Bài giảng tiếp tuyến của đồ thị hàm số

CHUYÊN ĐỀ BÀI TIẾP TUYẾN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiếp tuyến đồ thị hàm số, tiếp xúc hai đồ thị + Hiểu ý nghĩa đạo hàm liên quan đến hệ số góc tiếp tuyến điểm + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc tiếp tuyến qua điểm cho trước  Kĩ + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cho trước + Giải toán liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong  C  :y  f  x   C   : y  g  x  tiếp xúc với điểm M  x ;y0  M tiếp điểm chung chúng (C) ( C  ) có tiếp tuyến chung M Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y  f  x   C : y  g  x  tiếp xúc với  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện tiếp xúc hai Khái niệm tiếp tuyến đồ thị hàm số: chung hai đồ thị hàm Hai đường cong số: (C): y  f  x   C   : y  g  x  Cho hai hàm số f  x  tiếp xúc với g  x  có đạo hàm điểm hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  TIẾP TUYẾN x0 Ta nói hai đường cong (C): y  f  x   C : y  g  x  Nghiệm hệ phương tiếp xúc với điểm M  x ;y0  trình hồnh độ tiếp điểm M tiếp điểm hai đường cong chung chúng Hai đường cong có tiếp tuyến chung M II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước Bài toán 1: Sự tiếp xúc hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y  f  x  Ví dụ: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x  3x   C : y  g  x  Điều kiện để hai đường cong Hoành độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục Ox tiếp xúc với hệ phương trình x  3x   nghiệm hệ  3x   f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  - Nghiệm x  x hệ hoành độ tiếp điểm hai đường cong cho - Hệ có nghiệm hai x  2;x  1   x  1 x  1 Vậy tọa độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục hoành A  1;0  đường cong (C)  C   tiếp xúc với nhiêu điểm Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y  x  x  tiếp xúc với đường thẳng đây? A y  x  B y  2x  C y  x  D y  2x  Hướng dẫn giải: Áp dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong  C  : y  f  x   C   : y  g  x  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm    f x  g x      Ta có y  3x   0, x   nên phương án B, C bị loại x  x   x  Xét phương án A y  x  Ta có hệ  x0 3x   Vậy đường thẳng y  x  tiếp xúc với đồ thị hàm số cho Chọn A Ví dụ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 x 1 A 7; 1 B 1 C 6 D 6; 1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 hệ phương trình sau có x 1 nghiệm  x   x 1   x  m x   x     x 1  2 x  m   x   2 x  m   m  1    x 1   2  x    x  12  x2  2x   2      x  1  m  Vậy m  1;7 đường thẳng d tiếp xúc với (C) Chọn A Ví dụ 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y  x  mx  7mx  3m tiếp xúc với parabol  P  : y  x  x  Tổng giá trị phần tử S A 11 B 331 C D 4 Hướng dẫn giải: Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) hệ phương trình sau có nghiệm:  x  mx  7mx  3m  x  x   3 x  8mx  7m  x  TOANMATH.com Trang  x   4m  1 x   7m  1 x  3m   1  3 x   m  1 x  7m     Giải (1), ta có (1)   x  1  x  mx  3m  1  x    x  mx  3m   + Với x  thay vào (2) m   x  mx  3m    3 + Xét hệ    m  1 x  m  1  3 x   m  1 x  7m   • Nếu m  (4) vơ nghiệm • Nếu m  m 1 (4)  x  2m  m 1  m 1   m 1  Thay x  vào (3) ta   4m     3m   2m   2m    2m   m    m  11m  5m     m   (thỏa mãn điều kiện)  m    11  Vậy S  2;  ;1 nên tổng phần tử S 4   Chọn A Ví dụ 4: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3   m   x  mx  tiếp xúc với đường thẳng y  Tổng giá trị phần tử S A 10 B 20 C D 32 Hướng dẫn giải  x3    m   x  mx   1 Xét hệ phương trình   x   m   x  2m     x  m Giải phương trình (2) ta  x  + Với x  m , thay vào (1) ta  m  m3  m2    m  + Với x  , thay vào (1), ta m  TOANMATH.com Trang Vậy tập hợp giá trị tham số thực để đồ thị hàm số cho tiếp xúc với đường thẳng y  2 20  S  0;6;  nên tổng phần tử S 3  Chọn B Ví dụ Biết đồ thị hàm số  C  : y  x  ax  bx  c  a, b, c    , tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ cắt đường thẳng x  điểm có tung độ Tổng a + 2b + 3c A B C D Hướng dẫn giải: Vì (C) tiếp xúc với Ox gốc tọa độ nên x  nghiệm hệ phương trình  x  ax  bx  c  b    c  3 x  ax  b  Mặt khác (C) qua điểm A 1;3 nên a  b  c    a  Vậy a  b  3c  Chọn B Ví dụ Họ parabol  Pm  : y  mx   m  3 x  m   m   tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A A 1; 8 B B  0; 2  C C  0;2  D D 1;8 Hướng dẫn giải Ta có: y  mx   m  3 x  m   m  x  x  1  x   y  m  x  1  x  Xét đường thẳng d : y  x  hệ phương trình m  x  12  x   x  ln có nghiệm x  với m   2 m  x  1   Vậy  Pm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  x  Đường thẳng d qua điểm B  0; 2  Chọn B Nhận xét: Nếu viết lại hàm số  Pm  theo dạng y  m  ax  b   cx  d  Pm  ln tiếp xúc với đường y  cx  d Bài toán Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bước 1: Tính y  f   x  f   x0  y   x  x  điểm M  2;8  Bước 2: Suy phương trình tiếp tuyến cần A –11 B C 11 D –12 TOANMATH.com Trang tìm y  f   x0  x  x0   y0 Hướng dẫn giải Bước 3: Thực yêu cầu lại Ta có y  3 x   y  2   11 tốn Kết luận Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Chú ý: M  2;8 y  11  x    - Nếu toán cho x0 ta cần tìm Suy hệ số góc tiếp tuyến k  11 y0  f  x0  f   x0  Chọn A - Nếu toán cho y0 ta cần tìm x0 cách giải phương trình f  x   y0 - Giá trị f   x0  hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Ví dụ mẫu Ví dụ Tiếp tuyến đường cong  C  : y  x x  điểm M  3;6  có hệ số góc A  11 B C D  11 Hướng dẫn giải Ta có y  x   x x 1 3x   Hệ số góc cần tìm y  3  x 1 3.3  2 1  11 Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm M 1;2  A y   x B y  x  C y  3x  D y  x  Hướng dẫn giải: Ta có y  x   y 1  Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho điểm M 1;2  y   x  1   x  Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  x điểm có hồnh độ A y  3x  B y  3x  C y  3x  D y  3x Hướng dẫn giải Ta có y  x  y 1  Do x0   y  y 1  TOANMATH.com Trang Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ y   x  1   y  x  Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm có tung độ A y  B y  C y  D y  Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Ta có y0   x04  x02   x0   M  0;1 Lại có y  x  x  y    Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A y  x  B y  x  2x  giao điểm đồ thị với trục hoành x 3 C y  2 x  D y  x Hướng dẫn giải Giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành nghiệm phương trình 2x    x   đồ x 3 thị hàm số cắt trục hồnh điểm (2; 0) Ta có y  2  x  3  y     2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  2  x   hay y  2 x  Chọn C Ví dụ Cho hàm số y   x  3x  có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y  x  B y  x  C y  2 x  D y  3 x  Hướng dẫn giải Ta có  C   Oy  A  0; 2  ; y    Phương trình tiếp tuyến A  0; 2  y  3x  Chọn A Ví dụ Gọi đường thẳng y  ax  b phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  2x 1 điểm có x 1 hồnh độ x  Giá trị a  b TOANMATH.com Trang A B –1 C D Hướng dẫn giải Ta có x0   y0  2x 1  Tọa độ tiếp điểm đường thẳng y  ax  b đồ thị hàm số y  x 1  1 M  1;   2 Vì y   x  1 nên y 1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  3  x  1   y  x  4  a    ab 1 b    Chọn C    Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  tan   x  điểm có hồnh độ x0  4  A y   x    B y   x    C y   x    D y  6 x    Hướng dẫn giải Ta có y      y    6; x0   y0  1   6 cos2   3x  4  3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  6 x    Chọn D Ví dụ Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số  C  : y  2x  có tung độ Tiếp tuyến đồ thị (C) x 1 M cắt trục Ox, Oy A, B Diện tích tam giác OAB A 125  ®vdt  B 117  ®vdt  C 121  ®vdt  D 119  ®vdt  Hướng dẫn giải Ta có M  2;5   C  ; y  3  x  1 ; y    3 Phương trình tiếp tuyến M  2;5 d : y  3 x  11 11  11  Khi d cắt Ox, Oy A  ;0  B  0;11  OA  ; OB  11 3  TOANMATH.com Trang 1 11 121 Vậy SOAB  OA.OB  11   ®vdt  2 Chọn C Ví dụ 10 Cho hàm số y  xb  ab  2, a   Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax  đồ thị hàm số điểm A 1; 2  song song với đường thẳng d : x  y   Khi giá trị a  3b A B C –1 D –2 Hướng dẫn giải Ta có: y  2  ab  ax    y 1  2  ab  a  2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y    y  3 x  nên y 1  3  2  ab a  2  3 Mặt khác A 1; 2  thuộc đồ thị hàm số nên 2  1 b  b  2 a  a2  2  ab  3 a  2  Khi ta có hệ   a    5a  15a  10    a   b  2 a  + Với a   b  1  ab  2 (loại) + Với a   b  ( thỏa mãn điều kiện) Khi ta có hàm số y  y  3  x  2 x 1 x 2  y 1  3 nên phương trình tiếp tuyến y  3x  song song với đường thẳng y  3 x  Vậy a  3b  2 Chọn D Ví dụ 11 Trong tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y   x  x  x  đường thẳng d có hệ số góc lớn Phương trình đường thẳng d A y  x  B y  x  C y  D y  3x  Hướng dẫn giải Ta có y  3 x  x  TOANMATH.com Trang 10