Chương §1 – KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP | Dạng 1.1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước | Dạng 1.2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước 12 | Dạng 1.3: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R 14 ax + b đơn điệu khoảng xác định 16 | Dạng 1.4: Tìm m để hàm y = cx + d | Dạng 1.5: Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước 17 | Dạng 1.6: Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước 21 | Dạng 1.7: Một số toán liên quan đến hàm hợp 26 C §2 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 55 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 62 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 62 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 63 | Dạng 2.8: Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số 63 | Dạng 2.9: Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị 73 | Dạng 2.10: Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số 76 | Dạng 2.11: Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước 77 | Dạng 2.12: Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 79 | Dạng 2.13: Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c 82 | Dạng 2.14: Cực trị hàm ẩn 84 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường MỤC LỤC ii Trang C §3 – MỤC LỤC BÀI TẬP TỰ LUYỆN 93 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 100 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 100 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 101 | Dạng 3.15: Tìm max – hàm số cho trước 101 | Dạng 3.16: Một số toán vận dụng 106 C Gv Ths: Phạm Hùng Hải §4 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 108 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 112 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 112 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 113 | Dạng 4.17: Cho hàm số y = f (x), tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tương ứng 113 | Dạng 4.18: Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x) 117 | Dạng 4.19: Một số toán biện luận theo tham số m 120 C §5 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 123 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 127 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 127 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 129 | Dạng 5.20: Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d 129 C §6 – | Dạng 5.21: Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c 134 ax + b | Dạng 5.22: Nhận dạng đồ thị hàm biến y = 140 cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN 143 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT 149 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 149 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 150 | Dạng 6.23: Giải, biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị 150 | Dạng 6.24: Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị 157 | Dạng 6.25: Một số toán liên quan đến hàm hợp 160 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 167 Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang ii Trang §7 – iii MỤC LỤC SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 172 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 172 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 173 | Dạng 7.26: Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba 173 bậc bốn trùng phương 179 ax + b | Dạng 7.28: Xác định biện luận giao đường thẳng đồ thị hàm số y = cx + d 184 C §8 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 189 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 192 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 192 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 193 | Dạng 8.29: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước 193 | Dạng 8.30: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 197 | Dạng 8.31: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA ) 201 | Dạng 8.32: Bài tập tổng hợp 205 C §9 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 209 ĐỀ TỔNG ÔN 212 A ĐỀ SỐ 212 B ĐỀ SỐ 219 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang iii Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường | Dạng 7.27: Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số CHƯƠNG Bài A SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Cho hàm số y = f (x) xác định (a; b) Khi Hàm số đồng biến (a; b) y f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) f (x1 ) – Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường lên" xét O x1 x2 x x1 x2 x từ trái sang phải Hàm số nghịch biến (a; b) y f (x1 ) f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) – Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường xuống" O xét từ trái sang phải Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu Cho hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n Nếu f (m) > f (n) m > n ® Nếu f (m) < f (n) m < n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n Nếu f (m) > f (n) m < n ® Nếu f (m) < f (n) m > n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b) Liên hệ đạo hàm tính đơn điệu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) ¬ Nếu y0 ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) y = f (x) đồng biến (a; b) Gv Ths: Phạm Hùng Hải Nếu y0 ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) y = f (x) nghịch biến (a; b) Chú ý: Dấu xảy điểm "rời nhau" B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BUỔI SỐ p Dạng 1.1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước a) Tìm tập xác định D hàm số b) Tính y0 , giải phương trình y0 = tìm nghiệm xi (nếu có) c) Lập bảng xét dấu y0 miền D Từ dấu y0 , ta suy chiều biến thiên hàm số • Khoảng y0 mang dấu −: Hàm nghịch biến • Khoảng y0 mang dấu +: Hàm đồng biến Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ o CHÚ Ý : Nhị thức bậc nhất: y = f (x) = ax + b (a 6= 0) −∞ x − ax + b Trái dấu với a b a +∞ Cùng dấu với a Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường : Tam thức bậc hai: y = f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) – Nếu ∆ < tam thức vơ nghiệm, ta có bảng xét dấu: x −∞ f (x) +∞ Cùng dấu với a – Nếu ∆ = tam thức có nghiệm kép x1 = x2 = − x −∞ f (x) − Cùng dấu với a b , ta có bảng xét dấu: 2a b 2a +∞ Cùng dấu với a – Nếu ∆ > tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , ta có bảng xét dấu: x f (x) x1 −∞ Cùng dấu với a x2 Trái dấu với a +∞ Cùng dấu với a : Đối với tam thức từ bậc trở lên ta xét dấu theo nguyên tắc: – Thay điểm x0 ∈ Z gần với xn bên ô phải bảng xét dấu vào f (x) xét theo nguyên tác: Dấu f (x) đổi dấu qua nghiệm đơn, bội lẻ không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn – Nghiệm bội chẵn nghiệm có dạng (x − a)n = (với n = 2, 4, 6, ) Nghiệm đơn x − b = 0, bội lẻ có dạng (x − b)n = (với n = 1, 3, 5, ) Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = x3 − 3x2 + Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = x3 + 4x + Lời giải Ví dụ d Hàm số y = −x3 + 3x − đồng biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (−∞; −1) (1; +∞) C (1; +∞) D (−1; 1) Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = x3 + 3x2 − Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; 5) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) Lời giải Ví dụ d Hàm ã + 2x − 2xÅ− nghịch ã biến khoảng sau đây? Å số y = −x 1 A −∞; − B − ; +∞ C (−∞; 1) D (−∞; +∞) 2 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Hàm số y = x4 + 8x3 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) D (−∞; +∞) Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ x+3 Khẳng định sau đúng? x−3 A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) d Cho hàm số y = B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) C Hàm số nghịch biến R \ {3} D Hàm số đồng biến R \ {3} Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 3−x Mệnh đề đúng? x+1 A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) d Cho hàm số y = B Hàm số nghịch biến với x 6= C Hàm số nghịch biến tập R \ {−1} D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ d Hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó? x−1 2x + x−2 A y = B y = C y = x+1 x−3 2x − Lời giải D y = x+5 −x − Ví dụ 10 d Hàm số y = A (0; 1) √ 2x − x2 nghịch biến khoảng sau? B (0; 2) C (1; 2) D (1; +∞) Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 11 π tan x − d Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = 0; tan x − Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 12 π π d Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = sin 2x − cos x − 2x với x ∈ − ; 2 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ 13 d Cho hàm số y = f (x) = x3 + x2 + 8x + cos x, với hai số thực a, b cho a < b Hãy so sánh f (a) với f (b)? Lời giải Ví dụ 14 d Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số −x+2 y = − 2x2 + 2x + 3x − x < −1 − ≤ x ≤ x > Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Trang 10 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 15 d Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số: Gv Ths: Phạm Hùng Hải a) y = x2 − 2x − b) y = x2 − 4x + + 4x + Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 10 Trang 11 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 11 Trang 12 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 16 d Hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x + 2) Phát biểu sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 0) Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 1.2 Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước Nếu đề cho đồ thị y = f (x), ta việc nhìn khoảng mà đồ thị "đi lên" "đi xuống" ¬ Khoảng mà đồ thị "đi lên": hàm đồng biến; Khoảng mà đồ thị "đi xuống": hàm nghịch biến Nếu đề cho đồ thị y = f (x) Ta tiến hành lập bảng biến thiên hàm y = f (x) theo bước: ¬ Tìm nghiệm f (x) = (hoành độ giao điểm với trục hoành); Xét dấu f (x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); ® Lập bảng biến thiên y = f (x), suy kết tương ứng Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 12 Trang 13 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm hình bên x y0 −∞ + −2 − +∞ + Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A (0; 1) B (3; 4) C (−2; 4) D (−4; 2) Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng sau x −∞ + f (x) đây? f (x) A (−∞; 5) C (2; +∞) Lời giải B (0; 2) 0 − +∞ + +∞ −∞ D (0; +∞) Ví dụ d y Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? O x Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) B Hàm số nghịch biến khoảng (6; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) D Hàm số nghịch biến khoảng (3; 6) Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 13 Trang 14 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến R \ {2} B Hàm số đồng biến (−∞; 2) (2; +∞) x y0 C Hàm số nghịch biến (−∞; 2) y −∞ +∞ − − +∞ −∞ (2; +∞) D Hàm số nghịch biến R Lời giải Ví dụ Gv Ths: Phạm Hùng Hải d y = f (x) y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R, hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng khoảng sau A (−∞; −2); (1; +∞) C (−2; +∞) Lời giải B (−2; +∞) \ {1} D (−5; −2) −2 −1 O1 x p Dạng 1.3 Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R a=0 a > a) Hàm số đồng biến R y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ suy biến b = ∆ ≤ y c > Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 14 Trang 15 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ a=0 suy biến b = b) Hàm số nghịch biến R y0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ y c < a < Ví dụ d Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − 2mx2 + 4x − đồng biến R A B vô số C D Ví dụ d Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = − x3 − mx2 + (2m − 3)x − m + nghịch biến R A m ≤ −3, m ≥ B −3 < m < C −3 ≤ m ≤ D m ≤ Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải Ví dụ d Tìm tất giá trị m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3x + đồng biến R A < m ≤ B < m < C ≤ m ≤ D ≤ m < Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 15 16 Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 1.4 Tìm m để hàm y = a) Tính y0 = ax + b đơn điệu khoảng xác định cx + d ad − cb (cx + d)2 b) Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y0 > ⇔ ad − cb > c) Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y0 < ⇔ ad − cb < Ví dụ d Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x+2−m nghịch biến khoảng x+1 mà xác định A m ≤ B m ≤ −3 C m < −3 D m < Lời giải Ví dụ d Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + m2 đồng biến khoảng xác x+1 định A m ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) B m ∈ [−1; 1] C m ∈ R D m ∈ (−1; 1) Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 16 Trang 17 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BUỔI SỐ p Dạng 1.5 Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước Loại 1: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu toàn miền a=0 a > ¬ Hàm số đồng biến R y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ suy biến b = ∆ ≤ y c > a=0 a < Hàm số nghịch biến R y0 ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ suy biến b = ∆ ≤ y c < Loại 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng tập R Ta thường gặp hai trường hợp: ¬ Nếu phương trình y0 = giải nghiệm "đẹp": Ta thiết lập bảng xét dấu y0 theo nghiệm vừa tìm (xét hết khả nghiệm trùng, nghiệm phân biệt) Từ "ép" khoảng mà dấu y0 không thỏa mãn khỏi khoảng đề yêu cầu Nếu phương trình y0 = nghiệm "xấu": Ta sử dụng cách sau Cách Dùng định lý so sánh nghiệm (sẽ nói rõ qua giải cụ thể ) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường xác định R Cách Cô lập tham số m, dùng đồ thị (cách xét sau) Loại 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu khoảng tập R ¬ Giải phương trình y0 = 0, tìm nghiệm Biện luận trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt) Từ "ép" khoảng mà dấu y0 khơng thỏa mãn khỏi khoảng đề yêu cầu 1) Cách Biện luận (đối với cách phương trình y0 = có ∆ = (cx + d)2 ) Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 17 Trang 18 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ • Bước Tập xác định tính đạo hàm y0 x1 = theo m • Bước Giải phương trình y0 = ⇔ x2 = theo m Ç √ å √ −b − ∆ −b + ∆ , x2 = cơng thức x1 = 2a 2a • Bước Lập bảng biến thiên biện luận 2) Cách Áp dụng công thức dấu tam thức bậc hai Gv Ths: Phạm Hùng Hải • Bước Tập xác định tính đạo hàm y0 • Bước Nếu y0 tam thức bậc hai có dạng y0 = Ax2 + Bx +C, A 6= Khi đó, ∆ ≤ ⇔ y0 ≥ 0, ∀x ∈ R suy hàm số đồng biến khoảng ¬ Nếu a > (a, b) , (a, +∞) ∆ ≤ ⇔ y0 ≤ 0, ∀x ∈ R suy hàm số đồng biến khoảng Nếu a < (a, b) , (a, +∞) ∆≥0 ® ∆ ≥ y0 = có hai nghiệm x1 , x2 x1 ≤ x2 ≤ α ⇔ A · y0 (α) ≥ S ≤ α ∆≥0 ¯ ∆ ≥ y0 = có hai nghiệm x1 , x2 α ≤ x1 ≤ x2 ⇔ A · y0 (α) ≥ S ≤ α A · y0 (α) ≤ 0 ° ∆ ≥ y = có hai nghiệm x1 , x2 x1 ≤ α ≤ x2 ⇔ A · y0 (β ) ≤ 3) Cách Cô lập tham số m, tức biến đổi f (x, m) ≥ (≤ 0) ⇔ g(x) ≥ m (≤ m) • Bước Xác định tham số để hàm số f xác định khoảng cho • Bước Tính f (x, m), vận dụng định lí vào hàm số thường gặp chương trình • Bước Để giải toán dạng này, ta thường sử dụng tính chất sau Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 18 Trang 19 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Nếu hàm số đồng biến (a; b) lập tham số m f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ←−−−−−−−−−−−→ g(x) ≥ h(m), ∀x ∈ [a; b] ⇔ g(x) ≥ h(m) [a;b] Nếu hàm số đồng biến (a; b) lập tham số m f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] ←−−−−−−−−−−−→ g(x) ≤ h(m), ∀x ∈ [a; b] ⇔ g(x) ≤ h(m) [a;b] ⇔ ac − bd > − d ∈ / (L; ∞) c Hàm số đồng biến (L; +∞) ⇔ ⇔ ad − bc (cx + d)2 ac − bd < − d ∈ / (L; ∞) c ⇔ ac − bd > − d ≤ L c < 0, ∀x ∈ (L; +∞) ac − bd < − d ≤ L c o CHÚ Ý số tốn tham số m có chứa tham số m bậc hai bậc khơng thể cô lập m nên ta phải biện luận Gọi S tập nghiệm A · f (x) ≥ S = R S = (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; +∞) Khi điều kiện: A · f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ [a; b] ⊂ S Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ß ™ ax + b d Nếu f (x) = (ad − bc 6= 0) có tập xác định D = R\ − cx + d c ad − bc Hàm số đồng biến (L; +∞) > 0, ∀x ∈ (L; +∞) (cx + d)2 Khi điều kiện: A · f (x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ [a; b] ⊂ [x1 ; x2 ] Ví dụ 1 d Cho hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 2m, với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số đồng biến R Tìm tập S A S = {m ∈ Z | |m| > 2} B S = {−2; −1; 0; 1; 2} C S = {−1; 0; 1} D S = {m ∈ Z | |m| > 2} Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 19 Trang 20 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Lời giải Ví dụ d Giá trị m để hàm số y = −x3 + mx2 − m đồng biến khoảng (0; 2) Gv Ths: Phạm Hùng Hải A < m < B m ≥ C m ∈ [1; 3] D m ≤ Lời giải Ví dụ d Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − 3(m + 2)x2 + 3(m2 + 4m)x + nghịch biến khoảng (0; 1)? A B C D Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 20 Trang 21 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Lời giải Ví dụ d Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − đồng biến khoảng (1; 3) A m ∈ [−5; 2) B m ∈ (−∞; −5) C m ∈ (2; +∞) D m ∈ (−∞; 2] Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường p Dạng 1.6 Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước Loại Tìm điều kiện tham số để hàm y = ax + b đơn điệu khoảng xác định cx + d Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 21 Trang 22 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ¬ Tính y0 = ad − cb (cx + d)2 Hàm số đồng biến khoảng xác định ⇔ y0 > ⇔ ad − cb > ® Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y0 < ⇔ ad − cb < ß ™ d ax + b đơn điệu khoảng (m; n) ⊂ R\ − Loại Tìm điều kiện để hàm y = cx + d c ¬ Tính y0 = ad − cb (cx + d)2 Hàm số đồng biến khoảng (m; n): Gv Ths: Phạm Hùng Hải ⇔ y0 > − d ∈ / (m; n) c ⇔ ad − cb > − d ≤ m − d ≥ n c c ® Hàm số nghịch biến khoảng (m; n): ⇔ y0 < − d ∈ / (m; n) c ⇔ ad − cb < − d ≤ m − d ≥ n c c o CHÚ Ý / Bài toán: Cho hàm số f (u(x)) xác định có đạo hàm (a; b) Xác định tham số m để hàm số f đồng biến (nghịch biến) (a; b) / Nhận xét: toán đặc ẩn phụ ta sử dụng tính chất sau: Tính chất: đặt t = u(x), ∀x ∈ (a; b) ⇒ t < t < max t f (u(x)) = f (t) (a;b) (a;b) ¬ Nếu f (u(x)) đồng biến (a; b) t = u(x) đồng biến (a; b) · y = f (t) Ç å đồng biến t; max t (a;b) (a;b) Nếu f (u(x)) đồng biến (a; b) t = u(x) nghịch biến (a; b) · y = f (t) Ç å nghịch biến t; max t (a;b) (a;b) ® Nếu f (u(x)) nghịch biến (a; b) t = u(x) đồng biến (a; b) · y = f (t) Ç å nghịch biến t; max t (a;b) (a;b) Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 22 Trang 23 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ¯ Nếu f (u(x)) nghịch biến (a; b) t = u(x) nghịch biến (a; b) · y = f (t) Ç å đồng biến t; max t (a;b) (a;b) Ví dụ π −2 sin x − d Tìm giá trị m để hàm số y = đồng biến khoảng 0; sin x − m Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ π π cot x − d Tìm giá trị m để hàm số y = nghịch biến ; cot x − m Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 23 Trang 24 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Tìm giá trị tham số m để hàm số y = A m ≤ B m > x+2 nghịch biến tập xác định x+m C m ≥ D m < Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 24 Trang 25 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ mx − 2m − với m tham số Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên x−m m để hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Tìm số phần tử S d Cho hàm số y = A B C D Lời giải Ví dụ 2x − Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng d Cho hàm số y = x−m 1 A < m ≤ B m > C m ≥ 2 Lời giải Å ã ;1 D m ≥ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 25 Trang 26 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ p Dạng 1.7 Một số toán liên quan đến hàm hợp Loại 1: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm y = f (x) ¬ Tìm nghiệm f (x) = (hồnh độ giao điểm với trục hoành); Xét dấu f (x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); ® Lập bảng biến thiên y = f (x), suy kết tương ứng Loại 2: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm hợp y = f (u) ¬ Tính y0 = u0 · f (u); Gv Ths: Phạm Hùng Hải Giải phương trình f (u) = ⇔ u0 = f (u) = 0( Nhìn đồ thị, suy nghiệm.) ; ® Lập bảng biến thiên y = f (u), suy kết tương ứng Loại 3: Cho đồ thị y = f (x), hỏi tính đơn điệu hàm y = g(x), g(x) có liên hệ với f (x) ¬ Tính y0 = g0 (x); Giải phương trình g0 (x) = (thường dẫn đến việc giải phương trình liên quan đến f (x) Loại ta nhìn hình để suy nghiệm) ® Lập bảng biến thiên y = g(x), suy kết tương ứng Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x f (x) −∞ −1 + +∞ − + f (x) Tìm khoảng đồng biến hàm số y = f (2x + 1) Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 26 Trang 27 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x f (x) −∞ − +∞ + + f (x) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = f (−2x + 6) Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 27 Trang 28 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x f (x) −∞ +∞ − + f (x) Å Hỏi hàm số y = f ã x + 3x + nghịch biến khoảng nào? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 28 Trang 29 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x f (x) −∞ + − +∞ + + f (x) Tìm khoảng đồng biến hàm số y = f −x2 + 2x ? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 29 Trang 30 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R có đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Xét tính đơn điệu hàm số y = g(x) = f (x) + y −1 O x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 30 Trang 31 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ sau: y Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x) = f (x) + x + Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên y Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường x O −1 O x −1 Tìm khoảng đồng biến hàm số g(x) = f (x) − x + 2020 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 31 Trang 32 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y −1 O x −1 −2 Hàm số y = g(x) = f (2x − 4) nghịch biến khoảng nào? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 32 Trang 33 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x f (x) f (x) −∞ −2 − − +∞ + + Hỏi hàm số y = f ( f (x)) đồng biến khoảng nào? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 33 Trang 34 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 10 d Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) −2 + 0 − +∞ + + +∞ 28 5 f (x) −∞ Tìm khoảng đồng biến hàm số y = g(x) = f (4 − 2x) − x3 + x − 6x + Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 34 Trang 35 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 11 d Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng xét dấu đạo hàm sau f (x) −∞ − + + +∞ − + Biết < f (x) < 3, ∀x ∈ R Hàm số y = g(x) = f ( f (x)) + x3 − 6x2 − có khoảng đồng biến? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường x Ví dụ 12 d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 35 Trang 36 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y −4 −3 −2 −1 O x −1 −2 −3 Gv Ths: Phạm Hùng Hải −4 Tìm khoảng nghịch biến hàm số y = f (x) − x2 + 2x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 36 Trang 37 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 13 d (THPTQG–2019, Mã đề 101) Cho hàm số f (x) có bẳng xét dấu f (x) hình bên f (x) −∞ −3 −1 +∞ − + − 0 + Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến khoảng A (4; +∞) B (−2; 1) C (2; 4) D (1; 2) Lời giải Ví dụ 14 d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Biết đồ thị hàm số y y = f (x) hình vẽ bên Hàm số f (x2 − 2) đồng biến khoảng khoảng đây? √ A (0; 1) B (1; 3) −2 −1 O C (−1; 0) x √ D (− 3; 0) Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường x Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 37 Trang 38 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 15 d Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ x2 bên Đặt h(x) = f (x) − Mệnh đề đúng? A Hàm số y = h(x) đồng biến khoảng (2; 3) B Hàm số y = h(x) đồng biến khoảng (0; 4) C Hàm số y = h(x) nghịch biến khoảng (0; 1) D Hàm số y = h(x) nghịch biến khoảng (2; 4) y f (x) O −3 −2 −1 1 −1 −2 −3 x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 38 Trang 39 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 16 d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên −3 −2 −1 O −1 x −2 −3 −4 −5 −6 Tìm khoảng đồng biến hàm số g(x) = f (x) + x2 + 2x − 2019 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường y (C) Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 39 Trang 40 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 17 Gv Ths: Phạm Hùng Hải d Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số y = f (x) − x3 + 6x đồng biến khoảng nào? y −4 −3 −2 −1 O x −1 −2 −3 −4 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 40 Trang 41 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 18 d Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên y O x Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Hàm số g(x) = f (x) − x3 đồng biến khoảng nào? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 41 Trang 42 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 19 d Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên y O Å Hàm số g(x) = f 5x x +4 x ã nghịch biến khoảng nào? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 42 Trang 43 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 20 d Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y y = f (x) O x Hàm số y = g(x) = f + 2x − x2 đồng biến khoảng nào? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 43 Trang 44 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 21 d Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y y = f (x) Gv Ths: Phạm Hùng Hải −1 O x Hàm số y = g(x) = f x3 đồng biến khoảng nào? Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 44 Trang 45 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 22 d Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y y = f (x) Hàm số y = g(x) = f x Ä√ ä x2 + 2x + đồng biến khoảng nào? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường −1 O Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 45 Trang 46 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 23 d Cho hàm số y = f (x) liên tục R Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y −1 O x −1 Hàm số y = g(x) = f (x − 1) + 2019 − 2018x đồng biến khoảng nào? 2018 Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 46 Trang 47 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 24 d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ f (x) O −3 −2 −1 x −1 −2 −3 Tìm khoảng đồng biến hàm số y = g(x) = f (−2x + 1) + (x + 1)(−2x + 4) Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường y Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 47 Trang 48 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 25 d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 48 Trang 49 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y f (x) −1 O x −1 Hàm số g(x) = f (x − 2) + x3 − x + 12x + có khoảng nghịch biến? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường −2 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 49 Trang 50 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 26 d Cho hàm số y = f (x) có đồ thị f (x) hình vẽ Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 50 Trang 51 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y − 32 O −4 −3 −2 −1− −1 x −3 −4 −5 Hàm số y = f (1 − x) + x2 − x nghịch biến khoảng nào? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường −2 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 51 Trang 52 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 27 d Cho hàm số y = f (x) với đạo hàm f (x) có đồ thị hình vẽ Gv Ths: Phạm Hùng Hải y f (x) −1 O x −1 −2 Hàm số y = g(x) = f (x) − x3 + 3x2 − 3x + 2019 đồng biến khoảng nào? Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 52 Trang 53 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 28 d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 53 Trang 54 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ y (C) O −2 −1 x −1 Gv Ths: Phạm Hùng Hải −2 Hàm số y = g(x) = f (x) − x2 đồng biến khoảng ? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 54 Trang 55 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Hàm số y = x3 − 2x2 + 3x + đồng biến khoảng sau đây? A (1; 3) B (2 : +∞) C (−∞; 0) D (0; 3) Câu Cho hàm số y = x2 (3 − x) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số cho đồng biến khoảng (2; +∞) B Hàm số cho đồng biến khoảng (+∞; 3) C Hàm số cho đồng biến khoảng (0; 2) D Hàm số cho đồng biến khoảng (−∞; 0) Câu Hàm số y = 2x4 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; 3) C (−∞; 0) D (3; +∞) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu Hàm số y = x4 + 8x3 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) D (−∞; +∞) Câu Hàm số y = x4 − 2x2 + đồng biến khoảng nào? A (−1; 0) B (−1; +∞) C (−3; 8) D (−∞; −1) Câu Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số y = −x4 + 8x2 − A (−2; 0), (2; +∞) B (−2; 0) C (−∞; −2), (2; +∞) D (2; +∞) Câu Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A y = −x3 − x + B y = −x4 + 4x2 − C y = x3 + 4x2 − D y = x4 − 5x + Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 55 Trang 56 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Câu Cho hàm số y = x3 − 5x2 + 3x − nghịch biến khoảng (a; b) với a < b; a, b ∈ R đồng biến khoảng (−∞; a), (b; +∞) Tính S = 3a + 3b A S = B S = C S = 10 D S = 12 Câu Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số y = − x3 − 2x2 − x − 2017 Å ã Å ã Å ã 1 A − ; +∞ B −∞; − − ; +∞ 2ã Å C (−∞; +∞) D −∞; − Câu 10 Cho hàm số y = −x3 + Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) B Hàm số đồng biến R C Hàm số đồng biến (−∞; 0) D Hàm số nghịch biến R x−2 Tìm khẳng định đúng? x+3 A Hàm số xác định R \ {3} Gv Ths: Phạm Hùng Hải Câu 11 Cho hàm số y = B Hàm số đồng biếntrên R \ {−3} C Hàm số nghịch biến khoảng xác định D Hàm số đồng biến khoảng xác định 3x − Mệnh đề đúng? x−2 A Hàm số nghịch biến R Câu 12 Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 2) (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 2) (2; +∞) D Hàm số đồng biến R \ {2} Câu 13 Hàm số sau nghịch biến tập xác định nó? x−2 x−2 A y = B y = C y = −x4 + x2 x−1 x+1 Câu 14 Hàm số y = x + đồng biến khoảng đây? x A (2; +∞) B (0; +∞) C (−2; 0) D y = −x3 + D (−2; 2) Câu 15 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x4 − 4x2 + Hàm số f (x) đồng biến khoảng sau đây? Ä Ä√ ä √ ä A −∞; − , (−1; 1) 3; +∞ C (−∞; 1) (3; +∞) Ä √ ä Ä √ ä − 3; −1 1; Ä √ ä Ä√ ä D − 2; 2; +∞ B Câu 16 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x + 1)2 (x − 1)3 (2 − x) Hàm số đồng biến khoảng đây? A (2; +∞) B (−1; 1) C (1; 2) D (−∞; −1) Câu 17 Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau Mệnh đề đúng? Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 56 57 Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) x B Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) y0 −∞ +∞ + − − + C Hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞) Câu 18 x −∞ f (x) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (−2; 2) + −2 − + +∞ f (x) −∞ B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) +∞ 0 C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) D Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 2) Câu 19 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = ax + b với a, b, cx + d y c, d số thực Mệnh đề sau đúng? A y0 < 0, ∀x 6= B y0 x O > 0, ∀x 6= −1 C y0 > 0, ∀x 6= D y0 < 0, ∀x 6= Câu 20 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến (−∞; +∞) B Hàm số đồng biến (−∞; 2) x O C Hàm số đồng biến (−∞; −1) −2 D Hàm số nghịch biến (1; +∞) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Câu 21 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Hàm số y y = f (x) đồng biến khoảng nào? A (−∞; 0) B (−3; +∞) C (−∞; 4) D (−4; 0) −3 −2 x O √ Câu 22 Cho hàm số y = x2 − 6x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (3; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) C Hàm số đồng biến khoảng (5; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 57 58 Trang SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Câu 23 Hàm số y = x2 − x + nghịch biến khoảng nào? x2 + x + A (1; +∞) C (−∞; −1) B (−1; 1) Å D ã ;3 3 Câu 24 Hàm số y = ax + bx + cx + d đồng biến Rkhi A C a = b = 0, c > a > 0; b2 − 3ac ≥ a = b = 0, c > a = b = 0, c > B a < 0; b2 − 3ac ≤ D a > 0; b2 − 3ac ≤ a > 0; b − 3ac ≤ Câu 25 Cho hàm số f (x) có tính chất f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) f (x) = ∀x ∈ (1; 2) Khẳng định sau sai? A Hàm số f (x) đồng biến khoảng (0; 3) Gv Ths: Phạm Hùng Hải B Hàm số f (x) đồng biến khoảng (0; 1) C Hàm số f (x) đồng biến khoảng (2; 3) D Hàm số f (x) hàm (tức không đổi) khoảng (1; 2) Câu 26 Nếu hàm số y = f (x) liên tục đồng biến (0; 2) hàm số y = f (2x) ln đồng biến khoảng nào? A (0; 4) B (0; 2) C (−2; 0) D (0; 1) Câu 27 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 + (2m + 1)x − 3m − đồng biến R 1 D m < − A m ∈ (−∞; +∞) B m ≤ C m ≥ − 2 Câu 28 Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5, với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến (−∞; +∞)? A B C Câu 29 Tìm giá trị tham số m để hàm số y = D x+2 nghịch biến khoảng xác định x+m A m ≤ Câu 30 Cho hàm số y = A < m < B m > C m ≥ D m < mx − Các giá trị m để hàm số nghịch biến khoảng xác định x+m−3 m>2 B C < m ≤ D m = m 0, ∀x > Biết f (1) = 2, hỏi khẳng định sau xảy ra? A f (2) + f (3) = B f (−1) = C f (2) = D f (2018) > f (2019) Câu 11 Cho hàm số y = f (x) Hàm số f (x) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số y Gv Ths: Phạm Hùng Hải y = f (1 − x) đồng biến khoảng nào? A (0; 2) B (−∞; 2) C (−1; 1) D (2; +∞) −1 x O Câu 12 y Cho hàm số y = f (x) liên tục [−1; 4] có đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Hỏi hàm số g(x) = f x2 + nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−1; 1) y = f (x) −1 B (0; 1) Ä√ ä D 3; C (1; 4) x O Câu 13 Cho hàm số y = f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (xÅ− x2 ) nghịch ã biến khoảng nàoÅdưới đây?ã −3 −1 ; +∞ B ; +∞ A Å ã Å ã C −∞; D ; +∞ 2 f (x) y x Câu 14 Tìm mối liên hệ tham số a b cho hàm số y = f (x) = 2x + a sin x + b cos x tăng R? √ 1+ A a + 2b ≥ B 1 + = a b √ C a + 2b = D a2 + b2 ≤ Câu 15 Tìm giá trị lớn tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (8 + 2m)x + m + đồng biến R Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 60 Trang 61 A m = SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ B m = −2 D m = −4 C m = Câu 16 Có giá trị nguyên m để hàm số y = − x3 − mx2 + (m − 6)x + nghịch biến khoảng (−∞; +∞)? A B C Vố số D Câu 17 Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m + 1)x2 + 3x − 1, với m tham số Số giá trị nguyên tham số m thuộc [−2018; 2018] để hàm số đồng biến R A 4035 B 4037 C 4036 D 4034 khoảng (0; 1) A m ≥ m ≤ −1 C m < −1 B m > D −1 < m < Câu 19 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 − 9m2 x đồng biến khoảng (1; +∞) A m > C m ≥ m ≤ −1 B m < −1 D −1 ≤ m ≤ Câu 20 Tìm m để hàm số y = x3 − 6x2 + mx + đồng biến (0; +∞) A m ≥ 12 B m ≤ 12 C m ≥ D m ≤ Câu 21 Gọi T tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = x4 − 2mx2 + đồng biến khoảng (2; +∞) Tổng giá trị phần tử T A B 10 C D Câu 22 Giá trị m để hàm số y = −x3 + mx2 − m đồng biến khoảng (0; 2) A < m < B m ≥ C m ∈ [1; 3] D m ≤ Câu 23 Gọi S tập hợp giá trị thực m để hàm số y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x + 2017 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu 18 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 − 9m2 x nghịch biến nghịch biến khoảng (a; b) cho b − a > Giả sử S = (−∞; m1 ) ∪ (m2 ; +∞) Khi m1 + m2 A B C Câu 24 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = D mx + nghịch biến 4x + m khoảng xác định hàm số A Câu 25 Cho hàm số y = B C D Vô số x+m Tập hợp tất giá trị m để hàm số đồng biến khoảng x+2 (0; +∞) A (2; +∞) B (−∞; 2) C [2; +∞) D (−∞; 2] Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 61 Trang 62 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ x−2 đồng biến khoảng (−∞; −1)? x−m C D Vô số Câu 26 Tồn số nguyên m để hàm số y = A B mx + , với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên 2x + m tham số m để hàm số nghịch biến khoảng (0; 1) Tìm số phần tử S Câu 27 Cho hàm số y = A B C D A m ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞) mx + 16 đồng biến khoảng (0; 10) x+m B m ∈ (−∞; −10] ∪ (4; +∞) C m ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞) D m ∈ (−∞; −10] ∪ [4; +∞) Câu 28 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + b bx + a (1) y = 4x + a 4x + b đồng biến khoảng xác định Giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + 3b Câu 29 Cho a, b hai số nguyên dương cho hai hàm số y = Gv Ths: Phạm Hùng Hải A 25 B 30 C 23 (2) D 27 Câu 30 Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau x f (x) −∞ − + + − +∞ + Hàm số y = f (x + 2) − x3 + 3x đồng biến khoảng ? B (−∞; −1) A (1; +∞) C (−1; 0) D (0; 2) ——HẾT—— A A C A A D D B C 10 B 11 D 12 B 13 D 14 D 15 C 16 B 17 A 18 A 19 D 20 A 21 B 22 B 23 B 24 C 25 B 26 A 27 C 28 B 29 A 30 C Bài A CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT CẦN NHỚ a) Hàm số đạt cực trị x0 x0 nghiệm phương trình y0 = x0 điểm mà đạo hàm khơng xác định (chỉ có chiều nhé, đừng suy ngược lại) b) Bảng tổng kết tên gọi: Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 62 Trang 63 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y (x1 ; y1 ) điểm cực đại đồ thị hàm số • x1 điểm cực đại hàm số • y1 giá trị cực đại hàm số y1 O x1 x2 (x2 ; y2 ) điểm cực tiểu đồ thị hàm số • x2 điểm cực tiểu hàm số • y2 giá trị cực tiểu hàm số x B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BUỔI SỐ p Dạng 2.8 Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số a) Giải phương trình y0 = tìm nghiệm xi điểm x j mà đạo hàm không xác định; b) Đưa nghiệm xi x j lên bảng xét dấu xét dấu y0 ; c) Lập bảng biến thiên nhìn "điểm dừng": • "Dừng" cao điểm (x1 ; y1 ) x1 điểm cực đại hàm số; y1 giá trị cực đại (cực đại) hàm số; (x1 ; y1 ) tọa độ điểm cực đại đồ thị • "Dừng" thấp điểm (x2 ; y2 ) x2 điểm cực tiểu hàm số; y2 giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số; (x2 ; y2 ) tọa độ điểm cực tiểu đồ thị Ví dụ d Điểm tiểu đồ thị hàm số y = x3 − x2 + Å Å cực ã ã 50 50 A ; B (0; 2) C ; 27 27 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường y2 D (2; 0) Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 63 Trang 64 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Tìm cực trị hàm số y = x3 − 2x2 + 4x − Lời giải Ví dụ d Tìm cực trị hàm số y = −2x3 − 3x2 − 6x + Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Tìm cực trị hàm số y = x4 − 2x2 − Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 64 Trang 65 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ C x = √ √ D x = ± Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường d Hàm số y = x4 − 3x2 − đạt cực đại √ A x = B x = − Ví dụ d Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x4 − A (−1; −1) B (0; −1) C (−1; 0) D (1; −1) Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 65 Trang 66 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ Gv Ths: Phạm Hùng Hải 1 d Tìm cực trị hàm số y = − x4 − x3 + x2 + x − Lời giải Ví dụ d Tìm cực trị hàm số y = −x4 + 4x2 − Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 66 Trang 67 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Gọi A, B điểm cực trị (C) Tính độ dài đoạn thẳng AB √ A AB = B AB = C AB = √ D AB = Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 67 Trang 68 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 10 d Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + A y = −2x − B y = −2x + C y = 2x − D y = 2x + Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 11 d Cho hàm số y = − x4 + x2 − có đồ thị (C) Tính diện tích tam giác tạo thành từ 4 điểm cực trị √ đồ thị (C) √ √ √ B S = C S = D S = A S = 4 Lời giải Ví dụ 12 d Cho hàm số y = 3x4 − 4x3 − 6x2 + 12x + Gọi M (x1 ; y1 ) điểm cực tiểu đồ thị hàm số cho Tính tổng x1 + y1 A B −11 C D Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 68 Trang 69 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 13 d Tìm cực trị hàm số y = (1 − x)3 (3x − 8)2 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 69 Trang 70 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 14 d Tìm cực trị hàm số y = (x − 2)3 (3x − 1)2 Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 15 d Tìm cực trị hàm số y = 2x − x+1 Lời giải Ví dụ 16 d Tìm cực trị hàm số y = x+2 3x + Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 70 Trang 71 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 17 x2 − 2x + x ≥ d Tìm cực trị hàm số y = 3x2 − x + x < Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ 18 d Tìm cực trị hàm số y = x2 − 4x + Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 71 Trang 72 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 19 d Tìm cực trị hàm số y = x2 − 4x + x2 − Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 72 Trang 73 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 20 √ d Tìm cực trị hàm số y = sin x − cos x Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường p Dạng 2.9 Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị Loại 1: Cho bảng biến thiên đồ thị hàm y = f (x) Ta nhìn "điểm dừng": ¬ "Dừng" cao điểm (x1 ; y1 ) x1 điểm cực đại hàm số; y1 giá trị cực đại (cực đại) hàm số; (x1 ; y1 ) tọa độ điểm cực đại đồ thị "Dừng" thấp điểm (x2 ; y2 ) x2 điểm cực tiểu hàm số; y2 giá trị cực tiểu (cực tiểu) hàm số; (x2 ; y2 ) tọa độ điểm cực tiểu đồ thị Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 73 Trang 74 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Loại 2: Cho đồ thị hàm f (x) Ta thực tương tự phần đồng biến, nghịch biến Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Cực tiểu (giá trị cực tiểu)của hàm số A B C −1 D −∞ x y0 + −1 − +∞ + +∞ y −∞ Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Khẳng định sau sai? A Hàm số đạt cực đại x = x = B Giá trị cực tiểu hàm số −1 C Giá trị cực đại hàm số x y0 −∞ −2 − + +∞ + +∞ − y D Hàm số đạt cực tiểu x = −2 −1 −∞ −∞ Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)2017 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 2) (3; +∞) B Hàm số có điểm cực trị C Hàm số nghịch biến khoảng (1; 3) D Hàm số đạt cực đại x = 2, đạt cực tiểu x = x = Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 74 Trang 75 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ d Cho hàm số y = f (x) xác định có đạo hàm đồ thị hàm số f (x) f (x) Biết hình vẽ −2 y O Khẳng định sau cực trị x hàm số f (x)? A Hàm số f (x) đạt cực tiểu x = −2 B Hàm số f (x) đạt cực tiểu x = −4 C Hàm số f (x) đạt cực đại x = −1 D Hàm số f (x) đạt cực đại x = −2 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 75 Trang 76 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f (x) Tìm số điểm cực tiểu đoạn [−2; 4] hàm số y = f (x) y biết hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên A B C D −2 O x Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 2.10 Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số Chỉ dùng hàm số có đạo hàm cấp x0 Ta thực bước: a) Tính y0 Giải phương trình y0 = 0, tìm nghiệm x0 b) Tính y00 • Nếu y00 (x0 ) < x0 điểm cực đại hàm số • Nếu y00 (x0 ) > x0 điểm cực tiểu hàm số o CHÚ Ý Ghi nhớ: "âm" lồi, "dương" lõm Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 76 Trang 77 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Hàm số y = x4 − 4x2 + đạt cực tiểu điểm có hoành độ √ A x = ± B x = ±1 C x = D x = ±2 Lời giải Ví dụ d Tìm điểm cực tiểu hàm số y = sin 2x − x π π π B x = − + kπ C x = + k2π A x = + kπ 6 Lời giải π D x = − + k2π Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường BUỔI SỐ p Dạng 2.11 Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước a) Giải điều kiện y0 (x0 ) = 0, tìm m b) Thử lại với m vừa tìm hai cách sau: Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 77 Trang 78 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ • Cách 1: Lập bảng biến thiên với m vừa tìm Xem giá trị m thỏa u cầu • Cách Tính y00 Thử y00 (x0 ) < ⇒ x0 điểm CĐ; y00 (x0 ) > ⇒ x0 điểm CT Ví dụ d Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 − 2mx2 + m2 x + đạt cực tiểu x = A m = B m = C m = m = D m = −1 Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = x2 + mx + với m tham số Với giá trị tham số m hàm số đạt x+m cực đại x = 2? A m = −3 B m = C m = −1 D m = Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 78 Trang 79 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Biện luận nghiệm phương trình y0 = (phương trình bậc hai) ∆ > : Hàm số có hai điểm cực trị • a 6= a = : Hàm số khơng có cực trị • ∆ ≤ suy biến b = 2b c x1 · x2 = (nhìn trực tiếp từ hàm số) 3a 3a • (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 • x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 ; b) Định lý Vi-et: x1 + x2 = − • x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) c) Các cơng thức tính tốn thường gặp o CHÚ Ý p (xN − xM )2 + (yN − yM )2 |AxM + ByM +C| √ • Khoảng cách từ M đến ∆: d(M, ∆) = , với ∆ : Ax + By +C = + B2 A #» #» • Tam giác ABC vng A ⇔ AB · AC = #» #» • Diện tích tam giác ABC S = |a1 b2 − a2 b1 |, với AB = (a1 ; b1 ), AC = (a2 ; b2 ) • Độ dài MN = d) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = − 2 bc (b − 3ac)x + d − 9a 9a Ví dụ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường p Dạng 2.12 Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d d Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + 5mx − cực trị? A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 79 Trang 80 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Tìm tất giá trị thực m để hàm số y = x3 − 3x2 + (m + 1)x + có hai điểm cực trị A m < B m ≤ C m > D m < −4 Lời giải Ví dụ d Cho y = (m − 3)x3 + 2(m2 − m − 1)x2 + (m + 4)x − Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Tìm số phần tử S Gv Ths: Phạm Hùng Hải A B C D Lời giải Ví dụ d Gọi S tập giá trị dương tham số m cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x − m đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn |x1 − x2 | ≤ Biết S = (a; b] Tính T = b − a √ √ √ A T = + B T = + C T = − √ D T = − Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = −x3 − 3mx2 + m − với m tham số Tổng tất giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho AB = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 80 Trang 81 A 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ B C D Lời giải Ví dụ d Tìm m để đồ thị hàm số y = −x3 + 3mx + có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O A m = Lời giải B m = −1 C m = D m = Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 81 Trang 82 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ p Dạng 2.13 Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c a) Tính y0 = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b); y0 = ⇔ x = 2ax2 + b = (1) b) Nhận xét: • Hàm số có ba điểm cực trị (1) có hai nghiệm khác Suy ab < • Hàm số có điểm cực trị ab ≥ a, b không đồng thời y Gv Ths: Phạm Hùng Hải c) Các cơng thức tính nhanh: A b3 + 8a • cos A = b − 8a • SABC =− b5 32a3 x C B Ví dụ d Cho hàm số y = (m + 1)x4 − mx2 + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có ba điểm cực trị A m ∈ (−∞; −1) ∪ [0; +∞) B m ∈ (−1; 0) C m ∈ (−∞; −1] ∪ [0; +∞) D m ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞) Lời giải Ví dụ d Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = (m − 2)x4 + (m2 − 4)x2 + 2m − có điểm cực trị Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 82 Trang 83 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A m ∈ [−2; 2) B m ∈ [−2; +∞)\{2} C m ∈ [−2; 2] D m ∈ [−2; +∞) Lời giải Ví dụ d Tìm tất giá trị tham số m để ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = x4 + (6m − 4)x2 + − m ba đỉnh tam giác vuông A m = B m = 3 Lời giải C m = −1 D m = √ 3 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 83 Trang 84 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Gọi m0 giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 − có điểm cực trị lập thành √ tam giác có diện tích Mệnh đề sau đúng? A m0 ∈ (−1; 1] B m0 ∈ (−2; −1] C m0 ∈ (−∞; −2] D m0 ∈ (−1; 0) Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 2.14 Cực trị hàm ẩn Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 − (x − 4) với x ∈ R Hàm số g(x) = f (3 − x) có điểm cực đại? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 84 Trang 85 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ d Cho hàm số y = f (x) có f (x) = x2 (x − 2028)(x − 2023)2 với ∀x ∈ R Khi hàm số y = g(x) = f x2 + 2019 có tất điểm cực trị? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 85 Trang 86 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 − 2x, ∀x ∈ R Hàm số y = f x2 − 8x có điềm cực trị? Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 − x x2 − 4x + , ∀x ∈ R Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m đề hàm số g(x) = f x2 + m có điểm cực trị Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 86 Trang 87 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có f (x) = (x − 2)2 x2 − 4x + với x ∈ R Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y = f x2 − 10x + m + có điểm cực trị? Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 87 Trang 88 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x − 9)(x − 4)2 Khi hàm số y = f x2 có cực đại? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 88 Trang 89 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) khoảng y (−∞; +∞) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Đồ thị hàm số y = ( f (x))2 có điểm cực đại , cực tiểu? −2 −1 O x −1 −2 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 89 Trang 90 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x + 1)2 x2 − 4x Có giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số g(x) = f 2x2 − 12x + m có điểm cực trị? Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 90 Trang 91 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường d Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 91 Trang 92 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ y Tìm tập giá trị tham số m để hàm số g(x) = | f (x) − m| có điểm cực trị? −3 −2 −1 O x −1 −2 −3 Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 10 x d Hàm số y = f (x) = − m (với m tham số thực) có nhiều điểm cực x +1 trị? Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 92 Trang 93 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 11 d y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f (x + 2017) − 2018x + 2019 có điểm cực trị? −3 −2 −1 O x −1 −2 −3 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tọa độ điểm cực đại đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + A (0; 1) B (2; −3) C (1; −1) D (3; 1) Câu Gọi x1 điểm cực đại x2 điểm cực tiểu hàm số y = −x3 + 3x + Tính x1 + 2x2 A B C −1 D Câu Hiệu số giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y = x3 − 3x2 + Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 93 Trang 94 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ B −4 A C −2 D Câu Điểm cực tiểu hàm số y = −x4 + 5x2 − B x = −2 A y = C x = D y = −2 Câu Cho hàm số y = x4 − 8x3 + Chọn mệnh đề A Nhận điểm x = làm điểm cực đại B Nhận điểm x = làm điểm cực tiểu C Nhận điểm x = làm điểm cực đại D Nhận điểm x = làm điểm cực tiểu Câu Số điểm cực trị đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + A B C D 1 Câu Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + 3x − A Có hệ số góc dương B Song song với trục hồnh Gv Ths: Phạm Hùng Hải C Có hệ số góc −1 D Song song với đường thẳng x = Câu Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc tọa độ A S = B S = √ C S = D S = Câu Khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + đến trục tung A B C D Câu 10 Cho hàm số y = x4 − 8x2 + 10 có đồ thị (C) Gọi A, B,C ba điểm cực trị đồ thị (C) Tính diện tích S tam giác ABC A S = 64 B S = 32 C S = 24 D S = 12 Câu 11 Tìm hàm số có đồ thị (C) nhận điểm N(1; −2) cực tiểu A y = x4 − x2 − B y = x4 + 2x2 − C y = −x4 + 2x2 − D y = x4 − 2x2 − Câu 12 Cho hàm số y = −x4 + 2x2 − Diện tích tam giác tạo ba điểm cực trị đồ thị hàm số A Câu 13 Hàm số y = A B C D x−1 có điểm cực trị? x+1 B C D Câu 14 Số điểm cực trị hàm số y = x2017 (x + 1) A 2017 B C D Câu 15 Cho hàm số y = f (x) xác định R có đạo hàm y0 = f (x) = 3x3 − 3x2 Mệnh đề sau sai? A Trên khoảng (1; +∞) hàm số đồng biến B Trên khoảng (−1; 1) hàm số nghịch biến Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 94 Trang 95 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ C Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu Câu 16 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) = x(x − 1)2 (x − 2)3 Số điểm cực trị hàm số y = f (x) A B C D Câu 17 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên 0 − +∞ + +∞ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường x −∞ −1 − + f (x) +∞ f (x) 0 Giá trị cực đại hàm số A y = B y = C x = D x = Câu 18 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên x y0 −∞ + −1 0 − + y −∞ +∞ − −1 −1 Hàm số y = f (x) có điểm cực trị? A B C D Câu 19 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Mệnh đề y đúng? A Hàm số có giá trị cực tiểu −2 B Hàm số có giá trị cực đại x O C Hàm số đạt cực đại x = cực tiểu x = −2 D Hàm số có ba điểm cực trị Câu 20 Cho hàm số y = f (x) xác định R có bảng x xét dấu đạo hàm hình vẽ bên Hàm số cho đạt y0 −∞ − +∞ + − cực tiểu A x = B x = C y = D y = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 95 Trang 96 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 21 Hàm số y = f (x) liên tục khoảng K, biết đồ thị hàm số y y0 = f (x) K hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số y = f (x) K A −1 B O x −2 C D √ Câu 22 Hàm số y = x − x có điểm cực trị? A B C D Câu 23 Hàm số y = x3 − 2mx2 + m2 x − đạt cực tiểu x = A m = B m = C m = −1 D m = −3 Câu 24 Với giá trị m hàm số y = mx3 − 3mx + đạt cực đại x = 1? Gv Ths: Phạm Hùng Hải A m = B m < C m = D m 6= Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m + có hai điểm cực trị A m ≥ B ∀ m ∈ R C m ≤ D m 6= ã Å x + 10 Câu 26 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số f (x) = x − mx + m + có hai điểm cực trị Hỏi có số nguyên m ∈ S thỏa |m| ≤ 2018? A 4031 B 4036 C 4029 D 4033 Câu 27 Cho hàm số y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x − 18 Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng (−5; 5) A (−∞; −3) ∪ (7; +∞) B (−3; +∞) \ {3} C (−∞; 7) \ {3} D (−3; 7) \ {3} Câu 28 Biết đồ thị hàm số y = x4 + bx2 + c có điểm cực trị điểm có tọa độ (0; −1), b c thỏa mãn điều kiện đây? A b < c = −1 B b ≥ c > C b < c < D b ≥ c = −1 Câu 29 Cho hàm số y = (m + 1) x4 − mx2 + Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có ba điểm cực trị A m ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞) B m ∈ (−1; 0) C m ∈ (−∞; −1) ∪ [0; +∞) D m ∈ (−∞; −1] ∪ [0; +∞) Câu 30 Cho hàm số f (x) = x4 + 4mx3 + (m + 1) x2 + Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại Tính tổng phần tử tập S A B C D Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 96 Trang 97 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ——HẾT—— A C A C B B B D B 10 B 11 D 12 C 13 C 14 C 15 C 16 B 17 A 18 B 19 C 20 A 21 B 22 A 23 B 24 B 25 D 26 A 27 D 28 D 29 A 30 D Câu Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = −2x3 +3x2 +1 A y = x + B y = −x + C y = x − D y = −x − thuộc d? A M(−2; 1) B N(3; −5) C P(2; 3) D Q(3; −1) Câu Khoảng cách hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = (x + 1) (x − 2)2 √ √ B C D A Câu Cho hàm số y = x4 − 2x2 + Diện tích S tam giác tạo ba đỉnh cực trị đồ thị hàm số cho A B C D x +C2 x2 + · · · +C2019 x2019 có điểm cực trị? Câu Hàm số f (x) = C2019 +C2019 2019 2019 A B 2019 C 2018 D Câu Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 1)x2 (x − 2)2019 với ∀x ∈ R Số điểm cực trị hàm số cho A B C Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình D y bên Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D −1 O Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu Gọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x + Điểm sau x Câu Cho hàm số y = x − sin 2x + Chọn kết luận π π A Hàm số đạt cực tiểu x = B Hàm số đạt cực tiểu x = − π π C Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số đạt cực đại x = − 6 Câu Cho hàm số y = f (x) = sin 2x Hỏi khoảng (0; 2018) có điểm cực tiểu? A 1285 B 2017 C 643 D 642 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 97 Trang 98 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y Câu 10 Cho hàm số y = f (x) xác định có đạo hàm R Biết hàm số y = f (x) liên tục có đồ thị R hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x2 ) có điểm cực đại? A B C D −2 có bảng xét dấu y = x Câu 11 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R f (x) O x −∞ f0 sau Hỏi hàm số −2 − + +∞ + − g(x) = f (x2 − 2x) có điểm cực tiểu? Gv Ths: Phạm Hùng Hải A B C D Câu 12 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi hàm số = f x2 + có điểm cực trị x y0 y A B C D −∞ −2 − +∞ + + +∞ +∞ −2 y Câu 13 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f (x) + x2 đạt cực tiểu điểm sau đây? −1 A x = −1 x O B x = −1 C x = −2 D x = Câu 14 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx đạt cực tiểu x = A m = B m = −2 C m = D m = Câu 15 Biết với m = m0 hàm số y = x3 − mx + đạt cực đại x = −2 Tìm khẳng định A m0 ∈ (0; 3) B m0 ∈ (10; 14) C m0 ∈ (7; 10) Câu 16 Hàm số y = x3 − mx2 + (3m − 2)x + có cực trị A m > B < m < C m < m > D m0 ∈ (4; 6) D m = Câu 17 Hàm số y = x3 − 3x + − m với m tham số Hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu A m = −1 m = B −1 < m < C m < −1 m > D −1 < m ≤ Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 98 Trang 99 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 18 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = −x4 + 2(m − 1)x2 − m + có ba điểm cực trị A m < B m > C m ≥ D m ≤ Câu 19 Tập hợp số thực m thỏa mãn hàm số y = mx4 − x2 + có điểm cực trị A (−∞; 0) B (−∞; 0] C (0; +∞) D [0; +∞) Câu 20 Tìm tất giá trị thực m cho điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx − nằm bên phải trục tung B < m < C m < D Không tồn Câu 21 Biết m0 giá trị tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx − có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x1 + x2 − x1 x2 = 13 Mệnh đề đúng? A m0 ∈ (−1; 7) B m0 ∈ (−15; −7) C m0 ∈ (7; 10) D m0 ∈ (−7; −1) Câu 22 Cho hàm số y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6(m − 2)x − 18 Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng (−5; 5) A (−∞; −3) ∪ (7; +∞) B (−3; +∞) \ {3} C (−∞; 7) \ {3} D (−3; 7) \ {3} Câu 23 Cho điểm A(−1; 3) Gọi m1 m2 giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + m có hai điểm cực trị B C thỏa ba điểm A, B,C thẳng hàng Tính m1 + m2 B m1 + m2 = − C m1 + m2 = D m1 + m2 = −1 A m1 + m2 = 2 Câu 24 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + (m − 3)x + m có hai điểm cực trị điểm M(9; −5) nằm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị A m = B m = C m = −5 D m = −1 Câu 25 Có tất giá trị nguyên m để hàm số y = x8 + (m − 2)x5 − (m2 − 4)x4 + đạt cực tiểu x = 0? A B C D Vô số Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A m < Câu 26 Cho hàm số y = f (x) biết f (x) = x2 (x − 1)3 (x2 − 2mx + m + 6) Số giá trị nguyên tham số m để hàm số cho có điểm cực trị A B C D Câu 27 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m = − √ B m = −1 C m = √ D m = Câu 28 Với giá trị m đồ thị hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m4 − 3m2 + 2017 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32? Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 99 Trang 100 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A B C D Câu 29 Đồ thị hàm số y = − x4 − mx2 + m2 − có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác … A m = B m = −2 C m = D m = Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m4 − m có ba điểm cực trị thuộc trục tọa độ A m = B m = D m = C m = ——HẾT—— Gv Ths: Phạm Hùng Hải A C A C B B B D B 10 B 11 D 12 C 13 C 14 C 15 C 16 B 17 A 18 B 19 C 20 A 21 B 22 A 23 B 24 B 25 D 26 A 27 D 28 D 29 A 30 D GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA Bài A HÀM SỐ LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Cho hàm số y = f (x) xác định tập D Ta có • M giá trị lớn hàm số f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x ∈ D : f (x ) = M 0 y ymax Kí hiệu max f (x) = M f (a) x∈D • n giá trị nhỏ hàm số f (x) ≥ n, ∀x ∈ D ∃x ∈ D : f (x ) = n 0 O x0 b x a f (x0 ) Kí hiệu f (x) = n ymin x∈D Các phương pháp thường dùng để tìm max - • Dùng đạo hàm (đối với hàm biến), lập bảng biến thiên • Dùng bất đẳng thức đánh giá kiểm tra dấu ¬ Bất đẳng thức Cauchy: Với a1 ; a2 ; · · · ; an số thực khơng âm, ta ln có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n n a1 · a2 · · · an Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 100 Trang 101 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dấu "=" xảy a1 = a2 = · · · = an Trường hợp thường gặp Cauchy cho số số: √ √ • a1 + a2 ≥ a1 a2 • a1 + a2 + a3 ≥ 3 a1 a2 a3 Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki: Với hai số a1 ; a2 ; · · · ; an b1 ; b2 ; · · · ; bn , ta ln có ä äÄ Ä (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n b21 + b22 + · · · + b2n Dấu "=" xảy a1 a2 an = = ··· = b1 b2 bn Giả sử y0 thuộc miền giá trị hàm số y = f (x) Khi đó, tồn x ∈ D để phương trình f (x) = y0 có nghiệm Biện luận điều kiện này, ta tìm "khoảng dao động" y0 Từ suy max, B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP p Dạng 3.15 Tìm max – hàm số cho trước Ví dụ d Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x3 + 3x2 − 9x + [−4; 4] Tính tổng M + m A 12 B 98 C 17 D 73 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường • Dùng điều kiện có nghiệm phương trình Ví dụ d Giá trị nhỏ hàm số y = A y = [0;3] x−1 đoạn [0; 3] x+1 B y = −3 [0;3] C y = [0;3] D y = −1 [0;3] Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 101 Trang 102 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ ï ị x2 − 3x + d Giá trị lớn hàm số y = đoạn −2; x−1 A B −3 C − Lời giải D − 13 Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Tìm giá trị lớn M hàm số y = √ A M = B M = √ + 6x − x2 C M = D M = Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = √ √ −x2 + 4x + 21 − −x2 + 3x + 10, gọi y0 GTNN hàm số cho, đạt điểm x0 Tính 6x0 + y40 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 102 Trang 103 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Giá trị nhỏ hàm số y = 3x + khoảng (0; +∞) x √ √ 33 3 B C A Lời giải D 25 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 103 Trang 104 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Giá trị lớn hàm số f (x) = khoảngÅnào ã đây? A − ; mx + đoạn [1; 2] Khi giá trị m thuộc x−m Å ã B 1; Å ã C 0; Å D ã ; 11 Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) hàm số liên tục R có bảng biến thiên hình vẽ Khẳng định sau khẳng định sai? A Cực đại hàm số B Cực tiểu hàm số x −∞ −1 + − f (x) 0 + C max y = +∞ − f (x) R −∞ D y = −∞ R Lời giải Ví dụ d y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong hình bên Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = f (x) đoạn [−1; 1] A m = B m = −2 C m = D m = −1 O −1 x −2 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 104 Trang 105 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 10 d y có đồ thị ï hình ị vẽ Hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ đoạn ; 2 điểm sau đây? B x = A x = 2 C x = D x = Lời giải O x Ví dụ 11 d y Cho hàm số f (x) có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ y = f (x) Biết f (0) + f (1) − f (2) = f (4) − f (3) Giá trị nhỏ m, giá trị lớn M hàm số f (x) đoạn [0; 4] A m = f (4), M = f (1) B m = f (4), M = f (2) C m = f (1), M = f (2) Lời giải D m = f (0), M = f (2) O x Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Cho hàm số y = f (x), biết hàm số y = f (x) Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 105 Trang 106 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 3.16 Một số toán vận dụng a) Bài tốn chuyển động: • Gọi s(t) hàm qng đường; v(t) hàm vận tốc; a(t) hàm giá tốc; • Khi s0 (t) = v(t); v0 (t) = a(t) b) Bài tốn thực tế – tối ưu • Biểu diễn kiện cần đạt max – qua hàm f (t) • Khảo sát hàm f (t) miền điều kiện "đúng" suy kết Ví dụ d Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos3 x + cos x + sin2 x − A −2 B −1 C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 106 Trang 107 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Một chất điểm chuyển động với quãng đường s(t) cho công thức s(t) = 6t − t , t (giây) thời gian Hỏi khoảng thời gian từ đến giây, vận tốc v (m/s) chất điểm đạt giá trị lớn thời điểm t (giây) bao nhiêu? A t = s B t = s C t = s D t = s Lời giải Ví dụ d Từ tơn có hình dạng nửa hình trịn bán kính R = 3, người ta muốn cắt hình chữ nhật (hình vẽ bên) Diện tích lớn tơn hình chữ nhật √ √ A B C D 2 N M Q O P Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 107 Trang 108 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ d Một sợi dây có chiều dài m, chia thành phần Phần thứ uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình vng Hỏi độ dài cạnh hình tam giác để tổng diện tích hình thu nhỏ nhất? 12 √ m A 4+ Lời giải √ 18 √ m B 4+ √ 36 √ m C 4+ D 18 √ m 9+4 Gv Ths: Phạm Hùng Hải C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 35 đoạn [−4; 4] Tính T = M + 2m A T = −41 B T = −44 C T = −43 D T = −42 Câu Giá trị lớn hàm số y = −x4 + 4x2 đoạn [−1; 2] A B C x+1 đoạn [1; 3] x+2 A B C x +3 Câu Giá trị nhỏ hàm số y = đoạn [−4; −2] x+1 19 A y = −7 B y = − C y = −8 [−4;−2] [−4;−2] [−4;−2] √ Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x + 12 − 3x2 D Câu Giá trị lớn hàm số f (x) = D D y = −6 [−4;−2] Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 108 Trang 109 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A max y = 4, y = B max y = 4, y = −2 C max y = 2, y = −2 D max y = 2, y = −4 Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên x Xét ba khẳng định sau: y0 (1) Hàm số đồng biến khoảng (0; 2) y −∞ −2 + − 0 +∞ + − −∞ −1 −∞ (3) Hàm số có giá trị lớn Số khẳng định ba khẳng định A B C D √ Câu Tổng giá trị nhỏ lớn hàm số y = − x2 − x bao nhiêu? √ √ B C + D A − Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau: x −∞ y0 −1 − − +∞ + − Mệnh đề sau đúng? A f (x) = f (0) B max f (x) = f (1) (−1;+∞) (0;+∞) C max f (x) = f (0) D (−1;1] f (x) = f (−1) (−∞;−1) Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số có hai điểm cực trị B Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn x y0 y −∞ − −1 +∞ − + −∞ C Hàm số có giá trị cực đại +∞ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường (2) Hàm số có cực đại D Hàm số có đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 1 Câu 10 Trên khoảng (0; 1), hàm số y = x3 + đạt giá trị nhỏ x0 x 1 1 A B √ C √ D √ 3 3 Câu 11 Hàm số y = sin x − cos x có giá trị lớn M, giá trị nhỏ m A M = 7, m = B M = 5, m = −5 C M = 1, m = −7 D M = 7, m = −7 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 109 Trang 110 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ x − m2 + m Tổng giá trị tham số m cho giá trị nhỏ hàm x+1 số đoạn [0; 1] −2 Câu 12 Cho hàm số y = A B −2 C D Câu 13 Gọi T tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + có giá trị lớn x + m2 Gv Ths: Phạm Hùng Hải đoạn [2; 3] Tính tổng S phần tử T 17 18 B S = C S = D S = A S = 5 cos2 x − cos x + Câu 14 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos x − A ymax = ; ymin = − B ymax = 13; ymin = C ymax = 1; ymin = − D ymax = ; ymin = −1 √ √ √ √ Câu 15 Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = + x + − x − + x · − x tập xác định √ A m = 2 − B m = √ C m = 2 − D m = 10 Câu 16 Cho hàm số f (x) có đạo hàm R có đồ thị hàm số y = f (x) y hình vẽ Biết f (−1) + f (2) = f (1) + f (4), điểm A(1; 0), B(−1; 0) thuộc đồ thị Giá trị nhỏ giá trị lớn f (x) đoạn [−1; 4] A f (1), f (−1) B f (0), f (2) C f (−1), f (4) D f (1), f (4) −1 O x Câu 17 Tìm m để bất phương trình x4 − 4x2 − m + ≤ có nghiệm thực A m ≥ −3 B m ≤ Câu 18 Cho hàm số f (x) = C m ≥ D m ≤ −3 x−m , với m tham số Biết f (x) + max f (x) = −2 Hãy chọn kết x+1 [0;3] [0;3] luận đúng? A m = B m > C m = −2 Câu 19 Tìm giá trị tham số m để bất phương trình D m < −2 x2 + 3x + ≥ m nghiệm với x ∈ x+1 [0; 1] C m ≥ D m ≥ 7(a2 + 9) a Câu 20 Cho a > Giá trị nhỏ biểu thức P = + a a +9 √ 251 253 253 C A B D 3 A m ≤ B m ≤ Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 110 Trang 111 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Câu 21 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x3 + y3 ) − 3xy Giá trị M + m √ C −6 D − A −4 B − Câu 22 M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos x(1 + cos 2x) Tìm 2M − m Câu 24 Tìm giá trị nhỏ m hàm số f (x) = 4x2 + − khoảng (0; +∞) x A m = −1 B m = −4 C m = D m = −3 Câu 25 Gọi m M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = 2x + 19 x2 + 16x + 68 Tính tích mM A mM = −0.20 B mM = −0.25 C mM = −0.15 D mM = −0.30 Câu 26 Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x) = cos2 2x − sin x cos x + R 10 16 A f (x) = B f (x) = C f (x) = D f (x) = x∈R x∈R x∈R x∈R Câu 27 Cho x, y hai số thực không âm thỏa mãn x + y = Gọi a, b giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P = x3 + x2 + y2 − x + Khi kết luận sau đúng? 22 10 32 A a + b = B a + b = C a + b = D a + b = 3 Câu 28 Cho số thực x, y thỏa mãn x2 + 2xy + 3y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = (x − y)2 A max P = B max P = 16 C max P = 12 D max P = Câu 29 Một người thợ muốn làm thùng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng khơng có nắp, biết thể tích khối hộp V = 2,16 m3 Giá nguyên liệu để làm bốn mặt bên 36000 đồng/m2 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường √ √ √ 3 A B C + D + 3 9 2xy với x, y khác Giá trị nhỏ P Câu 23 Cho biểu thức P = x + y2 A −2 B C −1 D giá nguyên liệu để làm đáy 90000 đồng/m2 Tính kích thước hình hộp để chi phí làm thùng nhỏ A Cạnh đáy 1,2 m, chiều cao 1,8 m B Cạnh đáy 1,5 m, chiều cao 1,2 m C Cạnh đáy 1,7 m, chiều cao m D Cạnh đáy m, chiều cao 1,7 m Câu p 30 Cho ba số dương x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm giá trị lớn biểu thức x2 + 8yz + P= p (2y + z)2 + 5 6 A √ B √ C √ D √ 10 10 15 2 ——HẾT—— Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 111 Trang 112 D ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ B C A B C A B A 10 B 20 D 11 B 12 D 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 A 21 B 22 A 23 C 24 A 26 A 27 C 28 C 29 A 30 B ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM Bài A SỐ LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Đường tiệm cận ngang (TCN) Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng vô hạn (a; +∞), (−∞; b) (−∞; +∞) Đường thẳng y = y0 TCN đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = y0 lim f (x) = y0 x→+∞ x→−∞ Gv Ths: Phạm Hùng Hải y y y x O Khơng có TCN y=2 y=1 O x O x −2 y = −2 Có TCN y = 2, y = −2 Có TCN y = Các bước tìm TCN: ¬ Tính lim f (x) lim f (x) x→+∞ x→−∞ Xem "vị trí" kết hữu hạn ta kết luận có tiệm cận ngang "vị trí" Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức f (x) ¬ Bấm CACL X = 108 để kiểm tra x → +∞ Bấm CACL X = −108 để kiểm tra x → −∞ Đường tiệm cận đứng (TCĐ) Đường thẳng x = x0 TCĐ đồ thị hàm số y = f (x) lim f (x) = ∞ lim f (x) = ∞ x→x0− y y y O −1 x O Khơng có TCĐ x→x0+ O x x Có TCĐ x = Có TCĐ x = −1 x = Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 112 Trang 113 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước tìm TCĐ ¬ Tìm nghiệm mẫu, giả sử nghiệm x = x0 Tính giới hạn bên x0 Nếu xảy lim f (x) = ∞ lim f (x) = ∞ ta kết luận x = x0 x→x0− x→x0+ đường tiệm cận đứng Sử dụng máy tính cầm tay: Nhập biểu thức f (x) Bấm CACL X = x0 + 0.000001 để kiểm tra x → x0+ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP p Dạng 4.17 Cho hàm số y = f (x), tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tương ứng Thực theo lý thuyết nêu Chú ý vấn đề thường gặp sau: Tính giới hạn hàm số dạng phân thức an xn + an−1 xn−1 + · · · x → ±∞ để xác định bm xm + am−1 xm−1 + · · · TCN, ta thường gặp: ¬ bậc tử < bậc mẫu kết bậc tử = bậc mẫu kết an bm ® bậc tử > bậc mẫu kết ∞ Lúc đồ thị khơng có đường TCN Khi tìm TCĐ, trước tiên ta tìm nghiệm mẫu Chú ý: ¬ Những nghiệm "đơn" không thỏa tử nhận Những nghiệm "đơn" thỏa tử bị loại Đồ thị hàm số y = Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ¬ Bấm CACL X = x0 − 0.000001 để kiểm tra x → x0− ax + b d a ln có TCĐ x = − TCN: y = cx + d c c Ví dụ d Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = B x = 2x − x+2 C x = −2 D y = −2 Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 113 Trang 114 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ d Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = −2 B x = −2 2x + 1−x C y = D x = Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Hàm số có đồ thị nhận đường thẳng x = làm đường tiệm cận đứng? 1 5x A y = x − + B y = C y = D y = x+1 x+1 x+2 2−x Lời giải Ví dụ d Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = −2 B x = 3x + đường thẳng x−2 C y = D y = − Lời giải Ví dụ d Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = −1 B y = 1; y = −5 x+1 x2 + 4x − có phương trình C x = 1; x = −5 D x = ±5 Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 114 Trang 115 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ d Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B x−2 C D Lời giải Ví dụ d Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B x2 − 3x + x2 − C D Lời giải Ví dụ 2x − d Tìm toạ độ giao điểm I hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y = − 3xÅ Å ã Å ã Å ã ã 2 2 A I ;1 B I ;− C I ;− D I − ; 3 3 3 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải Ví dụ − 2x có đồ thị (C) Mệnh đề sai? x+3 A Tâm đối xứng đồ thị (C) điểm I(3; 2) d Cho hàm số y = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 115 Trang 116 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ B Điểm P(−3; 2017) thuộc đường tiệm cận đứng đồ thị (C) C Đường thẳng y = −2 tiệm cận ngang (C) D Đường thẳng x = −3 tiệm cận đứng (C) Lời giải Ví dụ 10 d Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đường cong (C) giới hạn lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, x→2− x→2+ lim f (x) = 2, lim f (x) = Hỏi mệnh đề sau đúng? Gv Ths: Phạm Hùng Hải x→+∞ x→−∞ A Đường thẳng y = tiệm cận ngang (C) B Đường thẳng y = tiệm cận ngang (C) C Đường thẳng x = tiệm cận ngang (C) D Đường thẳng x = tiệm cận đứng (C) Lời giải Ví dụ 11 √ x+9−3 d (Quốc Gia - 2018) Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x2 + x A B C D Lời giải Ví dụ 12 d Đồ thị hàm số y = A √ √ 4x2 + 4x + − 4x2 + có đường tiệm cận ngang? B C D Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 116 Trang 117 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Lời giải 3x + cắt hai trục tọa độ điểm A, B Bán x−4 kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB D R = A R = B R = C R = Lời giải d Hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y = p Dạng 4.18 Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x) Nhìn "vị trí" ±∞ để xác định đường TCN ¬ Nếu "vị trí" kết hữu hạn vị trí có TCN Nếu "vị trí" khơng tồn kết ∞ "vị trí" khơng có TCN Nhìn "vị trí có hai gạch sọc" để xác định TCĐ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ 13 ¬ Nếu "vị trí" xuất ∞ vị trí TCĐ Nếu "vị trí" khơng xuất ∞ hai bên (giới hạn trái giới hạn phải) vị trí khơng TCĐ Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 117 Trang 118 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y = f (x) xác định R\ {0} , x liên tục khoảng xác định có y0 bảng biến thiên hình bên Chọn khẳng −∞ − + +∞ y − −∞ −1 −∞ định +∞ A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số khơng có tiệm đứng Gv Ths: Phạm Hùng Hải tiệm cận ngang Lời giải Ví dụ d Cho bảng biến thiên hàm số y = f (x) x −∞ sau Đồ thị hàm số cho có tổng số đường tiệm cận đứng tiệm A B Lời giải C +∞ +∞ +∞ y −∞ cận ngang? − 12 D Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 118 Trang 119 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y = f (x) xác định R \ x {±1} liên tục khoảng xác định y0 −∞ − có bảng biến thiên hình vẽ Số C − +∞ −2 +∞ + + +∞ −2 y đường tiệm cận đồ thị hàm số A B Lời giải −1 −∞ D −∞ Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ Đồ thị hàm số y = f (x) có đường tiệm cận? x −∞ y0 −2 − + +∞ + +∞ +∞ y −2 A B −2 C D Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 119 Trang 120 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ p Dạng 4.19 Một số toán biện luận theo tham số m Ví dụ d Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y = mx + có đường tiệm cận ngang qua điểm x−5 A(1; 3) A m = −3 B m = C m = −1 D m = Lời giải Ví dụ ax + , xác định a b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = bx − làm tiệm cận đứng đường thẳng y = làm tiệm cận ngang a = −1 a = a = a = A B C D b = −2 b = b = b = −2 Gv Ths: Phạm Hùng Hải d Cho hàm số y = Lời giải Ví dụ d Tìm giá trị m để đồ thị hàm số y = m=0 A B m 6= m=2 2x2 − 5x + m có tiệm cận đứng x−m C m 6= D m 6= m 6= Lời giải Ví dụ 2x + (với m tham số) tạo với hai trục x−m tọa độ hình chữ nhật có diện tích Giá trị m d Biết hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 120 Trang 121 A m = ±2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ B m = −1 C m = D m = ±1 Lời giải Ví dụ d Tìm tất điểm đồ thị hàm số y = x+1 cho tổng khoảng cách từ điểm đến hai x−2 đường tiệm cận nhỏ Ä √ √ ä Ä √ √ ä A + 3; + − 3; − Ä √ √ ä Ä √ √ ä C + 3; + − 3; − √ √ ä Ä √ √ ä + 3; − − 3; + Ä √ √ ä Ä √ √ ä D + 3; − − 3; + B Ä Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 121 Trang 122 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ d Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y = tiệm cận m > A m 6= m < −2 m>2 B m < −2 m 6= − x−2 x2 − mx + m>2 C m < −2 có đường D −2 < m < Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Hỏi có cặp số nguyên dương (a; b) để hàm số y = 2x − a 4x − b y có đồ thị (1; +∞) hình vẽ bên? A B C D O x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 122 Trang 123 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Phương trình đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A y = B y = x−3 x−1 C x = D y = x+1 Khẳng định sau đúng? 2x − 1 A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = − 2 C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 3x + Câu Số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y = x −4 A B C D Câu Cho hàm số y = Câu Đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau đây? x2 + 2x + x+1 2x − 2x2 + B y = C y = D y = A y = 2−x 1+x − 2x x+2 Câu Cho hàm số y = f (x) có lim f (x) = −2 lim f (x) = Khẳng định sau đúng? x→−∞ x→+∞ A Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang hai đường thẳng x = −2 x = D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang hai đường thẳng y = −2 y = Câu Cho hàm số y = f (x) có tập xác định R lim f (x) = y0 , lim f (x) = −∞ Tìm kết luận x→−∞ x→+∞ kết luận sau Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường C A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = y0 B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường thẳng y = y0 C Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Câu Cho hàm số y = A 2017 có đồ thị (H) Số đường tiệm cận (H) x−2 B C Câu Cho đồ thị (C) : y = O gốc tọa độ) √ A OI = D x−3 có hai đường tiệm cận cắt I Tính độ dài đoạn thẳng OI (với x+2 B OI = √ C OI = D OI = √ Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 123 Trang 124 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Câu Số đường tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số y = A B C Câu 10 Tìm số tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y = A B bao nhiêu? x2 D x+1 x2 − 3x + C D x2 + 2x − có đường tiệm cận ngang x2 − B y = ±2 C y = Câu 11 Đồ thị hàm số y = A y = D y = ±1 x−1 có đường tiệm cận (đứng ngang)? |x| + B C D Câu 12 Đồ thị hàm số y = A 1 √ có đường tiệm cận ngang? Câu 13 Đồ thị hàm số f (x) = √ x2 − 4x − x2 − 3x A B C D x+2 có đồ thị (C) Gọi d tích khoảng cách từ điểm (C) đến x đường tiệm cận (C) Tính d √ √ C d = D d = 2 A d = B d = Gv Ths: Phạm Hùng Hải Câu 14 Cho hàm số y = Câu 15 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số x y0 cho y −∞ +∞ + + +∞ A B C Câu 16 D 2 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có tổng số tiệm x y0 cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang)? y A −∞ + +∞ −1 B + +∞ − −∞ −∞ C D Câu 17 Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {±1}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) −1 − − − − +∞ −2 +∞ +∞ −1 f (x) −∞ −∞ Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 124 Trang 125 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khẳng định sau sai? A Đồ thị hàm số y = f (x) có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = −2, y = B Đồ thị hàm số y = f (x) có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = 1, x = −1 C Hàm số y = f (x) khơng có đạo hàm điểm x = D Hàm số y = f (x) đạt cực trị điểm x = Câu 18 Cho hàm số y = f (x) xác định (−2; 0) ∪ x (0; +∞) có bảng biến thiên hình vẽ f (x) −2 +∞ − + f (x) −∞ A B C Câu 19 D Cho hàm số y = f (x) xác định R\ {0}, liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình bên Hỏi đồ thị hàm số có −∞ x y0 + y đường tiệm cận? −∞ −∞ −∞ A B C Câu 20 D Cho hàm số y = − + +∞ ax − b có đồ thị hình bên Khẳng định x−1 y đúng? A b < < a B < b < a C b < a < D a < b < x O Câu 21 Cho hàm số y = Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường +∞ Số đường tiệm cận đồ thị hàm số f (x) 2x2 − 3x + m có đồ thị (C) Tìm tất giá trị tham số m để (C) khơng x−m có tiệm cận đứng A m = m = B m = Câu 22 Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A m = −2 B m = −5 C m = D m = 2x + qua điểm M(2; 5) m bao nhiêu? x−m C m = D m = Câu 23 Cho hàm số y = f (x) hàm đa thức có bảng biến thiên Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 125 Trang 126 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ x y0 −∞ −1 + +∞ − + +∞ y −∞ −2 Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A 2018 f (x) B C D Câu 24 Tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x−2 có hai tiệm cận x2 + 2mx + đứng B (−∞; −1) ã ∪ (1;Å+∞) ã Å 5 D −∞; − ∪ − ; −1 ∪ (1; +∞) 4 Gv Ths: Phạm Hùng Hải A ß (−1; 1) ™ C − Câu 25 Cho hàm số y = x−1 mx2 − 2x + Có tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số cho có hai đường tiệm cận A B C D Câu 26 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = 4x − có tiệm cận đứng nằm bên x−m phải trục tung 5 C m > D m > m 6= − B m > m 6= 4 (a − 3)x + a + 2018 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Câu 27 Biết đồ thị hàm số y = x − (b + 3) trục tung làm tiệm cận đứng Khi giá trị a + b A m < B −3 A C D Câu 28 Cho hàm số y = f (x) liên tục R \ {1} có bảng biến thiên sau: x −∞ y0 −2 − + + +∞ +∞ +∞ − y Đồ thị hàm số y = A −∞ có tiệm cận đứng? f (x) − B C −∞ D mx2 + 6x − Câu 29 Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng x + 2ß ™ ß ™ ß ™ 7 A B R C R \ − D R \ 2 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 126 Trang 127 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x2 − có đường x2 − 2mx + 2m tiệm cận m>2 C m < m 6= − m2 A m 6= − D < m < 2 D C D D D B B D C 10 A 11 C 12 B 13 D 14 C 15 C 16 B 17 D 18 D 19 B 20 C 21 A 22 D 23 C 24 D 25 B 26 B 27 D 28 D 29 D 30 C Bài A ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c y y b − 2a O I a>0 ¬ Tọa độ đỉnh: x O ∆ − 4a GHI NHỚ I ∆ − 4a − b 2a x ã Å ∆ b I(x0 ; y0 ) = − ; − 2a 4a (P) viết theo tọa độ đỉnh: y = a(x − x0 )2 + y0 a0 GHI NHỚ y a Liên hệ tổng tích hai nghiệm TH2 y0 = có nghiệm kép x0 Khi đó, hàm số khơng có 2b x1 + x2 = − 3a x1 x2 = c 3a cực trị y a>0 y a lớn a < x O Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c y0 = có ba nghiệm phân biệt Khi đó, hàm số có ba » b điểm cực trị x = x = ± − 2a y y a>0 a0 O a Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường y0 > Bên phải xuống a < Nhìn điểm thuộc đồ thị: Thay toạ độ vào hàm số phải thoả mãn Đồ thị qua điểm (0; d) Nhìn cực trị: ¬ Đồ thị hàm số có điểm cực đại (cực tiểu) (x0 ; y0 ) y0 (x0 ) = y(x ) = y 0 Mối liên hệ hai điểm cực trị x1 x2 hàm số: x1 + x2 = − c 2b x1 x2 = 3a 3a Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 129 Trang 130 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = −x3 − 2x2 + C y = −x3 − 3x + Lời giải B y = x3 − 3x2 + x −∞ f (x) + 0 − + +∞ f (x) −∞ D y = x3 + 3x2 + +∞ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x3 − 3x2 + x + x y0 −∞ + +∞ + +∞ y B y = x3 − 3x + −∞ C y = x3 − 3x2 + 3x + D y = x3 + 3x2 + Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 130 Trang 131 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d y Đường cong bên đồ thị bốn hàm số cho sau Hỏi hàm số nào? A y = −x3 + x2 − C y = x3 − 3x + O B y = x3 + 3x2 − D y = x2 − 3x − x −2 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 131 Trang 132 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d y Đường cong bên đồ thị bốn hàm số cho sau Hỏi hàm số nào? A y = x3 + 3x − B y = x3 − 3x + C y = −x3 + 3x + D y = −x3 − 3x − −2 O x Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số đa thức bậc ba y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị (C) y hình vẽ Hỏi (C) đồ thị hàm số nào? O A y = x3 − C y = (x − 1)3 B y = (x + 1)3 x −1 D y = x3 + Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Khẳng y định sau đúng? A a > 0, b > 0, c > 0, d > B a < 0, b < 0, c > 0, d > C a > 0, b < 0, c < 0, d > Lời giải D a > 0, b < 0, c > 0, d > x O Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 132 Trang 133 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề y sau đúng? A a < 0, b < 0, c < 0, d > B a < 0, b > 0, c < 0, d > C a < 0, b > 0, c > 0, d < D a < 0, b < 0, c > 0, d < O x Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ bên Mệnh y đề đúng? A a < 0, b > 0, c > 0, d > B a < 0, b < 0, c = 0, d > C a < 0, b > 0, c = 0, d > D a > 0, b < 0, c > 0, d > O Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường d x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 133 Trang 134 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d Tìm đồ thị hàm số y = f (x) cho phương án đây, biết f (x) = (a − x)(b − x)2 với a < b y O A y x O B y x O C y x x O D Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 5.21 Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c Nhìn "dáng điệu" đồ thị: ¬ Bên phải lên a > Bên phải xuống a < Nhìn điểm thuộc đồ thị: Thay toạ độ vào hàm số phải thoả mãn Đồ thị qua điểm (0; c) Nhìn điểm cực trị ¬ Đồ thị có điểm cực trị ab < Đồ thị có điểm cực trị ab > Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 134 Trang 135 Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x4 − 8x2 + B y = x4 + 6x2 + C ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP x y0 −∞ √ − − + +∞ 0 √ +∞ − + +∞ y −7 −7 y = x4 − 6x2 + D y = −x4 + 8x2 + Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 135 Trang 136 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = −x4 + 3x2 + B y = −x4 − 2x2 + C y = −x4 − 3x2 + D y = −x4 + x2 + x y0 −∞ + +∞ 0 − y −∞ −∞ Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d y Đồ thị hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x4 − 2x2 − C y = −x4 + 2x2 − −1 B O y = 2x4 − 4x2 − D y = −2x4 + 4x2 − 1 x −1 −2 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 136 Trang 137 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d Đồ thị hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? C y = −x4 − 2x2 B y = x4 − 3x2 D y = − x4 + 3x2 √ √ − O x Lời giải Ví dụ d y Đồ thị hình bên bốn hàm số sau Hỏi hàm số nào? A y = x2 − C y = x4 + 2x2 − B y = x4 − 2x2 − 1 D y = x4 − 3x2 − O x Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A y = −x4 + 4x2 y Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 137 Trang 138 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d Biết hàm số y = f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị đường cong hình Gv Ths: Phạm Hùng Hải vẽ bên Tính giá trị f (a + b + c) y −1 A f (a + b + c) = −1 B f (a + b + c) = O C f (a + b + c) = −2 D f (a + b + c) = −1 x Lời giải Ví dụ d Biết đồ thị hàm số y = x4 + bx2 + c có điểm cực trị điểm có tọa độ (0; −1), b c thỏa mãn điều kiện đây? A b < c = −1 B b ≥ c > C b < c < D b ≥ c = −1 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 138 Trang 139 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c với a, b, c tham số thực Mệnh đề sau đúng? A a < 0, b > 0, c < B a < 0, b < 0, c < C a > 0, b < 0, c < Lời giải D a > 0, b < 0, c > y O x Ví dụ d Hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau y đúng? A a < 0, b > 0, c > B a < 0, b < 0, c < C a < 0, b > 0, c < Lời giải D a < 0, b < 0, c > x O Ví dụ 10 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường d Hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau y đúng? A a < 0, b > 0, c > B a > 0, b > 0, c > C a > 0, b < 0, c > D a > 0, b > 0, c < O x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 139 Trang 140 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP p Dạng 5.22 Nhận dạng đồ thị hàm biến y = ax + b cx + d Gv Ths: Phạm Hùng Hải Chú ý bốn thơng số d ¬ Tiệm cận đứng x = − c a Tiệm cận ngang y = c b ® Giao với Ox: y = ⇒ x = − a b ¯ Giao với Oy: x = ⇒ y = d Ví dụ d Bảng biến thiên hình bên hàm số nào? 4x − 2x − B y = A y = x+3 x−2 3−x x+5 C y = D y = 2−x x−2 x y0 −∞ +∞ − − +∞ y −∞ Lời giải Ví dụ d Bảng biến thiên sau hàm số hàm số bên dưới? x−1 A y = x−3 x+5 C y = −x + x−1 −x − D y = x−3 B y = x y0 −∞ +∞ + + +∞ −1 y −1 −∞ Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 140 Trang 141 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Lời giải Ví dụ d Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số hàm y số sau? 2x − A y = x+1 2x + C y = x−1 − 2x B y = x+1 2x + D y = x+1 O −1 −1 x Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = ax + có đồ thị hình vẽ Tính T = bx − a+b Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường y A T = B T = C T = −1 D T = O −1 −1 6x −2 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 141 Trang 142 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d Hãy xác định a, b để hàm số y = − ax có đồ thị hình x+b y vẽ? A a = 1; b = −2 B a = b = C a = −1; b = −2 D a = b = −2 O Gv Ths: Phạm Hùng Hải −2 −1 x Lời giải Ví dụ d Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = ax + b Mệnh đề sau cx + d y đúng? A ab > 0, bd < B ab < 0, ad > C ab < 0, ad < D bd > 0, ad > O x Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 142 Trang 143 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ví dụ d Hình vẽ bên đồ thị hàm số y = ax + b Mệnh đề sau cx + d y đúng? A bd < 0, ab > B ad > 0, ab < C ad < 0, ab < D bd > 0, ad > x O C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Đồ thị hàm số không qua điểm A(1; 1)? A y = x Câu Cho hàm số y = A M(1; 3) B y = 2x2 − C y = 2x3 − x − 2x − có đồ thị (C) Đồ thị (C) qua điểm nào? x−2 ã Å B M(0; −2) C M −1; Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải D y = −x4 + D M(3; 5) Câu Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 143 Trang 144 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bảng biến thiên hình bên bốn hàm số sau dây Hỏi hàm số nào? A y = −x3 − 3x − x y0 −∞ + 0 − + +∞ −1 y −∞ B y = x3 − 3x2 − +∞ −5 C y = x3 + 3x2 − D y = −x3 + 3x2 − Câu y Đường cong bên đồ thị bốn hàm số sau Hỏi hàm số đây? A y = −x3 + 3x + B y = x3 + 3x + y = −x3 − 3x + y = x3 − 3x + Gv Ths: Phạm Hùng Hải C Câu D x O y Đường cong bên đồ thị bốn hàm số sau Hỏi hàm số đây? A y = x3 + 3x2 − 3x + y = −x3 + 3x + C Câu O B y = −x3 − 2x2 + x − D x y = x3 + 3x2 + 3x + y Đường cong bên đồ thị bốn hàm số sau Hỏi hàm số đây? A y = (x + 1)2 (1 + x) B y = (x + 1)2 (1 − x) C y = (x + 1)2 (2 − x) D y = (x + 1)2 (2 + x) −1 x O1 Câu y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A f (1,5) < 0, f (2,5) < B f (1,5) > > f (2,5) C f (1,5) > 0, f (2,5) > D f (1,5) < < f (2,5) x O Câu Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số y hàm số nào? A y = x4 + 5x2 + B y = x3 − 3x2 + C y = x4 − 5x2 + D y = −x4 + 5x2 + x O Câu Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 144 Trang 145 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP y Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? B y = − x4 + 3x2 D y = −x4 + 4x2 A y = x4 − 3x2 C y = −x4 − 2x2 −2 x O Câu 10 Hàm số hàm số nào? A y = −x4 + 4x2 + B y = −x4 + 2x2 + C y = (x2 − 2)2 − D y = (x2 + 2)2 − O −2 x −1 Câu 11 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số y Hàm số hàm số nào? −2x + B y = A y = 2x + −x + C y = D y = x+1 −x + x+1 −x x+1 x O −1 −1 Câu 12 y Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? 2x + A y = x−1 x+2 C y = x−1 x+2 1−x x+1 D y = x−1 B y = x −2 O Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường y Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số −2 Câu 13 y Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? A y = x4 − 2x2 C y = −x4 + 2x2 B y = x4 − 2x2 − D −1 O y = −x4 + 2x2 − x −1 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 145 Trang 146 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Câu 14 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau sai? A Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ −∞ x y0 −2 B Hàm số có hai điểm cực trị −1 − + − y +∞ −2 C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang −1 D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ −2 Câu 15 y Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số cho phương án A, Gv Ths: Phạm Hùng Hải B, C, D Hỏi hàm số nào? A y = −x3 + B y = −2x3 + x2 C y = 3x2 + D y = −4x3 + 1 O x Câu 16 Hàm số bốn hàm số có bảng biến thiên hình bên? 2x − A y = x+2 2x + C y = x−2 Câu 17 x+4 x−2 2x − D y = x−2 B y = x y0 −∞ +∞ − − +∞ y −∞ Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định y sau đúng? A a > 0, b < 0, c > B a > 0, b < 0, c < C a > 0, b > 0, c > D a < 0, b > 0, c > x −2 −1 −1 O −2 Câu 18 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Mệnh đề y sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0, d < B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a < 0, b < 0, c < 0, d > D a > 0, b > 0, c < 0, d > O x Câu 19 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 146 Trang 147 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ đây, điểm y cực tiểu đồ thị nằm trục tung Mệnh đề đúng? A a < 0, b < 0, c = 0, d > B a > 0, b < 0, c > 0, d > C a < 0, b > 0, c > 0, d > D a < 0, b > 0, c = 0, d > x O Câu 20 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d với a 6= Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(1; −1), B(−1; 3) Tính f (4) C f (4) = −53 D f (4) = 17 Câu 21 Cho A (0; −3) điểm cực đại B (−1; −5) điểm cực tiểu đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c Tính giá trị hàm số x = −2 A y (−2) = 43 B y (−2) = 23 C y (−2) = 19 D y (−2) = 13 Câu 22 Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề y đúng? O A a > 0, b < 0, c < B a < 0, b < 0, c < C a < 0, b > 0, c < D a > 0, b < 0, c > x Câu 23 Cho hàm số g(x) liên tục R thỏa mãn g0 (0) = 0, g00 (x) > ∀x ∈ (−1; 2) Hỏi đồ thị đồ thị hàm số g(x)? y y O −1 A x B y y −1 C O x O −1 x −1 O Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường B f (4) = −17 A f (4) = 53 x D Câu 24 Xác định hệ số a, b, c để hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên A a = − , b = 3, c = −3 C a = 1, b = −3, c = B a = 1, b = −2, c = −3 y −1 O x D a = 1, b = 3, c = −3 −3 −4 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 147 Trang 148 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Câu 25 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị đường cong hình bên Tính y tổng S = a + b + c + d A S = B S = C S = −4 D S = 2 x O −2 Câu 26 ax + b có đồ thị hình vẽ, với a, b, c số x+c nguyên Tính giá trị biểu thức T = a − 3b + 2c y Gv Ths: Phạm Hùng Hải Cho hàm số y = A T = 12 B T = −7 O C T = 10 D T = −9 −1 x −2 Câu 27 ax + b có đồ thị hình bên Mệnh đề sau đúng? cx + d A ac > 0, bd > 0, cd > B ad < 0, bc > 0, cd > y Cho hàm số y = C ab > 0, bc > 0, bd < D bc > 0, ad < 0, ac < O x Câu 28 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Trong mệnh đề y sau, mệnh đề đúng? A ab < 0, bc > 0, cd < B ab > 0, bc > 0, cd < C ab < 0, bc < 0, cd > D ab < 0, bc > 0, cd > x O Câu 29 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1 ∈ (−1; 0), x2 ∈ (1; 2) Biết hàm số đồng biến khoảng (x1 ; x2 ) Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A a < 0, b > 0, c > 0, d < B a < 0, b < 0, c > 0, d < C a > 0, b > 0, c > 0, d < D a < 0, b > 0, c < 0, d < Câu 30 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 148 Trang 149 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Cho hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình vẽ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + c2 + b + 2d + B C A D y x O C D B D C C B C D 10 C 11 B 12 C 13 A 14 D 15 A 16 C 17 A 18 B 19 D 20 A 21 D 22 C 23 A 24 B 25 C 26 D 27 C 28 A 29 A 30 C Bài A ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Ứng dụng đồ thị để biện luận nghiệm phương trình Xét phương trình f (x) = m, với m tham số Nghiệm phương trình coi hoành độ giao điểm đồ thị y = f (x) (cố định) với đường thẳng y = m (nằm ngang) Từ đó, để biện luận nghiệm phương trình f (x) = m, ta thực y bước sau: y=m ¬ Lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) miền xác định Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ——HẾT—— mà đề yêu cầu x Tịnh tiến đường thẳng y = m theo hướng "lên, xuống" Quan sát số giao điểm để quy số nghiệm tương ứng −1 y = f (x) Ứng dụng đồ thị để biện luận nghiệm bất phương trình Xét bất phương trình dạng f (x) < m (1), với m tham số ¬ Bài tốn Tìm điều kiện tham số m để (1) có nghiệm miền D: Khi đó, ta tìm điều kiện để đồ thị y = f (x) có phần nằm đường thẳng y = m Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 149 Trang 150 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Bài toán Tìm điều kiện tham số m để (1) nghiệm với x thuộc miền D: Khi đó, ta tìm điều kiện để đồ thị y = f (x) nằm hồn tồn phía đường thẳng y = m y y y=m max f (x) x x y=m f (x) Minh họa Bài toán Minh họa Bài toán Gv Ths: Phạm Hùng Hải Các tốn tương tự: ¬ f (x) > m nghiệm ∀x ∈ D f (x) > m có nghiệm miền D ® f (x) ≤ m nghiệm ∀x ∈ D ¯ f (x) ≤ m có nghiệm miền D ° f (x) ≥ m nghiệm ∀x ∈ D ± f (x) ≥ m có nghiệm miền D B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BUỔI SỐ p Dạng 6.23 Giải, biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị • Chuyển phương trình cho dạng f (x) = m; • Tịnh tiến đường thẳng y = m lên xuống theo phương ngang Nhìn giao điểm với đồ thị y = f (x) để quy số nghiệm tương ứng Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm phương trình y f (x) − = A B C D O −1 x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 150 Trang 151 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ d Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (d 6= 0) có đồ thị hình vẽ bên y A B C D O x −1 Lời giải Ví dụ d Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên hình bên Tìm tất giá trị thực tham số m x y0 để phương trình f (x) = m+1 có ba nghiệm thực y −∞ + A −3 ≤ m ≤ B −2 ≤ m ≤ C −2 < m < Lời giải D −3 < m < − +∞ + +∞ −∞ phân biệt −1 −2 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Số nghiệm phương trình f (x) − = Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 151 Trang 152 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {0}, liên tục khoảng xác định có bảng x y0 − + +∞ biến thiên sau Tìm tập hợp tất thực tham số m cho phương trình f (x) = m có ba −∞ +∞ − y −∞ −2 −∞ nghiệm thực phân biệt A (−∞; 4] B [−2; 4] C (−2; 4) Lời giải D (−2; 4] Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) liên tục R \ {0} có bảng biến thiên hình bên Hỏi phương trình x f (x) B nghiệm C nghiệm Lời giải D nghiệm − − +∞ 3| f (x)| − 10 = có nghiệm? A nghiệm −∞ +∞ + +∞ f (x) −∞ Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 152 Trang 153 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) liên tục R có bảng biến thiên sau Hỏi phương trình f (|x|) = có x y0 −∞ + 0 − +∞ + +∞ nghiệm? y B nghiệm C nghiệm Lời giải D nghiệm −∞ −2 Ví dụ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A nghiệm d Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ R) có đồ thị y hình vẽ bên Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f (|x|) − m = có nghiệm phân biệt O A < m < C −2 < m < Lời giải B −1 < m < D < m < x −1 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 153 Trang 154 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R, có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình 2[ f (x)]2 − f (x) + = x y0 −∞ y A B C Lời giải D −1 + − 1 +∞ + Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 154 Trang 155 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ d Tìm tất giá trị tham số m để phương trình −x4 + 2x2 + + 2m = có nghiệm phân biệt A −2 m −3 B −3 < m < 2 C −2 < m < −3 D < m < Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 155 Trang 156 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ 10 d Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x3 − x2 + mx + có hai điểm cực trị thuộc khoảng (−1; 4)? A B C D Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 11 d Cho phương trình sin3 x − sin2 x + − m = Có giá trị ngun m để phương trình có nghiệm? A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 156 Trang 157 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT p Dạng 6.24 Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị d y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Số nghiệm nguyên bất phương trình f (x) ≤ A B C D O x Lời giải Ví dụ d Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3x2 + (2m − 1)x + 2019 đồng biến (2; +∞) A m < Lời giải B m = C m ≥ D m ≥ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 157 Trang 158 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ Gv Ths: Phạm Hùng Hải d Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = x3 + mx − đồng biến 5x5 khoảng (0; +∞)? A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 158 Trang 159 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT √ d Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình m x2 − 2x + + m + 2x − √ x2 ≤ có nghiệm x ∈ [0; + 3] 2 A m ≤ B m ≤ C m ≥ D m ≤ −1 3 Lời giải Ví dụ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ d Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m thuộc [0; 2019] để bất phương trình x2 − p m + (1 − x2 )3 ≤ với x ∈ [−1; 1] Số phần tử tập S A B 2020 C 2019 D Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 159 Trang 160 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT BUỔI SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 6.25 Một số tốn liên quan đến hàm hợp Ví dụ d y Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Khi phương trình f (3x4 ) − = có nghiệm dương? A B C D 1 −1 O x Lời giải Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 160 Trang 161 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau x Số nghiệm phương trình f (3x4 − 6x2 + y0 −∞ −2 + 1) = − B C Lời giải D + +∞ A +∞ y −∞ −1 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 161 Trang 162 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Phương trình f (4x − x2 ) − = có x y0 nghiệm thực? y A −∞ 0 − +∞ B C + +∞ − −1 D −∞ Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d y Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn [0; 5π] phương trình f (cos x) = A B C D O −1 x Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 162 Trang 163 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ d y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f (1 − cos 2x) = m có nghiệm thuộc khoảng (0; π) A [−1; 3] B (−1; 1) C (−1; 3) D (−1; 1] −2 O −1 x Ví dụ d Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình | f (x3 − 3x)| = A B 10 C D y −2 O −1 x Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 163 Trang 164 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số f (x), bảng biến thiên hàm số f (x) sau: x −∞ −1 +∞ +∞ +∞ f (x) −3 −1 Số điểm cực trị hàm số y = f (4x2 + 4x) A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 164 Trang 165 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 165 Trang 166 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Ví dụ d Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R, hàm số y = f (x) y có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số y = f (x) − x2 A B C D −2 −1 O x −2 Gv Ths: Phạm Hùng Hải −4 Lời giải Ví dụ d Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 166 Trang 167 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT y Cho hàm số f (x) Hàm số f (x) có đồ thị hình bên Hàm số g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x nghịch biến khoảng đây? Å ã A 1; C (−2; −1) Lời giải −2 x O −2 Å ã B 0; D (2; 3) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu y Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Số nghiệm √ dương phân biệt phương trình f (x) = − A B C D −1 −1 x O −2 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 167 Trang 168 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Câu y Hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Phương trình f (x) − = có nghiệm âm? A B C D 3 x Câu Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {0}, liên tục −∞ x y0 khoảng xác định có bảng biến thiên − +∞ y hình bên Số phần tử tập nghiệm phương trình Gv Ths: Phạm Hùng Hải − −∞ −1 −∞ | f (x)| = A Câu +∞ + B C D Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm phương trình f (x + 5) − = A B C D −∞ x y0 + −1 +∞ − + +∞ y −∞ −2 Câu Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tìm số nghiệm y phương trình f (x) = −x + A B C D x O −2 Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Tìm số nghiệm phương trình f (x2 ) + = A B C D y O x −2 Câu Số nghiệm thực phương trình 2|x|3 − 9x2 + 12|x| − A B = C D Câu Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 168 Trang 169 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục R có x y0 bảng biến thiên sau Tìm tất giá trị thực −1 − + 0 +∞ tham số m để phương trình f (x) − = m có +∞ − + +∞ y hai nghiệm −1 m = −2 A −∞ −1 B −2 < m < −1 m > −1 C m>0 m = −2 D m = −1 m ≥ −1 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có tất giá trị −1 nguyên m để phương trình f (x) + m = có nghiệm thực phân x O biệt? A B C D −3 −4 Câu 10 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x3 − 3x2 − m − = có ba nghiệm phân biệt A < m < C −8 < m < −4 B m < D ≤ m ≤ Câu 11 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình 2x3 − 3x2 = 2m + có hai nghiệm phân biệt Tổng phần tử S A − B − 2 C − D Câu 12 Tập tất giá trị tham số m để phương trình x4 − 4x2 + + m = có nghiệm phân biệt A (−1; 3) B (−3; 1) C (2; 4) D (−3; 0) Câu 13 Có giá trị nguyên tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu 2x2 |x2 − 2| điểm phân biệt? A B C Câu 14 D y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình | f (x)| = m có nghiệm phân biệt A −4 < m < −3 B < m < C m > D < m < −1 O x −3 −4 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 169 Trang 170 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT Câu 15 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có bảng biến thiên hình bên Khi đó, phương trình | f (x)| = m có bốn nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < < x4 1 A < m < B ≤ m < 2 C < m < D < m ≤ Câu 16 x y0 −∞ 0 + − Gv Ths: Phạm Hùng Hải dụng đồ thị hàm số, xác định m để phương trình +∞ −∞ y = có − 12 −1 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f (x) ≤ 2m có nghiệm với x ∈ [0; 1] B m ≥ C ≤ m ≤ D m ≥ x O ba nghiệm phân biệt, có hai nghiệm lớn ã Å B m ∈ (−1; 0) A m ∈ − ; Å 2ã Å ã 1 C m ∈ 0; D m ∈ ; Câu 17 A ≤ m ≤ + y Cho hàm số y = −2x3 + 3x2 − có đồ thị hình vẽ Bằng cách sử 2x3 − 3x2 + 2m +∞ −1 O1 x −2 Câu 18 y Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f (x2 + x) = A B C D O −1 −1 x Câu 19 Cho hàm số y = f (x) xác định R \ {1}, liên tục x khoảng xác định có bảng biến thiên sau Số nghiệm √ phương trình f 2x − + = y0 A B C −∞ −1 − + +∞ +∞ + +∞ y D −∞ −4 Câu 20 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 170 Trang 171 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PT VÀ BPT y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( f (sin 2x)) = khoảng (0; π) A B C D −1 x O Câu 21 Tìm tất giá trị m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − đồng biến khoảng (−∞; 0) A m ≤ −3 B m < −3 C m ≥ D m > Câu 22 Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m − 1)x + 4m đồng B m ≥ A m > C m ≤ −8 D m < Câu 23 Cho hàm số f (x), bảng biến thiên hàm số −∞ x f (x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm −1 +∞ +∞ +∞ f (x) số y = f (x2 + 2x) A B C Câu 24 D −3 −1 y Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f x3 − 3x = A B 10 C 12 D −2 O x −1 Câu 25 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 2π] 1 A − < m < − B ≤m< 3 C cos x −3 cos2 x+5| cos x|−3+2m = 3 − B = x0 − B = x0 2A 2A ® (C) d có điểm chung ⇔ (2) vơ nghiệm có nghiệm nghiệm x0 ⇔ ∆ < ∆ = − B = x0 2A Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có “nghiệm đẹp” Khi ta tiến hành bước: ¬ Cơ lập tham số m, chuyển phương trình (1) dạng f (x) = m Số nghiệm phương trình Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 173 Trang 174 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ hồnh độ giao điểm đồ thị y = f (x) với đường thẳng y = m (nằm ngang) Lập bảng biến thiên hàm y = f (x) miền đề yêu cầu ® Tịnh tiến đường thẳng y = m theo phương song song với Ox, nhìn giao điểm suy kết Ví dụ d Đường thẳng y = −3x + cắt đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 − điểm có tọa độ Gv Ths: Phạm Hùng Hải (x0 ; y0 ) Chọn câu trả lời sai câu trả lời sau A x03 − 2x02 − − y0 = B y0 + 3x0 − = C x0 + y0 + = D x03 − = 2x03 − 3x0 Lời giải Ví dụ d Số giao điểm đồ thị hàm số y = (x − 1)(x2 − 3x + 2) trục hoành A B C D Lời giải Ví dụ d Đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = x3 − x2 + x − hai điểm Tìm tổng tung độ giao điểm A −3 B C D −1 Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 174 Trang 175 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ d Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 2x − cắt đồ thị hàm số y = x2 − 3x + hai điểm phân biệt A AB = √ B AB = 2 C AB = D AB = Lời giải Ví dụ d Đồ thị sau hàm số y = x3 − 3x + Với giá trị y m phương trình x3 − 3x − m = có nghiệm phân biệt? A −2 < m < B −1 < m < C −2 ≤ m < D −2 < m < −1 O x −1 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A, B Tính độ dài AB Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 175 Trang 176 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ d Cho hàm số y = (x − 2)(x2 + mx + m2 − 3) Tìm tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt −1 < m < −2 < m < C A −1 < m < B m 6= m 6= −1 D −2 < m < −1 Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Với giá trị của m d cắt (C) ba điểm phân biệt? 15 15 m < m < m > A B C m 6= m 6= m 6= 24 m > D m 6= Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 176 Trang 177 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ d Biết có hai số m1 , m2 hai giá trị tham số m cho đồ thị (C) hàm số y = x3 −3mx2 − Tính m1 + m2 A B C D Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 3x + 3m + cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 15 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 177 Trang 178 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ d Cho hàm số y = x3 + mx2 − x − m (Cm ) Hỏi có tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số (Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ? Gv Ths: Phạm Hùng Hải A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 178 Trang 179 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ 10 d Tìm tất giá trị m để đường thẳng ∆ : y = x + cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + ba điểm phân biệt A(0; 4), B C cho diện tích tam giác MBC 4, với M(1; 3) A m = m = B m = −2 m = C m = D m = −2 m = −3 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường p Dạng 7.27 Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c(a 6= 0) có đồ thị (C) đường thẳng y = k có đồ thị d Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: ax4 + bx2 + c = k (1) Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 179 Trang 180 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta có phương trình at + bt + c − k = (2) Các tốn thường gặp: ¬ (C) d có bốn điểm chung⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt ∆>0 ⇔ P>0 S > (C) d có ba điểm chung ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm dương nghiệm t = Gv Ths: Phạm Hùng Hải ® (C) d có hai điểm chung ⇔ (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu ¯ (C) d có điểm chung ⇔ (2) có nghiệm t = nghiệm âm ° (C) d điểm chung ⇔ (2) vơ nghiệm có nghiệm âm o CHÚ Ý Có thể chuyển tốn biện luận giao điểm đồ thị cố định với đường thẳng nằm ngang Ví dụ d Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + với trục Ox A B C D Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 180 Trang 181 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ d Đồ thị hàm số y = 2x4 − 3x2 đồ thị hàm số y = −x2 + có điểm chung? A B C D Lời giải Ví dụ d Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 − bốn điểm phân biệt A m > −1 B −1 < m < C m < −4 D −4 < m < −3 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 181 Trang 182 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ d Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 3x2 − m − cắt trục hoành hai điểm phân biệt m > −1 A 13 m=− Lời giải B m > −1 m ≥ −1 C 13 m=− D m ≥ −1 Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Có giá trị nguyên tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = 2x2 |x2 − 2| điểm phân biệt? A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 182 Trang 183 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ d Có giá trị thực tham số m khoảng (−3; 5) để đồ thị hàm số y = x4 + (m − 5)x2 − mx + − 2m tiếp xúc với trục hoành? A B C D Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ d Cho hàm số: y = x4 − (2m − 1)x2 + 2m có đồ thị (C) Tất có giá trị nguyên dương tham số m để đường thẳng d: y = cắt đồ thị (C) bốn điểm phân biệt có hoành độ bé 3? A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 183 Trang 184 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Gv Ths: Phạm Hùng Hải p Dạng 7.28 Xác định biện luận giao đường thẳng đồ thị hàm số y = ax + b cx + d ax + b (ad − bc 6= 0) có đồ thị (C) đường thẳng d có phương trình y = kx + n cx + d Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) d: Cho hàm số y = Ax2 + B +C = (1) ax + b = kx + n ⇔ cx + d x 6= − d = x0 c Các tốn thường gặp ¬ (C) d có hai điểm chung ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác x0 ⇔ ∆ > Ax2 + Bx +C 6= 0 Giả sử hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt M(x1 ; kx1 + n) N(x2 ; kx2 + n) Khi MN = p … k2 + ∆ A2 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 184 Trang 185 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ x−1 cắt hai trục Ox Oy A B Khi diện tích tam giác x+1 OAB (với O gốc tọa độ) 1 A B C D Lời giải d Đồ thị hàm số y = d Biết đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = độ trọng tâm tam giác OAB với O gốc tọa độ A B Lời giải C x điểm phân biệt A, B Tìm hồnh x−1 D Ví dụ d Gọi M, N giao điểm đường thẳng y = x + đường cong y = 2x + Tìm hồnh độ x−1 trung điểm đoạn thẳng MN A x = −1 B x = C x = −2 D x = Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ Ví dụ 2x có đồ thị (C) Gọi A, B giao điểm đường thẳng d : y = x với đồ x+1 thị (C) Tính độ dài đoạn AB √ √ A AB = B AB = C AB = D AB = 2 d Cho hàm số y = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 185 Trang 186 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Lời giải Ví dụ d Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [−14; 15] cho đường thẳng y = mx + cắt 2x + hai điểm phân biệt đồ thị hàm số y = x−1 A 17 B 16 C 20 D 15 Gv Ths: Phạm Hùng Hải Lời giải Ví dụ 2x + có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y = x+1 √ x + m − cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = √ √ √ √ A m = ± B m = ± C m = ± 10 D m = ± 10 d Cho hàm số y = Lời giải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 186 Trang 187 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ 2x + (C) đường thẳng x−1 d : y = mx + cắt hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O d Biết có hai giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = gốc tọa độ) Tổng hai giá trị A B C D Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 187 Trang 188 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ 3x − có đồ thị (C) điểm A(−5; 5) Tìm tất giá trị thực tham số m x+1 để đường thẳng d : y = −x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N cho tứ giác OAMN hình d Cho hàm số y = bình hành (O gốc tọa độ) A m = √ √ C m = + 5, m = − √ B m = + √ D m = − Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 188 Trang 189 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 − 4x + đường thẳng y = A B C D Câu Đồ thị hàm số y = x4 − x3 − cắt trục tung điểm? A điểm B điểm C điểm D điểm Câu Đồ thị hàm số y = x4 − 5x2 + cắt trục hoành điểm? A B C D Câu Tìm số giao điểm n hai đồ thị (C1 ) : y = x4 − 3x2 + (C2 ) : y = x2 − A n = Câu Đồ thị hàm số y = A B n = C n = D n = 4x + y = x2 − cắt điểm? x−1 B C D Câu Biết đồ thị hàm số y = x3 + x2 − x + đồ thị hàm số y = −x2 − x + cắt điểm có tọa độ (x0 ; y0 ) Tìm y0 A B C D Câu Đồ thị hàm số sau cắt trục tung điểm có tung độ âm? −2x + 3x + 2x − 4x + A y = B y = C y = D y = x+2 x+1 x−1 x−1 2x + Câu Biết đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A, B có hồnh x−1 độ xA , xB Khi A xA + xB = B xA + xB = C xA + xB = D xA + xB = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 189 Trang 190 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Câu Biết đồ thị hàm số y = x3 − 4x2 + 5x − cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt A B Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = B AB = √ C AB = 2 D AB = Câu 10 Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (d 6= 0) có đồ thị hình vẽ Số y nghiệm phương trình f (x) − = A B C D O −1 x Gv Ths: Phạm Hùng Hải Câu 11 y Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị (C) hình vẽ, đường thẳng d có phương trình y = x − Biết phương trình f (x) = có ba nghiệm x1 < x2 < x3 Giá trị x1 x3 A −2 B − C − d −1 D −3 x (C) Câu 12 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + có đồ thị (C) đường thẳng d : y = −m Tìm tập hợp tất giáïtrị ò tham số m để d cắtï (C) ba ò điểm phân biệt Å ã Å ã 1 1 ;1 B −1; − C ;1 D −1; − A 3 3 Câu 13 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + m cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A m > B < m < C m > D m < Câu 14 Có số m nguyên âm để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + (1 − m)x + m + cắt trục Ox điểm phân biệt A B C D Câu 15 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x + m cắt trục hoành điểm phân biệt A m ∈ (2; +∞) B m ∈ (−2; 2) C m ∈ R D m ∈ (−∞; −2) Câu 16 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (3m − 1) x + 6m có đồ thị (C) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để (C) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20 Tính tổng phần tử tập S A B C 3 D Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 190 Trang 191 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Câu 17 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng √ √ m=1 −1 + −1 − 15 15 √ B m = C m = D m = A −1 ± 15 2 m= Câu 18 Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − mx cắt trục hoành ba điểm A, B,C phân biệt cách A B C −2 D phân biệt A −2 m −3 B −3 < m < 2 C −2 < m < −3 D < m < Câu 20 Tìm tất giá trị m nguyên để phương trình x4 − 2x2 + − m = có bốn nghiệm thực A B C D Khơng có giá trị m Câu 21 Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = x2 |x2 − 3| đường thẳng y = A B C Câu 22 Có đường thẳng cắt đồ thị (C) hàm số y = D 5x − hai điểm phân biệt mà hai x−1 giao điểm có hồnh độ tung độ số nguyên? A 15 B C D x−3 cắt đường thẳng y = x + m hai điểm phân biệt x+1 m < −2 B m > C D m < −2 m>6 Câu 23 Đồ thị hàm số y = A m > −2 Câu 24 Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c (b < 0, a 6= 0) Biết đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có hai giao điểm đối xứng qua gốc tọa độ Tính giá trị biểu thức T = 2(ab − c) + A T = B T = C T = Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu 19 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình −x4 + 2x2 + + 2m = có nghiệm D T = 3x + có đồ thị (C) đường thẳng d : y = ax + 2b − Đường thẳng d cắt x+2 (C) hai điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O Tính a + b A T = B T = C T = D T = 2 x−8 Câu 26 Đường thẳng d qua A(2; 1) với hệ số góc k cắt đồ thị (C) hàm số y = hai điểm x−4 phân biệt Câu 25 Cho hàm số y = A k > B −1 < k < C k < k > D k < k > Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 191 Trang 192 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2x + có đồ thị (C) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y = x+1 √ x + m − cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = √ √ √ √ B m = ± 10 C m = ± 10 D m = ± A m = ± Câu 27 Cho hàm số y = Câu 28 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x+1 (C) x−1 hai điểm A, B phân biệt cho đoạn AB ngắn B m = −1 A m = C m = −2 D m = Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng (d) : y = mx − m − cắt đồ thị (C) : y = x3 − 3x2 + điểm A, B, C phân biệt (B thuộc đoạn AC), cho tam giác AOC cân O (với O gốc toạ độ) A m = −1 B m = Gv Ths: Phạm Hùng Hải Câu 30 Cho số thực a, b, c thỏa mãn C m = a + c > b + D m = −2 Tìm số giao điểm đồ thị hàm số a + b + c + < y = x3 + ax2 + bx + c trục Ox A B C D —-HẾT—1 B A B C C D C A D 10 B 11 A 12 D 13 B 14 A 15 B 16 B 17 A 18 C 19 C 20 D 21 C 22 D 23 C 24 C 25 D 26 D 27 B 28 B 29 B 30 B Bài A TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Đường thẳng qua điểm M(x0 ; y0 ) có hệ số góc k có phương trình y = k(x − x0 ) + y0 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 192 Trang 193 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ o CHÚ Ý y Lưu ý: ∆ ¬ k = tan ϕ, với ϕ góc hợp đường thẳng ∆ với chiều dương trục Ox ϕ 6= 90◦ ϕ O x Cho hai đường thẳng ∆1 : y = k1 x + m1 ∆2 : y = k2 x + m2 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 · k2 = −1 Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(x0 ; y0 ): o CHÚ Ý y ¬ Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Tiếp tuyến d y0 đồ thị hàm số điểm M(x0 ; y0 ) có phương trình O y= f (x0 )(x − x0 ) + y0 (lúc k = x0 f (x0 )) x y = f (x) Trong • x0 gọi hồnh độ tiếp điểm; • y0 tung độ tiếp điểm, với y0 = f (x0 ); • f (x0 ) gọi hệ số góc tiếp tuyến B Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường • ∆1 ∥ ∆2 ⇔ k1 = k2 m1 6= m2 CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ p Dạng 8.29 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước d • Tính f (x) Từ tính f (x0 ) bấm máy ( f (x)) dx x=x0 • Thay vào cơng thức y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 , thu gọn kết dạng y = Ax + B Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 193 Trang 194 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ o CHÚ Ý Trong nhiều trường hợp, đề chưa cho đầy đủ (x0 ; y0 ) ta thường gặp loại sau: ¬ Cho biết trước x0 y0 Ta việc thay giá trị vào hàm số y = f (x), tính đại lượng cịn lại Cho trước điều kiện giải Ta việc giải điều kiện đó, tìm x0 Ví dụ d Cho hàm số y = x4 − 4x2 + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm Gv Ths: Phạm Hùng Hải M(1; 1) A y = −x + B y = −2x + C y = −3x + D y = −4x + Lời giải Ví dụ d Tiếp tuyến với đồ thị hàm số f (x) = điểm có hồnh độ x0 = có hệ số góc 2x − A − Lời giải B C D −2 Ví dụ d Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x2 − 3x + điểm có hồnh độ A y = 3x − B y = 3x − 10 C y = −3x + 10 D y = −3x − Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 194 Trang 195 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ − 4x điểm có tung độ y = − x−2 C D −10 d Tìm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Lời giải A B − Ví dụ 2x + điểm M(2; 5) cắt trục tọa độ Ox, Oy lần x−1 lượt A B Tính diện tích tam giác OAB 121 121 121 121 A B − C D − 6 3 Lời giải d Tiếp tuyến đường cong (C) : y = Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ d Tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = −x3 − 3x2 + giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox A y = 9x + B y = −9x + y = C y = 9x − y = D y = −9x − Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 195 Trang 196 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ x+1 có đồ thị (C) đường thẳng (d) : y = −2x + m − (m tham số thực) x+2 Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến giao điểm (d) (C) Khi k1 · k2 D A B C Lời giải d Cho hàm số y = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 196 Trang 197 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ d ax + b , (a, b, c, d ∈ R; c 6= 0, d 6= cx + d 0) có đồ thị (C) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ y Cho hàm số y = f (x) = Biết (C) cắt trục tung điểm có tung độ −2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành B x + 3y − = C x + 3y + = Lời giải D x − 3y − = −2 −1 O x p Dạng 8.30 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A x − 3y + = số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 • Tính f (x) Giải phương trình f (x) = k0 , tìm nghiệm x0 • Thay x0 vào y = f (x), tìm y0 • Viết phương trình tiếp tuyến (x0 ; y0 ) theo công thức y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 197 Trang 198 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ o CHÚ Ý Trong nhiều trường hợp, ta gặp dạng sau: ¬ Biết tiếp tuyến song song với ∆ : y = ax + b Khi k0 = a hay f (x0 ) = a Biết tiếp tuyến vng góc với ∆ : y = ax + b Khi k0 · a = −1 hay f (x0 ) = − a ® Biết tiếp tuyến tạo với Ox góc ϕ k0 = ± tan ϕ ¯ Biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy hai điểm A, B thỏa OA = m · OB k0 = ± OB OA ° Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ (hoặc lớn nhất) k0 = f (x) (hoặc Gv Ths: Phạm Hùng Hải max f (x)) Đối với hàm bậc ba kmax kmin đạt x0 thỏa f 00 (x) = Ví dụ d Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 6, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = A y = 6x + B y = −6x + C y = −6x + 10 D y = 6x + 10 Lời giải Ví dụ d Tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = −x3 − 3x2 + 9x + có hệ số góc lớn A y = 12x + 18 B y = 9x − C y = 12x + D y = 4x + Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 198 Trang 199 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ d Cho hàm số y = x3 − 2x2 + 3x + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ 17 23 19 A y = −x + B y = −x + C y = D y = 3 Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số song song với đường thẳng y = −2x − Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) 22 10 B y = −2x − 10; y = −2x − A y = −2x + ; y = −2x − 22 3 10 22 10 22 C y = −2x + ; y = −2x + D y = −2x + ; y = −2x − 3 3 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ví dụ Ví dụ 3m + d Cho (Cm ) : y = x4 − x + 3m + Gọi A ∈ (Cm ) có hồnh độ Tìm m để tiếp tuyến A song song với đường thẳng d : y = 6x + 2017? A m = −3 B m = C m = D m = Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 199 Trang 200 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Tìm điểm M có hồnh độ âm đồ thị (C) : y = x3 − x + cho tiếp tuyến M vng 3 góc với đường thẳng y = − x + 3Å ã Å ã 4 A M(−2; −4) B M −1; C M 2; D M(−2; 0) 3 Lời giải Ví dụ d Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − có đồ thị (C) Số tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng y = x + 2017 A B C D Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 200 Trang 201 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ 2x − có đồ thị (C) Có tiếp tuyến (C) cắt trục Ox, Oy x−1 hai điểm A B thỏa mãn điều kiện OA = 4OB d Cho hàm số y = A B C D Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường p Dạng 8.31 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA ) • Gọi d : y = k(x − xA ) + yA (1) đường thẳng qua điểm A có hệ số góc k f (x) = k(x − xA ) + yA • d tiếp tuyến hệ (2) có nghiệm x f (x) = k • Giải hệ (2), tìm x k • Thày k vào (1), ta kết Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 201 Trang 202 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ d Cho hàm số y = x3 − 9x2 + 17x + có đồ thị (C) Qua điểm M(−2; 5) kẻ tất tiếp tuyến đến (C)? A B C D Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ d Cho đường cong (C) : y = x4 − 4x2 + điểm A(0; a) Nếu qua A kẻ tiếp tuyến với (C) a phải Å thỏẫmãn điều kiện 10 A a ∈ 2; Å ã 10 C a ∈ (−∞; 2) ∪ ; +∞ B a ∈ (2; +∞) Å ã 10 D a ∈ −∞; Lời giải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 202 Trang 203 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ d Đường thẳng x + y = 2m tiếp tuyến đường cong y = −x3 + 2x + m A −3 B C −1 D −3 −1 Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 203 Trang 204 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ 2x có đồ thị (C) điểm A(0; a) Gọi S tập hợp tất giá trị thực x+1 a để từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến (C) với M, N tiếp điểm MN = Tổng d Cho hàm số y = phần tử S bao nhiêu? A B C D Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 204 Trang 205 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ x+1 (1) Biết trục tung có hai điểm M, N mà từ kẻ tới x−1 đồ thị hàm số (1) tiếp tuyến Độ dài đoạn MN √ √ D B C A Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường d Cho hàm số y = p Dạng 8.32 Bài tập tổng hợp Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 205 Trang 206 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ x+2 có đồ thị (C) Đường thẳng d có phương trình y = ax + b tiếp tuyến 2x + (C), biết d cắt trục hoành A cắt trục tung B cho tam giác OAB cân O, với O d Cho hàm số y = gốc tọa độ Tính a + b A −1 B −2 C D −3 Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ví dụ f (x) Nếu hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số g(x) cho điểm có hồnh độ x0 khác khơng 1 1 A f (x0 ) > B f (x0 ) ≤ C f (x0 ) ≤ D f (x0 ) < 4 Lời giải d Cho hàm số y = f (x), y = g(x), y = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 206 Trang 207 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ x+1 , có đồ thị (H) Biết A (x1 ; y1 ), B (x2 ; y2 ) hai điểm phân biệt thuộc 2x − (H) cho tiếp tuyến (H) A, B song song với Tìm độ dài nhỏ đoạn thẳng d Cho hàm số y = AB √ A B √ C √ √ D Lời giải Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 207 Trang 208 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ví dụ −x + có đồ thị (C) đường thẳng (d) : y = x + m Với giá trị m 2x − đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc d Cho hàm số y = tiếp tuyến với (C) A B Giá trị nhỏ T = k12020 + k22020 A B C D Lời giải Gv Ths: Phạm Hùng Hải Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 208 Trang 209 C TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −x2 + 4x + điểm A(−1; 2) có hệ số góc A C −2 B Câu Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A B −1 D 3x − điểm có hồnh độ 2x − 1 C D Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −2x4 + x2 + điểm M(1; 2) B y = −6x + C y = −6x − D y = −6x − Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) = x3 − 2x2 + 3x + điểm có hồnh độ x0 = A y = −x − B y = 7x − 14 C y = 7x − D y = −x + Câu Số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 + điểm có tung độ A B C D Câu Cho hàm số y = −x3 + 3x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y = −2x + C y = 3x − B y = 2x + D y = −3x − Câu Cho hàm số y = −x3 + 3x − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M, biết M giao điểm (C) với đường thẳng có phương trình y = −x − xM > A y = −9x − 12 B y = −9x + 12 C y = −9x + 14 Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 D y = −9x − 14 + 3x2 − 2(C ) có hệ số góc k = −9 đường thẳng A (d) : y − 16 = −9(x + 3) B (d) : y = −9(x + 3) C (d) : y + 16 = −9(x + 3) D (d) : y − 16 = −9(x − 3) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A y = −6x + Câu Số tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 8x + song song với đường thẳng (d) : y = x + 28 A B Câu 10 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = C D 2x − song song với đường thẳng y = 5x + 17 có phương x+1 trình A y = 5x + 17; y = 5x + B y = 5x + C y = 5x − D y = 5x + 17; y = 5x − Câu 11 Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −x3 +2x2 song song với đường thẳng y = x? A B C D Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 209 Trang 210 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 2x + Tìm phương trình tiếp tuyến đường cong x+1 (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y = −4x + A y = x − B y = x + y = x + 4 4 4 13 C y = x + y = x + D y = x + 4 4 4 Câu 12 Cho đường cong (C) có phương trình y = Câu 13 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + vuông góc với đường thẳng x − 3y + = có phương trình A x − 3y + = Câu 14 Cho hàm số y = B 3x − y − = C 3x + y − = D 3x + y − = x2 + x có đồ thị (C) đường thẳng d : y = −2x Biết d cắt (C) hai điểm x−2 phân biệt A, B Tích hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B A B C − D Gv Ths: Phạm Hùng Hải Câu 15 Cho hàm số y = 4x + cos 2x có đồ thị (C) Hoành độ điểm (C) mà tiếp tuyến (C) song song trùng với trục hoành π A x = + kπ (k ∈ Z) B x = π + kπ (k ∈ Z) π D x = k2π (k ∈ Z) C x = + kπ (k ∈ Z) Câu 16 Ký hiệu d tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + 2m2 + (C) giao điểm (C) với trục hoành đồng thời (C) qua điểm A(1; 0) Hỏi có đường thẳng d thỏa mãn toán? A B C D ax + b cắt trục tung điểm A(0; −1), tiếp tuyến đồ thị điểm A có x−1 hệ số góc k = −3 Giá trị a b Câu 17 Đồ thị hàm số y = A a = 1; b = B a = 2; b = C a = 2; b = D a = 1; b = Câu 18 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m + 1)x − m Gọi A giao điểm đồ thị hàm số với trục Oy Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị A vng góc với đường thẳng y = 2x − 3 A m = − B m = − C m = −3 D m = 2 Câu 19 Cho parabol (P) : y = x2 − 3x Tiếp tuyến (P) qua điểm A(5; 10) có phương trình A y = 5x − 15 B y = 7x − 25 Câu 20 Cho đồ thị (C) : y = lớn d1 d2 A C y = x + D y = 3x − x−1 d1 , d2 hai tiếp tuyến (C) song song với Khoảng cách 2x √ B C √ D 2 Câu 21 Biết đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 3x + tiếp xúc với đồ thị hàm số (C0 ) : y = ax2 + b điểm có hồnh độ x ∈ (0; 2) Giá trị lớn S = a + b A −1 B C D −3 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 210 Trang 211 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ f (x) + Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số g(x) + cho điểm có hồnh độ x = khác Khẳng định sau đúng? 11 11 11 11 B f (1) < − C f (1) > − D f (1) ≥ − A f (1) ≤ − 4 4 Câu 22 Cho hàm số y = f (x), y = g(x), y = Câu 23 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) mà có hệ số góc lớn A y = 3x + B y = −3x + C y = 3x − D y = −3x − Câu 24 Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c ∈ R, a 6= 0) có đồ thị (C) Biết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = A y = x + B y = x + C y = 5x + D y = 5x − 2 x −1 O Câu 25 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (m − 1)x + 2m có đồ thị (Cm ) Gọi S tập hợp tất giá trị m để từ M(1; 2) kẻ hai tiếp tuyến với (Cm ) Tính tổng phần tử S 81 217 B C D A 109 81 2x + Câu 26 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị (C) x−1 với hoành độ x0 = cắt hai đường tiệm cận đồ thị (C) hai điểm A, B Tính diện tích tam giác IAB, với I giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) A S4IAB = B S4IAB = C S4IAB = 12 √ D S4IAB = Câu 27 Đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 có tiếp tuyến song song với trục Ox A B C D Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường đồ thị (C) qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y = f (x) cho hình vẽ bên Viết y Câu 28 Cho hàm số y = x3 − 3x2 có đồ thị (C) điểm A(0; a) Gọi S tập hợp tất giá trị thực a để có hai tiếp tuyến (C) qua A Tích giá trị phần tử S A B −1 C D Câu 29 Cho hàm số y = x4 − x2 có đồ thị (C) Có điểm A thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M(x1 ; y1 ), N(x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = 6(x1 − x2 )? A B C D Câu 30 Cho hàm số f (x) = x3 + 6x2 + 9x + có đồ thị (C) Tồn hai tiếp tuyến (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 211 Trang 212 ĐỀ TỔNG ÔN Oy tương ứng A B cho OA = 2017 · OB Hỏi có giá trị k thoả mãn yêu cầu toán? A B C D —-HẾT—1 D C A C D C C A B 10 C 11 D 12 C 13 C 14 D 15 A 16 D 17 C 18 A 19 B 20 C 21 B 22 A 23 A 24 D 25 D 26 A 27 C 28 C 29 A 30 C Bài Gv Ths: Phạm Hùng Hải A ĐỀ TỔNG ÔN ĐỀ SỐ Câu Xét khẳng định sau a) Nếu hàm số y = f (x) có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m M > m b) Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c, (a 6= 0) ln có điểm cực trị c) Tiếp tuyến (nếu có) điểm cực trị đồ thị hàm số ln song song với trục hồnh Số khẳng định A B C 2x − đoạn [0; 2] x−3 B max y = C max y = x∈[0;2] x∈[0;2] D Câu Tìm giá trị lớn hàm số y = A max y = x∈[0;2] D max y = x∈[0;2] Câu Số giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 4x với trục hoành A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D (D ⊂ R) đạt cực tiểu x0 Hãy chọn khẳng định A Hàm số cho có giá trị bé f (x0 ) B Nếu hàm số có đạo hàm x0 tiếp tuyến với đồ thị điểm M (x0 ; f (x0 )) song song với trục hồnh C Nếu hàm số có đạo hàm x0 tiếp tuyến với đồ thị điểm M (x0 ; f (x0 )) song song với trục tung D Hàm số có đạo hàm cấp x0 f (x0 ) = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 212 Trang 213 ĐỀ TỔNG ÔN Câu Biết hàm số y = f (x) đạt cực đại điểm x0 Hãy chọn khẳng định đúng? A Đạo hàm f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 B Đạo hàm f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 C f (x0 ) = D f 00 (x0 ) = Câu Giá trị bé hàm số y = A B x−2 đoạn [−8; −4] x+3 C −2 D −6 A 2016 C −672 B 672 D −2016 Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy đường tiệm cận đồ thị hàm số y = x+1 tạo với trục x−2 toạ độ đa giác có diện tích (đơn vị diện tích) A B C Câu Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = D 2x − giao điểm đồ thị với trục tung có x+1 phương trình B y = 3x − A y = 3x + Câu 10 Hàm số y = D y = 3x − C y = 3x = √ x3 + x − + x hàm số đồng biến khoảng A (−1; 0) B (−1; +∞) C (0; 1) D (1; +∞) Câu 11 Cho hàm số có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng x y0 −∞ −2 − + +∞ đây? 0 − +∞ + +∞ y A (−2; 0) B (2; +∞) C (0; 2) D (0; +∞) 1 Câu 12 y Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên? A y = x3 − 3x2 + B y = −x3 + 3x2 + C y = x4 − 2x2 + D y = −x4 + 2x2 + Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu Hàm số y = x3 + 3x2 − 2016x + 2017 có điểm cực trị x1 , x2 tích x1 · x2 có giá trị x O Câu 13 Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 213 Trang 214 ĐỀ TỔNG ÔN Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình bên Hàm số cho đạt cực tiểu A x = B x = C x = −1 −∞ x f (x) −1 − + +∞ D x = −3 +∞ − f (x) −3 −∞ Câu 14 y Đồ thị hình bên đồ thị hàm số nào? A y = x3 − 6x + B y = 2x3 − 3x2 + C y = −x3 + 3x + O −1 −1 D y = x3 − 3x + 1 x Câu 15 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục D có bảng biến thiên hình bên Hãy Gv Ths: Phạm Hùng Hải chọn khẳng định đúng? A Hàm số có giá trị cực tiểu x y0 B Hàm số có giá trị lớn giá trị bé −∞ − + +∞ + +∞ −1 y C Hàm số có cực trị −∞ −1 D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x=1 Câu 16 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x + giao điểm đồ thị với trục tung x+1 A B −1 C D −1 Câu 17 Đường thẳng có phương trình y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số bên dưới? − 2x2 2x − 2x2 + x−1 A y = D y = B y = C y = 2 1−x−x 1−x−x 2x − 1−x Câu 18 Đồ thị hình bên đồ thị hàm số sau đây? x+1 x+1 A y = B y = − 2x 2x + x+1 x−1 C y = D y = 2x − 2x + y − 12 O x −1 Câu 19 Số điểm cực tiểu hàm số y = A B √ 16 − x2016 C 2016 D 2015 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 214 Trang 215 ĐỀ TỔNG ÔN Câu 20 Biết đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + cắt đường thằng có phương trình y = − x điểm Tung độ giao điểm y0 A y0 = B y0 = C y0 = D y0 = Câu 21 Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên sau Số x y0 nghiệm thực phương trình f (x) − = A B C −∞ −2 + − 0 + D +∞ − y −1 −∞ Câu 22 Giá trị lớn hàm số f (x) = x3 − 3x + đoạn [−3; 3] A −16 B 20 C D Câu 23 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x + 2)2 , ∀x ∈ R Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Câu 24 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau: x y0 −∞ y − − +∞ + +∞ +∞ −2 −4 Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho A B C √ Câu 25 √ Giá trị lớn hàm số y = x + − x √ B A C D D Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường −∞ Câu 26 Số điểm cực trị hàm số y = sin2 x − cos x đoạn [0; π] A B C D Câu 27 Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên Hãy chọn khẳng y định A a > 0; b > 0; c > 0; d < B a < 0; b < 0; c > 0; d < O x C a > 0; b > 0; c > 0; d > D a < 0; b > 0; c > 0; d < Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 215 Trang 216 ĐỀ TỔNG ÔN √ 2x − − x2 + x + Câu 28 Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = x2 − 5x + A x = −3 x = −2 B x = C x = D x = x = Câu 29 Hàm số y = x3 − mx2 + (m2 − m − 1)x + m3 đạt cực đại điểm x = giá trị tham số m A m = m=0 B m=3 D m = −3 C m = Câu 30 Cho hàm số y = f (x) = x3 + ax + b (a 6= b) Biết tiếp tuyến với đồ thị điểm có hồnh độ x = a x = b song song với Khi giá trị f (1) A f (1) = B f (1) = a + b C f (1) = −1 D f (1) = a − b Câu 31 y Gv Ths: Phạm Hùng Hải Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ sau Điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = |2 f (x) − m| có điểm cực trị A ≤ m ≤ x B ≤ m ≤ D < m < mx + Câu 32 Giá trị tham số m để hàm số y = nghịch biến khoảng (−∞; 1) x+m A −2 < m ≤ −1 B −2 ≤ m ≤ C −1 ≤ m < D −2 < m < C < m < Câu 33 Hàm số y = 2x3 − 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x + m2016 + 2017 đồng biến khoảng (5; +∞) tham số m thoả điều kiện A m > B m < C m ≤ D m ≥ Câu 34 Với giá trị tham số m đồ thị hàm số y = x3 − (m2 − m − 2)x2 + (m2016 − 2017)x + 2018 có điểm cực trị cách trục tung? A m = m = −1 B m=2 D m = −1 C m = Câu 35 Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + ax + b có điểm cực tiểu A(2; −2) tổng (a + b) có giá trị A −2 C −3 B D Câu 36 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục x nửa khoảng (−∞; −2] [2; +∞), có bảng f (x) biến thiên hình bên Tìm tập hợp giá trị m để phương trình f (x) = m có hai nghiệm phân biệt Å ị A ; ∪ [22; +∞) Å B ã ; +∞ −∞ −2 2 − − +∞ f (x) 22 ï C [22; +∞) D +∞ + +∞ ò ; ∪ [22; +∞) Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 216 Trang 217 ĐỀ TỔNG ÔN Câu 37 Biết A(xA ; yA ), B(xB ; yB ) hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số y = cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ Tính P = xA2 + xB2 + yA · yB √ A P = B P = C P = + x+1 x−1 √ D P = + Câu 38 Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm sau −∞ x f (x) − + 0 + +∞ − + B (−∞; −1) A (−1; +∞) C (−1; 0) D (0; 2) Câu 39 y Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f (sin x) = m có nghiệm thuộc khoảng (0; π) A [−1; 3) B (−1; 1) C (−1; 3) −1−1 D [−1; 1) x Câu 40 Cho hàm số y = f (x) xác định Rvà có đồ thị hình bên Có giá trị ngun tham số m để phương trình f sin4 x + cos4 x = m có nghiệm A B C y D O1 x Câu 41 Cho hàm số f (x), bảng xét dấu f (x) sau −∞ x f (x) −3 − −1 + +∞ − + Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Hàm số y = f (x + 2) − x3 + 3x đồng biến khoảng đây? Hàm số y = f (3 − 2x) nghịch biến khoảng đây? A (4; +∞) B (−2; 1) C (2; 4) D (1; 2) Câu 42 Cho hàm số y = x3 + ax2 − 3x + b có đồ thị (C) Hỏi có cặp (a, b) nguyên dương để (C) cắt trục hoành điểm phân biệt? A vô số B C D Câu 43 Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 217 Trang 218 ĐỀ TỔNG ÔN Cho hàm số y = f (x), hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ y bên Bất phương trình f (x) < x + m (m tham số thực) nghiệm với x ∈ (0; 2) A m ≥ f (2) − B m ≥ f (0) x O C m > f (2) − D m > f (0) Câu 44 y Cho hàm số y = f (x) xác định R có đạo hàm liên tục R y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm nhiều phương trình f (x2 ) = m (với m số thực) A B −2 C O D ã ; Giả sử đồ Câu 45 Cho hàm số y = có đồ thị (C) điểm M thị hàm số có hai điểm cực trị A, B Khi khoảng cách lớn từ M đến đường thẳng AB √ √ √ B 2 C D A Å mx3 − 3mx2 + (2m + 1)x − m + Gv Ths: Phạm Hùng Hải x Câu 46 ax + b , (a, b, c, d ∈ R; c 6= 0, d 6= 0) có đồ thị cx + d (C) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ Biết (C) cắt Cho hàm số y = f (x) = y trục tung điểm có tung độ −2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành A x − 3y − = B x + 3y + = C x + 3y − = D x − 3y + = −2 −1 x O Câu 47 y Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình | f (x3 − 3x)| = A B C D −2 x O −1 Câu 48 Cho hàm số y = f (x), bảng biến thiên hàm số f (x) sau: x −∞ +∞ −1 +∞ +∞ f (x) −3 −1 Số điểm cực trị hàm số y = f (x2 − 2x) Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 218 Trang 219 ĐỀ TỔNG ÔN A B C D Câu 49 Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị hình bên, với y y = f (x) a, b, c, d ∈ R Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f (x) = f (m) có ba nghiệm thực phân biệt O B < m < m 6= 1, m 6= A f (3) < m < f (1) x D < m < x−3 x−2 x−1 x Câu 50 Cho hai hàm số y = + + + y = |x + 2| − x + m (m tham số thực) x−2 x−1 x x+1 có đồ thị (C1 ) (C2 ) Tập hợp tất giá trị m để (C1 ) (C2 ) cắt bốn điểm phân biệt A (−∞; 2] B [2; +∞) C (−∞; 2) D (2; +∞) —HẾT— A C B B B A C C D 10 D 11 C 12 A 13 C 14 D 15 D 16 A 17 A 18 D 19 B 20 B 21 C 22 B 23 D 24 D 25 B 26 C 27 D 28 B 29 C 30 A 31 D 32 A 33 C 34 D 35 B 36 A 37 A 38 C 39 D 40 D 41 B 42 B 43 B 44 B 45 A 46 A 47 B 48 C 49 B 50 B B ĐỀ SỐ Câu Cho hàm số y = f (x) liên tục R\{0} có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số có giá trị nhỏ B Hàm số đồng biến (0; +∞) x −∞ f (x) − − D Đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị +∞ + +∞ C f (−5) > f (−4) +∞ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường C < m < f (x) −∞ hàm số Câu Hàm số y = x3 − 3x2 + nghịch biến khoảng sau đây? A (−2; 1) B (−2; 0) C (−∞; 0) ∪ (2; +∞) D (0; 2) Câu Hàm số sau điểm cực trị? A y = −x4 + 2x2 − B y = x3 + 6x − 2019 C y = x4 + 2x2 − D y = − x4 + Câu Giá trị nhỏ hàm số y = x3 − 3x + đoạn [−2; 0] A −2 B C −1 D Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 219 Trang 220 ĐỀ TỔNG ÔN Câu Cho hàm số y = f (x), khẳng định sau đúng? A Hàm số y = f (x) đạt cực trị x0 khơng có đại hàm x0 B Hàm số y = f (x) đạt cực trị x0 f (x0 ) = C Hàm số y = f (x) đạt cực trị x0 f 00 (x0 ) > f 00 (x0 ) < D Nếu hàm số đạt cực trị x0 hàm số khơng có đạo hàm x0 f (x0 ) = Câu Cho hàm số y = x+3 có đồ thị (C ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung x−2 độ y0 = −4 A x + 5y − = B 5x − y + = C 5x + y − = D 5x + y + = Câu Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Gv Ths: Phạm Hùng Hải x y0 −∞ + −1 +∞ − + +∞ y −∞ −2 Số nghiệm phương trình f (x + 5) − = A B C D · Giá trị nhỏ m hàm số [−1; 2] x+2 B m = C m = D m = Câu Cho hàm số y = x + A m = Câu Giá Å trị ã m để hàm số y = x + 2(m − 1)x + (m − 1)x ï + 5ò đồng biến R 7 A m ∈ 1; B m ∈ 1; 4 ï ã Å ã 7 C m ∈ (−∞; 1] ∪ ; +∞ D m ∈ (−∞; 1) ∪ ; +∞ 4 Câu 10 Biết A(0; a); B(b; 1) thuộc đồ thị hàm số y = x3 + x2 − 1, giá trị a + b A −1 B C D Câu 11 Đồ thị hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x Điểm cực đại đồ thị hàm số y0 A (−1; 2) B (1; −2) C (−1; 0) D (1; 0) −∞ −1 + +∞ − + +∞ y −∞ −2 Câu 12 Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 220 Trang 221 ĐỀ TỔNG ÔN y Đường cong bên đồ thị hàm số nào? A y = x4 − 2x2 C B y = x4 − 2x2 + y = −x4 + 2x2 − D O y = −x4 + 2x2 x Câu 13 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R, dấu đạo hàm cho bảng f (x) + +∞ − + Hàm số y = f (2x − 2) nghịch biến khoảng nào? A (−1; 1) B (1; 2) C (2; +∞) Câu 14 Gọi A, B giao điểm đồ thị hàm số y = giác OAB A D (−∞; −1) 2x − với trục Ox, Oy Diện tích tam x+1 C D x−3 Câu 15 Đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng y = x + m hai điểm phân biệt x+1 m < −2 A B m > C m < −2 D m > −2 m>6 B Câu 16 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang? x2 + x + 3x + B y = A y = x−1 x−1 C y = −x3 + 3x2 + 3x + D y = x4 + x2 Câu 17 Số giao điểm đồ thị hàm số y = (2x − 1) x2 + x + với trục hoành A B C D Câu 18 Đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = x3 − x2 + x − hai điểm Tìm tổng tung độ giao điểm A B −1 C −3 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường −∞ x D Câu 19 Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị hình vẽ bên Tìm Khẳng định y O A ac > B a − b < C ab > x D bc > x−1 có hai điểm mà tiếp tuyến điểm song song với x+2 đường thẳng (d) : 3x − y + 15 = Tìm tổng S tung độ tiếp điểm Câu 20 Biết đồ thị (C) : y = A S = B S = C S = D S = −4 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 221 Trang 222 ĐỀ TỔNG ÔN Câu 21 Bảng biến thiên sau hàm số nào? −∞ x y0 A y = x3 − 3x2 − − − + +∞ B y = x3 + 3x2 − +∞ y C y = −x3 + 3x2 − −1 −∞ D y = −x3 − 3x2 − Câu 22 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R hàm số y = f (x) có y y = f (x) Gv Ths: Phạm Hùng Hải đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? A f (x) đạt cực đại x = B f (x) đạt cực đại x = C f (x) đạt cực đại x = −1 D f (x) đạt cực đại x = ±2 −2 x O Câu 23 Tìm quỹ tích điểm uốn đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + x − (m tham số) A y = x3 − x2 + x − B y = x3 − x + C y = 2x3 + x2 − 1 Câu 24 Giá trị lớn hàm số y = 2x + miền (−∞; 0) x √ √ A 2 B −2 C D y = −2x3 + x − D Không tồn Câu 25 Cho hàm số y = f (x) liên tục R đồng thời có bảng biến thiên hình vẽ −∞ x y0 −2 + 0 − + y −∞ +∞ − −2 −∞ Phát biểu sau sai? A Phương trình f (x) + = có nghiệm phân biệt B Phương trình f (x) − = có nghiệm phân biệt C Phương trình f (x) − = có nghiệm phân biệt D Phương trình f (x) = −3 có nghiệm phân biệt Câu 26 Hàm số y = mx4 + (m − 1)x2 + − 2m có điểm cực trị A m < ∨ m > B ≤ m ≤ C m ≤ ∨ m ≥ D m = Câu 27 Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 222 Trang 223 ĐỀ TỔNG ÔN y Đồ thị hình đồ thị hàm số đây? A y = x2 − 2|x|2 + B y = x3 − 3|x| + C y = x4 − 2x2 + 2 D y = 2(x2 − 1)2 −1 Câu 28 Cho hàm số y = x+1 x2 − 2mx + x Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có ba m < −2 A m>2 B m > C Không tồn m m>2 m < −2 D m 6= − Câu 29 Trên nửa khoảng (0; 3], kết luận cho hàm số y = x + ? x 10 A Cả max y y không tồn B max y = y = (0;3] (0;3] (0;3] (0;3] C max y = +∞, y = D max y không tồn y = (0;3] (0;3] (0;3] (0;3] Câu 30 S tập tất số nguyên m để phương trình cos2 x = m + sin x có nghiệm Tìm tổng phần tử S A B C D 2x + có đồ thị (C) Có điểm M thuộc (C) có tung độ số nguyên x−1 dương cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Câu 31 Cho hàm số y = đồ thị (C) A B C D Câu 32 Có tất giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y = mx + cắt đồ thị (C) : y = x3 − x2 + điểm A, B(0; 1), C phân biệt cho tam giác AOC vuông O(0; 0)? A B C D Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường đường tiệm cận Câu 33 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + đồng biến tập xác định? A m = B m ∈ R C Không tồn m D m 6= x−2 đồng biến khoảng (−∞; −1)? x−m C D Vô số Câu 34 Tồn số nguyên m để hàm số y = A B Câu 35 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3x − có đồ thị (C) Từ điểm đường thẳng kẻ tiếp tuyến đến đến đồ thị (C) A x = B x = C x = D x = −1 Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 223 Trang 224 ĐỀ TỔNG ƠN Câu 36 Có giá trị ngun tham số m để phương trình p √ m + 3 m + cos x = cos x có nghiệm thực? A B C D Câu 37 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau x −∞ f (x) + −1 − +∞ + +∞ 2019 f (x) −∞ −2019 Hỏi đồ thị hàm số y = | f (x − 2018) + 2019| có điểm cực trị? Gv Ths: Phạm Hùng Hải A B C D Câu 38 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3 − m, (m tham số) điểm I(2; −2) Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số Biết có hai giá trị m1 m2 để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác √ nội tiếp đường trịn có bán kính Tính m1 + m2 14 20 A B C D − 17 17 17 17 m Câu 39 Tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x − 3x − 9x − + có điểm cực trị A −2016 B −496 C 1952 D 2016 Câu 40 Cho hàm số f (x) = mx3 − 3mx2 + (3m − 2)x + − m với m tham số thực Có giá trị nguyên tham số m ∈ [−10; 10] để hàm số g(x) = | f (x)| có điểm cực trị ? A B C 10 D 11 Câu 41 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá Ä ä √ trị nguyên m để phương trình f − −9x2 + 30x − 21 = m − 2019 có nghiệm Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 224 Trang 225 ĐỀ TỔNG ÔN y O −5 A 15 B 13 C 10 D 14 Câu 42 y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị 1 f (x) hình bên Đặt g(x) = f (x) − x3 + x2 + x − 2019 Biết g(−1) + g(1) > g(0) + g(2) Giá trị nhỏ hàm số O −1 g(x) đoạn [−1; 2] A g(2) x −1 B g(1) C g(−1) D g(0) −3 Câu 43 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ Hỏi có y Ç giá trị√nguyên tham å số m để phương 21 trình f sin x + cos x + = f m3 + 3m có 2 nghiệm? A B C D 3 −2 − 11 Câu 44 Cho đồ thị (C) : y = lớn d1 d2 A y = f (x) Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường x −4 −3 −2 −1 −1 −1 O 15 x x−1 d1 , d2 hai tiếp tuyến (C) song song với Khoảng cách 2x √ B C √ D 2 Câu 45 Cho hàm số y = x4 − x2 có đồ thị (C) Có điểm A thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M(x1 ; y1 ), N(x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = 6(x1 − x2 )? Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 225 Trang 226 ĐỀ TỔNG ÔN A B C D Câu 46 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên (giảm (−∞; −2) (3; +∞)) y −2 x O Gv Ths: Phạm Hùng Hải y = f (x) m3 + m Gọi m0 giá trị dương tham số m để phương trình p = f (x) + có ba nghiệm thực phân f (x) + biệt Khẳng định sau đúng? A m0 ∈ (1; 2) B m0 ∈ (0; 1) C m0 ∈ (2; 3) D m0 ∈ (3; 4) Câu 47 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Hỏi hàm số g(x) = f (x − x2 ) nghịch biến khoảng khoảng sau đây?Å A (1; 2) B (−∞; 0) C (−∞; 2) D y ã ; +∞ O x Câu 48 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên f (−2) = f (2) = Hàm số g(x) = [ f (3 − x)]2 nghịch biến khoảng khoảng sau? A (−2; −1) B (1; 2) C (2; 5) y −2 O x D (5; +∞) Câu 49 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1)2 (3x4 + mx3 + 1) với x ∈ R Có số nguyên âm m để hàm số g(x) = f (x2 ) đồng biến khoảng (0; +∞)? A B C D Câu 50 Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Tốn Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 226 Trang 227 ĐỀ TỔNG ÔN y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R f (0) < 0, đồng thời đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g(x) = f (x) A B C D O −2 −1 x −2x − có đồ thị hàm số (C) Xét điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đồ thị (C) có x+3 x0 > −3 Tiếp tuyến ∆ (C) điểm M cắt đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (C) E F Tính 2x0 − y0 độ dài EF đạt giá trị nhỏ A 2x0 − y0 = B 2x0 − y0 = C 2x0 − y0 = −3 D 2x0 − y0 = −2 Câu 52 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm R Đồ thị hàm số y = f (x) hình y vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g(x) = f (x − 2017) − 2018x + 2019 A B C D O −2 −1 x Câu 53 Cho hàm bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Tất giá trị thực y tham số m để hàm số g(x) = | f (x) + m| có điểm cực trị x O A m −1 m > B m −3 m > −3 C m = −1 m = Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu 51 Cho hàm số y = D m Câu 54 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên hình vẽ bên x −∞ y0 y −∞ + 11 − +∞ + +∞ Đồ thị hàm số g(x) = | f (x) − 2m| có ï5 điểmị cực trị Å ã 11 11 A m ∈ (4; 11) B m ∈ 2; C m ∈ 2; 2 D m = Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 227 Trang 228 ĐỀ TỔNG ÔN Câu 55 y Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hình vẽ bên Có số nguyên dương tham số m để hàm số g(x) = | f (x + 2018) + m| có điểm cực trị ? A B C D x O −3 −6 Câu 56 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y g(x) = f (|x|) + 2018 có điểm cực trị? Gv Ths: Phạm Hùng Hải A B C D O x Câu 57 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g(x) = f (|x + m|) có điểm cực trị? A B C y −2 O x x D Vô số Câu 58 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g(x) = f (|x| + m) có điểm cực trị? A B C y −2 O D Vô số Câu 59 Cho hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c với a, b, c ∈ R − + 4a − 2b + c > Hàm số 8 + 4a + 2b + c < g(x) = | f (x)| có điểm cực trị ? A B C D Câu 60 Cho hàm số y = mx3 + x2 + (1 − 4m)x − (Cm ) Giao điểm đồ thị (Cm ) với trục tọa độ Ox, Oy A, B Gọi C điểm thuộc (Cm ) cho diện tích tam giác ABC khơng đổi với giá trị m ∈ R Khi diện tích tam giác ABC A 10 B C D —HẾT— Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 228 Trang 229 C ĐỀ TỔNG ÔN D B C D C A B B 10 B 12 A 13 B 14 B 15 A 16 A 17 D 18 B 19 D 20 C 21 C 22 A 23 D 24 B 25 C 26 C 27 B 28 D 29 D 30 A 31 D 32 A 33 B 34 A 35 A 36 D 37 A 38 B 39 D 40 C 41 B 42 A 43 B 44 C 45 A 46 C 47 D 48 C 49 B 50 C 51 D 52 A 53 A 54 C 55 A 56 C 57 D 58 B 59 D 60 B Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 11 A Ơ Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 229