CHUYÊN ĐỀ BÀI TIẾP TUYẾN Mục tiêu Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiếp tuyến đồ thị hàm số, tiếp xúc hai đồ thị + Hiểu ý nghĩa đạo hàm liên quan đến hệ số góc tiếp tuyến điểm + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc tiếp tuyến qua điểm cho trước Kĩ + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cho trước + Giải toán liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số f x g x có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong C :y f x C : y g x tiếp xúc với điểm M x ;y0 M tiếp điểm chung chúng (C) ( C ) có tiếp tuyến chung M Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y f x C : y g x tiếp xúc với hệ phương trình f x g x có nghiệm f x g x Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện tiếp xúc hai Khái niệm tiếp tuyến đồ thị hàm số: chung hai đồ thị hàm Hai đường cong số: (C): y f x C : y g x Cho hai hàm số f x tiếp xúc với g x có đạo hàm điểm hệ phương trình f x g x có nghiệm f x g x TIẾP TUYẾN x0 Ta nói hai đường cong (C): y f x C : y g x Nghiệm hệ phương tiếp xúc với điểm M x ;y0 trình hồnh độ tiếp điểm M tiếp điểm hai đường cong chung chúng Hai đường cong có tiếp tuyến chung M II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước Bài toán 1: Sự tiếp xúc hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y f x Ví dụ: Cho đồ thị hàm số C : y x 3x C : y g x Điều kiện để hai đường cong Hoành độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục Ox tiếp xúc với hệ phương trình x 3x nghiệm hệ 3x f x g x có nghiệm f x g x - Nghiệm x x hệ hoành độ tiếp điểm hai đường cong cho - Hệ có nghiệm hai x 2;x 1 x 1 x 1 Vậy tọa độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục hoành A 1;0 đường cong (C) C tiếp xúc với nhiêu điểm Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y x x tiếp xúc với đường thẳng đây? A y x B y 2x C y x D y 2x Hướng dẫn giải: Áp dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong C : y f x C : y g x hệ phương trình f x g x có nghiệm f x g x Ta có y 3x 0, x nên phương án B, C bị loại x x x Xét phương án A y x Ta có hệ x0 3x Vậy đường thẳng y x tiếp xúc với đồ thị hàm số cho Chọn A Ví dụ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y 2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y x 1 x 1 A 7; 1 B 1 C 6 D 6; 1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng y 2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y x 1 hệ phương trình sau có x 1 nghiệm x x 1 x m x x x 1 2 x m x 2 x m m 1 x 1 2 x x 12 x2 2x 2 x 1 m Vậy m 1;7 đường thẳng d tiếp xúc với (C) Chọn A Ví dụ 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y x mx 7mx 3m tiếp xúc với parabol P : y x x Tổng giá trị phần tử S A 11 B 331 C D 4 Hướng dẫn giải: Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) hệ phương trình sau có nghiệm: x mx 7mx 3m x x 3 x 8mx 7m x TOANMATH.com Trang x 4m 1 x 7m 1 x 3m 1 3 x m 1 x 7m Giải (1), ta có (1) x 1 x mx 3m 1 x x mx 3m + Với x thay vào (2) m x mx 3m 3 + Xét hệ m 1 x m 1 3 x m 1 x 7m • Nếu m (4) vơ nghiệm • Nếu m m 1 (4) x 2m m 1 m 1 m 1 Thay x vào (3) ta 4m 3m 2m 2m 2m m m 11m 5m m (thỏa mãn điều kiện) m 11 Vậy S 2; ;1 nên tổng phần tử S 4 Chọn A Ví dụ 4: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3 m x mx tiếp xúc với đường thẳng y Tổng giá trị phần tử S A 10 B 20 C D 32 Hướng dẫn giải x3 m x mx 1 Xét hệ phương trình x m x 2m x m Giải phương trình (2) ta x + Với x m , thay vào (1) ta m m3 m2 m + Với x , thay vào (1), ta m TOANMATH.com Trang Vậy tập hợp giá trị tham số thực để đồ thị hàm số cho tiếp xúc với đường thẳng y 2 20 S 0;6; nên tổng phần tử S 3 Chọn B Ví dụ Biết đồ thị hàm số C : y x ax bx c a, b, c , tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ cắt đường thẳng x điểm có tung độ Tổng a + 2b + 3c A B C D Hướng dẫn giải: Vì (C) tiếp xúc với Ox gốc tọa độ nên x nghiệm hệ phương trình x ax bx c b c 3 x ax b Mặt khác (C) qua điểm A 1;3 nên a b c a Vậy a b 3c Chọn B Ví dụ Họ parabol Pm : y mx m 3 x m m tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A A 1; 8 B B 0; 2 C C 0;2 D D 1;8 Hướng dẫn giải Ta có: y mx m 3 x m m x x 1 x y m x 1 x Xét đường thẳng d : y x hệ phương trình m x 12 x x ln có nghiệm x với m 2 m x 1 Vậy Pm tiếp xúc với đường thẳng d : y x Đường thẳng d qua điểm B 0; 2 Chọn B Nhận xét: Nếu viết lại hàm số Pm theo dạng y m ax b cx d Pm ln tiếp xúc với đường y cx d Bài toán Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M x0 ; y0 Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bước 1: Tính y f x f x0 y x x điểm M 2;8 Bước 2: Suy phương trình tiếp tuyến cần A –11 B C 11 D –12 TOANMATH.com Trang tìm y f x0 x x0 y0 Hướng dẫn giải Bước 3: Thực yêu cầu lại Ta có y 3 x y 2 11 tốn Kết luận Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Chú ý: M 2;8 y 11 x - Nếu toán cho x0 ta cần tìm Suy hệ số góc tiếp tuyến k 11 y0 f x0 f x0 Chọn A - Nếu toán cho y0 ta cần tìm x0 cách giải phương trình f x y0 - Giá trị f x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M x0 ; y0 Ví dụ mẫu Ví dụ Tiếp tuyến đường cong C : y x x điểm M 3;6 có hệ số góc A 11 B C D 11 Hướng dẫn giải Ta có y x x x 1 3x Hệ số góc cần tìm y 3 x 1 3.3 2 1 11 Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm M 1;2 A y x B y x C y 3x D y x Hướng dẫn giải: Ta có y x y 1 Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho điểm M 1;2 y x 1 x Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C : y x điểm có hồnh độ A y 3x B y 3x C y 3x D y 3x Hướng dẫn giải Ta có y x y 1 Do x0 y y 1 TOANMATH.com Trang Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ y x 1 y x Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm có tung độ A y B y C y D y Hướng dẫn giải Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm Ta có y0 x04 x02 x0 M 0;1 Lại có y x x y Phương trình tiếp tuyến cần tìm y Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y A y x B y x 2x giao điểm đồ thị với trục hoành x 3 C y 2 x D y x Hướng dẫn giải Giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành nghiệm phương trình 2x x đồ x 3 thị hàm số cắt trục hồnh điểm (2; 0) Ta có y 2 x 3 y 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 2 x hay y 2 x Chọn C Ví dụ Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y x B y x C y 2 x D y 3 x Hướng dẫn giải Ta có C Oy A 0; 2 ; y Phương trình tiếp tuyến A 0; 2 y 3x Chọn A Ví dụ Gọi đường thẳng y ax b phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2x 1 điểm có x 1 hồnh độ x Giá trị a b TOANMATH.com Trang A B –1 C D Hướng dẫn giải Ta có x0 y0 2x 1 Tọa độ tiếp điểm đường thẳng y ax b đồ thị hàm số y x 1 1 M 1; 2 Vì y x 1 nên y 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 3 x 1 y x 4 a ab 1 b Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y tan x điểm có hồnh độ x0 4 A y x B y x C y x D y 6 x Hướng dẫn giải Ta có y y 6; x0 y0 1 6 cos2 3x 4 3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 6 x Chọn D Ví dụ Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số C : y 2x có tung độ Tiếp tuyến đồ thị (C) x 1 M cắt trục Ox, Oy A, B Diện tích tam giác OAB A 125 ®vdt B 117 ®vdt C 121 ®vdt D 119 ®vdt Hướng dẫn giải Ta có M 2;5 C ; y 3 x 1 ; y 3 Phương trình tiếp tuyến M 2;5 d : y 3 x 11 11 11 Khi d cắt Ox, Oy A ;0 B 0;11 OA ; OB 11 3 TOANMATH.com Trang 1 11 121 Vậy SOAB OA.OB 11 ®vdt 2 Chọn C Ví dụ 10 Cho hàm số y xb ab 2, a Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax đồ thị hàm số điểm A 1; 2 song song với đường thẳng d : x y Khi giá trị a 3b A B C –1 D –2 Hướng dẫn giải Ta có: y 2 ab ax y 1 2 ab a 2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y y 3 x nên y 1 3 2 ab a 2 3 Mặt khác A 1; 2 thuộc đồ thị hàm số nên 2 1 b b 2 a a2 2 ab 3 a 2 Khi ta có hệ a 5a 15a 10 a b 2 a + Với a b 1 ab 2 (loại) + Với a b ( thỏa mãn điều kiện) Khi ta có hàm số y y 3 x 2 x 1 x 2 y 1 3 nên phương trình tiếp tuyến y 3x song song với đường thẳng y 3 x Vậy a 3b 2 Chọn D Ví dụ 11 Trong tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y x x x đường thẳng d có hệ số góc lớn Phương trình đường thẳng d A y x B y x C y D y 3x Hướng dẫn giải Ta có y 3 x x TOANMATH.com Trang 10 Gọi M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số Khi hệ số góc tiếp tuyến M x0 ; y0 k 3 x02 x0 3 x0 1 kmax x0 1 hay M 1; 4 Phương trình đường thẳng d y x 1 y x Chọn A Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y ax bx cx d tiếp tuyến có hệ số góc lớn (nhỏ nhất) tiếp tuyến điểm uốn đồ thị U x0 ; f x0 , với x0 nghiệm phương trình y + Nếu a hệ số góc k f x0 nhỏ + Nếu a hệ số góc k f x0 lớn Ví dụ 12 Cho hàm số y x x m 1 x m có đồ thị Cm Giá trị thực tham số m để tiếp tuyến đồ thị Cm điểm có hồnh độ x song song với đường thẳng y x 10 A m B m C m D không tồn m Hướng dẫn giải Ta có y x x m y 1 m Tiếp tuyến Cm điểm có hồnh độ x có phương trình y m x 1 3m y m x m m Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 10 nên (vơ lí) 2 m 10 Vậy không tồn m thỏa mãn u cầu tốn Chọn D Ví dụ 13 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x x x x điểm M có hoành độ x0 , biết f x0 6 A y x B y x C y x D y x Hướng dẫn giải Ta có f x 3 x x 9, f x 6 x f x0 6 6 x0 6 x0 y0 24 y Phương trình tiếp tuyến M 2;24 y x 24 y x Chọn A Ví dụ 14 Cho hàm số f x x mx x Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hồnh độ x Tất giá trị thực tham số m để thỏa mãn k f 1 TOANMATH.com Trang 11 A m 2 B 2 m C m D m Hướng dẫn giải Ta có f x 3x 2mx k f 1 2m Do k f 1 2m m 1 Để k f 1 m m 1 2 m Chọn B Ví dụ 15 Cho hàm số y x 3mx m 1 x , với m tham số thực, có đồ thị (C) Biết m m0 tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 1 qua A 1;3 Mệnh đề sau đúng? A 2 m0 1 B 1 m0 C m0 D m0 Hướng dẫn giải Gọi B tiếp điểm tiếp tuyến qua A 1;3 m m0 Ta có y 3x 6mx m Với x0 1 y0 m B 1;2 m 1 y 1 5m Tiếp tuyến B (C) có phương trình y 5m x 1 m Do tiếp tuyến qua A 1;3 nên 5m m m Vậy m0 0;1 Chọn C Ví dụ 16 Cho hàm số y x2 có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến 2x trục hồnh hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M khơng trùng với gốc tọa độ O có tọa độ nguyên Phương trình tiếp tuyến (C) M A y 8 B y 64 C y 12 D y 9 Hướng dẫn giải: a2 Giả sử M a; điểm thuộc (C) 2a a a2 2a a 2a Do d M; Ox d M; Oy nên 2 a a 2a a a a 2 a Theo giả thiết M khơng trùng với gốc tọa độ O có tọa độ nguyên nên a M 4; 8 TOANMATH.com Trang 12 Khi y 4x x2 2 x y Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 8 Chọn A x 1 có đồ thị (C) đường thẳng d : y 2 x m ( m tham số thực) x 2 Ví dụ 17 Cho hàm số y Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C) giao điểm d (C) Tích k1 k2 A B C D Hướng dẫn giải Tập xác định D \ 2 Ta có y x 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) x 1 2 x m ( với x 2 ) x2 x m x 2m 1 Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2 m 2 m m m 12 m 1 8 m 2m Vậy (C) cắt (d) hai điểm phân biệt A x1 ; y1 B x2 ; y2 , với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) m6 x1 x2 Theo định lý Vi-ét ta có x x 2m 2 Ta có k1.k2 1 x1 x2 m6 2m 2 2 x1 x2 x1 x2 4 Chọn A TOANMATH.com Trang 13 Ví dụ 18 Cho hàm số y x mx m có đồ thị (C) với m tham số thực Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến đồ thị (C) A cắt đường tròn : x y 1 A m tạo thành dây cung có độ dài nhỏ 13 16 B m 13 16 C m 16 13 D m 16 13 Hướng dẫn giải Đường tròn : x y 1 có tâm I 0;1 , R Ta có A 1;1 m ; y x 4mx y 1 m Suy phương trình tiếp tuyến : y m x 1 m 3 Dễ thấy qua điểm cố định F ;0 điểm F nằm đường tròn 4 Giả sử cắt M, N, Khi MN R d I ; d I ; Do MN nhỏ d I ; lớn d I ; IF IF Khi đường thẳng có vectơ phương u IF ; 1 ; u 1;4 m nên 4 13 u IF m m 16 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hai hàm số C1 : y mx 1 2m x 2mx C2 : y 3mx 1 m x 4m tiếp xúc với Tổng giá trị phần tử S A 11 B C D Câu 2: Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y A 2x Tích giá trị phần tử S x 1 B C –8 D –4 Câu 3: Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x 4m Cm tiếp xúc với đường thẳng d : y hai điểm phân biệt Tổng phần tử tập S A 14 B 17 C 15 D Câu 4: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y x mx tiếp xúc với đường thẳng d : y A m TOANMATH.com B m C m 1 D m 3 Trang 14 Câu 5: Cho hàm số y x 3x 3mx m Có giá trị thực tham số m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành? A B C Câu 6: Giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y A m 2 B m D x2 x 1 tiếp xúc với parabol y x m x 1 C m 1 D m Câu 7: Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x 5mx m tiếp xúc với trục hoành? A B C D Câu 8: Tổng tất giá trị thực tham số m để đường thẳng x y m tiếp tuyến đường cong y x x A B –4 Câu 9: Cho hàm số y C –2 D 4 x x có đồ thị (C) Tổng tất giá trị thực tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol P : y x m A B 126 C 34 D –1 Câu 10: Tổng tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m 3 x 3m x 2m tiếp xúc với trục hoành A B C –3 D –1 Câu 11: Trong ba đường thẳng d1 : y x 9, d2 : y x 29, d3 : y 5 x có đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số C : y x 3x x ? A B C D Câu 12: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm có hồnh độ -3 có phương trình A y x 25 B y 30 x 25 Câu 13: Đồ thị (C) hàm số y C y x 25 D y 30 x 25 3x cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến (C) điểm A có x 1 phương trình A y 5 x Câu 14: Cho hàm số y A y x B y 4 x C y x D y x x 2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x x 1 B y 3 x C y x D y x Câu 15: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y sin x điểm có hồnh độ A B C Câu 16: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y D x 2 giao điểm với trục hồnh, cắt trục tung x 1 điểm có tung độ TOANMATH.com Trang 15 A –1 B Câu 17: Cho hàm số y C D –2 x 11 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) M có hồnh độ x0 2 A y x 2 B y C y x 2 D y x 2 x 2 Câu 18: Cho hàm số y x x C Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M 2;2 có hệ số góc A 45 B C 24 D Câu 19: Cho hàm số y x x có đồ thị hàm số (C) Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị điểm có tung độ A B Câu 20: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y A –5 C 3x điểm có hồnh độ x0 có hệ số góc 2x B –13 Câu 21: Cho đồ thị H : y D –2 C 13 D –1 2x Phương trình tiếp tuyến đồ thị (H) giao điểm (H) Ox x 3 A y 2 x B y 2 x C y x D y x Câu 22: Cho hàm số y x , có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) M có tung độ y0 1 với hoành độ x0 A y x B y x C y 2 x D y x Câu 23: Cho hàm số y x 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ thị hàm x 2 số với trục hoành A x y B x y C x y D x y Câu 24: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C : y x x điểm có hồnh độ A y x B y x C y Câu 25: Phương trình đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y A x y B x y 3 D y x 1 điểm A ;1 2x 2 C x y 1 D x y Câu 26: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x x điểm có hồnh độ có phương trình A y 8 x 17 B y x 16 C y x 15 D y x 15 Câu 27: Phương trình đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x 11x điểm có tung độ TOANMATH.com Trang 16 A y x 3; y x 7; y x B y x 1; y x 2; y x C y x 3; y x 7; y x D y x 1; y x 2; y x Câu 28: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Phương trình đường tiếp tuyến (C) giao điểm đồ thị với trục Ox A y x y 3 x 12 B y x y 3x 12 C y 3 x y x 12 D y x y 2 x 12 Câu 29: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x x x điểm có hồnh độ -1 A B C –3 D 11 Câu 30: Gọi M giao điểm trục tung với đồ thị hàm số C : y x x Tiếp tuyến (C) M có phương trình A y x B y x C y x D y x Câu 31: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị y tan x điểm có hồnh độ x A B C Câu 32: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x A y x B y x D 1 điểm có hồnh độ x 1 x C y x D y x Câu 33: Cho hàm số y x x x có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M 1; 2 Tọa độ điểm N A 2;7 B 1;2 Câu 34: Gọi d tiếp tuyến hàm số y C 0;1 D 1;0 x 1 điểm có hồnh độ –3 Khi d tạo với hai trục x 2 tọa độ tam giác có diện tích A 169 (đvdt) B 121 (đvdt) C 25 (đvdt) D 49 (đvdt) x x 3x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y Câu 35: Cho hàm số y A y x 11 B y x C y x D y x 11 Câu 36: Gọi Cm đồ thị hàm số y x m 1 x mx m d tiếp tuyến Cm điểm có hồnh độ x 1 Giá trị tham số m để d qua điểm A 0;8 A m B m C m D m Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x biết hệ số góc TOANMATH.com Trang 17 Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc dựa vào quan hệ song song, vng góc, Phương pháp giải Thực theo hai cách sau: Ví dụ: Cho hàm số y x 3x Lập phương Cách 1: trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho biết tiếp Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến tuyến song song với đường thẳng : y x dựa vào giả thiết toán Bước Giải phương trình f x k để tìm Hướng dẫn giải Vì tiếp tuyến song song với : y x nên hệ x x0 hoành độ tiếp điểm số góc tiếp tuyến k Tính y f x0 M x0 ; y0 Ta có y x x Khi phương trình tiếp tuyến cần tìm x 1 Xét phương trình x x x y k x x0 y0 Điểm M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến + Với x 1 y 2 M 1; 2 có phương với đồ thị hàm số cho trình tiếp tuyến y x 1 y x Cách 2: + Với x y N 3;2 có phương trình Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến tiếp tuyến y x 3 y x 25 dựa vào giả thiết tốn Bước Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên phương trình tiếp tuyến có dạng y kx b Dựa vào điều kiện tiếp xúc tiếp tuyến với Vì tiếp tuyến song song với : y x nên hệ số góc tiếp tuyến k Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y 9x b (C) ta tìm giá trị b với b Lưu ý: Vì d : y x b tiếp tuyến đồ thị hàm số - Phương trình f x k có nghiệm có nhiêu tiếp điểm - Một số trường hợp xác định hệ số góc x x x b y x 3x nên 3 x x đường thẳng thường gặp b Giải hệ phương trình tìm b 25 Cho hai đường thẳng Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y x d1 : y k1 x b1 ; d2 : y k2 x b2 y x 25 + Trường hợp 1: d1 d2 k1 k2 1 k k2 + Trường hợp 2: d1 / / d2 b1 b2 + Trường hợp 3: Góc TOANMATH.com Trang 18 d1 ; d2 tan k1 k2 k1 k Đặc biệt: Nếu góc d : y kx b với Ox 0 90 k tan Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy hai điểm A, B mà OB m.OA k tan OB m OA + Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d qua hai điểm A x1 ; y1 B x2 ; y2 k y1 y x1 x2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x có hệ số góc tiếp tuyến A y x 15 hay y x B y x 15 hay y x 17 C y x hay y x 17 D y x hay y x Hướng dẫn giải Ta có y x Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm Vì hệ số góc tiếp tuyến nên y x0 3x02 x0 2 + Với x0 y0 Phương trình tiếp tuyến y x x 15 + Với x0 2 y0 1 Phương trình tiếp tuyến y x x 17 Chọn B Ví dụ 2: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y A B 2x 1 song song với đường thẳng : y x ? x 1 C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 19 Ta có y x 1 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng : y x nên hệ số góc tiếp tuyến k Xét phương trình x 1 x 1 x 2 + Với x y Phương trình tiếp tuyến y x ( loại trùng với ) + Với x 2 y Phương trình tiếp tuyến y x Vậy có tiếp tuyến song song với : y x Chọn D Ví dụ 3: Gọi (C) đồ thị hàm số y x x Tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng d : x y có phương trình A y x B y x C y x D y x Hướng dẫn giải Ta có y x Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm 1 Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x nên k 1 k Xét phương trình x x y Phương trình tiếp tuyến cần tìm y x 1 x Chọn B Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x song song với trục Ox A y 3, y 1 B y 3, y 2 C x 3, x 1 D y 2, y 1 Hướng dẫn giải Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm điểm cực trị có phương trình y y0 với y0 giá trị cực trị hàm số cho Ta có y 3x 3; y x 1 Do hàm số cho hàm bậc ba nên điểm cực trị A 1; 1 , B 1;3 Vậy phương trình đường tiếp tuyến cần tìm y 1; y Chọn A Ví dụ 5: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x 12 x song song với đường thẳng d :12 x y có dạng y ax b Giá trị a b A B –23 C –23 –24 D –24 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20 Ta có y x x 12 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d :12 x y y 12 x nên có hệ số góc k 12 x Xét phương trình x x 12 12 x + Với x y Phương trình tiếp tuyến y 12 x + Với x 1 y 12 Phương trình tiếp tuyến y 12 x 1 12 12 x (loại tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)) Vậy tiếp tuyến cần tìm y 12 x a 12; b a b 23 Chọn B Ví dụ 6: Trên đồ thị C : y x 1 có điểm M mà tiếp tuyến (C) M song song với x 2 đường thẳng d : x y ? A B C D Hướng dẫn giải Ta có y 1 x 2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y y x nên hệ số góc tiếp tuyến k 1 Xét phương trình x 2 x 1 x + Với x y Phương trình tiếp tuyến y x (loại tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)) + Với x y Phương trình tiếp tuyến y x 3 x Vậy có điểm M 3;2 thỏa mãn Chọn A 2x 1 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến x 1 cắt trục Ox, Oy điểm A, B thoả mãn OA 4OB Ví dụ 7: Cho hàm số y y x A y x 13 4 y x B y x 13 4 y x C y x 13 4 y x D y x 13 4 TOANMATH.com Trang 21 Hướng dẫn giải Do tiếp tuyến cắt Ox, Oy hai điểm A, B mà OA 4OB OB k Khi OAB vng O ta có k tan OAB OA 4 Ta có: y x 1 Xét phương trình Xét phương trình + Với x y y x 1 x x 1 Phương trình tiếp tuyến 13 x 3 x 4 + Với x 1 y y x 1 (vô nghiệm) Phương trình tiếp tuyến x 1 x 4 Chọn C Ví dụ 8: Đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2x chắn hai trục tọa độ x2 tam giác vuông cân? A y x B y x C y x D y x Hướng dẫn giải Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với Ox, Oy Vì OAB vng cân O nên OA OB OB k 1 Do k tan OAB OA Ta có y x 2 Xét phương trình Xét phương trình x 2 x 2 1 (vô nghiệm) x 1 1 x 3 + Với x 1 y Phương trình tiếp tuyến y x 1 x TOANMATH.com Trang 22 + Với x 3 y Phương trình tiếp tuyến y x 3 x Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y mx m 1 x 3m x có đồ thị Cm Tất giá trị thực tham số m để đồ thị Cm tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x y A m < 12 m B m < m > 1 C m < m D m < m Hướng dẫn giải Ta có: d : x y y x nên hệ số góc d 2 Do tiếp tuyến vng góc với d nên hệ số góc tiếp tuyến k 1 k 1 k 2 Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến với Cm x0 nghiệm phương trình y k mx m 1 x 3m mx m 1 x 3m * Theo toán ta phải tìm m để (*) có nghiệm âm + Trường hợp 1: Nếu m (*) 2 x 2 x (loại) + Trường hợp 2: Nếu m Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm x x Do để (*) có nghiệm âm 3m m 3m m m m Chọn D Ví dụ 10: Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y ax bx điểm A 1;1 vng góc với đường thẳng d : x y Giá trị a b2 A 13 B –2 C –5 D 10 Hướng dẫn giải Ta có: d : x y y x nên kd 2 Vì tiếp tuyến vng góc với d nên phải có hệ số góc –2 Ta có y ax bx x ax b TOANMATH.com Trang 23 Vì điểm A 1;1 tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị nên x 1 nghiệm phương trình x ax b 2 2 a b 2 a b Mặt khác điểm A thuộc đồ thị hàm số nên a b a b 1 2 a b a Vậy ta có hệ a b2 5 a b 1 b 3 Chọn C Ví dụ 11: Cho hàm số y x x x có đồ thị (C) Số tiếp tuyến (C) tạo với đường thẳng d : y x góc thỏa mãn cos A 41 B C D Hướng dẫn giải Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm Ta có cos 41 0 90 tan 1 cos k 9 k 1 Vì d có hệ số góc –1 nên tan k 1 k Ta có y x x x + Trường hợp 1: k 9 x x x Từ ta tìm hai tiếp tuyến y 9 x y 9 x + Trường hợp 2: k 321 27 x 54 x 80 x 9 1 321 Từ ta tìm hai tiếp tuyến y x y x0 Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm Chọn D Ví dụ 12: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Có điểm A thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt M x1 ; y1 ; N x2 ; y2 ( M, N khác A ) thỏa mãn y1 y2 x1 x2 A B C D Hướng dẫn giải Do tiếp tuyến qua hai điểm M x1 ; y1 ; N x2 ; y2 nên hệ số góc tiếp tuyến k TOANMATH.com y1 y2 x1 x2 Trang 24 Ta có y x x 2 Xét phương trình x x x 3; x 1; x 2 2 Mặt khác để tiếp tuyến hàm số trùng phương cắt đồ thị hai điểm phân biệt tiếp điểm A chạy phần đồ thị từ điểm cực tiểu thứ sang điểm cực tiểu thứ hai (trừ hai điểm uốn) x Khi phương trình y x x x Do hai điểm cực tiểu x x nên hoành độ tiếp điểm x0 7; Vậy có x0 1; x0 2 thỏa mãn Chọn B Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y ax b biết mối quan hệ tiếp cx d tuyến với đường tiệm cận đồ thị hàm số Phương pháp giải Với hàm số y ax b ( với cx d Ví dụ: Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) x 1 c 0; ad bc ) đồ thị hàm số có hai Phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) d a tiệm cận x ; y c c cho tiếp tuyến vng góc với IM, I tâm đối xứng (C) d a Gọi I ; giao điểm hai đường c c A y x 3, y x tiệm cận ( tâm đối xứng đồ thị) C y x 1, y x Khi tiếp tuyến điểm M x0 ;y0 B y x 1, y x D y x 1, y x đồ thị cắt tiệm cận đứng điểm Hướng dẫn giải d bc ad acx0 A ; cắt tiệm cận c c cx0 d Giả sử M x0 ; y0 tiếp điểm, d a ngang điểm B x0 ; c c đứng tiệm cận ngang đồ thị Ta có IA IA.IB ad bc c cx0 d ad bc c2 đổi TOANMATH.com ; IB Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận Theo lý thuyết M trung điểm AB Do cx0 d IAB vuông I mà IM AB nên IAB vuông c cân I IA IB hệ số góc tiếp tuyến K số không k 1 Mà k y x0 1 x0 1 nên k 1 Trang 25 Suy SIAB ad bc c Vậy ta có phương trình Khi tốn sau tương đương: 1 x0 1 x0 1 x0 + Với x0 y0 Do phương trình tiếp Tìm điểm M C viết phương trình tuyến y x tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến tạo với hai + Với x0 y0 Do phương trình tiếp tiệm cận tam giác vng có tuyến y x a) Cạnh huyền nhỏ Chọn C AB IA2 IB IA IB K Dấu xảy IA IB b) Chu vi nhỏ Ta có IA IB AB IA.IB IA.IB K K Dấu xảy IA IB c) Bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ Ta có R AB K Dấu xảy IA IB d) Bán kính đường trịn nội tiếp lớn Ta có r S K p IA IB AB Vậy r lớn IA IB AB nhỏ K K Dấu xảy IA IB e) Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn Gọi H hình chiếu I lên d, ta có 1 2 2 2 IH IH IA IB IA.IB K K Dấu xảy IA IB Nhận xét: Các câu hỏi đẳng thức xảy IA IB nên IAB vuông cân I Gọi góc tiếp tuyến d tiệm cận ngang d; d; Ox 45 nên hệ số góc tiếp tuyến k tan 45 1 Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 26 Ví dụ 1: Cho hàm số y x 1 có đồ thị (C) Có cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến x 1 song song với nhau? A Khơng tồn cặp điểm B Vô số số cặp điểm C D Hướng dẫn giải a 1 b 1 Giả sử A a; , B b, với a b; a, b a 1 b 1 Do tiếp tuyến A, B song song với nên y a y b 2 a 1 2 b 1 a b a b Do a b nên có a b Vậy có vơ số cặp điểm A, B thỏa mãn Chọn B Nhận xét: Hai điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị hàm số y ax b mà tiếp tuyến song song với cx d A, B đối xứng với qua tâm đối xứng I Ví dụ 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y 4x với hai tiệm cận tạo thành tam giác có diện 2x 1 tích A B C D Hướng dẫn giải Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị Khi tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B I giao điểm hai tiệm cận Theo lý thuyết nêu SIAB 46 Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm M a; b C , a tạo với hai tiệm x 1 cận (C) tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp A B Giá trị a b C D Hướng dẫn giải Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với hai đường tiệm cận I giao điểm hai đường tiệm cận Do IAB vng I nên bán kính đường trịn ngoại tiếp IAB R AB AB 2 Theo lý thuyết, ta có IA IB 4, AB IA2 IB IA IB 2 Dấu " = " xảy IA IB Khi hệ số góc tiếp tuyến k 1 Mặt khác k y a TOANMATH.com a 1 k 1 Trang 27 Ta có a Do a a b Vậy a b 1 a a 1 Chọn C 2x m , m tham số khác –4 d tiếp tuyến (C) x 2 Gọi S tập giá trị thực tham số m để d tạo với hai đường tiệm cận (C) tam giác có diện tích 2, tổng giá trị phần tử S Ví dụ 4: Gọi (C) đồ thị hàm số y A –11 B C D –8 Hướng dẫn giải Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến với hai đường tiệm cận I giao điểm hai tiệm cận Theo lý thuyết, ta có IA IB m SIAB m m 3 Vậy ta có m m 5 S 5; 3 nên tổng phần tử S –8 Chọn D Ví dụ 5: Gọi tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 , x0 thuộc đồ thị hàm số y x 2 cho x 1 khoảng cách từ I 1;1 đến A đạt giá trị lớn Giá trị x0 y0 A –1 B C –2 D Hướng dẫn giải Gọi A, B giao điểm A với hai đường tiệm cận Theo lý thuyết d I ; lớn IA IB k 1 Mặt khác k y x0 Vậy x0 1 x0 1 k 1 x 1 x0 2 Do x0 x0 2 y0 x0 y0 Chọn B 2x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) tạo với hai tiệm cận x 1 tam giác có chu vi nhỏ Ví dụ 6: Cho hàm số y A : y x : y x 17 B : y x : y x C : y x 21 : y x TOANMATH.com Trang 28 D : y x : y x Hướng dẫn giải Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C với hai tiệm cận I giao điểm hai đường tiệm cận Khi IAB vng I Theo lý thuyết, chu vi IAB IA IB AB IA.IB IA IB IA IB ad bc c2 16 Do chu vi nhỏ IA IB k 1 Mặt khác k y x0 Vậy ta có x0 1 x 1 k 1 x 1 x 1 Với x0 y0 Do phương trình tiếp tuyến y x 3 x Với x0 1 y0 Do phương trình tiếp tuyến y x 1 x Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) Một tiếp tuyến với (C) cắt đường tiệm cận đứng x 1 đường tiệm cận ngang (C) A B, biết I 1;2 Giá trị lớn bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB A B C 2 D Hướng dẫn giải Gọi A, B giao điểm tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C với hai tiệm cận I giao điểm hai đường tiệm cận IAB vuông I Theo lý thuyết, ta có IA IB ad bc c2 16 SIAB Khi bán kính đường trịn nội tiếp IAB lớn xảy IA IB AB p rmax 42 IA IB AB 42 2 42 Chọn C 2x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) tạo với hai trục tọa độ x 2 tam giác có diện tích 18 Ví dụ 8: Cho hàm số y TOANMATH.com Trang 29 A y x ; y x 9 B y 31 x ; y x 9 C y 4 x ; y x 9 D y x ; y x 9 Hướng dẫn giải 2a Gọi M a; a 2 tiếp điểm tiếp tuyến Khi phương trình tiếp tuyến d (C) M a2 y y a x a 2a 2a y x a a2 a2 a 2 Gọi A, B giao điểm d với hai trục Ox, Oy a2 2a2 Tọa độ điểm A, B A ;0 , B 0; a Vậy SOAB a 3a a a4 OA.OB a 2 18 a 2 3a a Với a d1 : y 4 x 1 x 9 9 2 Với a d2 : y x x 4 3 Chọn A x 1 có đồ thị (C) Gọi M x0 ; y0 , x0 điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến 2x (C) M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B cho SOIB 8SOIA ( I giao hai Ví dụ 9: Cho hàm số y đường tiệm cận) Giá trị biểu thức S x0 y0 A 13 B –2 C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 30 OIB nên SOIA IA Do góc OIA SOIB IB IA nên k k Mà k tan IBA IB 8 Mặt khác k y x0 1 x0 1 2 x0 1 0k x0 x 1 Do x0 nên x0 y0 S x0 y0 2 Chọn B 2x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) cắt tiệm x 2 cận đứng tiệm cận ngang A, B cho cơsin góc với I 2;2 ABI 17 Ví dụ 10: Cho hàm số y A y x ; y x 4 B y x ; y x 4 C y x ; y x 4 D y x ; y x 4 Hướng dẫn giải: 1 1 k 4 cos ABI Ta có k tan ABI Giả sử M x0 ; y0 C k y x0 Xét phương trình 1 x0 1 x0 0k x0 x0 + Với x0 y0 3 Phương trình tiếp tuyến y x + Với x0 y0 5 Phương trình tiếp tuyến y x x 4 Chọn D Bài tập tự luyện dạng TOANMATH.com Trang 31 x2 x 1 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường x 1 thẳng : x y Câu 1: Cho hàm số y A y 3 x 9; y x 4 B y 3 x ; y x 4 4 C y 3 x ; y x 4 D y 3 x 3; y x 4 Câu 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x có hệ số góc tiếp tuyến A y x 13 hay y x B y x 13 hay y x 17 C y x hay y x 17 D y x hay y x Câu 3: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y A B 2x 1 song song với đường thẳng : y x ? x 1 C D Câu 4: Gọi (C) đồ thị hàm số y x x Tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng d : x y có phương trình A y x B y 5x C y 3x Câu 5: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y D y x 2x 1 song song với đường thẳng x y x2 A y 3x 14 B y 3x 14, y x C y x 5, y x D y x Câu 6: Có điểm M thuộc đồ thị hàm số f x x cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M song song với đường thẳng d : y x ? A B Câu 7: Cho hàm số y C D x3 x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc k 9 A y 9 x 3 B y 16 9 x 3 C y 16 9 x 3 D y 16 9 x 3 Câu 8: Cho hàm số y x 3x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số vng góc với đường thẳng d : y x 2019 45 A y 45 x 83 B y 45 x 173 C y 45 x 83 D y 45 x 173 Câu 9: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x x song song với đường thẳng : y x 2017 A y x 2018 B y x 2018 C y x Câu 10: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y D y x 4; y x 28 x3 x x song song với đường thẳng y 2 x TOANMATH.com Trang 32 A y 2 x 10 y 2 x B y 2 x y 2 x D y 2 x C y 2 x y 2 x y 2 x Câu 11: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x vng góc với trục Oy A y 3, y 1 B y 3, y 2 Câu 12: Gọi (C) đồ thị hàm số y thẳng y C x 3, x 1 x2 Phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với đường 2x x 3 A x x , y x 4 C x D y 2, y 1 x , y x 4 3 B x x, y x 4 D x x , y x 4 Câu 13: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2x có hệ số góc –2 x 1 A y 2 x 2, y 2 x B y 2 x 9, y 2 x C y 2 x 8, y 2 x D y 2 x 1, y 2 x Câu 14: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y 18 x 51 có phương trình A y 18 x y 18 x 13 B y 18 x 51 C y 18 x 51 y 18 x 13 D y 18 x 51 x m có đồ thị Cm Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến (C) điểm có x 1 hồnh độ song song với đường thẳng y 3x Câu 15: Cho hàm số y A m 2 B m C m D m 1 Câu 16: Cho hàm số y mx m 1 x 3m x có đồ thị Cm Tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị Cm tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x y 1 5 A 0; ; 2 3 1 1 8 B 0; ; 2 2 3 1 1 2 C 0; ; 2 2 3 1 1 2 D 0; ; 3 3 Câu 17: Tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y mx m 1 x 3m x có điểm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x y 2019 A m TOANMATH.com B m C m D m 1 Trang 33 2x có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến điểm M (C) cắt hai x 2 tiệm cận (C) A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB Câu 18: Cho hàm số y A 2 Câu 19: Cho hàm số y B C D 2x 1 có đồ thị (C) Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để đường x 1 thẳng d : y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A B có hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn 1 k1 k2 2019k12019 k22019 Tổng giá trị tất phần tử S k1 k2 A B C D 2018 2x M Đường thẳng (d) cắt đường tiệm cận x2 hai điểm phân biệt A, B Tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I giao điểm hai tiệm cận Câu 20: Gọi (d) tiếp tuyến đồ thị C : y 5 A M 1;1 ; M 4; 3 B M 1;1 ; M 3;3 5 C M 1;1 ; M 1; 3 5 D M 4; ; M 3;3 3 x 2 có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) tạo với hai đường tiệm cận tam x 1 giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn Khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến Câu 21: Cho hàm số y A B C D x 1 Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số Khoảng cách từ I đến 2x tiếp tuyến đồ thị hàm số cho đạt giá trị lớn Câu 22: Cho hàm số y A Câu 23: Cho hàm số y B C D x 1 có đồ thị (C) Gọi điểm M x0 ; y0 với x0 1 điểm thuộc (C), biết x 1 tiếp tuyến (C) điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x y Giá trị x0 y0 A B C D 2 mx Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tất giá trị thực xm tham số m để tiếp tuyến điểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho IAB có diện tích S 22 Câu 24: Cho hàm số y A m 5 B m 6 C m 2 D m 4 2x có đồ thị (C) Có điểm M C cho tiếp tuyến M x 1 (C) cắt Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB , với O gốc tọa độ? Câu 25: Cho hàm số y TOANMATH.com Trang 34 A B C D 2x 1 Tất điểm M, N hai nhánh đồ thị (C) cho tiếp x 1 tuyến M N cắt hai đường tiệm cận bốn điểm lập thành hình thang Câu 26: Cho hàm số y 1 7 A M 2;5 , N 0; 1 B M 3; , N 1; 2 2 1 C M 2;5 , N 1; 2 D Với M, N 2x có đồ thị (C) Một tiếp tuyến (C) cắt hai tiệm cận (C) hai x 2 Câu 27: Cho hàm số y điểm A, B thỏa mãn AB 2 Hệ số góc tiếp tuyến B A –2 D C –1 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x qua điểm M cho trước Bài tốn Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x qua điểm M x0 ; y0 cho trước Phương pháp giải Thực hai cách sau Ví dụ: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Cách 1: y x x x qua điểm N 0;1 Bước Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, phương trình tiếp tuyến có dạng y k x x0 y0 A y 33 x2 B y 33 x 11 C y 33 x 12 D y 33 x 1 Bước Tìm k nghiệm hệ phương trình f x k x x0 y0 f x k Từ suy phương trình tiếp tuyến Cách 2: Hướng dẫn giải Bước Giả sử A a; f a tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị hàm số phương trình tiếp tuyến điểm A y f a x a f a Bước Do tiếp tuyến qua M x0 ; y0 nên a nghiệm phương trình f a x0 a f a y0 Tìm a suy phương trình tiếp tuyến Vì tiếp tuyến qua N 0;1 nên phương trình tiếp tuyến có dạng y kx k nghiệm hệ phương trình k 6 x x x kx 33 k x x k Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 6 x y 33 x 1 Chọn D TOANMATH.com Trang 35 Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho Ta có y x x Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y x02 x0 x x0 x03 x02 x0 Vì tiếp tuyến qua N 0;1 nên ta có 3x x0 x0 x03 x02 x0 x0 x03 x02 x0 Với x0 y0 1; y 6 nên phương trình tiếp tuyến y 6 x 107 33 Với x0 y0 ; y x0 nên phương trình tiếp tuyến y 33 x Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số C : y x Có tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm x2 A 2; 1 ? A B C D Hướng dẫn giải Ta có y x 2 , x x 1 Gọi tọa độ tiếp điểm M x0 ; với x0 Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x0 điểm M y x0 x x0 x0 x0 Do tiếp tuyến qua điểm A 2; 1 nên ta có phương trình x0 x0 1 x0 1 ( vô nghiệm) x0 x0 x Vậy khơng có tiếp tuyến thỏa mãn u cầu đề Chọn B TOANMATH.com Trang 36 Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y ax b khơng có tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cx d d a I ; giao điểm hai đường tiệm cận c c Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm 2 3 A 0; ? 2 A B C D Hướng dẫn giải 3 Phương trình đường thẳng qua điểm A 0; có hệ số góc k có dạng y kx 2 3 1 x x kx 1 2 Để tiếp xúc với (C) hệ phương trình có nghiệm x 2 x x k Thế (2) vào (1), ta có 3 x 3x x x x 2 x x2 x2 x + Với x k 1 : y + Với x k 2 : y 2 x + Với x k 2 : y 2 x Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn Chọn C Bài toán 2: Xác định điểm M để có k tiếp tuyến đồ thị hàm số C : y f x qua điểm M Phương pháp giải Thực theo bước sau: Bước Xây dựng tọa độ điểm M a; b Ví dụ: Cho hàm số y x có đồ thị (C) x 1 Bước Giả sử d đường thẳng qua M điển A a;1 Gọi S tập hợp giá trị thực có hệ số góc k Khi phương trình đường tham số a để có tiếp tuyến (C) qua thẳng d : y k x a b A Tổng tất phần tử S Bước Để d tiếp tuyến (C) hệ TOANMATH.com A Trang 37 f x k x a b phương trình * có f x k B nghiệm C Dựa vào số nghiệm hệ suy số D tiếp tuyến tương ứng toán yêu cầu Nhận xét: - Nếu f x hàm số bậc 2, bậc 3, bậc Hướng dẫn giải Ta có y bậc hệ (*) có nghiệm tương ứng với nhiêu tiếp tuyến - Nếu f x hàm số trùng phương có x 1 , x 1; A a;1 Đường thẳng d qua A a;1 có hệ số góc k có phương trình y k x a điểm cực trị hệ (*) có nghiệm khơng Để có đường thẳng d tiếp tuyến phải hoành độ điểm cực tiểu (cực đại) (C) hệ phương trình sau có nghiệm nghiệm ứng với tiếp tuyến đồ x k x a x 1 1 k 2 x 1 thị (C) Thế (2) vào (1) ta có 1 x 1 x a 1 x x 1 x x a x 1 3 Để hệ phương trình có nghiệm phương trình (3) có nghiệm khác + Trường hợp 1: (3) có nghiệm kép khác a a 2 a + Trường hợp 2: (3) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm a a 1 a 3 Vậy S ;1 nên tổng phần tử 2 Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) điểm M m;2 Gọi S tập hợp giá trị thực m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) TOANMATH.com Trang 38 Tổng phần tử S A 20 B 13 C D 16 Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng qua M m;2 có hệ số góc k Khi phương trình d y k x m Để có hai tiếp tuyến (C) qua M hệ phương trình k 3 x 12 x phải có hai nghiệm phân biệt x x k x m Từ hệ trên, ta có x x 3x 12 x x m x x x m x 12 m x m x 12 m * Để hệ có hai nghiệm, ta xét trường hợp sau + Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác m m 2 96 m m 12 m + Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm m 2 96m m0 12 m 20 Vậy S 6; ;0 nên tổng phần tử Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số x x có đồ thị (C) điểm A 1; a Có giá trị nguyên a để có hai tiếp tuyến (C) qua A ? A B C D Hướng dẫn giải Ta có hàm số y x x xác định , y x 1 x 2x Gọi k hệ số góc đường thẳng qua A 1; a Phương trình đường thẳng : y k x 1 a Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) hệ phương trình sau có nghiệm TOANMATH.com Trang 39 x x k x 1 a 1 x 1 k 2 x 2x x2 2x Thay (2) vào (1) ta x 1 x 2x x 1 a x x x 1 a x x a x x 2 a x 2x 3 Qua A có hai tiếp tuyến (C) phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt Xét hàm số f x Ta có f x x x 2x 2 x 1 2x x2 2x ; f x x Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có (3) có hai nghiệm phân biệt a 0; Mà a nguyên nên a Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Có điểm thuộc đồ thị hàm số y 2x 1 thỏa mãn tiếp tuyến tạị điểm đồ thị có x 1 hệ số góc 2019? A Vô số B C D Câu 2: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) qua gốc tọa độ? A B Câu 3: Cho hàm số y C D 2x x x , gọi đồ thị hàm số (C) Phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A 2; 2 A y x Câu 4: Cho hàm số y TOANMATH.com B y x C y x D y x x2 x 1 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm M 1;3 x 1 Trang 40 A y x 1; y 3 x B y 13; y 3 x C y 3; y 3 x Câu 5: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y A Vô số B Câu 6: Cho hàm số f x D y 3; y 3 x 2x qua giao điểm hai đường tiệm cận? x2 C D Khơng có x x có đồ thị (C) Phương trình đường tiếp tuyến (C) qua điểm M 2; 1 A y x y x B y x y 2 x C y x y x D y x y x Câu 7: Cho hàm số y x x x có đồ thị (C) Có tất giá trị nguyên tham số m để từ điểm M 0; m kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn 1;3 ? A Vô số B C 60 D 61 Câu 8: Trên đường thẳng x , tọa độ điểm M có tung độ số nguyên nhỏ mà qua kẻ tới đồ thị (C) hàm số y x 3x ba tiếp tuyến phân biệt A 3; 5 B 3; 6 C 3;2 Câu 9: Giá trị tham số m để đồ thị hàm số y D 3;1 x mx m cắt trục hoành hai điểm phân x 1 biệt tiếp tuyến Cm hai điểm vng góc với A m B m D m , m 1 C m 1 x2 M 0; m điểm thuộc trục Oy Tất giá trị 2x 1 thực tham số m để ln tồn tiếp tuyến (C) qua M tiếp điểm tiếp tuyến với (C) có hồnh độ dương Câu 10: Gọi (C) đồ thị hàm số y A m B m C m D m 2x có đồ thị (C) điểm A 0; a Gọi S tập hợp giá trị thực tham x 1 số a để từ A kẻ hai tiếp tuyến AM , AN đến (C) với M, N tiếp điểm MN Tổng giá trị phần tử S Câu 11: Cho hàm số y A B C D Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ẩn điểm có hồnh độ x x0 cho trước Phương pháp giải Từ biểu thức hàm ẩn, tìm cách tính giá trị y0 f x0 f x0 Áp dụng cơng thức viết phương trình tiếp TOANMATH.com Ví dụ: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x thỏa mãn f 1 x x f 1 x , x Tiếp tuyến Trang 41 tuyến đồ thị hàm số y f x điểm đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ có hồnh độ x x0 x có phương trình Chú ý công thức đạo hàm hàm số hợp: Cho hàm số f x có đạo hàm khoảng K , u u x hàm số xác định có đạo hàm K có giá trị khoảng K Khi f u u f u A y x B y x 2 13 C y x 13 13 D y x 12 13 13 Hướng dẫn giải Ta cần tính f 1 , f 1 Từ giả thiết f 1 x x f 1 3x , x * f 1 Chọn x ta f 1 f 1 f 1 1 Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f 1 x f 1 x f 1 3x f 1 x Chọn x ta f 1 f 1 f 1 f 1 + Với f 1 ta (vô lý nên loại) + Với f 1 1 f 1 tiếp tuyến y nên phương trình 13 x 12 13 13 Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f x f 1 x 12 x , x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hoành độ A y x B y x C y x D y x Hướng dẫn giải Ta cần tính f 1 , f 1 Từ giả thiết f x f 1 x 12 x , x (*) TOANMATH.com Trang 42 Chọn x x , ta 2 f f 1 f 1 2 f 1 f f 1 Lấy đạo hàm hai vế (*) ta f x f 1 x 24 x, x Chọn x x , ta 4 f f 1 f 4 f 1 f 12 f 1 Vậy f 1 2; f 1 nên phương trình tiếp tuyến y x 1 x Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y f x , y g x f f x , y h x f x có đạo hàm có đồ thị C1 , C2 , C3 Đường thẳng x cắt C1 , C2 , C3 A, B, C Biết phương trình tiếp tuyến C1 A C2 B y x y x 13 Phương trình tiếp tuyến C3 C A y 24 x 23 B y 10 x 21 C y 12 x 49 D y x Hướng dẫn giải Để giải tốn, ta cần tính h h Phương trình tiếp tuyến C1 A f f y f x f 3x 2 f f f 10 Phương trình tiếp tuyến C2 B y f f f x f f f f 10 x f 10 x 13 f f 10 f 10 2 f f 10 f 10 13 f 10 25 Ta có h x f x 3x f x nên h 12 f 10 24 h f 10 25 Phương trình tiếp tuyến C3 C y h x h 24 x 25 24 x 23 Chọn A Ví dụ 3: Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm nhận giá trị dương Biết tiếp tuyến hai đồ thị hàm số y f x y g x f x f x2 điểm có hồnh độ x0 có hệ số góc 12 –3 Giá trị f 1 TOANMATH.com Trang 43 A B C D Hướng dẫn giải f x Ta có g x f x2 f x f x f x x f x f x2 Từ giả thiết ta có f 1 12 g 1 3, f x 0, x f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 3 f 1 f 1 3 f 1 Chọn B Ví dụ 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Gọi 1 , tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x y g x x f x 3 điểm có hồnh độ x Biết hai đường thẳng 1 , vng góc 1 khơng song song với Ox, Oy Mệnh đề sau đúng? f 1 A B f 1 C f 1 D f 1 Hướng dẫn giải Ta có g x x f x 3 x f x 3 x f x 3 Ta có hệ số góc tiếp tuyến 1 , f 1 g 1 f 1 f 1 Theo giả thiết f 1 g 1 1 f 1 f 1 f 1 f 1 1 f 1 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 Chọn C Ví dụ 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x thỏa mãn f x x 1 x với x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x 3 A y x B y x 2 C y x 3 D y x Hướng dẫn giải Để viết phương trình tiếp tuyến điểm x 3 , ta cần tính f 3 f 3 Với x 1 suy f 3 3 Do f x 3x x 3x f x 3x Với x 1 f 3 f 3 TOANMATH.com Trang 44 Do phương trình tiếp tuyến cần tìm y f 3 x 3 f 3 y 1 x 3 y x 3 Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số y f x có đạo hàm Gọi C1 , C2 C3 đồ thị hàm số f x , g x f x h x f x Biết f 1 tổng hệ số góc hai tiếp tuyến điểm có hồnh độ x C1 , C2 –3 Phương trình tiếp tuyến C3 điểm có hoành độ x A y x B y 3x C y x D y 3 x Hướng dẫn giải Ta cần tính h 1 , h 1 Ta có g x xf x , h x 3x f x Theo giả thiết, ta có f 1 g 1 3 f 1 f 1 3 f 1 1 Do h 1 f 1 3 h 1 f 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y 3 x 1 3 x Chọn D Ví dụ 7: Cho hai hàm số f x , g x có đạo hàm thỏa mãn f x f 3x x g x 36 x , với x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hoành độ x A y x B y x C y 2 x D y x Hướng dẫn giải Ta có f x f 3x x g x 36 x 0, x 1 f 2 Thay x vào (1) ta có f f f Lấy đạo hàm hai vế (1) ta 3 f x f x 12 f x f 3x x.g x x g x 36 Thay x vào (2) ta có 3 f f 12 f f 36 3 + Với f thay vào (3) 36 (vơ lý) + Với f thay vào (3) f nên phương trình tiếp tuyến y x Chọn D TOANMATH.com Trang 45 Ví dụ 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f x f x 3x 10 với x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ x A y x C y B y x x 3 D y x 3 Hướng dẫn giải Ta cần tính f 1 , f 1 Thay x vào đẳng thức f x f x 3x 10 , ta có f 1 f 1 3 10 f 1 f 1 f 1 3 Theo ta có f x f x 3x 10 với x nên đạo hàm hai vế ta 3 f x f x f x 3, x Thay x vào ta có f 1 f 1 f 1 3 Vì f 1 nên f 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y x 3 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f x f 1 x x x , x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ có dạng y ax b y a1 x b1 Giá trị biểu thức A 46 B 46 C 46 Câu 2: Biết đồ thị hàm số y f x , y g x y f x gx D a 5b 3b1 2a1 46 có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x có hệ số góc khác Mệnh đề sau đúng? A f B f C f D f Câu 3: Cho hàm số y f x , y g x y f x g x Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm x có hệ số góc khác Mệnh đề sau đúng? A f g B f g 1 C f g D f g 1 Câu 4: Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x đồ thị hàm số y f x ; y g x y TOANMATH.com f x g x khác Mệnh đề sau đúng? Trang 46 A f 1 11 B f 1 11 C f 1 11 D f 1 11 Câu 5: Cho hai hàm số y f x y g x có đạo hàm g 1 Biết tiếp tuyến điểm x0 ba đồ thị hàm số y f x , y g x , y f x 1 g x 1 có hệ số góc khác Mệnh đề sau đúng? A f , f 1 B f , f C f , f 1 D f , f Câu 6: Cho hàm số y f x , y f f x , y f x có đồ thị C1 , C2 , C3 Biết tiếp tuyến C1 , C2 điểm có hồnh độ x0 có phương trình y x 1, y x Phương trình tiếp tuyến C3 điểm có hồnh độ x0 A y 12 x B y x C y 24 x 21 D y 12 x Câu 7: Cho hàm số y f x có đạo hàm Gọi C1 , C2 , C3 đồ thị hàm số y f x , y f f x , y f x Các tiếp tuyến C1 , C2 điểm x0 có phương trình y x 1, y x Hỏi tiếp tuyến C3 điểm x0 qua điểm đây? A Q 2; 11 B M 2;11 C N 2; 21 Câu 8: Cho hàm số y f x , y f x , y C1 , C2 , C3 k1 2k2 3k3 Giá trị f 1 tiếp tuyến A f x D P 2; 21 có đồ thị C1 , C2 , C3 Hệ số góc f x2 điểm có hồnh độ x0 k1 , k2 , k3 thỏa mãn B C Câu 9: Cho hàm số y f x ; y f f x ; y f x 4 D có đồ thị C1 , C2 , C3 Đường thẳng x cắt C1 ; C2 ; C3 M, N, P Biết phương trình tiếp tuyến C1 M C2 N y 3x y 12 x phương trình tiếp tuyến C3 P có dạng y ax b Giá trị a b A B C D Câu 10: Cho hàm số y f x xác định có đạo hàm thỏa mãn f x 1 f 1 x x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ A y x 7 TOANMATH.com B y x 7 C y x 7 D y x 7 Trang 47 Câu 11: Gọi k1 ; k2 ; k3 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x ;y g x ; y f x gx x thỏa mãn k1 k2 2k3 Mệnh đề đúng? A f B f C f D f Câu 12: Cho hàm số y f x có đạo hàm x Gọi d1 , d2 tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x y g x xf x 1 điểm có hồnh độ x Biết hai đường thẳng d1 , d2 vng góc với nhau, mệnh đề sau đúng? A f 1 B f 1 2 C f 1 2 D f 1 Dạng 5: Một số tốn tiếp tuyến khác Bài tốn Tìm điểm đồ thị hàm số y f x mà tiếp tuyến điểm song song với có hệ số góc k Phương pháp giải Giả sử hai điểm A x A ; f x A , B x B ; f x B x A x B thuộc đồ thị hàm số y f x mà tiếp tuyến hai điểm song song với có hệ số góc k x A , x B hai nghiệm phương trình f x k Khi ta có biểu thức liên hệ x A , x B Từ giải u cầu tốn đưa Đối với hàm số y ax b c 0; ad bc có tâm đối xứng cx d d a I ; Nếu A, B hai điểm thuộc đồ c c thị có tiếp tuyến A, B song song với I trung điểm AB Ví dụ: Cho hàm số y x 1 có đồ thị (H) Gọi 2x 1 A x1 ; y1 , B( x2 ; y2 ) hai điểm phân biệt thuộc (H) cho tiếp tuyến (H) A, B song song với Tổng x1 x2 A B –1 C D Hướng dẫn giải 3 x Ta có y x x 1 Do tiếp tuyến (H) A, B song song với nhau, nên ta có 3 x1 1 3 x2 1 x1 1 x2 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 2 x2 x1 x2 Vì A B nên x1 x2 Chọn D Nhận xét: Hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y TOANMATH.com ax b với c 0; ad bc mà tiếp tuyến cx d Trang 48 A, B song song với hai điểm A, B đối d a xứng với qua điểm I ; nên c c xA xB xI 2d c Ví dụ mẫu x 1 có đồ thị (H) Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x 1 cho tiếp tuyến (H) A, B song song với Độ dài nhỏ đoạn thẳng AB Ví dụ 1: Cho hàm số y A B C D Hướng dẫn giải Ta có y 3 x 1 y x1 y x2 Do tiếp tuyến (H) A, B song song với nên 3 x1 1 3 x2 1 x x2 x1 x2 Vì x1 x2 nên x1 x2 Khi vai trị A, B nên ta giả sử x1 1 a , a 2 a3 1 a3 1 A a ; , B a ; 2a 2 2a 2 1 1 Gọi I ; giao điểm hai đường tiệm cận 2 2 x1 x2 x I Ta thấy nên I trung điểm AB y1 y2 yI a a2 a2 Ta có IA ; IA 4a 4a 2a Vì I trung điểm AB nên AB IA Vậy ABmin a2 a2 a 4a Chọn C TOANMATH.com Trang 49 x 1 có đồ thị (H) Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x 1 cho tiếp tuyến (H) A , B có hệ số góc k Biết diện tích tam giác OAB Mệnh đề đúng? Ví dụ 2: Cho hàm số y A k 9 B 9 k 6 C 6 k 3 D 3 k Hướng dẫn giải Ta có: y x 1 Tiếp tuyến A, B (H) có hệ số góc k nên x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình x 1 k k 0 x1 x2 Suy kx 4kx k * nên k 3 x1 x2 k Khi vai trị A, B nên ta giả sử x1 1 a , a 2 a3 1 a 3 1 A a ; ,B a ; 2a 2 a 2 Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ABC có AB a; b , AC c; d SABC ad bc 1 a 1 a3 Ta có OA a ; , OB a ; 2a 2 a 2 SOAB a a a a a2 a a a a2 2a a a2 ( a > 0) 2 a a 2a a 1 + Với a x1 2; x2 1 k + Với a x1 1; x2 k 3 Vậy giá trị k k 3; k Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Gọi A x A ; y A , B x B ; yB với x A x B điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến A, B song song với AB 37 Giá trị x A x B A 15 TOANMATH.com B 90 C – 15 D – 90 Trang 50 Hướng dẫn giải Ta có y x Do tiếp tuyến (C) A, B song song với nên y x A y x B x A2 x B2 x A x B (do x A x B ) Giả sử A a, a3 3a 1 , B a, a3 3a 1 với a > thuộc (C) Khi AB 4a 2a3 6a a6 24 a 40a 37 a6 24 a 40a 1332 a a (vì a > 0) x A 3; x B 3 nên x A x B 15 Chọn A x 2 có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm phân biệt thuộc (C) tiếp tuyến x 1 (C) A, B song song với Đường thẳng AB cắt trục Ox, Oy M, N diện tích tam giác OMN Độ dài đoạn MN Ví dụ 4: Cho hàm số y A 10 B C D 10 Hướng dẫn giải Ta có y 3 x 1 Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 Khi y x1 y x2 x1 1 x2 1 x1 x2 2 Do tâm đối xứng I 1;1 (C) trung điểm đoạn thẳng AB Gọi hệ số góc đường thẳng AB k Phương trình đường thẳng AB y k x 1 Điều kiện để đường thẳng d : y k x 1 cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình x 2 k x 1 * có hai nghiệm phân biệt x x 1 Ta có * kx 2kx k có hai nghiệm phân biệt x k k k k 3 k k 2k k k 1 Vì M, N giao điểm AB với Ox, Oy nên M ;0 , N 0;1 k k TOANMATH.com Trang 51 Suy SOMN k 1 2k Ta có MN k 1 2 + Với k MN + Với k k 2 k 1 k k k 1 k 2 2 k 1 k MN 2 Vậy hai trường hợp MN Chọn B Bài toán 2: Một số dạng tốn khác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) hàm số y x 3x có hồnh độ a Có số ngun a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt B, C khác A? A B C D Hướng dẫn giải x Ta có y x x ; y x y 12 x 6; y x Tọa độ điểm có hồnh độ a nguyên để tiếp tuyến điểm cắt trục hoành hai điểm thỏa mãn 6 a 2 a 1;0;1 a ; a Vậy có ba giá trị nguyên a thỏa mãn Chọn B Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y ax bx c mà đồ thị có ba điểm cực trị ( ab < 0) tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ nằm hai điểm cực tiểu (cực đại), trừ điểm uốn cắt đồ thị hai điểm khác TOANMATH.com Trang 52 Ví dụ 2: Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) hàm số y x x có hồnh độ a Có số nguyên a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt B, C khác A diện tích tam giác OBC ? A B C D Hướng dẫn giải x Ta có y x x ; y x y 12 x 6; y x Tọa độ điểm có hồnh độ a ngun để tiếp tuyến điểm cắt trục hồnh hai điểm 6 a 2 a 1;0;1 a + Với a 1 A 1;0 Khi phương trình tiếp tuyến y x 1 x Xét phương trình x x x 1 x 1 nên B 0;2 , C 2;6 SOBC (loại) x + Với a A 0;2 Khi phương trình tiếp tuyến y nên B 3;2 , C 3;2 SOBC (thỏa mãn) + Với a A 1;0 Khi phương trình tiếp tuyến y 2 x 1 nên B 0;2 , C 2;6 SOBC (loại) Vậy a Chọn A Ví dụ 3: Cho hàm số y x 1 có đồ thị (C) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m cho tiếp x 2 tuyến (C) điểm có hồnh độ x m cắt tiệm cận đứng A x1 ; y1 , cắt tiệm cận ngang B x2 ; y2 thỏa mãn x2 y1 5 Tổng giá trị phần tử S A B – C – D Hướng dẫn giải Đồ thị (C) có tiệm cận đứng tiệm cận ngang x 2 y Ta có y x 2 , y m TOANMATH.com m2 Trang 53 m 3 Gọi M m 2; C , m , tiếp tuyến (C) M có phương trình m y m 3 x m 2 m m m6 Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng A 2; tiệm cận ngang B m 2;1 m Theo giả thiết ta có m m6 m 5 m m m m 3 Vậy m1 m2 2 Chọn B x 1 có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm nằm x 1 hai nhánh (C) tiếp tuyến (C) A, B cắt đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng cặp M, N P, Q Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ Ví dụ 4: Cho hàm số y A 16 B 32 C D Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Theo tính chất tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc bậc IM.IN IP.IQ Ta có SMNPQ 1 MP.NQ IM IP IN IQ IM IN IP IQ IM.IQ IN.IP 2 1 64 IN.IP 64 16 IM.IQ IN.IP 2 IN IP Vậy Smin 16 64 IN IP IN.IP hay IN IQ IM IP 2 tức MNPQ hình IN.IP vng Chọn A x x x có đồ thị (C) Có giá trị ngun tham số m để có hai tiếp tuyến (C) song song trùng với đường thẳng d : y mx ? Ví dụ 5: Cho hàm số y A 27 B 28 C 26 D 25 Hướng dẫn giải Giả sử M a; b tiếp điểm Ta có y x x 12 x Tiếp tuyến (C) M song song trùng với đường thẳng d : y mx nên a nghiệm phương trình x x 12 x m * TOANMATH.com Trang 54 Để có hai tiếp tuyến (C) song song trùng với đường thẳng d phương trình (*) có hai nghiệm x 1 Xét f x x 3x 12 x có y x x 12; y x Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có hai nghiệm 20 m Mà m nên m 20, 19, ,6,7 Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn Chọn B x 1 điểm I 1;1 Hai điểm A B thuộc nhánh đồ x 1 thị cho IA IB Gọi k1 k2 hệ số góc tiếp tuyến A B Khi tiếp tuyến A Ví dụ 6: Cho đường cong C : y B (C) tạo với góc 15 , giá trị biểu thức k1 k2 A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Do IA IB nên k1 k2 Ta có tan15 k1 k2 k1.k2 k1 k2 2 k1 k2 28 16 k1 k2 32 16 k1 k2 2 Chọn A Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y ax b có tâm đối xứng I Cho A, B hai điểm thuộc cx d nhánh đồ thị hàm số thỏa mãn IA IB Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho A, B Ta có k1k2 c TOANMATH.com Trang 55 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Trên (C) có hai điểm phân biệt A B cho tiếp tuyến A, B có hệ số góc k O, A, B thẳng hàng Mệnh đề đúng? A 3 k B k C k 12 D k Câu 2: Cho hàm số y x x x có đồ thị (C) Tồn hai tiếp tuyến (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B cho OA 2020.OB Có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán? A B C D Câu 3: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Trên đồ thị (C) có ba điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến (C) A, B, C có hệ số góc k Tập hợp tất giá trị thực k 8 A ; 2 1 B ; 3 8 C ; 3 8 D ; 9 Câu 4: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Trên (C) có ba điểm A, B, C cho tiếp tuyến (C) A, B, C có hệ số góc k Biết ba điểm A, B, C thuộc parabol đỉnh I parabol có hồnh độ Tung độ I A 4 B C 36 D 1 Câu 5: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A, B song song với nhau, đường thẳng AB có hệ số góc dương tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Giá trị x A x B A – Câu 6: Cho hàm số y B – C – D x 1 có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) x 1 A , B song song với Khoảng cách lớn từ điểm M 2;3 đến đường thẳng AB A 13 B C D 11 Câu 7: Cho hàm số y x 3x x có đồ thị (C) Hai điểm A, B phân biệt (C) có hồnh độ a, b a b Tiếp tuyến (C) A B song song với AB Giá trị a 3b A B C D Câu 8: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x m 1 x 3m x tồn hai điểm M1 x1 ; y1 , M2 x2 ; y2 có tọa độ thỏa mãn 3 x1 x2 cho tiếp tuyến với đồ thị hai điểm vng góc với đường thẳng x y Số nguyên âm lớn thuộc tập S A – TOANMATH.com B – C – D – Trang 56 x 1 có đồ thị (C) Hai điểm phân biệt A, B (C) hồnh độ A x âm cho tiếp tuyến (C) A, B song song với diện tích tam giác OAB Độ dài đoạn thẳng OA Câu 9: Cho hàm số y A B 89 C D 89 Câu 10: Gọi A, B hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) hàm số y x x cho tiếp tuyến (C) A B song song với Khoảng cách A B lớn A B 3 35 C D Câu 11: Cho hàm số y x 2018 x có đồ thị (C) Xét điểm A1 có hồnh độ x1 thuộc (C) Tiếp tuyến (C) A1 cắt (C) điểm thứ hai A2 A1 có tọa độ x2 ; y2 Tiếp tuyến (C) A2 cắt (C) điểm thứ hai A3 A2 có tọa độ x3 ; y3 Cứ tiếp tục thế, tiếp tuyến (C) An 1 cắt (C) điểm thứ hai An An 1 có tọa độ x n ; yn Giá trị x2019 A 2 2019 B 2018 Câu 12: Có tiếp tuyến đường cong C : y A B D 2 2017 C 2020 2x mà tiếp điểm có tọa độ nguyên? x 1 C D Câu 13: Có tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số y x x x hai điểm phân biệt M N với x M xN Giá trị biểu thức xN x M A B 11 C 2 Câu 14: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y A B B x2 mà tiếp điểm cách trục tọa độ? C Câu 15: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y A x 1 D D x 2 cách hai điểm A 1; 3 , B 2; 6 ? x 1 C D Câu 16: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x cách hai điểm A 1;2 , B 3; 6 ? A B C D Câu 17: Cho đường thẳng y m cắt đường cong C : y x 3x hai điểm phân biệt A B cho tam giác OAB vuông O với m số thực dương Khi tiếp tuyến (C) A B cắt điểm đây? A M 0;40 B N 0; 42 C P 0; 38 D Q 0; 40 Câu 18: Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Xét điểm A thuộc (C) Gọi S tập hợp giá trị thực a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) điểm thứ hai B ( B A ) thỏa mãn a.b , a, b hoành độ A B Tổng giá trị phần tử S TOANMATH.com Trang 57 A B C D 4 x x cho tiếp tuyến (C) A cắt 2 (C) hai điểm phân biệt B; C khác A thỏa mãn AC AB (với B nằm A ;C) Độ dài đoạn thẳng OA Câu 19: Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số C : y A B 14 C Câu 20: Cho đồ thị hàm số C : y D 17 x 1 d1 , d2 hai tiếp tuyến (C) song song với Khoảng 2x cách lớn d1 , d2 A B C D 2 3x có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) x 1 A, B song song với Các tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (C) M, N (tham khảo hình vẽ) Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ Câu 21: Cho hàm số y A 16 B 12 C 20 D 24 ĐÁP ÁN DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước 1–C 2–C 3–A 4–D 5–C 6–C 7–B 8–D 9–D 10 – B 11 – B 12 – A 13 – B 14 – D 15 – D 16 – D 17 – B 18 – D 19 – B 20 – B 21 – A 22 – B 23 – C 24 – A 25 – D 26 – D 27 – C 28 – A 29 – B 30 – A 31 – A 32 – B 33 – B 34 – A 35 – D 36 – D DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x biết hệ số góc 1–B 2–B 3–D 4–B 5–A 6–A 7–B 8–D 9–D 10 – A 11 – A 12 – A 13 – C 14 – A 15 – C 16 – C 17 – D 18 – A 19 – C 20 – B 21 – A 22 – C 23 – D 24 – C 25 – B 26 – D 27 – C DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x qua điểm M cho trước 1–B 2–C 3–C 4–D 5–D 6–A 7–D 8–A 9–B 10 – B 11 – D DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ẩn điểm có hồnh độ x x0 cho trước TOANMATH.com Trang 58 1–D 2–B 11 – B 12 – B 3–C 4–A 5–A 6–A 7–C 8–C 9–D 10 – C Dạng Một số toán tiếp tuyến khác 1–C 2–B 3–D 4–C 5–A 6–A 7–A 8–D 9–A 10 – B 11 – B 12 – B 13 – B 14 – C 15 – A 16 – B 17 – C 18 – D 19 – D 20 – C 21 – D TOANMATH.com Trang 59