Chuyên đề cô lập đường thẳng trong biện luận đồ thị hàm số chứa tham số

Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên CHUYÊN ĐỀ CÔ LẬP ĐƯỜNG THẲNG TRONG BIỆN LUẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ A Cơ sở lý thuyết chung I Các phép biến đổi đồ thị hàm số Phép tịnh tiến theo véc tơ u = ( a;b ) Bài toán: Cho đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x) tìm đồ thị ( C ' ) hàm số y = F ( x) thu tịnh tiến ( C ) theo véc tơ u = ( a; b ) Cách vẽ: - Mỗi điểm A ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị y = f ( x ) cho ta điểm A '( x '0 ; y '0 ) thuộc đồ thị y = F ( x ) Khi đó:  x '0 − x0 = a  x0 = x '0 − a AA ' = u     y '0 − y0 = b  y0 = y0 − b - Điểm A ' ( x '0 ; y '0 )  ( C ' ) nên y '0 = F ( x '0 ) - Điểm A ( x0 ; y0 )  ( C ) nên y0 = f ( x0 )  y '0 − b = f ( x '0 − a ) Do đó:  y '0 = F ( x '0 )  y '0 = F ( x '0 )    y '0 − b = f ( x '0 − a )  F ( x '0 ) − b = f ( x '0 − a )  y '0 = f ( x '0 − a ) + b Vậy sau phép tịnh tiến ta thu đồ thị ( C ' ) y = f ( x − a ) + b Bài toán nghịch: Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + m) + n từ đồ thị y = f ( x)  y = F ( x ) = f ( x − a ) + b Cách vẽ: Đồng  ta có: y = f x + m + n ( )  a = −m  u = ( −m; n )  b = n  Ghi nhớ: https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Để thu ( C ' ) : y = f ( x + m ) + n từ ( C ) : y = f ( x ) ta dịch chuyển đồ thị ( C ) sang trái m đơn vị lên n đơn vị Áp dụng: Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) = x − , vẽ đồ thị hàm số a) y = f ( x ) + b) y = f ( x − 2) c) y = f ( x − 2) + Giải: y = f ( x) = x − a) y = f ( x) +  u = (−m; n) = (0;3) ta dịch chuyển lên đơn vị b) y = f ( x − 2)  u = (−m; n) = (2;0) ta dịch chuyển sang phải đơn vị c) y = f ( x − 2) +  u = (−m; n) = (2;3) ta dịch chuyển sang phải đơn vị lên đơn vị https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Phép đối xứng qua trục Ox Bài toán: Cho đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x) , vẽ đồ thị ( C ' ) hàm số y = f ( x) Cách vẽ: Tại điểm A ( x0 ; y0 ) ( C ) qua phép đối xứng qua trục Ox cho điểm A ' ( x0 ; − y0 ) thuộc độ thị ( C ' ) Ta ln có:  y '0 = y0 , y0    y '0 = − y0 , y0  Do ta có đồ thị ( C ' ) bao gồm phần đồ thị ( C ) có tung độ khơng âm tập hợp điểm đối xứng với ( C ) ( C ) có tung độ âm Ghi nhớ: Để thu đồ thị ( C ' ) hàm số y = f ( x) từ đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x) , ta giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nửa trục Ox lấy đối xứng với đồ thị ( C ) nửa trục Ox Áp dụng Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) = x − , vẽ đồ thị hàm số a) y = f ( x) b) y = f ( x − 2) c) y = f ( x) − d) y = f ( x − 2) − e) y = f ( x − 2) − + Giải: a) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) lấy đối xứng phần bên trục Ox https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên b) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x − 2) lấy đối xứng đồ thị thu c) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) − lấy đối xứng đồ thị thu d) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x − 2) − lấy đối xứng đồ thị thu e) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x − 2) − , lấy đối xứng đồ thị thu dịch chuyển lên đơn vị https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Phép đối xứng qua trục Oy Bài toán: Cho đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x) , vẽ đồ thị ( C ' ) hàm số y = f ( x ) Cách vẽ: Tại điểm A ( x0 ; y0 ) ( C ) qua phép đối xứng qua trục Oy cho điểm A ' ( − x0 ; y0 ) thuộc độ thị  y '0 = f ( x0 ), y0   = f (− x0 ), y0  ( C ) Ta ln có:  y ' ' Do ta có đồ thị ( C ' ) bao gồm phần đồ thị ( C ) có hồnh độ khơng âm tập hợp điểm đối xứng với ( C ) ( C ) có hồnh độ âm Ghi nhớ: Để thu đồ thị ( C ' ) hàm số y = f ( x ) từ đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x) , giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nửa bên phải trục Oy lấy đối xứng qua trục Oy sang bên trái Áp dụng Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x) = x − x − , vẽ đồ thị hàm số a) y = f ( x ) b) y = f ( x − ) c) y = f ( x + 3) d) y = f ( x − + 3) e) y = f ( x − + 3) + Giải: https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên a) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) , giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nửa bên phải trục Ox lấy đối xứng qua trục Oy b) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x − 2) , giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nửa bên phải đường thẳng x = lấy đối xứng qua đường thẳng x = c) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + 3) , giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nửa bên phải trục Ox lấy đối xứng qua trục Oy d) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + 1) , giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nửa bên phải đường thẳng x = lấy đối xứng qua đường thẳng x = e) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + 1) , giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nửa bên phải đường thẳng x = , lấy đối xứng qua đường thẳng x = tịnh tiến lên đơn vị https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên II Các hàm số chứa tham số m áp dụng phương pháp cô lập đường thẳng Phương pháp áp dụng với tham số m xuất lần hàm số Với hàm số có nhiều lần xuất tham số m , ta rút gọn dạng M = u(m) biểu thức chứa m Ví dụ 4: Rút gọn hàm số để thu phương trình chứa hạng tử có biểu thức chứa m Giải: a) y = f ( x) = x + m , M = m b) y = f ( x) = x + 2m − m3 , ta đặt M = 2m − m3 có y = f ( x) = x + M c) y = f ( x) = x + 2mx − m , ta biến đổi sau: y = f ( x) = x + 2mx − m = x + m(2 x − 1) t +1  t +1 Đặt t = x −  x = nên x + m(2 x − 1) =   + mt    t +1 Vậy y = g (t ) =   + mt    y = x − f ( m) x + f ( m) d)  ta biến đổi sau f ( x ) = x +  y = f ( x) = x − f (m) x + f (m) = x − f (m)( x − 1) = (t + 1) − Mt = g (t ) Do y = g (t ) = (t + 1) − Mt  M = − f ( m) = − m − Với  t = x − Ghi nhớ: Những hàm số có tham số m tự (không biến) tham số m xuất hạng tử chứa biến tham số m xuất nhiều hạng tử đồng bậc, ta đưa biểu thức M chứa tham m Kể từ đây, hàm số chứa tham số m xuất đưa dạng hàm số chứa biểu thức M = u(m) chứa tham số m xuất hiện, ta coi M m https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên III Cô lập đường thẳng Mọi hàm số y = f ( x) biểu diễn dạng tổng hàm số y = g ( x) có đồ thị (C ) hàm số đường thẳng  : y = h( x) = kx : y = f ( x) = g ( x) + kx Khi g ( x) có nghiệm x0 , g ( x0 ) =  g ( x0 ) + h( x0 ) = h( x0 )  f ( x0 ) = h( x0 ) Nên phương trình f ( x) = h( x) có nghiệm x0 Do đó, ta ln vẽ đường thẳng  đồ thị (C ) giao điểm có hồnh độ nghiệm phương trình g ( x) = Vì y = f ( x) = g ( x) + h( x) chứa tham số m nên xảy trường hợp sau: + m nằm g ( x) , ta cố định  + m nằm h( x) , ta cố định (C ) Bước lại vẽ đồ thị hệ trục Oxy biện luận tương giao đồ thị để tìm giá trị m Nếu chứa M ta giải tiếp phương trình M = u(m) để tìm m Ghi nhớ: Cơ lập đường thẳng - Biểu diễn hàm y = f ( x) = g ( x) + kx Giải g ( x) = có nghiệm xi y = f ( x) cắt y = kx điểm có hồnh độ xi g ( x)   y = f ( x) nằm y = kx g ( x)   y = f ( x) nằm y = kx Xác định yếu tố cố định khác Tìm trường hợp tương giao thỏa mãn đề Giải hệ điều kiện tìm tham số https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên B Các dạng tốn điển hình I Biện luận số điểm cực trị biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối theo m Hàm số y = f(x) = ax + bx + c + dx + e Xét hàm số y = f ( x) = ax + bx + c + dx có đồ thị (C ) hệ số a  (nếu a  , ta có ax + bx + c = −ax − bx − c có −a  hàm số y = ax + bx + c + dx + e hoàn toàn giống hàm số y = ax + bx + c + dx hình dạng số điểm cực trị) Đặt y = g ( x) = ax + bx + c , đường thẳng  : y = h( x) = dx , Điều kiện d −b 2a Số cực trị b  4ac (1) cực tiểu k ( x) = − g ( x) + h( x) = −ax + (d − b) x − c có điểm cực trị A ( x0 ; k ( x0 ) ) , x0 =  g ( x) A 0 Đồ thị minh họa Nửa mặt phẳng không chứa  b  4ac (2) cực đại,  cực tiểu  x0  ( x1; x2 ) Nửa mặt phẳng bờ  b  4ac (3) cực tiểu   x0  ( x1; x2 ) 0 https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Xét (1) cho trường hợp a  (−b) − 4(−a).(−c) = b − 4ac Xét (2): b  4ac b  4ac    −b − b − 4ac d − b −b + b − 4ac   x0  ( x1; x2 )    2a 2a 2a  2  b − 4ac  d Kết cho a  Xét (3): b  4ac    d − b −b − b  4ac     2a    x0  ( x1; x2 )      d − b  −b +   2a b − 4ac  d  b − 4ac  2a b − 4ac 2a Kết cho a  Ghi nhớ: Tìm m để đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + c + dx + e có: - điểm cực trị (cực tiểu): d  b2 − 4ac - điểm cực trị (có cực đại): d  b2 − 4ac Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) = x − x + + mx Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = f ( x) có điểm cực trị? Giải: Xét hàm số y = f ( x) = x − x + + mx có đồ thị (C ) , hàm số y = g ( x) = x − x + đường thẳng  có phương trình y = h( x) = mx , f ( x ) = g ( x ) + h( x ) Nhận thấy g ( x) = có nghiệm x = 1, x = nên (C ) cắt  điểm phân biệt B (1; m ) C ( 3;3m ) https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Trong khoảng [1;3] , f ( x) = − g ( x) + h( x) = − x + (m + 4) x − nên đồ thị hàm số y = f ( x) có điểm cực m+4 trị A( x0 ; y0 ) x0 = Để y = f ( x) có điểm cực trị cực trị A( x0 ; y0 ) thuộc nửa mặt phẳng bờ  không chứa  , tương đương  x0  , nên m+4 1   −2  m  Vậy có giá trị m thỏa mãn toán Giải nhanh d  b2 − 4ac  m2   −2  m  Ví dụ 6: Có giá trị nguyên m thuộc  −2020;2020 để hàm số y = x + x − x + m có cực đại Giải: Xét hàm số y = f ( x) = x + x − x + m có đồ thị (C ) , hàm số y = g ( x) = x − x + m có đồ thị (C g ) đường thẳng  có phương trình y = h( x) = x f ( x) = g ( x) + h( x) Để y = f ( x) có cực đại phải thỏa mãn đồng thời điều kiện: + (C ) cắt  điểm phân biệt B ( x1; d ( x1 ) ) C ( x2 ; d ( x2 ) ) hay g ( x) = có nghiệm phân biệt x1 , x2 (1) + Điểm cực trị A( x0 ; y0 ) hàm số y = − g ( x) + d ( x) = − x + 3x − m thuộc nửa mặt phẳng bờ  không chứa  hay x1   x2 (2) Từ (1) (2) ta có:   ' g ( x ) =0 = − m   m   x1   x2  https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Vậy có 2021 giá trị m thỏa mãn toán Giải nhanh: d  b − 4ac   − 4m  m  Hàm số y = f(x) = ax + bx + c + dx Đặt g ( x) = ax + bx + c , h( x) = g ( x) + dx , tương tự ta xét phạm vi a  d  a) Trường hợp 1: g ( x) = vơ nghiệm có nghiệm kép  g ( x) A Đồ thị minh họa Số cực trị Không thấp Ox cực tiểu Thấp Ox cực đại, cực tiểu 0 - Hàm số có cực tiểu khi: b − 4ac  b − 4ac   h( x) = ax + (b + d ) x + c   (b + d ) − 4ac     h( x) - Hàm số có cực tiểu, cực đại khi: b − 4ac  b − 4ac   h( x) = ax + (b + d ) x + c   (b + d ) − 4ac     h( x) https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên b) Trường hợp 2: g ( x) = có nghiệm phân biệt x1 , x2 Đường thẳng y = dx tiếp xúc với đồ thị hàm số y = h( x) điểm B ( x1; d ( x1 ) ) ; C ( x2 ; d ( x2 ) ) Đặt k ( x) = − g ( x) + d ( x) = −ax + (d − b) x − c , cực trị A ( x0 ; k ( x0 ) ) có  b − d ( b − d )2 − 4ac  b−d x0 =  A ;   2a  2a a   - Nếu B, C không nằm trục Ox , ta có d ( x1 + x2 )  bd  d x1  0, d x2     c  d x1.d x2  Khi f ( x) = ax + bx + c + dx Theo kết mục B.I.1.: + Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu, điểm cực đại bd   c  d  b − 4ac  + Đồ thị hàm số có cực tiểu bd   c  d  b − 4ac   - c = Nếu điểm B, C nằm trục Oy , suy c   , theo bd  kết từ mục B.I.1 thì: + Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu   c =    bd    c  d  b − 4ac   + Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu   c =    bd    c  d  b − 4ac  https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên - Nếu điểm B, C nằm trục Oy , suy bd  c  , đó: + A khơng cao B C Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu: c   bd  d  b − 4ac   + A cao B C không cao Ox Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu c  c  bd  bd    2  d  b − 4ac  d  b − 4ac  ( b − d ) − 4ac  ( b − d )2 − 4ac    4a + A cao Ox Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu c  c  bd    bd  2  d  b − 4ac d  b − 4ac    ( b − d ) − 4ac  ( b − d )2 − 4ac    4a https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Tổng hợp lại kết quả: Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) = ax + bx + c + dx với d  0, a  abd  b − 4ac   - Một điểm cực trị:  ac  (b + d ) − 4ac  d  b − 4ac   abd  b − 4ac   - Ba điểm cực trị:  hoặc ac  (b + d ) − 4ac  d  b − 4ac    c = ac   abd    abd   d  b − 4ac    ac   d  b − 4ac   ac    c = abd      abd  - Năm điểm cực trị:   2  ac  d  b − 4ac   ( b − d )2 − 4ac  d  b − 4ac   ac  abd   - Bảy điểm cực trị:  2 d  b − 4ac  ( b − d )2 − 4ac   Ví dụ 7: (TTLT Thanh Chương – Nghệ An lần năm 2020): Cho hàm số f ( x) = x − 10 x + 16 + mx Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g ( x) = f ( x ) có điểm cực trị Giải: Đặt h( x) = x − 10 x + 16 , u( x) = mx Đồ thị y = f ( x) y = u ( x) hình https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Nhận thấy m  y = g ( x) = f ( x) hình nên có tối đa cực trị Vậy m  , khảo sát qua trường hợp đường thẳng y = d ( x) đồ thị hàm số y = h( x) ta có kết luận để đồ thị hàm số g ( x) = f ( x) có điểm cực trị điểm cực trị M ( xM ; yM ) hàm số y = −h( x) + u ( x) = − x + (10 + m) x − 16 phải thỏa mãn đồng thời 2  xM   −5  m  −2   yM  Vậy có giá trị m thỏa mãn đề Giải nhanh: ac  −10m  abd     m2  36  −6  m  d  b − 4ac   ( b − d )2 − 4ac  ( −10 − m ) − 64   II Biện luận nghiệm phương trình Ví dụ 8: Tìm tập hợp tất số thực m để phương trình x−1 = log ( x + 2m) + m có nghiệm? Giải: x −1 = log ( x + 2m) + m  x = log ( x + 2m) + 2m  x + x = ( x + 2m) + log ( x + 2m)  x + x = 2log2 ( x + m ) + log ( x + 2m) Đặt f (t ) = 2t + t , f '(t ) = 2t.ln +  đo y = f (t ) đồng biến , phương trình cho tương đương: f ( x) = f (log ( x + 2m))  x = log ( x + 2m) Xét hàm số y = g ( x) = log x có tiếp tuyến () x0 song song với đường thẳng (d ) y = x phương trình trình tiếp tuyến  y − y0 = g '( x0 )( x − x0 ) 1   () : y = x − + log  ln ln  g '( x0 ) = x ln =  Do tiếp tuyến (  m ) hàm số y = g ( x + 2m) song song với (d ) https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên 1 + log ln ln Nhận thấy nghiệm phương trình x = log ( x + 2m) hoành độ giao điểm đường thẳng (d ) đồ thị hàm số y = g ( x + 2m) , đồ thị có giao điểm tiếp tuyến (  m ) trùng với (d ) lệch (  ) : y = x + 2m − bên trái so với (d ) , giao điểm (  m ) với trục Ox có hồnh độ khơng dương, hay: 1 1 −(2m − + log )0m + log ln ln ln 2ln 2 Ví dụ 9: Cho f ( x) hàm đa thức bậc hai có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên âm tham số m để phương trình f ( x ) = mx − m − 10 có nghiệm phân biệt Số phần tử tập hợp S là? Giải: Hàm số cho hàm bậc nên có dạng y = f ( x) = ax + bx + c qua điểm ( 0; −1) , ( 2; −3) ,(4; −1) nên có phương trình y = f ( x) = x − x − Đặt t = x − 1, m f ( x ) = mx − m − 10  f ( t + ) + = t Trên hệ trục tọa độ Oty , xét đồ thị (C ) hàm số y = g (t ) = f ( t + ) + m t Để đường thẳng  (C ) cắt điểm,  có hệ số góc âm nên  bị giới hạn khoảng trục Ox đường thẳng  Dễ tìm tọa độ M (1;1) nên đường thẳng  qua M (1;1) O (0;0) y = −t m Dựa vào hệ số góc   , ta có: −1    −5  m  Vậy có giá trị m thỏa mãn toán đường thẳng  : y = https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên III Biện luận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Tìm điều kiện để giá trị nhỏ hàm số f(x) = ax + bx + c + dx + e đạt giá trị lớn Xét hàm số y = f ( x) = ax + bx + c + dx có đồ thị ( C ) với a  , g ( x) = ax + bx + c đường thẳng  : y = h( x) = dx a) Trường hợp c  , đồ thị hàm số y = f ( x) qua ( 0;c ) nên Min  f ( x)   c Min  f ( x)  đạt Max = c x = , f '(0) =  b + d = b) Trường hợp c   ac  , g ( x) = có nghiệm trái dấu x1 , x2 ( C ) tiếp xúc với  B ( x1; h( x1 ) ) , C ( x2 ; h( x2 ) ) Nếu d  , ln có B C nằm trục Oy nên Min  f ( x)    d = Ghi nhớ Tìm điều kiện để giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) = ax + bx + c + dx + e ( a  ) đạt giá trị lớn - Nếu c  , Min  f ( x) = c  b + d = - Nếu c  , Min  f ( x)  =  d = Ví dụ 10: Tìm m để giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) = x − x + + mx đạt giá trị lớn Giải: Xét hàm số y = g ( x) = x − x + đường thẳng y = h( x) = mx hình vẽ Nhận thấy hàm số f ( x) qua điểm (0;3) với m nên Min  f ( x)   Để Min  f ( x)  = lân cận 0, g ( x)  nên f ( x) = g ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) = x + (m − 4) x + đạt cực tiểu x = Hay: m−4 =0m=4 Giải nhanh b+d =0m=4 https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) = x + mx + − x Giá trị nhỏ hàm số f ( x) đạt lớn m bao nhiêu? Giải: Tương tự câu Đặt g ( x) = x + mx + 1, g (0) =  nên x  , m−2 f ( x) = x + mx + − x, f '( x) = x + m − , f '( x) =  x = − Vì f ( x) qua điểm (0;1) nên để Min[ f ( x)] đạt Max=1 m−2 − =0m=2 Giải nhanh b+d =0m=2 Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) = x + mx + + x Khi giá trị nhỏ hàm số f ( x) đạt giá trị lớn m bao nhiêu? Giải: Hoàn toàn tương tự: m = −2 Giải nhanh b + d =  m = −2 Một số dạng toán tương tự Ví dụ 13: Cho hàm số f ( x) = x − mx − + x Biết giá trị nhỏ f ( x) -2 Tìm giá trị m ? Giải: Đặt y = g ( x) = x − mx − y = h( x) = x Nhận thấy đồ thị hàm số g ( x) qua điểm (0; −1) nên g ( x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x1   x2 g ( x)  , dấu xảy x1 , x2  f ( x) = g ( x) + h( x)  h( x) , dấu xảy x1 , x2 Vậy giá trị nhỏ f ( x) h( x1 ) Do x1 = −2  x1 = −1 x1 , x2 nghiệm g ( x) = nên https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TOÁN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên m  x + x = − + x = 2   m = −1   x x = − x = −1  2 Ví dụ 14: Với k , gọi mk giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x3 − 3x + − x − kx + k ( k tham số thực, biết mk đạt giá trị lớn nhất, tìm k? Giải: Đặt t = x − f ( x) = t (t + 3) − (t + 1) − kt f ( x) = x − 3x + − x − kx + k = ( x − 1) ( x + 2) − x − k ( x − 1) Theo giả thiết f ( x)  mk , x  t (t + 3) − (t + 1)  kt + mk , t Xét đồ thị ( C ) hàm số y = g (t ) = t (t + 3) − (t + 1) hay  t + 2t − 2t − 1, t  −3 g (t ) =  − t + t − t − 1,  t  −   đường thẳng  : y = h(t ) = kt + mk hệ trục tọa độ Oty hình vẽ Vì g (t )  d (t ), t dấu có xảy nên  tiếp xúc với ( C ) Trong trường hợp  trường hợp  cho mk lớn  tiếp tuyến ( C ) N qua M (−3; −4) nên ta có phương trình  : y = t − Vậy k = 4 https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/ Group: HỎI ĐÁP TỐN HỌC – Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên Mọi thắc mắc, góp ý xin liên lạc: ▪ Nhóm Facebook: https://www.fb.com/groups/traloinhanhmontoan/ ▪ Page: Tốn dành cho nhóm 9+ giáo viên ▪ Tác giả: Trung Trực 0919469889 Đặt hàng giáo án, tài liệu soạn thảo đề Toán xin liên hệ: Trung Trực 0919469889 Đóng góp giúp đỡ tác giả qua Số tài khoản: ▪ Techcombank: o TRAN TRUNG TRUC o STK: 19035284071017 o Chi nhánh: Phú Thọ – Hồ Chí Minh ▪ MB Bank: o TRAN TRUNG TRUC o STK: 9704229212401678 o Chi nhánh: Hội sở – Hà Nội ▪ Momo, Viettel Pay: 0919469889 Tác giả xin chân thành cảm ơn! https://www.facebook.com/groups/traloinhanhmontoan/