Phan Nhật Linh Fanpage Tài liệu Luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên và Học sinh 1 | Facebook tác giả Phan Nhật Linh LÝ THUYẾT CHỦ ĐỀ 01 CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ ❖ Điều kiện để hàm số đơn điệu trê[.]
Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu Luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh CHỦ ĐỀ 01: CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ LÝ THUYẾT ❖ Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K • Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y = f ( x ) hàm số xác định K, ta nói: Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K ❖ Nhận xét • Nhận xét ▪ Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f ( x ) − g ( x ) • Nhận xét ▪ Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f ( x ) , g ( x ) không hàm số dương D • Nhận xét ▪ Cho hàm số u = u ( x ) , xác định với x ( a; b ) u ( x ) ( c; d ) Hàm số f u ( x ) xác định với x ( a; b ) Ta có nhận xét sau: ▪ Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x ) đồng biến với x ( a; b ) f ( u ) đồng biến với u ( c; d ) Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x ) nghịch biến với x ( a; b ) f ( u ) nghịch biến với u ( c; d ) ❖ Định lí • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: ▪ Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' ( x ) 0, x K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ' ( x ) 0, x K ❖ Định lí • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f ' ( x ) 0, x K hàm số f đồng biến K Nếu f ' ( x ) 0, x K hàm số f nghịch biến K Nếu f ' ( x ) = 0, x K hàm số f không đổi K | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số ❖ Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f ( x ) , x K f ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Nếu f ( x ) , x K f ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = f ( x ; m ) đơn điệu khoảng ( ; ) • Bước 1: Ghi điều kiện để y = f ( x ; m ) đơn điệu ( ; ) Chẳng hạn: ▪ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) đồng biến ( ; ) y = f ( x ; m ) ▪ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) nghịch biến ( ; ) y = f ( x ; m ) • Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g ( x ) , có hai trường hợp thường gặp : ▪ m g ( x ) , x ( ; ) m max g ( x ) ▪ m g ( x ) , x ( ; ) m g ( x ) • Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g ( x ) D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị ( ; ) ( ; ) lớn giá trị nhỏ Từ suy m Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = ax + b đơn điệu khoảng ( ; ) cx + d d Tính đạo hàm y c • Tìm tập xác định, chẳng hạn x − • Hàm số đồng biến y (hàm số nghịch biến y ) Giải tìm m (1) • Vì x − • Lấy giao (1) ( ) giá trị m cần tìm d d có x ( ; ) nên − ( ; ) Giải tìm m ( ) c c ➢ Cần nhớ: “Nếu hàm số f ( t ) đơn điệu chiều miền D (ln đồng biến ln nghịch biến) phương trình f ( t ) = có tối đa nghiệm u , v D f ( u ) = f ( v ) u = v Tài liệu Luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết – Thông hiểu Vận dụng | Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu Luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh VÍ DỤ MINH HỌA CÂU A y = x +1 x−2 B y = x + x C y = x − x + x Lời giải CÂU y = 2x2 + ( −1;1) ( 0; + ) ( −; ) ( 0; + ) A B C D Lời giải y = x4 − 2x2 CÂU A B C D ( −; −2 ) ( −; −2 ) ( −1;1) ( −1;1) Lời giải | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D y = x − x + Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số x−2 CÂU y= x +1 A ( −; −1) ( −; −1) B C ( −; + ) D ( −1; + ) Lời giải ( −; + ) CÂU A y = x + x − B y = x − x + C y = x + 3x D y = x−2 x +1 Lời giải y = x3 − x + x + CÂU A B C D 1 ;1 3 1 −; 3 1 ;1 3 (1; + ) Lời giải Tài liệu Luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết – Thông hiểu Vận dụng | Phan Nhật Linh CÂU Fanpage: Tài liệu Luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh y = 2x +1 1 A −; − 2 B ( 0; + ) f ( x) CÂU C − ; + Lời giải D ( −; ) f ( x) y = f (5 − 2x ) A ( − ; − 3) B ( 4;5 ) C ( 3; ) D (1;3) Lời giải CÂU m A ( 2; + ) ( −;1 B ( −; 4 C ( −;1) Lời giải | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh y = x3 − 3x + ( − m ) x D ( −; ) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số CÂU 10 y= m ( −; −8 ) B ( 5;8 A ( 5; + ) C 5;8 ) x+5 x+m D ( 5;8 ) Lời giải f ( x) CÂU 11 f ( x) 2x + m A m f ( ) y = f ( x) x ( 0; ) m B m f ( ) − C m f ( ) D m f ( ) − Lời giải Tài liệu Luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết – Thông hiểu Vận dụng | Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh Tính đơn điệu hàm số cho cơng thức DẠNG Phương pháp: • Bước Tìm tập xác định D của hàm số Tính đạo hàm y = f ( x ) • Bước Tìm điểm f ( x ) = f ( x ) không xác định • Bước Sắp xếp điểm x i theo thứ tự tăng dần lập bảng xét dấu • Bước Nêu kết luận khoảng đồng biến nghịch biến dựa vào bảng xét dấu PHẦN I ĐỀ BÀI Câu Hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) 0, x A đồng biến B nghịch biến C hàm số , hàm số cho D đồng biến khoảng ( −;0 ) nghịch biến khoảng ( 0; + ) Câu Hàm số f ( x ) = A ( −1; ) Câu Câu Câu x−2 đồng biến khoảng đây? x −1 B ( −2; −1) C ( −; ) Hàm số sau nghịch biến x +1 A y = B y = − x − x x −3 C y = x3 + x D ( −1; + ) D y = − x − x Trong hàm số sau, hàm số đồng biến ? 2x −1 A y = B y = x − x C y = x + x − 2020 D y = x + x − x+3 2x +1 mệnh đề x −1 A Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) Cho hàm số y = B Hàm số nghịch biến tập ( −;1) (1; + ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −; −1) ( −1; + ) D Hàm số nghịch biến tập Câu Trong hàm số sau, hàm số đồng biến A y = x + x Câu B y = x − x ? C y = x + D y = x − Hàm số đồng biến ( −; + ) ? A y = x − 3x Câu \ −1 B y = x −1 x−2 Hàm số sau đồng biến | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C ? x +1 x+3 D y = x + 3x Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số x −1 A y = x + x B y = x +1 Câu C y = − x − x + Hàm số sau nghịch biến khoảng A y = −2 x + ; ? C y = −2 + x B y = x D y = x + x + D y = x − 2x −1 Khẳng định sau đúng? x+3 A Hàm số đồng biến khoảng ( −;3) , ( 3; + ) Câu 10 Cho hàm số y = 1 1 B Hàm số đồng biến khoảng −; , ; + 2 2 C Hàm số đồng biến khoảng ( −; − 3) , ( − 3; + ) D Hàm số đồng biến x −3 Mệnh đề đúng? x +1 A Hàm số nghịch biến ( − ; − 1) B Hàm số đồng biến ( − ; − 1) Câu 11 Cho hàm số y = C Hàm số nghịch biến ( − ; + ) D Hàm số nghịch biến ( −1; + ) 1 Câu 12 Cho hàm số y = − x3 + x + x − Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( 3; + ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −2;3) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;3) Câu 13 Hàm số sau nghịch biến khoảng xác đinh? 2x +1 x −1 x+5 A y = B y = C y = x −3 x +1 −x −1 Câu 14 Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = A Không tồn x−2 2x −1 1− x x +1 B ( −; −1) ( −1; + ) C ( −; −1) ; ( −1; + ) D ( −; + ) Câu 15 Hàm số sau nghịch biến A y = −2 x + D y = B y = x ; ? C y = −2 + x D y = x − 2x −1 Khẳng định sau đúng? x+3 A Hàm số đồng biến khoảng ( −;3) , ( 3; + ) Câu 16 Cho hàm số y = 1 1 B Hàm số đồng biến khoảng −; , ; + 2 2 C Hàm số đồng biến khoảng ( −; −3) , ( −3; + ) D Hàm số đồng biến Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh x+2 nghịch biến khoảng x −1 A ( −1; + ) B \ 1 C ( −;1) (1; + ) D (1; + ) Câu 17 Hàm số y = Câu 18 Hàm số hàm số đồng biến ? A y = x + x − B y = x − x + 3x + 11 D y = C y = tan x Câu 19 Hàm số nghịch biến ? x +1 A y = B y = x − x x−2 x+2 x+4 C y = − x3 + x − x D y = x − x − x +1 Khẳng định sau khẳng định đúng? −x +1 A Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) Câu 20 Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng ( −;1) (1; + ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −;1) (1; + ) Câu 21 Hàm số y = x − x nghịch biến khoảng: A ( 0;1) B (1; + ) C ( 0; ) D (1; ) Câu 22 Cho hàm số y = x − x + Tìm khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến B Hàm số nghịch biến ( −;0 ) C Hàm số nghịch biến ( 0;1) D Hàm số đồng biến ( −2;0 ) Câu 23 Hàm số y = x + x − đồng biến khoảng đây? A ( −1; ) (1; + ) B ( 0; + ) C ( −; −1) ( 0;1) D ( −; ) Câu 24 Hàm số sau ln đồng biến khoảng xác định của nó? 3x + 10 −x +1 −x − 3x + A y = B y = C y = D y = 5x + 5x − x+3 x +1 2x +1 Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau đây: x −3 A Hàm số nghịch biến khoảng ( − ;3) Câu 25 Cho hàm số f ( x ) = B Hàm số nghịch biến \ 3 C Hàm số nghịch biến khoảng ( − ;3) ( 3; + ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 3; + ) Câu 26 Hàm số y = − x + x − nghịch biến khoảng đây? A (1; + ) B ( −; −2 ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C ( 0;1) D ( −2;0 ) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Câu 27 Hàm số y = − x + x3 − đồng biến khoảng sau đây? A ( ; + ) C ( − ; ) B ( 4; + ) D ( − ;3) Câu 28 Hàm số y = − x + x nghịch biến khoảng sau đây? A ( 0;2 ) B ( −;0 ) C ( −1;1) Câu 29 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm D (1;+ ) f ( x ) = x ( x − 1) Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( −; + ) B (1; + ) C ( −;1) D ( 0;1) Câu 30 Hàm số y = x − ( D nghịch biến khoảng ( A đồng biến khoảng ( 0; + ) ) 3; + ) B nghịch biến khoảng −; C đồng biến khoảng ( −;0 ) x2 − 2x Khẳng định sau đúng? 1− x A Hàm số đồng biến Câu 31 Cho hàm số y = B Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) C Hàm số nghịch biến D Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) Câu 32 Hàm số đồng biến ? x +1 A y = B y = x + x x−2 C y = x − x + x D y = x − x + C y = x − x + D y = tan x Câu 33 Hàm số sau đồng biến x 5 A y = 4 B y = x+4 x+3 Câu 34 Hàm số y = − x − 3x + x + đồng biến khoảng sau đây? A ( −1;3) B ( −3;1) C (1; + ) D ( −; −3) Câu 35 Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = ( x − 1) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến ( −;1) nghịch biến (1; + ) B Hàm số nghịch biến C Hàm số nghịch biến ( −;1) đồng biến (1; + ) D Hàm số đồng biến Câu 36 Hàm số sau nghịch biến ? x +1 A y = B y = − x − x x+3 C y = x3 + x Câu 37 Trong hàm số sau, hàm số đồng biến ? x +1 A y = B y = x + C y = x + x − x+3 D y = x −1 x−2 D y = x3 + x Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh Phương trình tiếp tuyến M (1; −3) y = ( x − 1) − hay y = x − A y = −3 x + 2x −1 , biết tiếp tuyến có hệ số góc k = −3 x−2 B y = −3 x + 14 y = −3 x + C y = −3 x − 14 y = −3 x − D y = −3 x − Câu 15: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Lời giải Chọn B TXĐ: D = y = Gọi \ 2 −3 ( x − 2) M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k = −3 y ( x0 ) = −3 Với Với −3 x0 = = −3 ( x0 − ) = x0 = ( x0 − ) x0 = y0 = Phương trình tiếp tuyến M ( 3;5 ) là: y = −3 ( x − 3) + = −3 x + 14 x0 = y0 = −1 Phương trình tiếp tuyến M (1; −1) là: y = −3 ( x − 1) − = −3x + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3 x + 14 y = −3 x + Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp liên tục Biết phương trình tiếp tuyến hàm số điểm x0 = có dạng: y = x + Giá trị f (1) bằng: A B C Lời giải D Chọn C Ta có PT tiếp tuyến hàm số điểm x0 y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) Do x0 = nên y = f '(1)( x − 1) + f (1) Suy y = f '(1) x − f '(1) + f (1) = x + Suy f '(1) = f '(1) = − f '(1) + f (1) = f (1) = Vậy f (1) = Câu 17: [2D1-5.18-2] (TMD - Đề IMC10 - 2020 - 2021) Cho hàm số f ( x) = x − 3x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm A có hồnh độ x A = nằm ( C ) A y = −3 x + B y = 3x − C y = −5 x + D y = x − Lời giải Chọn A Ta có f ( x) = x3 − 3x + f ' ( x) = 3x − x f ' (1) = −3 Điểm A ( C ) có x A = A(1; 2) Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm A : y = −3( x − 1) + y = −3x + 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 05: Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số Câu 18: Cho đồ thị ( C ) hàm số y = x − x + Có tiếp tuyến với đồ thị ( C ) song song với trục hoành? A B C Khơng có Lời giải D Chọn B Ta có: y = x − 3x + y = 3x − x Tiếp tuyến với đồ thị ( C ) song song với trục hồnh (nếu có) có hệ số góc x = Gọi x0 hoành độ tiếp tuyến tiếp tuyến Ta có y ( x0 ) = 3x0 − x0 = x0 = −2 TH1: x0 = y ( ) = PTTT: y = ( x − ) + y = (thỏa mãn) TH2: x0 = y ( ) = −2 PTTT: y = ( x − ) + ( −2 ) y = −2 (thỏa mãn) Vậy có hai tiếp tuyến song song với trục hồnh có phương trình y = y = −2 Câu 19: Cho hàm số y = x − x − có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) điểm A (có hồnh độ x A = ) cắt đồ thị hàm số ( C ) điểm B ( B khác A ) Hoành độ điểm B A B −3 C −1 Lời giải D Chọn B Tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) điểm A ( xA ; y A ) có dạng y = y ' ( xA )( x − xA ) + y A Ta có x A = y A = −8 y ' ( x A ) = y ' (1) = −8 Vậy phương trình tiếp tuyến y = −8 x Khi hồnh độ điểm B nghiệm phương trình x = −3 x − x − = −8 x x − x + x − = x = Mà B khác A nên hoành độ điểm B x = −3 Câu 20: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ln x điểm có hồnh độ x = có phương trình A y = x B y = x − C y = − x B y = − x + Lời giải Chọn B x Khi đó, tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) = ln x điểm có hồnh độ x = có phương trình Ta có y = y = f (1)( x − 1) + f (1) = ( x − 1) + ln1 = x − 2x −1 điểm có hồnh độ x = x −3 C k = D k = Lời giải Câu 21: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = A k = −3 B k = −5 Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | 12 Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh Chọn B ( −3) − 1( −1) −5 y = = 2 ( x − 3) ( x − 3) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = k = y ( ) = −5 ( − 3) 2x −1 điểm có hồnh độ x = x −3 = −5 Câu 22: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x ln x điểm có hồnh độ e A y = x + 3e B y = x − e C y = ex − 2e D y = x + e Lời giải Chọn B Ta có y = + ln x Hệ số góc tiếp tuyến k = y ( e ) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = ( x − e ) + e hay y = x − e Câu 23: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x + x − điểm có hồnh độ x0 = −2 A y = −40 x − 102 B y = −40 x − 58 C y = −40 x + 102 D y = −40 x + 58 Lời giải Chọn B Với x0 = −2 y0 = 22 Ta có y = x + x y ( −2 ) = −40 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 = −2 y = −40 ( x + ) + 22 hay y = −40 x − 58 Câu 24: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x + x − điểm có hoành độ x0 = −2 A y = −40 x − 102 B y = −40 x − 58 C y = −40 x + 102 D y = −40 x + 58 Lời giải Chọn B Với x0 = −2 y0 = 22 Ta có y = x + x y ( −2 ) = −40 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 = −2 y = −40 ( x + ) + 22 hay y = −40 x − 58 Câu 25: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x − có hệ số góc k = −3 có phương trình A y = −3 x + B y = −3x − C y = −3x − D y = −3x + Lời giải Chọn B Đạo hàm y = x − x Theo đề ta có phương trình 3x − x = −3 x − x + = x = y = −4 Phương trình tiếp tuyến: y = −3 ( x − 1) − y = −3 x − 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 05: Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số Câu 26: Cho đường cong (C) có phương trình y = tuyến (C) M có phương trình A y = x − B y = x + x −1 Gọi M giao điểm (C) trục tung Tiếp x +1 C y = −2 x − D y = x − Lời giải Chọn D TXĐ: D = \ −1 Ta có: y = f ( x) = ( x + 1) Cho x = y = −1 M ( 0; −1) Phương trình tiếp tuyến (C) M là: : y = f (0) ( x − ) − : y = x − Câu 27: Tìm tất giá trị thực tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (C ) : y = ( 2m − 1) x − mx + điểm có hồnh độ x = vng góc với đường thẳng d : 2x − y − = A m = B m = − C m = 12 D m = Lời giải Chọn C Tập xác định: D = Ta có: y = ( 2m − 1) x3 − 2mx Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ x = là: k = y(1) = 6m − Hệ số góc đường thẳng d kd = Ta có: ⊥ d k kd = −1 ( 6m − ) = −1 m = 12 2x +1 điểm M ( 2;5 ) cắt trục tọa độ Ox , Oy lần x −1 lượt A B Tính diện tích tam giác OAB 121 121 121 121 A B C − D − 6 Lời giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến có dạng : y − y0 = f ( x0 )( x − x0 ) Câu 28: Tiếp tuyến đường cong ( C ) : y = Ta có y = −3 ( x − 1) y ( ) = −3 Khi phương trình tiếp tuyến : y − = −3 ( x − ) y = −3 x + 11 ( d ) 11 y = −3x + 11 x = 11 A = Ox d nên tọa độ A nghiệm hệ: nên A ;0 3 y = y = y = −3x + 11 x = B = Oy d nên tọa độ B nghiệm hệ: nên B ( 0;11) y = 11 x = Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | 14 Phan Nhật Linh SOAB Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh 1 11 121 = OA.OB = 11 = 2 Câu 29: Cho hàm số y = x3 − x có đồ thị ( C ) Gọi M , N hai điểm phân biệt ( C ) tiếp tuyến ( C ) điểm M , N song song với Tính xM + xN A C Lời giải B D −2 Chọn C Ta có y = x − Vì tiếp tuyến (C ) điểm M , N song song với nên y ( xM ) = y ( xN ) 3xM2 − = 3xN2 − ( xM − xN )( xM + xN ) = xM + xN = (vì M , N hai điểm phân biệt) Câu 30: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x − x − điểm M (1; −3) có phương trình B y = −3 x + A y = −3 x C y = x − D y = x − Lời giải Chọn D Ta có y = 3x + x − y (1) = Phương trình tiếp tuyến M (1; −3) y = ( x − 1) − hay y = x − Câu 31: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + song song với đường thẳng x − y + 18 = ? B A C Lời giải D Chọn C y = 3x − Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng x − y + 18 = nên hệ số góc x − = x = x = 2 Với x = ta phương trình tiếp tuyến x − y − 14 = Với x = −2 ta phương trình tiếp tuyến x − y + 18 = Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn Câu 32: Cho hàm số y = x+2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số giao điểm x +1 đồ thị ( C ) với trục tung A y = − x + B y = − x − C y = x − D y = − x + Lời giải Chọn D Đạo hàm y = − ( x + 1) x = Đồ thị cắt trục tung điểm M ( x; y ) thỏa mãn x + x = y = x + y = k = f (0) = −1 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 05: Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M y = −1( x − 0) + = − x + Câu 33: Cho hàm số y = x3 + ( m − 1) x − 3mx + 2m + có đồ thị ( Cm ) , biết đồ thị ( Cm ) qua hai điểm cố định A, B Có bao số nguyên dương m thuộc −2020; 2020 để ( Cm ) có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng AB ? A 4041 B 2021 C 2019 D 2020 Lời giải Chọn C Ta tìm toạ độ hai điểm cố định A, B Ta có y = x3 + ( m − 1) x − 3mx + 2m + m ( x − 3x + ) + x − x + − y = Toạ độ hai điểm cố định A, B nghiệm hệ x = 1, y = x − 3x + = x = 2, y = A (1;1) , B ( 2;5) x − x +1 = y Khi ta có: ( AB ) : −4 x + y + = ( AB ) : y = x − Hệ số góc tiếp tuyến với ( Cm ) M ( x0 ; y0 ) y ( x0 ) = 3x02 + x0 ( m − 1) − 3m Vì tiếp tuyến vng góc với AB nên y ( x0 ) = −1 Suy ra: ( 3x02 + x0 ( m − 1) − 3m ) = −1 12 x02 + ( m − 1) x0 − 12m + = (* ) Để phương trình (*) có nghiệm m −6, 69 = ( m − 1) − 12 (1 − 12m ) 16m2 + 112m + m −0, 036 Vì m −2020; 2020 m + nên m 2020 Vậy có 2019 giá trị m nguyên dương Câu 34: Cho biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = y = x − Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x − 1) điểm có hồnh độ x = A y = x − B y = x − C y = x − D y = x − Lời giải Chọn C Vì tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) x = có phương trình y = x − f (1) = f (1) = Đặt g ( x ) = f ( x − 1) ; g ( x ) = x f ( x − 1) ; g (1) = f (1) = 4.2 = ; g (1) = f (1) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = g (1)( x − 1) + g (1) y = ( x − 1) + y = x − Câu 35: Cho đồ thị ( C ) hàm số y = 2x −1 Viết tất phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết x −1 khoảng cách từ điểm I (1; ) đến tiếp tuyến Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | 16 Phan Nhật Linh A x + y − = Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh B x + y − = x + y − = C x + y + = x + y + = D x + y − = Lời giải Chọn B Ta có y = −1 ( x − 1) Phương trình tiếp tuyến ( C ) có dạng: y= −1 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + x0 − x + ( x0 − 1) y − x0 + x0 − = x0 − 1 + ( x0 − 1) − x0 + x0 − Theo đề d ( I , ) = + ( x0 − 1) = x0 = 2 ( x0 − 1) − ( x0 − 1) + = ( x0 − 1) = x0 = Với x0 = ta có phương trình tiếp tuyến: y = − ( x − ) + x + y − = Với x0 = ta có phương trình tiếp tuyến: y = − ( x − ) + x + y − = ( 2m − 1) x − m ( m ) có đồ thị ( Cm ) Biết tồn đường x+m thẳng ( d ) có phương trình y = ax + b cho ( Cm ) tiếp xúc với ( d ) Giá trị a + b Câu 36: Cho hàm số y = A −3 C −1 Lời giải B D Chọn B Ta có: y = 2m2 ( x + m) Đường thẳng ( d ) tiếp xúc với đồ thị ( Cm ) suy hệ phương trình sau ln có nghiệm với giá trị m 2m 2m 2m = a = a ( x + m) = ax + am ( x + m) ( x + m) ( x + m) 2 m − x + m − m 2m 2 m − x − m ( )( ) ) ( m − − = ax + b = ax + b ( ) = ax + b x+m x+m x+m Lấy (1) trừ ( ) theo vế ta được: − ( 2m − 1) + (1) ( 2) ( a + 2) m − b −1 4m m = am − b = x+m x+m 4m ( a + ) m − ( b + 1) a Thay vào (1) ta được: = ( ( a + ) m − ( b + 1) ) = 8am m ( a − ) m2 − ( b + 1)( a + ) m + ( b + 1) = (*) 2 Vì đồ thị ( Cm ) ln tiếp xúc với đường thẳng ( d ) nên (*) xảy với giá trị m 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 05: Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số ( a − )2 = a = 2 ( b + 1)( a + ) = b = −1 ( b + 1) = Vậy a + b = Câu 37: Cho hàm số y = f ( x) xác định có đạo hàm , thỏa mãn: f (1 + x ) + f (1 + x ) − 21x − = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f ( x ) điểm có hồnh độ x0 = A y = x + B y = x + C y = x − D y = x − Lời giải Chọn C Xét phương trình: f (1 + x ) + f (1 + x ) − 21x − = (1) Từ (1) cho x = ta có: f (1) + f (1) − = f (1) = Đạo hàm hai vế (1) ta có f (1 + x ) f (1 + x ) + f (1 + x ) − 21 = (2) Từ (2) cho x = ta được: f (1) f (1) + f (1) − 21 = f (1) + f (1) − 21 = f (1) = Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f ( x ) điểm có hồnh độ x0 = là: y = f (1) ( x − 1) + f (1) = ( x − 1) + = x − 2x +1 Tiếp tuyến đồ thị ( C ) x −1 điểm M cắt đường tiệm cận ngang ( C ) điểm A Hỏi có điểm M thỏa Câu 38: Xét điểm M có hồnh độ số ngun thuộc đồ thị ( C ) : y = điều kiện A cách gốc tọa độ khoảng cách nhỏ 10 ? A B C Lời giải Chọn B , x Ta có y = − ( x − 1) Giả sử M ( a; b ) ( C ) Khi b = D 2a + với a , a a −1 Tiếp tuyến với ( C ) điểm M có phương trình : y = − ( x − a ) + 2a + a −1 ( a − 1) Đồ thị ( C ) có TCN đường thẳng Ta có d = A ( 2a − 1; ) d : y = Theo ta có OA 10 ( 2a − 1) + 40 7 4a − 4a − 35 a − ; 2 Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | 18 Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh Do a , a a −2; −1;0; 2;3 Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( P ) hình bên đường thẳng : y = x − tiếp tuyến ( P ) điểm A Xét hàm số g ( x ) = A g ' ( ) = B g ' ( ) = f ( x) Tính g ' ( ) x C g ' ( ) = − Lời giải D g ' ( ) = − Chọn A Đặt y = f ( x ) = ax + bx + c, với a, b, c số thực a Vì ( P ) qua điểm A ( 2; ) , B ( 0; ) nên ta có hệ phương trình 2 = 4a + 2b + c 2a + b = , (1) 2 = c c = Vì đường thẳng : y = x − tiếp tuyến ( P ) điểm A nên ta có f ' ( ) = 4a + b = 2, ( ) a = Từ (1) ( ) suy b = −2 c = Ta có y = f ( x ) = x − x + suy g ( x ) = Ta có g ' ( x ) = − f ( x ) x2 − x + 2 = = x−2+ x x x 2 g ' ( 2) = − = x Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x có đồ thị ( C ) hàm số y = g ( x ) = x có đồ thị ( P ) Hỏi hai đồ thị ( C ) ( P ) có tất tiếp tuyến chung? A B C Lời giải Chọn D D Gọi A ( a ; a ) thuộc đồ thị ( P ) Phương trình tiếp tuyến A có dạng y = g ( a )( x − a ) + a Hay y = 2a ( x − a ) + a = 2ax − a ( d ) Để ( d ) tiếp tuyến ( C ) ( d ) ( C ) phải tiếp xúc với x3 − 3x = 2ax − a (1) Ta có điều kiện tiếp xúc: x − = a ( ) 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 05: Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 3x − x − 18 x + 3 Thế ( ) vào (1) ta x − 3x = ( 3x − 3) x − x − 3x = 3x − 3x − x 1,82 x − x3 − 18 x + = x 0, 68 Vậy hai đồ thị ( C ) ( P ) có tất hai tiếp tuyến chung x +1 có đồ thị (C ) đường thẳng d : y = −2 x + m − ( m tham số thực) Gọi x+2 k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C ) giao điểm d (C ) Tính tích k1.k2 Câu 41: Cho hàm số y = B k1.k2 = A k1.k2 = C k1.k2 = D k1.k2 = Lời giải Chọn C Xét phương trình x +1 = −2 x + m − x + (6 − m) x + − 2m = ( x −2) (1) x+2 Đặt f ( x) = x + (6 − m) x + − 2m Ta có f (−2) = −1 = m + 4m + 12 0, m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo Viet ta có m−6 x +x = 2 − m x x = 1 x +1 Từ y = ta có y = Do ta có k1 = ; k2 = 2 x+2 ( x1 + 2) ( x2 + 2) ( x + 2) k1.k2 = 1 = = 2 ( x1 + 2) ( x2 + 2) x1.x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 2 − 2m 2m − 12 Mà x1.x + 2( x1 + x2 ) + 4 = + + 4 = Vậy k1 k2 = Câu 42: Gọi S tập tất giá trị tham số m để đường thẳng y = x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + Tổng tất phần tử S A B C −1 Lời giải D Chọn B x3 + = 3x + m Để đường thẳng y = x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + 3x = (1) có nghiệm m = x3 − 3x + x + = 3x + m m = −1 Giải hệ ( 1) x = 3x = m = x = −1 Vậy tổng giá trị m là: −1 + = Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | 20 Phan Nhật Linh Câu 43: Cho Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh f ( x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ bên Gọi S = f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) , f ( d ) , f ( ) Phần tử lớn tập hợp S là: A f ( a ) C f ( ) B f ( b ) D f ( d ) Lời giải Gọi , góc tạo tiếp tuyến c, d f ( c ) = tan f ( d ) = tan f ( c ) f ( d ) Vậy phần tử lớn tập hợp S là: f ( d ) Câu 44: Cho biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = y = x − ( ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f x − điểm có hồnh độ x = A y = x − B y = x − C y = x − D y = x − Lời giải Chọn C Theo đề, ta có f (1) = tiếp tuyến điểm có hồnh độ x =1 y = ( x − 1) + f (1) = x + f (1) − , suy f (1) = ( ) ( ) Xét hàm số y = f x − Ta có y = xf x − Suy y (1) = f (1) = Từ ta loại ba đáp án A, B, D Câu 45: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) B ( x2 ; y2 ) với B khác A thỏa y2 − y1 = −24 ( x2 − x1 ) Số điểm A thỏa mãn A B C Lời giải D Chọn A Tiếp tuyến ( C ) A có phương trình y − y1 = y ( x1 ) ( x − x1 ) Do B thuộc tiếp tuyến ( C ) A nên y2 − y1 = y ( x1 )( x2 − x1 ) y ( x1 ) = y2 − y1 = −24 x2 − x1 Do x1 nghiệm phương trình x − x = −24 x − x + = x = −2 Từ suy có điểm A thỏa mãn toán 21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 05: Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số x+2 Câu 46: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) điểm A ( 0; a ) Có tất giá trị nguyên a x −1 đoạn −2018; 2018 để từ A kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh A 2019 B 2020 C 2017 Lời giải D 2018 Chọn D Ta có y = − ( x − 1) Tiếp tuyến với đồ thị ( C ) qua A ( 0; a ) ( Δ ) : y = kx + a x+2 x − = kx + a ( Δ ) tiếp xúc với ( C ) hệ phương trình − =k ( x − 1) Từ hệ (*) ta có ( *) có nghiệm x+2 3x =− + a ( a − 1) x − ( + a ) x + + a = (**) x −1 ( x − 1) u cầu tốn tìm a để phương trình (**) có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1 + x2 + x1 − x2 − 2+a S = x1 + x2 = a − Ta có P = x x = ( + a ) a −1 a a a a 3a + a −2 Yêu cầu toán tương đương a− P + 2S + 9a + 0 a − P − S +1 −3 Do m nguyên thuộc đoạn −2018; 2018 nên m 0; 2;3; 4;; 2018 Vậy có 2018 giá trị thỏa yêu cầu toán Câu 47: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) B ( x2 ; y2 ) với B khác A thỏa y2 − y1 = −24 ( x2 − x1 ) Số điểm A thỏa mãn A B C Lời giải D Chọn A Tiếp tuyến ( C ) A có phương trình y − y1 = y ( x1 ) ( x − x1 ) Do B thuộc tiếp tuyến ( C ) A nên y2 − y1 = y ( x1 )( x2 − x1 ) Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | 22 Phan Nhật Linh y ( x1 ) = Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh y2 − y1 = −24 x2 − x1 Do x1 nghiệm phương trình x − x = −24 x − x + = x = −2 Từ suy có điểm A thỏa mãn tốn Câu 48: Tìm điểm M có hồnh độ âm đồ thị ( C ) : y = x3 − x + cho tiếp tuyến M vuông 3 góc với đường thẳng d : y = − x + 3 4 4 A M ( −2; −4 ) B M −1; C M ( −2;0 ) D M 2; − 3 3 Lời giải Chọn C Đường thẳng d : y = − x + có hệ số góc − tiếp tuyến có hệ số góc 3 Gọi tọa độ M M ( x0 ; y0 ) hệ số góc tiếp tuyến M y ' ( x0 ) = x0 − x0 = Từ ta có x02 − = x0 = −2 Theo giả thiết, điểm M có hồnh độ âm nên x0 = −2 Vậy tọa độ M ( −2;0 ) Câu 49: Cho đa thức f ( x ) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1 − x ) = x , x Biết tiếp tuyến điểm có hoành độ x = đồ thị hàm số y = f ( x ) tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác đó? A B C D Lời giải Chọn A Ta có: f ( x ) + f (1 − x ) = x , x (1) Đặt t = − x f (1 − t ) + f ( t ) = (1 − t ) , t f (1 − t ) + f ( x ) = (1 − x ) , t ( 2) 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x f ( x) = ( x + x − 1) Từ (1) (2) ta có: 2 f (1 − x ) + f ( x ) = (1 − x ) Suy ra: f (1) = ; f '(1) = 3 Suy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hoành độ x = là: y= 4 ( x − 1) + y = x − 3 3 2 1 Tiếp tuyến cắt trục hoành A ; cắt trục tung B 0; − 3 2 23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 05: Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 1 Suy diện tích tam giác OAB là: S = OA.OB = − = 2 Tài liệu luyện thi THPT 03 mức độ: Nhận biết -Thông hiểu Vận dụng | 24 Phan Nhật Linh Fanpage: Tài liệu luyện thi Đại học 2023 – Giáo viên Học sinh 25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh