đồ thị hàm số y = ax + bx + c có điểm cực đại A ( 0; −3) điểm cực tiểu B ( −1; −5 ) Tính giá trị P = a + 2b + 3c A P = B P = −5 C P = −9 Lời giải D P = −15 Chọn D  c = −3 a + b = −2 Đồ thị hàm số qua điểm A ( 0; −3) B ( −1; −5)    a + b + c = −5  c = −3 (1) y = ax + bx + c  y = 4ax + 2bx Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu B ( −1; −5 )  −4a − 2b = ( 2) a + b = −2 a =  Từ (1) (2) suy  −4a − 2b = b = −4 a =  Với b = −4  y = x − x −  y = x3 − x  y = 24 x − c = −3  x = y =    x = 1 y ( ) = −8   A ( 0; −3) điểm cực đại y ( −1) = 16   B ( −1; −5 ) điểm cực tiểu a =  Vậy b = −4  P = a + 2b + 3c = −15 c = −3  Câu 3: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = mx + ( 2m − 1) x + m − có điểm cực đại mà khơng có điểm cực tiểu Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh m  A  m   Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 m  C  m   Lời giải B m  D m  Chọn B Xét m = , y = − x − hàm số bậc hai có a = −1  nên đồ thị Parabol có bề lõm hướng xuống nên có cực đại mà khơng có cực tiểu Suy m = thỏa mãn đề Xét m  , y = mx + ( 2m − 1) x + m − hàm số bậc dạng trùng phương Để đồ thị hàm số y = mx + ( 2m − 1) x + m − có điểm cực đại mà khơng có điểm cực m   m   m0     m  tiểu  m ( 2m − 1)    m   Vậy m  Câu 4: Để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích , giá trị tham số m thuộc khoảng sau đây? C ( 0;1) B ( 2;3) A ( −1;0 ) D (1;2 ) Lời giải Chọn D Tập xác định: D = Ta có y = x3 − 4mx = x ( x − m ) +) Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị  Phương trình y  = có ba nghiệm phân biệt  m  ( *) x = +) Với m  , ta có y =   x =  m ( ) ( Gọi A ( 0; m − 1) , B − m ; −m + m − , C ) m ; −m + m − ba điểm cực trị đồ thị hàm số cho Vì A  Oy; B C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A (tham khảo hình vẽ) Gọi H = BC  Oy  AH ⊥ BC  S ABC = AH BC = 2  ( y A − yH )( xC − xB ) = (với yH = yB = yC ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số  m2 m =  m2 m =  m =  (1; ) Câu 5: 2 Cho hàm trùng phương y = f ( x ) = x − ( m + 1) x + m − có đồ thị ( C ) Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị ( C ) Để tam giác ABC giá trị tham số m nằm khoảng sau đây? 1 1 ;  4 2   A  1 4 1  ;1 2  B  ;  D (1; ) C  Lời giải Chọn A Tập xác định: D = y = x3 − ( m + 1) x ; y =  x ( x − m − 1) =   x=0 x = m +1 Hàm số có ba điểm cực trị phương trình y = có ba nghiệm phân biệt  m +  x =   m  −1 Khi y =   x = m + x = − m +1  (C ) Đồ thị có ba điểm cực trị A ( ; m − ) , B ( ( m + ; − ( m + 1) + m2 − ) ) C − m + ; − ( m + 1) + m2 − Ta có AB = AC = m + + ( m + 1) Do tam giác ABC  AB = BC  m + + ( m + 1) = ( m + 1)  m + + ( m + 1) = ( m + 1)  ( m + 1) − ( m + 1) =  ( m + 1) ( m + 1) − 3 =   m + =  m = −1   So điều kiện m  −1 ta nhận  3 m = − + ( m + 1) − =  Câu 6: m = −1 + 3 Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m   −20; 20 để hàm số y = x + 2(m − 2) x + có điểm cực tiểu Số phần tử tập S A 19 B 21 C 20 Lời giải D 41 Chọn A Điều kiện để hàm số y = x + 2(m − 2) x + có điểm cực tiểu a =  phương trình y ' = có nghiệm Ta có: y ' = x3 + 4(m − 2) x x = y ' =  x( x + m − 2) =    x = − m (*) Để phương trình y ' = có nghiệm x = phương trình (*) vơ nghiệm có nghiệm x =  − m   m  Vậy m  2,3, , 20 hay có 19 giá trị tham số m   −20; 20 thỏa mãn Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 7: Cho hàm số y = x − 2mx + Tổng bình phương giá trị m để hàm số có ba cực trị đường trịn qua ba cực trị có bán kính , gần với số nguyên số nguyên sau? A B C 16 D Lời giải Chọn A x = Ta có y ' = x3 − 4mx = x x − m ; y ' =   x = m ( ) Để hàm số có ba cực trị m  A ( ) ( (1) Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số ) m ; − m2 ; B − m ; − m ; C ( 0; 2) Theo giả thiết ta có = R = CA 2sin CBA = AC.BC 2CH ( 2) ( Với H trung điểm AB ta có AC = BC ) Hay ( 2)  AC.BC = 8CH  AC = 8CH  CH + AH = 8CH 8m = m + m  m − 8m + m = Khi với m  sử dụng máy tính casio ta tổng bình phương giá trị m gần 7, 654 Câu 8: Cho hàm số f ( x ) = x − 2mx + Tổng bình phương giá trị m để hàm số có ba cực trị đường trịn qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số có bán kính , gần với số nguyên số nguyên sau? A B C 16 D Lời giải Chọn A Ta có: f  ( x ) = x3 − 4mx Hàm số có ba cực trị  m  ( ) ( Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0; ) ; B − m ; − m2 ; C m ; − m2 ) Ta có: AB = m + m = AC ; BC = m AB + AC − BC m3 − 2m m =  cos BAC =  sin BAC = − cos BAC = AB AC m +1 m +1  m  −2,889 ( lo ¹ i )  2m m  m − 8m + =   m  2, 764 ( tháa m· n) Mà BC = R sin BAC  m = 2.4 m +1  m  0,125 ( tháa m· n)  Vậy tổng bình phương giá trị m 2, 7642 + 0,125  7, 655 Câu 9: Cho hàm số y = mx − ( 2m + 1) x + Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số A −  m  B m  − C −  m  D m  − Lời giải Chọn C x = Ta có y = 4mx3 − ( 2m + 1) x = x ( 2mx − 2m − 1) ; y =    2mx = 2m + * m = ta có y = − x + Vậy hàm số đạt cực đại x = m  − m0 * m  để hàm số có điểm cực đại   2m +  Vậy −  m  hàm số có điểm cực đại Câu 10: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + có ba điểm cực trị A, B, C cho trục hoành chia tam giác ABC thành tam giác hình thang biết tỉ số diện tích tam giác nhỏ chia diện tích tam giác ABC A m = 5+ B m = −1 + 15 C m = −1 + D m = + 15 Lời giải Chọn D Xét hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + y = x − ( m + 1) x x = y =   x = m +1 Hàm số có ba điểm cực trị  y = có ba nghiệm phân biệt  m  −1 ( ) Khi m  −1 , đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A ( 0; 2m + 3) , B − m + 1; − m + , C ( ) m + 1; − m + Ta có A  Oy , B, C đối xứng qua Oy  ABC cân A Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  2m +  Trục hoành chia tam giác ABC thành tam giác hình thang   −m +   m  m  −     −  m  − m     m  −  Kết hợp với điều kiện m  −1 ta m  Khi đó, gọi D, E giao điểm trục Ox cạnh AB, AC , K giao điểm BC Oy S  AO   y A   2m +  Ta có ADE =   =   = S ABC  AK   y A − yB   m2 + 2m +  2 S  2m +  Mà ADE =    = S ABC  m + 2m +   + 15 m=  2m + + 15 =  2m − 2m − =   Vì m   m= 2  m + 2m + − 15 m =  ( Vậy m = ) + 15 thoả mãn yêu cầu đề Câu 11: Với tất giá trị m hàm số y = mx + ( m − ) x + + 2m có cực trị: A m  B  m  m  C  m  Lời giải D m  Chọn C Nếu m = y = −2 x + hàm bậc hai nên có cực trị | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số x = Khi m  , ta có: y ' = 4mx + ( m − ) x = x  2mx + ( m − )  ; y ' =   2 − m x = 2m  Để hàm số có cực trị m  2−m 0 2m m  m  Kết hợp hai trường hợp ta  m   Câu 12: Tìm giá trị tham số m để hàm số y = − x + ( m + 3) x + có điểm cực trị cho giá trị cực đại hàm số đạt giá trị nhỏ A m = B m = −3 C m = −1 Lời giải Chọn A D m = −2 Xét hàm số y = − x + ( m + 3) x + Ta có y = −4 x3 + ( m2 + 3) x x = Phương trình y =  −4 x3 + ( m + 3) x =    x =  m +  Hàm số ln có điểm cực trị với m Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x =  m + Giá trị cực đại hàm số: yC § = − ( m2 + ) + ( m + 3) + = ( m + 3) + 2 2  yC § = 11 m = Câu 13: Cho hàm số y = x − 2(1 − m ) x + m + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có 2 cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn A m = B m = − 2 C m = D m = Lời giải Chọn C Tập xác định: D = x = Ta có: y  = x3 − (1 − m ) x = x  x − (1 − m )  ; y =   x = 1− m Hàm số có ba điểm cực trị − m   −1  m  ( ) Khi tọa độ ba điểm cực trị là: A ( 0; m + 1) ; B − − m2 ; −m4 + 2m2 + m ; C ( ) − m ; − m + 2m + m Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Gọi H trung điểm BC  H ( 0; −m + 2m + m ) ( ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ) ( Khi đó: AH = 0; − (1 − m2 ) ; BC = − m2 ;0 2 2 Mà m  0; m  − m   S  Vì ABC cân A nên SABC = AH BC = 2 1 − m2 ) − m2 = (1 − m2 ) − m2 ( Dấu “=” xảy m = (thỏa mãn) Vậy m = Câu 14: Cho biết đồ thị hàm số y = x − 2mx − 2m + m có điểm cực trị A, B, C với điểm D ( 0; −3) đỉnh hình thoi Gọi S tổng giá trị m thỏa mãn đề S thuộc khoảng sau đây? 9  B S   ;6  2  A S  ( 2;4 )  5 C S  1;   2 Lời giải  5 D S   0;   2 Chọn A y = x − 2mx − 2m + m (1) Hàm số (1) có điểm cực trị  2m   m  (2) Với m  , ta có  x =  y = m − 2m  y ' = x − 4mx ; y ' =   x = m  y = m − 3m   x = − m  y = m − 3m Vậy điểm cực trị đồ A ( 0; m − 2m ) ; B ( ) ( ) thị hàm số (1) m ; m − 3m ;C − m ; m − 3m Vì tứ giác ABDC có hai đường chéo 4 vng góc, ABDC hình thoi  hai đường chéo tứ giác ABDC cắt trung điểm đường  y A + yD = yB + yC  m − 2m − = 2m − 6m  m = 1 Kết hợp với điều kiện (2) suy  m − 4m + =   m =  m = giá trị m thỏa  m = ycbt  S = +  ( 2;4 ) Câu 15: Gọi A, B, C điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − x + Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC bằng? A −1 B +1 C Lời giải D Chọn A Ta có: y = x − x +  y = x3 − x = x ( x − 1)( x + 1) x =  y = Nên y =   x =  y = Vậy tọa độ điểm cực trị: A ( 0;4 ) , B (1;3) , C ( −1;3)  x = −1  y = 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số AB = AC = ; BC = p = p ( p − BC )( p − AC )( p − AC ) Diện tích tam giác: S = = (1 + ) (1 + 2+ + = 1+ 2 )( )( − 1+ − 1+ − Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác là: r = ) = (1 + )( ) −1 = S = = −1 p 1+ Câu 16: ) Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp ? A B C D Lời giải Chọn D x = y ' = x − 4mx =  x ( x − m ) =   x = m Theo u cầu tốn ta có: m  Ta có A ( 0; m − 1) ; B ( ) ( ) m ; −m + m − ; C − m ; −m + m − Gọi H trung điểm cạnh BC Ta có H ( 0; − m + m − 1) SABC = AB AC.BC AH BC = 4R  AH = m  AB = AH R   AB = m + m Suy m + m = 2m  m ( m3 − 2m + 1) =  m ( m − 1) ( m + m − 1) = m = m =     −1 +     m = −1 + Đối chiếu điều kiện ta S = 1;  2       −1 − m =  Câu 17: Gọi S tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + có điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân Tổng bình phương phần tử S A B C Lời giải Chọn A y = x − 4m x D x = y =   x =  m  Để hàm số có điểm cực trị m  Với x =  y =  A ( 0;1)  Oy Với  t + + t + + t =  t = −1  H ( −1;0;1) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh  ABC cân A Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Để điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân  AB AC =  −8m6 + =  m = 1 Vậy tổng bình phương phần tử S Câu 18: Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = mx − ( m − 3) x + m khơng có điểm cực đại? B A C Lời giải D Chọn A Tập xác định: D = Với m = hàm số trở thành y = x Khi hàm số có điểm cực tiểu, khơng có điểm cực đại Vậy m = thỏa mãn Với m  ta có: y = 4mx3 − ( m − 3) x = x  2mx − ( m − 3)  ; x = y =   m − x = 2m  m     m  Vì m  Hàm số khơng có điểm cực đại khi:  m −   2m Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa yêu cầu toán → m  1; 2;3 Câu 19: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2mx + m + có giá trị cực tiểu −1 Tổng phần tử thuộc S A −2 B C Lời giải Chọn B Ta có: y = x − 4mx TH1: Phương trình D −1 y =  x ( x − m ) = có nghiệm thực, tức hàm số y = x − 2mx + m + có điểm cực tiểu x = Khi m  Theo ra: y ( ) = m + = −1  m = −2 (thỏa mãn đk m  ) TH2: Phương trình y =  x ( x − m ) = có nghiệm thực, tức hàm số y = x − 2mx + m + có điểm cực tiểu x =  m Khi m  Theo ra: m = y  m = −m2 + m + = −1   So sánh với đk m  , giá trị thỏa mãn m =  m = −1 Vậy S = −2; 2 , tổng phần tử thuộc S ( ) Câu 20: Gọi S tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2m x + có điểm cực trị tạo thành tam giác vng cân Tổng bình phương phần tử S A B C Lời giải Chọn A 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D Chủ đề 02: Cực trị hàm số Nhận xét: Hàm số trùng phương y = ax + bx + c có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân  8a + b3 = Đồ thị hàm số y = x − 2m x + có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân  m = −1  8a + b3 =  + ( −2m2 ) =   m = Tổng bình phương phần tử S Câu 21: Tìm m để đồ thị hàm số y x4 2mx 3m có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận G 0;7 A m = B m = − C m = −1 D m = − Lời giải Chọn D TXĐ: D = Xét hàm số y x4 2mx 3m • y = x3 + 4mx x = • y =    x =  −m , ( m  ) Khi ba điểm cực trị A 0; 3m , B m ,2m ,C Tam giác ABC nhận điểm G 0;7 làm trọng tâm 7m m ,2m m2 m Câu 22: Cho hai đường cong ( C1 ) : y = x − ( m + 1) x + ( C2 ) : y = ( x + 1) − x − x + 3m Biết đường cong có điểm cực trị tạo thành tam giác đồng thời tam giác đồng dạng với Hỏi m thuộc khoảng đây? A (1;2 ) B ( 0;1) C ( 2;3) D ( 3; ) Lời giải Chọn C - Xét ( C2 ) : y = ( x + 1) − x − x + 3m y ' = ( x + 1) − x − = x ( x + 1)( x + )  x = −1  y = + 3m  A ( −1;4 + 3m )  y =   x =   y = + 3m   B ( ; + 3m )  x = −2  y = + 3m  C ( −2; + 3m ) Nhận thấy tam giác ABC cân A - Xét ( C1 ) : y = x − ( m + 1) x + , hàm số có cực trị m  −1 ' y ' = x − ( m + 1) x Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023      A ' ( 0; )  x=0  y=2    2   m + m + m + 1)  ( ) ( m +   ' y =0 x= y = 2−   B ' ;2 −    4        m + m +1  ( )   m + ( m + 1)  x = − y = 2− ;2 −    C '  −     Nhận thấy tam giác A' B 'C ' cân A ' - Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A' B 'C '  A' B ' B 'C ' = AB BC m + ( m + 1) Ta có: A B = ; B 'C ' = ( m + 1) ; AB = 5; BC = , suy + 16 ' ' m + ( m + 1) + 16 =  ( m + 1) ( m + 1) + m + ( m + 1) + ( m + 1) ( m + 1) 16  = 4 = 10 ( m + 1)  m = −1 1   m = −1 + 32  ( m + 1)  ( m + 1) − 8 =   4   m = −1 + 32 Câu 23: Đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Mệnh đề đúng? A m  ( 6;9 ) B m  ( −6; −3) C m  ( −3;2 ) D m  ( 2;6 ) Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm: x − ( m + 1) x + 2m + = (1) Đặt t = x , t  Phương trình trở thành t − ( m + 1) t + 2m + = (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương    ( m + 1) − ( 2m + 1)  m      m  −  m  −1   phân biệt, nghĩa  S   m +  P   2m +    m   m  −   Cách Gọi x1 , x2 , x3 , x4 ( x1  x2  x3  x4 ) nghiệm phương trình (1) t1 , t2 ( t1  t2 ) nghiệm phương trình (2) Theo giả thiết, ta có x4 − x3 = x3 − x2 = x2 − x1  x4 − x3 = x3 − x2  t2 − t1 = t1 + t1  t2 = 9t1  Ta có hệ 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 02: Cực trị hàm số m  t1 = + t1 + t2 = ( m + 1)  m =  9m  m  9m    t2 = +   +  +  = 2m +   (nhận) t1t2 = 2m + m = − 5 5 5   t = 9t   2 t1t2 = 2m +   Cách Với   , phương trình (1) có nghiệm t1 = 1, t2 = 2m + Biện luận trên, ta có hai m = t2 = 9t1  trường hợp  (nhận) m = − t1 = 9t2  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023