Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG SKKN 2.1 Cơ sở lí luận SKKN 2.2 Giải pháp để giải vấn đề 10 Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu điểm cực trị hàm số 10 y  f  x; y  f  x  a ; y  f  x  ax Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn so sánh giá trị 29 hàm số y  f  x Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị, so sánh giá trị 40 hàm số y  f u  x , y  kf  x  g  x Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y  f  x; y  f ' x; y  f '' x 49 Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x 63 2.3 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục 71 PHẦN III KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Xét ví dụ sau: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình sau Tìm mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; +∞ ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −1;3) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) D Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) Đối với ví dụ học sinh dễ dàng tìm đáp án D Ta thử đặt vấn đề cho đồ thị hàm số y  f ' x kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  x không? Ta xét ví dụ sau: Cho hàm số y = f ( x ) Biết f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x )  hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Kết luận sau đúng? A Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị B Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng (1;3) Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang y C Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; ) D Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 4; +∞ ) O Học sinh gặp số khó khăn sau: - Hiểu nhầm đồ thị hàm số y = f ( x ) - Thiếu kỹ đọc đồ thị, mà lại đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Bên cạnh đó, đề thi TN THPTQG 2016-2017 có câu sau: Câu 48- Đề 102: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Đặt g (= x ) f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? y A g ( 3) > g ( −3) > g (1) B g ( −3) > g ( 3) > g (1) −3 C g (1) > g ( −3) > g ( 3) O −2 x D g (1) > g ( 3) > g ( −3) Trước vấn đề tơi thấy cần có lý thuyết, phương pháp phân dạng tập loại toán 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số y  f ' x với vấn đề hàm số y  f  x Từ làm tốt dạng tốn này, mang lại kết cao kì thi, đặc biệt kì thi TN THPT QG 2017-2018 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang x 1.3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng số lý thuyết chương trình SGK 12 để giải dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x 1.4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa sở lí luận cần thiết Từ mơ tả phân tích để tìm biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải dạng toán 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang PHẦN II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.1 Sự tương giao đồ thị hàm số y  f  x trục hoành Giao điểm đồ thị hàm số y  f  x với trục hồnh nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm f  x  Ví dụ minh hoạ: y a b O c x Hàm số y  f  x có đồ thị hình bên Suy phương trình f  x  có nghiệm  x  a; x  b; x  c 2.1.2 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số bảng biến thiên Bảng 1: Hàm số y  f  x đạt cực đại điểm x  x0 Bảng 2: Hàm số y  f  x đạt cực tiểu điểm x  x0 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2.1.3 Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số bảng biến thiên Bảng 3: Ta có: y  f  x0   a ;b Bảng 4: Ta có: max y  f  x0   a ;b Bảng 5: Bảng 6: Ta có: y  f a ;max y  f b  a ;b  a ;b Ta có: y  f b;max y  f a   a ;b  a ;b 2.1.4 Xét dấu tích phân xác định biết giới hạn miền phẳng giới hạn đồ thị hàm số dấu tích phân, trục hồnh hai đường thẳng x  a; x  b a  b Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang b  b  f  xdx  S  f  xdx  S  a a b  f  xdx  S1  S  S3 a b  a 2.1.5 b   f  x  g  xdx    b   g  x  f  xdx  a f ' xdx  f b  f a  a Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2.1.6 Phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y  f  x có đồ thị (C) Khi đó, với số a  ta có:  Hàm số y  f  x  a có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Oy lên a đơn vị  Hàm số y  f  x  a có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Oy xuống a đơn vị  Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua trái a đơn vị  Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua phải a đơn vị  f  x x   Hàm số y  f  x    có đồ thị (C’) cách:  f x x   + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy  f  x f  x    Hàm số y  f  x      f  x f  x  có đồ thị (C’) cách: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị (C) nằm Ox Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2.2 GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu điểm cực trị hàm số y  f  x; y  f  x  a ; y  f  x  ax Thí dụ 1: Hàm số y  f  x liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y  f ' x K hình vẽ bên Tìm số cực trị y hàm số y  f  x K A B C D Hướng dẫn: Đối với dạng ta cần tìm xem đồ thị y  f ' x cắt trục Ox điểm mà thôi, không kể điểm mà đồ thị y  f ' x tiếp xúc với trục Ox Ta chọn đáp án B Nhận xét: xét thực a dương Ta đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị hàm số y  f  x  a  y  f  x  a  K , đáp án không thay đổi Chú ý số cực trị hàm số y  f  x , y  f  x  a  y  f  x  a  hàm số đạt cực trị giá trị x0 khác nhau! Giả thiết thí dụ thí dụ sau thay đổi theo hướng sau: Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu điểm cực trị hàm số y  f  x ; Trang 10 x Thí dụ 73: Một vật chuyển động có đồ thị hàm quãng đường s t  , hàm vật tốc v t  hàm gia tốc a t  theo thời gian t mơ tả hình Khẳng định đúng? A s 4  v 4  a 4 B a 4  v 4  s 4 C s 4  a 4  v 4 D v 4  a 4  s 4 Hướng dẫn: đáp án A Thí dụ 74: Cho đồ thị hàm số f f ' hình bên Khẳng định sau đúng? A f '1  f ''1 B f '1  f ''1 C f '1  f ''1 D f ''0  f ''1 Hướng dẫn: đáp án A Thí dụ 75: Cho đồ thị hàm số f f ' hình bên Khẳng định sau đúng? Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y  f  x ; y  f ' x ; y  f '' x  Trang 58 A f '1  f ''1 B f '1  f ''1 C f '1  f ''1 D f '1  f ''1 Hướng dẫn:đáp án B Thí dụ 76: Trong đồ thị M , N , P, Q , đồ thị đồ thị nguyên hàm hàm số f ? y f M x N P A M Q B N C P D Q Hướng dẫn:Gọi F  x nguyên hàm f , ta có F ' x  f Ta thấy đồ thị hàm số f nằm trục y H K f hồnh (ln dương), nên phải tìm đồ thị đồng biến, ta thấy đồ thị M phù hợp Đáp án A M G Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y  f  x ; y  f ' x ; y  f '' x  Trang 59 x Thí dụ 77: Trong đồ thị M , G, H , K , đồ thị đồ thị nguyên hàm hàm số f ? A M B G C H D K Hướng dẫn: Đáp án D Thí dụ 78: Trong đồ thị M , G, H , K , đồ thị đồ thị nguyên hàm hàm số f ? y M K H f x G A M B G C H D K Hướng dẫn: Đáp án B Thí dụ 79: Biết hàm số F nguyên hàm hàm số f hình bên đồ thị M , H , K , G , đồ thị đồ thị nguyên hàm hàm số f ? Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y  f  x ; y  f ' x ; y  f '' x  Trang 60 y H M K F G A M B H x C K D G Hướng dẫn: Giả sử hàm số F  F  x Ta thấy đồ thị có phương trình tương ứng là: G : F  x  1 K : F  x  M : F  x  Theo định nghĩa nguyên hàm đồ thị đồ thị nguyên hàm f Vậy chọn đáp án B Thí dụ 80: Biết hàm số F nguyên hàm hàm số f hình bên đồ thị M , H , K , G , đồ thị đồ thị nguyên hàm hàm số f ? Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y  f  x ; y  f ' x ; y  f '' x  Trang 61 H y K G F M x A M B H C K D G Hướng dẫn: đáp án B Thí dụ 81: Biết hàm số M nguyên hàm hàm số f hình bên đồ thị F , H , K , G , đồ thị đồ thị nguyên hàm hàm số f ? y F H K M x G Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y  f  x ; y  f ' x ; y  f '' x  Trang 62 A F B H C K D G Hướng dẫn: đáp án C Dạng 4: Liên quan đến đồ thị hàm số y  f  x ; y  f ' x ; y  f '' x  Trang 63 Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Thí dụ 82: Cho hàm số y  f  x  ax3  bx  cx  d a, b, c, d  ; a  0 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y  9 điểm có hồnh độ dương đồ thị hàm số y  f ' x cho hình vẽ bên Tìm phần nguyên giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành? A B 27 C 29 D 35 Hướng dẫn: Ta có f ' x  3ax  2bx  c Dựa vào đồ thị hàm số y  f ' x ta thấy đồ thị hàm số y  f ' x qua điểm 1;0,3,0,1, 4 ta tìm được: a  ; b  1; c  3 3 Suy ra: f ' x  x  x   f  x  x3  x  3x  C Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y  9 điểm có hồnh độ dương nên ta có: f ' x   x  1; x   x  3 Như (C) qua điểm 3; 9 ta tìm C   f  x  x3  x  3x Xét phương trình trình hồnh độ giao điểm trục hoành: 33 x  x  x   x  0; x  S 33  33 Thí dụ 83: x  x  x dx  29, 25 Ta chọn đáp số C y Cho hàm số y  f  x  ax3  bx  cx  d a, b, c, d  ; a  0 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y  điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x 1 x Trang 63 y  f ' x cho hình vẽ bên Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành? A S  B S  27 C S  21 D S  Hướng dẫn: Ta có f ' x  3ax  2bx  c Dựa vào đồ thị hàm số y  f ' x ta thấy đồ thị hàm số y  f ' x parabol có trục đối xứng trục tung nên b  Đồ thị hàm số y  f ' x qua điểm 1;0,0, 3 ta tìm được: a  1; c  3 Suy ra: f ' x  3x   f  x  x3  3x  C Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y  điểm có hồnh độ âm nên ta có: f ' x   x  1; x   x  1 Như (C) qua điểm 1;4 ta tìm C   f  x  x3  3x  Xét phương trình trình hồnh độ giao điểm trục hồnh: x3  x    x  1; x  2 S   x3  x  dx  1 Thí dụ 84: 27 Ta chọn đáp số B y Cho hàm số y  f  x  ax  bx  cx  d a, b, c, d  ; a  0 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) qua gốc toạ độ đồ thị hàm số y  f ' x cho hình vẽ bên Tính f 3  f 1 ? A 24 Hướng dẫn: 1 B 28 C 26 D 21 Ta có f ' x  3ax  2bx  c Dựa vào đồ thị hàm số y  f ' x ta thấy đồ thị hàm số y  f ' x parabol có trục đối xứng trục tung nên b  Đồ thị hàm số y  f ' x qua điểm 1;5,0;2 ta tìm được: a  1; c  Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 64 x Suy ra: f ' x  3x   f  x  x3  x  C , đồ thị hàm số (C) qua gốc toạ độ nên C   f  x  x3  x  f 3  f 2  21 Ta chọn đáp án D Hoặc : f ' x  3x   f 3  f 2   f ' x dx  21 2 Thí dụ 85: Cho hàm số y  f  x  ax3  bx  cx  d a, b, c, d  ; a  0 có đồ thị (C) Biết đồ thị hàm số y  f ' x cho hình vẽ bên Hàm số (C) hàm số hàm số sau ? A y  x3  x  x  B y  x3  x 1 C y  x3  x  x  D y  x3  x  x  Hướng dẫn: Dựa vào đồ thị hàm số y  f ' x ta thấy f ' x  0; x   ta suy hàm số (C) có a  y '  vơ nghiệm nghiệm kép Ta chọn đáp án D Thí dụ 86: Cho hàm số y  f  x  ax  bx  c (a  0) y có đồ thị (C), đồ thị hàm số y  f ' x hình vẽ Biết đồ thị hàm số y  f ' x đạt cực tiểu  8  ;  Đồ thị hàm số y  f  x tiếp xúc   điểm  với trục hoành hai điểm Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành? A 15 B D 15 C 1 14 15 16 15 Hướng dẫn: Từ đồ thị hàm số y  f ' x a  ta dễ dàng có đồ thị hàm số y  f ' x sau: Ta có Dạng 5: Một số dạng tốn khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 65 x  8   f ' x  4ax3  2bx Đồ thị hàm số y  f ' x qua 1;0,  ;   ta tìm a  1; b  2  f ' x  x3  x  f  x  x  x  C Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên f ' x   x  0; x  1 Do (C) đối xứng qua trục tung nên (C) tiếp xúc với trục hoành điểm 1;0,1;0 Do đó: f 0   C   f  x  x  x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) với trục hoành: x  x    x  1 S   x  x  1dx  1 Thí dụ 87: 16 Ta chọn đáp án D 15 Cho hàm số y  f  x  ax  b cx  d   a, b, c, d  ; d  0 , đồ thị   c hàm số y  f ' x hình vẽ Biết đồ thị hàm số y  f  x cắt trục tung điểm có tung độ Tìm phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành ? 2 A y  x  Hướng dẫn: B y  x  Ta có y '  f ' x  ad  bc cx  d  2 C y   x  D y   x  Từ đồ thị hàm số y  f ' x ta thấy: Đồ thị hàm số y  f ' x có tiệm cận đứng x   d   c  d c Đồ thị hàm số y  f ' x qua điểm 2;2  ad  bc 2c  d    ad  bc  2c  d  ad  bc   ad  bc  2d 2 d b Đồ thị hàm số y  f  x qua điểm 0;3    b  3d d Đồ thị hàm số y  f ' x qua điểm 0;2  Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 66 Giải hệ gồm pt ta a  c  d ; b  3d Ta chọn a  c  1; b  3; d  1  y  A Thí dụ 88: x 3 Ta chọn đáp án x 1 y Cho hàm số y  f  x  ax3  bx  cx  d a, b, c, d  ; a  0 có đồ thị (C) Biết đồ thị hàm số y  f ' x cho hình x vẽ bên Đồ thị (C) hình sau ? y y x Hình A Hình x Hình B Hình Hình C Hình Hình D Hình Hướng dẫn: Ta có f ' x  0; x    hàm số f  x có a  0; f ' x  có nghiệm kép Ta chọn đáp án C Thí dụ 89: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s = 24, 25 (km) Hướng dẫn: B s = 26, 75 (km) C s = 24, 75 (km) D s = 25, 25 (km) Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 67         c  c6     3 Ta có: 4a  2b  c   b   v t   t  3t      b 3     a       2a Vậy quãng đường mà vật di chuyển là:  3  99 s    t  3t  6 dt   24,75 Ta chọn đáp án C   Thí dụ 90: Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol với đỉnh I  ;8  trục đối xứng song song với trục 2  tung hình bên Tính qng đường s người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ bắt đầu chạy B s = 2,3 (km) A s = 4, (km) D s = 5,3 (km) C s = 4,5 (km) Hướng dẫn: Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h     c0  c       a b Ta có:    c   b  32  v t   32t  32t        a  32  b        2a Vậy quãng đường mà vật di chuyển 45 phút là: 3/4 s   32t  32t  dt   4,5 Ta chọn đáp án C Thí dụ 91: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 68 hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển đó? B 28,5 (km) C 27 (km) D 24 (km) A 26,5 (km) Hướng dẫn: Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h        c  c0     9 Ta có: 4a  2b  c   b   v t   t  9t     b 9     2 a    2a    Ta có v 3  y  27 suy phương trình chuyển động vật tốc theo đường thẳng 27 Vậy quãng đường mà vật di chuyển là: 4  9  27 s    t  9t  dt   dt  27 Ta chọn đáp án C   Thí dụ 92: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 (km) C s = 15,50 (km) B s = 21,58 (km) D s = 13,83 (km) Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 69 Hướng dẫn: Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h         c  c4     5 Ta có: 4a  2b  c   b   v t   t  5t      b 5     a        2a Ta có v 1  y  31 suy phương trình chuyển động vật tốc theo đường thẳng 31 Vậy quãng đường mà vật di chuyển là:  5  31 259  21,58 Ta chọn đáp án B s    t  5t  4 dt   dt    12 Thí dụ 93: Một vật chuyển động với vận tốc v km / h  phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I 3;9 có trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đường thẳng có hệ số góc k  Tính quãng đường s mà vật di chuyển ? A s = 99 ( km ) B s = 130 ( km ) C D s = 36 ( km ) 28 s= ( km ) 3 Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 70 Hướng dẫn: Ta tìm parabol y  x  x 15 2 6 15  130 Ta có : s   x  xdx    x  dx  km Đáp án B 4 2 Phương trình đường thẳng y  x  Thí dụ 94: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm f ' x hình vẽ Biết f 0  , tính giá trị f 1 ? A B C D 11 Hướng dẫn: Cách : f ' x  ax  b Theo hình vẽ ta tìm f '  x   6 x   f  x   3 x  x  c Mà f 0   c   f  x  3x  x   f 1  Cách : f 1  f 0   f ' xdx  SOAB   f 1    Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y  f ' x Trang 71