Chuyên đề về sự tiếp tuyến và tiếp xúc

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 07 : TIẾP TUYẾN – SỰ TIẾP XÚC LÍ THUYẾT ❖ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số: Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) điểm M ( x0 ; y0 )  ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với đường • cong ( C ) điểm M ▪ Bước 1: Tính đạo hàm f ' ( x ) Tìm hệ số góc tiếp tuyến f ' ( x0 ) ▪ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến điểm M là: y = f ' ( x )( x − x0 ) + y0 ❖ Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước ▪ Bước 1: Gọi (  ) tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k ▪ Giả sử M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Khi x0 thỏa mãn: f ' ( x0 ) = k ▪ Giải (1) tìm x0 Suy y0 = f ( x0 ) ▪ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x0 ) + y0 (1) ❖ Điều kiện để hai hàm số tiếp xúc ▪ Cho hai hàm số ( C ) : y = f ( x ) ( C ') : y = g ( x ) Đồ thị ( C ) ( C  ) tiếp xúc  f ( x ) = g ( x ) hệ phương trình:  có nghiệm  f  ( x ) = g  ( x ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: TiẾP tuyến tiếp xúc VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hàm số y = x +1 ( C ) Điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ lớn , tiếp tuyến ( C ) x −1 M cắt hai tiệm cận ( C ) A , B Diện tích nhỏ tam giác OAB A + 2 D + C B Lời giải Chọn A Tập xác định: D = \ 1 Ta có: y = − ( x − 1) , x  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = đường tiệm cận đứng x = Giả sử M ( m ; yM )  ( C ) ( m  1)  yM = Phương trình tiếp tuyến  là: y = − m +1 ; y ( m ) = − = 1+ m −1 m −1 ( m − 1) ( m − 1) ( x − m) +1+ m −1  x + ( m − 1) y − m − 2m + = Gọi A giao điểm  đường tiệm cận ngang Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương y =1  2  x = 2m −  A ( 2m − 1;1) trình:  y=− x − m) +1+ (  m −1 ( m − 1)  Gọi B giao điểm  đường tiệm cận đứng Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương x = m+3 4    2 y= = 1+ trình:   B 1;1 +  y=− x − m) +1+ ( m − m − m −    m −1 ( m − 1)  16 2   = Suy ra: AB = ( − 2m ) +   = ( m − 1) +  m −1  ( m − 1) m − d ( O;  ) =  S OAB = − m − 2m + + ( m − 1) m −1 = +4 ( m − 1) +4 m + 2m − 2 (vì m  ) = m + + = + m −1+ m −1 m −1 m −1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số m −  + ( m − 1) + 1 − m − 2m + = d ( O ;  ) AB = 2 + ( m − 1)4 m − − m − 2m + ( m − 1) 2 2 : ( m − 1) + m −1 m −1  4+2 m −1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  m − = Vậy diện tích nhỏ tam giác OAB + 2  m −1  m = + m  VÍ DỤ 2: Cho hàm số y = 3 x − x + ( C ) Xét hai điểm A ( a ; y A ) B ( b ; y B ) phân biệt đồ 2 thị ( C ) mà tiếp tuyến A B song song Biết đường thẳng AB qua Phương trình đường thẳng AB A x − y − = B x + y − = C x − y + = D x − y + = Lời giải Chọn D 3     Gọi A  a ; a − a +  B  b ; b3 − b +  với a  b hai điểm phân biệt thuộc đồ thị 2     ( C ) mà tiếp tuyến A B song song với Ta có f  ( a ) = f  ( b )  3 a − 3a = b − 3b  a − b = ( a − b )  a + b = 2  a+b 3  Gọi I  ; ( a + b ) − ( a + b ) +  trung điểm đoạn AB    − 6ab ( − 2ab )  − +  hay I (1;1) Với a + b = ta có I 1; 4   ( )   Lại có AB  b − a ; ( b3 − a ) − ( b − a )  phương với u 2; ( a + b + ab ) − ( a + b ) 2   Hay u ( 2; − − ab ) Nên đường thẳng AB có véc tơ pháp tuyến n ( + ab ; ) Suy phương trình đường thẳng AB ( + ab )( x − 1) + ( y − 1) = Do đường thẳng AB qua D ( 5;3) nên ( + ab ) + =  4ab + 12 =  ab = −3 Thay ab = −3 vào phương trình AB ta được: x − y + = Cách – trắc nghiệm: Đồ thị hàm số y = 3 x − x + ( C ) có điểm uốn I (1;1) 2 Do đường thẳng AB qua D ( 5;3) I (1;1) có phương trình x − y + = VÍ DỤ 3: Cho hàm số y = x+2 có đồ thị ( C ) điểm A ( 0; a ) Hỏi có tất giá trị nguyên x −1 a đoạn  −2018;2018 để từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hoành? A 2020 B 2018 C 2017 Lời giải Chọn D Ta có: y ' = −3 , x 1 ( x − 1) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D 2019 Chủ đề 07: TiẾP tuyến tiếp xúc −3 Phương trình đường tiếp tuyến điểm x0 : y = Tiếp tuyến điểm A ( 0; a ) là: ( x − x0 ) + ( x0 − 1) 3x + ( x0 + )( x0 − 1) a= ( x0 − 1)  ( a − 1) x0 − 2( a + 2) x0 + a + = y' = x0 + x0 − −3 ( x − 1) (1) Để từ điểm A kẻ tiếp tuyến đến (C )  (1) có hai nghiệm phân biệt   '   ( a + ) − ( a − 1)( a + )   a  −2 Theo định lí Vi-et ta có: 2( a + 2)  x1 + x2 =   a −1   x1 x2 = a +  a −1  Để hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh thì: y ( x1 ) y ( x2 )   ( x1 + 2)( x2 + 2) x x + 2( x1 + x2 ) + 9a + −2 0 0 0a ( x1 − 1)( x2 − 1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + −3 Mà a   −2018;2018 ; a   a   0;2018 VÍ DỤ 4: Cho parabol ( P ) : y = x − px + q Biết qua A ( 2;1) kẻ tiếp tuyến đến ( P ) tập hợp tất điểm M ( p; q ) miền nghiệm bất phương trình ax + by + c  Biểu thức T = 3a − 2b + c nhận giá trị sau đây? A 10 B D −2 C 11 Lời giải Chọn C Ta có y = x − p Gọi M ( x0 ; x0 − px0 + q ) tiếp điểm, tiếp tuyến với ( P) M có phương trình: y = ( x0 − p )( x − x0 ) + x02 − px0 + q  x02 − xx0 + px − q + y = Tiếp tuyến qua A ( 2;1) nên: x02 − x0 + p − q + = (1) Vì qua A ( 2;1) ln kẻ tiếp tuyến đến ( P ) nên phương trình (1) ln có nghiệm Do đó:    p − q −  ( ) M ( p; q ) thuộc miền nghiệm bất phương trình ax + by + c  nên ap + bq + c  ( 3)  a = 4m a b c  Từ ( ) ( 3) suy = = = m , điều kiện: ( m  )   b = − m −1 −3 c = −3m  81   81 − 2 m −   4  Vậy T nhận giá trị 11 nên ta chọn đáp án C  T = −2m + 9m = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ 5: Cho hàm số y = f ( x ) = x − x + 4m − m Có giá trị m để đồ thị hàm số g ( x ) = f  f ( x )  tiếp xúc với Ox A B C D Lời giải Chọn D x = m Ta có f ( x ) =  ( x − m )( x + m − ) =   x = − m  x − x + 4m − m = m (1)  f ( x) = m  Suy g ( x ) =  f  f ( x )  =    f ( x ) = − m  x − x + 4m − m = − m ( ) Trường hợp 1: Nếu m = − m  m = x = − 2 Từ (1) ; ( ) suy g ( x ) =  ( x − x + ) =   Hai nghiệm hai nghiệm  x = + kép phương trình g ( x ) = nên đồ thị hàm số y = g ( x ) tiếp xúc với Ox Trường hợp 2: Nếu m  − m  m  Khi (1) ; ( ) khơng có nghiệm chung Để đồ thị hàm số y = g ( x ) tiếp xúc với Ox  (1) có nghiệm kép ( ) có nghiệm kép  m − 3m + = (VN )  Tức khơng có giá trị m thỏa mãn trường hợp  m − 5m + = (VN ) Vây m = thỏa mãn yêu cầu tốn VÍ DỤ 6: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x + ( C ) Và A(a ; − 2) Từ A kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) Gọi S tập hợp giá trị a để tổng hệ số góc Tính tổng phần tử S A B C D Lời giải Chọn D Gọi  đường thẳng qua A(a ; − 2) có hệ số góc k Đường thẳng  có phương trình: y = k ( x − a ) −  x − x + = k ( x − a ) − Vì  tiếp tuyến đồ thị ( C ) nên hệ sau có nghiệm:   k = x − x Suy x3 − 3x + = ( 3x − x ) ( x − a ) −  ( x − ) ( x + 1) = ( x − ) 3x ( x − a ) x =   x − ( 3a − 1) x + = ( *)  a = Trường hợp : Phương trình (*) có nghiệm kép  9a − 6a − 15 =     a = −1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: TiẾP tuyến tiếp xúc Với a = có hai tiếp tuyến đồ thị ( C ) x = x = có tổng hệ số góc hai tiếp tuyến đồ thị ( C ) x = x = là: ( 3.22 − 6.2 ) + ( 3.12 − 6.1) = −3 ( khơng thỏa mãn) Với a = −1 có hai tiếp tuyến đồ thị ( C ) x = −1 x = có tổng hệ số góc hai ( ) tiếp tuyến đồ thị ( C ) x = −1 x = là: ( 3.22 − 6.2 ) + ( −1) + 6.1 = (thỏa mãn) Trường hợp : Phương trình (*) có nghiệm a = phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x = x = Với a = có hai tiếp tuyến đồ thị ( C ) x = x = có tổng hệ số góc hai tiếp   2 1 tuyến đồ thị ( C ) x = x = là: ( 3.22 − 6.2 ) +    −  = − (không tm)  2 2   Trường hợp : Phương trình (*) có nghiệm khác  a   9a − 6a − 15      (**) a  − a      a  2 Khi có ba tiếp tuyến đồ thị ( C ) x1 ; x2 x = với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) , có tổng hệ số góc ba tiếp tuyến đồ thị ( C ) x1 ; x2 x = là: 3x12 − x1 + x2 − x2 =  3( x1 + x2 ) − 6( x1 + x2 ) − x1 x2 =  3+ a = a − a −      3  − 6  − =  27 a − 54a − 45 =        3− a =  Kết hợp điều kiện (**) ta có a = 3+ 6 Vậy tổng phần tử S 3 14 VÍ DỤ 7: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) cho tiếp 3 tuyến ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ? A B C D Lời giải Chọn B 14   Gọi A  a; a − a  tọa độ tiếp điểm   28  14 4 Phương trình tiếp tuyến A d : y =  a − a  ( x − a ) + a − a  3 3 Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d là: Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 28  28  14 x − x =  a − a  ( x − a ) + a4 − a2 3  3 3 x = a  ( x − a ) ( x + 2ax + 3a − 14 ) =   2  x + 2ax + 3a − 14 = (1) Đồ thị ( C ) cắt d điểm phân biệt  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác a  7       a  − 7; \     6a − 14   3 28  4 Theo đề bài: y1 − y2 = ( x1 − x2 )   a − a  ( x1 − x2 ) = ( x1 − x2 )  3 ( ) a = 28  a − a =   a = −1 3  a = −2  a = −1 Đối chiếu điều kiện:  Vậy có điểm A thỏa đề  a = −2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG Câu Bài toán tiếp tuyến tiếp xúc Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x − x + x + 2019 điểm có hồnh độ x0 = −1 A y = x + 2016 Câu B y = 3x + B y = −40 x − 57 Cho hàm số y = B y = x + C y = −40 x + 103 D y = −40 x + 25 C y = x − D y = x + 14 x+1 có đồ thị (C ) Tiếp tuyến (C ) điểm có tung độ x−2 B y = −3 x + 13 C y = 3x + 13 D y = −3 x + có đồ thị (C ) Tiếp tuyến (C ) điểm có tung độ tạo với hai x −1 trục tọa độ Ox , Oy tam giác có diện tích Cho hàm số y = C D 2 Cho hàm số y = ln( x + 1) + ln x có đồ thị (C ) , điểm M  (C ) có tung độ ln Phương trình A Câu D y = 3x + Cho hàm số y = x + x + có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) M ( ; ) A y = 3x − Câu C y = 3x − Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x + x − điểm có hồnh độ x0 = −2 là A y = x − Câu D y = x + 2023 A y = −40 x − 80 Câu C y = x + 2014 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x ( – x ) điểm M0 ( ; ) A y = x + 12 Câu B y = x + 2007 B tiếp tuyến (C ) điểm M Câu 3 3 A y = − x + + ln B y = x − + ln C y = 3x − D y = x − 2 2 Cho hàm số y = x ln( x − 1) có đồ thị (C ) Phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với trục hoành A y = Câu B y = x − C y = x − D y = x + Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C ) Phương trình tiếp tuyến (C ) điểm có tung độ y0 = −15 A y = 24 x + B y = 24 x + 39 C y = −15 D y = 24 x − 39 Câu 10 Cho hàm số y = x − x + x + có đồ thị (C ) Trong tiếp tuyến (C ) , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ tiếp xúc với (C ) điểm có tung độ A Câu 11 Cho hàm số y = log B 151 27 C 113 27 D x+3 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm 2−x đồ thị ( C ) với đường thẳng d : y = là: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: Tiếp tuyến tiếp xúc 5 A y = x− ln ln C y = x + − ln B y = x+2− ln ln D y = 5 x+2− ln ln Câu 12 Biết đường thẳng y = ln 4.x + m tiếp tuyến đường cong y = x giá trị tham số m A ln − B D ln − C Câu 13 Cho hàm số y = x − x + 3x − có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) song song với đường thẳng  : x + y + = ? A C B D Câu 14 Cho hàm số y = − x + 3x − x + Tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc lớn có phương trình A y = x − B y = x + C y = −4 x − D y = −4 x + Câu 15 Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ax + bx + 23 điểm A ( ; − ) vng góc với đường thẳng x + y − 2019 = Tình a + b − A 15 C −23 B 23 D −15 Câu 16 Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị hàm số ( C ) : f ( x ) = x − x + 35 hai điểm phân biệt Tìm tung độ tiếp điểm A −35 B 35 C −19 D 19 x − ln ( x − ) có đồ thị ( C ) Số tiếp tuyến với đồ thị ( C ) hàm số vng góc với đường thẳng y = − x + Câu 17 Cho hàm số y = A B D C Câu 18 Cho hàm số y = e x − e − x có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ A y = B y = x + C y = x + D y = x Câu 19 Cho hàm số y = x + 3x − x + có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm N (0 ;1) A y = − 33 x + 11 B y = − 33 x + 12 C y = − 33 x+1 D y = − 33 x+2 Câu 20 Cho hàm số y = x − 3x + Có tất tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A ( 1; ) A Câu 21 Cho hàm số y = A ( ;1) ? A B C D x2 − x − có đồ thị ( C ) Có tiếp tuyến đồ thị ( C ) qua điểm x−3 B C D Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 22 Cho hàm số y = 2x có đồ thị ( C ) Biết có hai tiếp tuyến đồ thị ( C ) qua điểm x+1 A ( ;1) Tích hệ số góc hai tiếp tuyến B −1 A C −2 D Câu 23 Gọi S tập giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x + mx − x − 9m tiếp xúc với trục hoành Tổng phần tử S A B C D −3 Câu 24 Xét đồ thị ( C ) hàm số y = x + 3ax + b với a , b số thực Gọi M , N hai điểm phân biệt thuộc ( C ) cho tiếp tuyến với ( C ) hai điểm có hệ số góc Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN Khi giá trị lớn a − b −2 A B C −2 D ( ) Câu 25 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f x + x + = x − x + với x  Gọi  tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) điểm có hồnh độ x0 = Giả sử  cắt Ox điểm A cắt Oy điểm B Khi diện tích tam giác OAB A B C D Câu 26 Cho hàm số: y = 2x + có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến x −1 điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) thỏa mãn phương trình x0 − = A y = − x − , y = x + 14 9 C y = − x − , y = x + 9 B y = − x − , y = x + 9 D y = − x − , y = −4 x + 14 9 Câu 27 Cho hàm số y = x ( − x ) + x (C ) Phương trình tiếp tuyến giao điểm ( C ) với parabol (P) : y = x A y = ; y = ; y = 24 x − B y = ; y = ; y = 24 x − C y = ; y = ; y = 24 x − 63 D y = ; y = ; y = 24 x − 63 2x − có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm đường tiệm cận Gọi M ( x0 , y0 ) , x+1 x0  −3 điểm (C ) cho tiếp tuyến với (C ) M cắt hai đường tiệm cận Câu 28 Cho hàm số y = A , B thỏa mãn AI + IB2 = 40 Khi tích x0 y0 A −1 Câu 29 Cho hàm số f ( x) = B −12 C D 12 x +1 có đồ thị ( H ) Tìm Oy tất điểm từ kẻ x −1 tiếp tuyến tới ( H ) A M (0;1) B M1 (0;1) M2 (0; −1) C Không tồn D M (0; −1) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 20: Cho đa thức f ( x ) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1 − x ) = x , x  Biết tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị hàm số y = f ( x ) tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác đó? A B C D Lời giải Chọn A Ta có: f ( x ) + f (1 − x ) = x , x  (1) Đặt t = − x  f (1 − t ) + f ( t ) = (1 − t ) , t   f (1 − t ) + f ( x ) = (1 − x ) , t  ( 2) 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x  f ( x) = ( x + x − 1) Từ ta có:  2 f (1 − x ) + f ( x ) = (1 − x ) Suy ra: f (1) = ; f '(1) = 3 Suy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = là: y= 4 ( x − 1) +  y = x − 3 3 2 1   Tiếp tuyến cắt trục hoành A  ;  cắt trục tung B  0; −  3  2  Suy diện tích tam giác OAB là: S = 1 OA.OB = − = 2 2x +1 Tiếp tuyến đồ thị ( C ) x −1 điểm M cắt đường tiệm cận ngang ( C ) điểm A Hỏi có điểm M thỏa Câu 21: Xét điểm M có hồnh độ số nguyên thuộc đồ thị ( C ) : y = điều kiện A cách gốc tọa độ khoảng cách nhỏ 10 ? A B C Lời giải Chọn B , x  Ta có y = − ( x − 1) Giả sử M ( a; b )  ( C ) Khi b = D 2a + với a  , a  a −1 Tiếp tuyến với ( C ) điểm M có phương trình : y = − ( x − a ) + 2a + a −1 ( a − 1) Đồ thị ( C ) có TCN đường thẳng Ta có   d = A ( 2a − 1; ) d : y = Theo ta có OA  10  ( 2a − 1) +  40 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  7  4a − 4a − 35   a   − ;   2 Do a  , a   a  −2; −1;0; 2;3 Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( P ) hình bên đường thẳng  : y = x − tiếp tuyến ( P ) điểm A Xét hàm số g ( x ) = A g ' ( ) = B g ' ( ) = f ( x) Tính g ' ( ) x C g ' ( ) = − Lời giải D g ' ( ) = − Chọn A Đặt y = f ( x ) = ax + bx + c, với a, b, c số thực a  Vì ( P ) qua điểm A ( 2; ) , B ( 0; ) nên ta có hệ phương trình 2 = 4a + 2b + c 2a + b =  , (1)  2 = c c = Vì đường thẳng  : y = x − tiếp tuyến ( P ) điểm A nên ta có f ' ( ) =  4a + b = 2, ( ) a =  Từ (1) ( ) suy b = −2 c =  Ta có y = f ( x ) = x − x + suy g ( x ) = Ta có g ' ( x ) = − Câu 23: f ( x ) x2 − x + 2 = = x−2+ x x x 2  g ' ( 2) = − = x ( 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đồ thị ( G ) hàm số y = ln x cắt trục tung điểm A tiếp tuyến ( G ) A cắt trục hồnh điểm B Tính diện tích tam giác OAB A 0, 603 B 0, 414 C 0,829 Lời giải Chọn C Cho x =  y = = log e Khi A ( 0;log e ) ln 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D 1, 207 Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số ( 3) Ta có y = x ln ln = ( 3) x Tiếp tuyến ( G ) A có phương trình dạng: y = y ( )( x − ) + y ( ) = x + log e Tiếp tuyến ( G ) A cắt trục hoành điểm B nên B ( −2 log e;0 ) Diện tích tam giác OAB là: 1 S = OA.OB = log e −2 log e  0,829 2 Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x có đồ thị ( C ) hàm số y = g ( x ) = x có đồ thị ( P ) Hỏi hai đồ thị ( C ) ( P ) có tất tiếp tuyến chung? A B D C Lời giải Chọn D Gọi A ( a ; a ) thuộc đồ thị ( P ) Phương trình tiếp tuyến A có dạng y = g  ( a )( x − a ) + a Hay y = 2a ( x − a ) + a = 2ax − a ( d ) Để ( d ) tiếp tuyến ( C ) ( d ) ( C ) phải tiếp xúc với   x − 3x = 2ax − a (1) Ta có điều kiện tiếp xúc:  x − = a ( )    3x −  x − 18 x + 3 Thế ( ) vào (1) ta x − 3x = ( 3x − 3) x −   x − x = x − x −     x  1,82  x − x3 − 18 x + =    x  0, 68 Vậy hai đồ thị ( C ) ( P ) có tất hai tiếp tuyến chung x +1 có đồ thị (C ) đường thẳng d : y = −2 x + m − ( m tham số thực) Gọi x+2 k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C ) giao điểm d (C ) Tính tích k1.k2 Câu 25: Cho hàm số y = A k1.k2 = B k1.k2 = C k1.k2 = D k1.k2 = Lời giải Chọn C Xét phương trình x +1 = −2 x + m −  x + (6 − m) x + − 2m = ( x  −2) (1) x+2 Đặt f ( x) = x + (6 − m) x + − 2m Ta có f (−2) = −1   = m + 4m + 12  0, m Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo Viet ta có m−6  x1 + x2 =     x x = − 2m   Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 x +1 Từ y = ta có y = Do ta có k1 = ; k2 = 2 x+2 ( x1 + 2) ( x2 + 2) ( x + 2) k1.k2 = 1 = = 2 ( x1 + 2) ( x2 + 2)  x1.x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 2  − 2m 2m − 12  Mà  x1.x + 2( x1 + x2 ) + 4 =  + + 4 =   Vậy k1 k2 = Chọn đáp án C x − 3x + ( P ) Parabol có phương trình x −1 y = ax + bx − Biết từ điểm A ( 4;1) kẻ hai tiếp tuyến với ( C ) Gọi k1 ; k2 hệ số góc Câu 26: Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = hai tiếp tuyến gọi I đỉnh ( P ) Khi ( P ) qua M ( k1 ;0 ) , N ( k2 ;0 ) , tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN 47 12 A R = B R = C R = 100 25 Lời giải Chọn D Ta có x − 3x + y= = x−2+ x −1 x −1  y = − ( x − 1) Gọi Q ( x0 ; y0 ) , y0 = x0 − + D R = 161 36 x0 − Giả sử phương trình tiếp tuyến ( C ) Q có dạng y = f  ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Vì tiếp tuyến qua A ( 4;1) nên = f  ( x0 ) ( − x0 ) + y0   2  = 1 − − x0 ) + x0 − +  ( x0 −  ( x0 − 1)   x02 − x0 + = ( x02 − x0 − 1) ( − x0 ) + ( x02 − x0 + ) ( x0 − 1)  x02 − x0 + = − x03 + x02 − x0 − + x03 − x02 + x0 −  x02 + x0 − =  − 10  x0 = −1 + 10  k1 =   + 10  x0 = −1 − 10  k1 =   − 10   + 10   M  ;0  , N  ;0  9     21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số  − 10   + 10  ;0  , N  ;0  nên Vì ( P ) qua M  9       − 10 2  − 10  a   + b   − =  9 a = 18        b = −8  + 10    + 10   + b   − = a  9      Do Parabol cần tìm y = 18 x − x −  −80  Tọa độ đỉnh I  ;  9  Phương trình đường thẳng MN : y = d ( I , MN ) = 80 10 664 664 ; MN = , NI = , MI = 9 9 1 10 80 160 10 S IMN = MN d ( I , MN ) = = 2 9 81 MN MI NI 161 R= = S IMN 36 Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục hai đường thẳng 1 : y = h ( x )  : y = g ( x ) có đồ thị hình vẽ Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị ( C  ) : y = f ( x ) h ( x ) g ( x) điểm có hồnh độ x = có dạng a Khi a + b thuộc khoảng sau đây? b A (15; 25 ) B ( −20;10 ) C ( 60;80 ) k= D ( −30; −21) Lời giải Chọn A Ta có ( C  ) : y = f ( x ) h ( x ) g ( x)  f  ( x ) h ( x ) + f ( x ) h ( x )  g ( x ) − f ( x ) h ( x ) g  ( x )  y =   g ( x )  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  f ( ) = 2; g ( ) = 7; h ( ) = Dựa vào đồ thị ta có g ( x ) = x + , h ( x ) = − x +   f  ( ) = 0; g  ( ) = 2; h ( ) = −1 Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị ( C  ) : y = h ( x ) g ( x ) f ( x) điểm có hồnh độ x =  f  ( ) h ( ) + f ( ) h ( )  g ( ) − f ( ) h ( ) g  ( ) −30 k = y ( ) =  = 49  g ( )  −30 a a = −30 =   a + b = 19 Như k = 49 b b = 49 Câu 28: Gọi S tập tất giá trị tham số m để đường thẳng y = x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + Tổng tất phần tử S A C −1 Lời giải B D Chọn B  x + = 3x + m Để đường thẳng y = x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 +  3x = có nghiệm m = x3 − 3x +   m = −1   x + = 3x + m Giải hệ    x =  3x = m =    x = −1  Vậy tổng giá trị m là: −1 + = Câu 29: Cho f ( x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ S =  f  ( a ) , f  ( b ) , f  ( c ) , f  ( d ) , f  ( ) Phần tử lớn tập hợp S là: A f  ( a ) B f  ( b ) C f  ( ) Lời giải Gọi  ,  góc tạo tiếp tuyến c, d  f  ( c ) = tan     f  ( d ) = tan    f  ( c )  f  ( d )     Vậy phần tử lớn tập hợp S là: f  ( d ) 23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D f  ( d ) bên Gọi Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 30: Cho biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = y = x − ( ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f x − điểm có hồnh độ x = A y = x − B y = x − C y = x − D y = x − Lời giải Chọn C Theo đề, ta có f  (1) = tiếp tuyến điểm có hoành độ x = y = ( x − 1) + f (1) = x + f (1) − , suy f (1) = ( ) ( ) Xét hàm số y = f x − Ta có y = xf  x − Suy y (1) = f  (1) = Từ ta loại ba đáp án A,B, D Câu 31: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) B ( x2 ; y2 ) với B khác A thỏa y2 − y1 = −24 ( x2 − x1 ) Số điểm A thỏa mãn B A C Lời giải D Chọn A Tiếp tuyến ( C ) A có phương trình y − y1 = y ( x1 ) ( x − x1 ) Do B thuộc tiếp tuyến ( C ) A nên y2 − y1 = y ( x1 )( x2 − x1 )  y ( x1 ) = y2 − y1 = −24 x2 − x1 Do x1 nghiệm phương trình x − x = −24  x − x + =  x = −2 Từ suy có điểm A thỏa mãn tốn x+2 có đồ thị ( C ) điểm A ( 0; a ) Có tất giá trị nguyên a x −1 đoạn  −2018; 2018 để từ A kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) cho hai tiếp điểm nằm Câu 32: Cho hàm số y = hai phía trục hồnh A 2019 B 2020 C 2017 Lời giải D 2018 Chọn D Ta có y = − ( x − 1) Tiếp tuyến với đồ thị ( C ) qua A ( 0; a ) ( Δ ) : y = kx + a x+2  x − = kx + a  ( Δ ) tiếp xúc với ( C ) hệ phương trình  − =k  ( x − 1) Từ hệ (*) ta có ( *) có nghiệm x+2 3x =− + a  ( a − 1) x − ( + a ) x + + a = (**) x −1 ( x − 1) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 u cầu tốn tìm a để phương trình (**) có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1 + x2 +  x1 − x2 − 2+a   S = x1 + x2 = a − Ta có  P = x x = ( + a )  a −1    a  a  a  a        3a +   a  −2   Yêu cầu toán tương đương   a−  P + 2S +  9a +      0  a  −  P − S +1  −3  Do m nguyên thuộc đoạn  −2018; 2018 nên m  0; 2;3; 4;; 2018 Vậy có 2018 giá trị thỏa yêu cầu toán Câu 33: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) B ( x2 ; y2 ) với B khác A thỏa y2 − y1 = −24 ( x2 − x1 ) Số điểm A thỏa mãn A B C Lời giải D Chọn A Tiếp tuyến ( C ) A có phương trình y − y1 = y ( x1 ) ( x − x1 ) Do B thuộc tiếp tuyến ( C ) A nên y2 − y1 = y ( x1 )( x2 − x1 )  y ( x1 ) = y2 − y1 = −24 x2 − x1 Do x1 nghiệm phương trình x − x = −24  x − x + =  x = −2 Từ suy có điểm A thỏa mãn tốn Câu 34: Tìm điểm M có hồnh độ âm đồ thị ( C ) : y = x3 − x + cho tiếp tuyến M vng 3 góc với đường thẳng d : y = − x + 3 4 4   A M ( −2; −4 ) B M  −1;  C M ( −2;0 ) D M  2; −  3 3   Lời giải Chọn C Đường thẳng d : y = − x + có hệ số góc − tiếp tuyến có hệ số góc 3 Gọi tọa độ M M ( x0 ; y0 ) hệ số góc tiếp tuyến M y ' ( x0 ) = x0 −  x0 = Từ ta có x02 − =    x0 = −2 Theo giả thiết, điểm M có hồnh độ âm nên x0 = −2 Vậy tọa độ M ( −2;0 ) 25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 35: Cho đa thức f ( x ) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1 − x ) = x , x  Biết tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị hàm số y = f ( x ) tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác đó? A B C D Lời giải Chọn A Ta có: f ( x ) + f (1 − x ) = x , x  (1) Đặt t = − x  f (1 − t ) + f ( t ) = (1 − t ) , t   f (1 − t ) + f ( x ) = (1 − x ) , t  ( 2) 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x  f ( x) = ( x + x − 1) Từ ta có:  2 f (1 − x ) + f ( x ) = (1 − x ) Suy ra: f (1) = ; f '(1) = 3 Suy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = là: y= 4 ( x − 1) +  y = x − 3 3 2 1   Tiếp tuyến cắt trục hoành A  ;  cắt trục tung B  0; −  3  2  Suy diện tích tam giác OAB là: S = 1 OA.OB = − = 2 Câu 36: Gọi ( P ) đồ thị hàm số y = x + x + điểm M di chuyển ( P ) Gọi ( d1 ) , ( d ) đường thẳng qua M cho ( d1 ) song song với trục tung ( d1 ) , ( d ) đối xứng qua tiếp tuyến ( P ) M Biết M di chuyển ( P ) ( d ) qua điểm cố định I ( a; b ) Đẳng thức sau đúng? A 3a + 2b = B a + b = C an = −1 Lời giải D 5a + 4b = Chọn D Ta có y = x + x +  y ' = x + ( ) Gọi M m; m + 2m + , phương trình tiếp tuyến M có dạng:  : y = ( 2m + )( x − m ) + m + 2m + = ( 2m + ) x − m + Ta có d1 : x = m  cos ( d1 ;  ) = Gọi 2m + ( 2m + ) + k ( 2m + ) + d : y = kx + n  cos ( d ;  ) = ( 2m + ) + a +  k ( 2m + ) + = 2m + a + Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 26 Phan Nhật Linh k= Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 4m + 8m + 4m + 13m + n= ( 2m + ) 4m + 2 4m2 + 8m + 4m2 + 13m + x+ 4m + 4m + 5m + 5 =  d qua điểm Với x = −1  y = 4m + 4  d2 : y = Câu 37: Cho hàm số f ( x) = x + 5  I  −1;  cố định 4  Cho điểm M ( a; b) cho có hai tiếp tuyến đồ thị hàm x số y = f ( x ) qua M, đồng thời hai tiếp tuyến vng góc với Biết điểm M ln thuộc đường trịn cố định, bán kính đường trịn B A C Lời giải D Chọn A  t2 +1  Giả sử điểm A  t ;  , (t  0) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) t   x2 −1 Ta có f ( x) = x +  f '( x) = x x2 Phương trình tiếp tuyến A đồ thị hàm số y = f ( x ) là: y= t −1 t2 +1 ( x − t ) + t2 t Mà tiếp tuyến qua điểm M nên ta có: t −1 t2 +1 b = (a − t ) +  (a − b)t + 2t − a = (1) t t Qua M kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = f ( x ) , đồng thời hai tiếp tuyến vng góc với nên phương trình phải có hai nghiệm phân biệt t1 , t2  thỏa mãn f '(t1 ) f '(t2 ) = −1 a  b a   hay  ' = + a(a − b)  t −1 t −1  2 = −1 t2  t1  t1 + t2 = b − a Theo định lý Vi-et, ta có  t t = a b−a  nên t12 − t22 − = −1  2t12t22 − (t12 + t22 ) + = t12 t2  2t12t22 − (t1 + t2 ) + 2t1t2 + = 2 a  a     2 +1 =  −  +2 b−a b−a b−a 27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số  a + b = Do a  nên từ a + b = suy b  , a +  a  ab  ab a + b =  Suy a  b a   Như vậy, tập hợp tất điểm M ( a; b) thỏa mãn yêu cầu đề đường tròn tâm O, bán kính 2, bỏ điểm B(0; 2), C (0; 2), D ( ) ( ) 2; , E − 2; − Câu 38: Cho hàm số y = f ( x ) = x − x3 + x có đồ thị ( C ) Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến kẻ từ A = ( a;0 ) đến ( C ) Số phần tử S A B C Lời giải D Vô số Chọn B Gọi  đường thẳng qua A ( a; ) có hệ số góc k , phương trình đường thẳng  y = k ( x − a )  x − x + x = k ( x − a ) (1) Do  tiếp tuyến ( C ) , xét hệ phương trình ( I ) :  (2)  x − x + x = k Thế ( ) vào (1) , ta có: x − x3 + x = ( x3 − x + x ) ( x − a )  x ( x − 1) 3x − ( 4a + 1) x + 2a  = x =   x = 3x − ( 4a + 1) x + 2a =  ( 3) x =  x =  k = , ta xét k =  x3 − x + x =   x = Do   x = x =  x = Khi  , ta thu phương trình tiếp tuyến  : y = x = 1 x= phương trình tiếp tuyến  : y = , tiếp tuyến không qua A ( a; ) Khi 16 Bài tốn trở thành tìm a để ( 3) có nghiệm phân biệt có nghiệm thuộc 0;1 ( 3) có nghiệm kép khác 0; 1; Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 28 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Trường hợp 1: ( 3) có nghiệm phân biệt có nghiệm thuộc 0;1  =  − ( 4a + 1)  − 4.3.2a     a =    2a =  a =    3 − ( 4a + 1) + 2a = Trường hợp 2: Phương trình ( 3) có nghiệm kép khác 0; 1;  = 16a − 16a + =   2+ a = 2a   3 − ( a + 1) + 2a     2−  a =  − ( 4a + 1) + 2a    2 − +   ; Vậy đáp án toán S = 0;1;  4   Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2x3 + x có đồ thị ( C ) Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến kẻ từ A ( a; 0) đến ( C ) Số phần tử S A B D vô số C Lời giải Chọn B Ta có y = f ( x ) = x − 2x3 + x , suy y = f  ( x ) = 4x − 6x + 2x Đường thẳng d qua A ( a; 0) với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − a ) Đường thẳng d tiếp tuyến ( C ) hệ phương trình sau có nghiệm  x − 2x + x = k ( x − a )  4x − 6x + 2x = k (1) ( 2) Thay ( 2) vào (1) ta x − 2x + x = ( 4x − 6x + 2x ) ( x − a )  3x − ( 4a + 4) x + ( 6a + 1) x − 2ax = x =   x ( x − 1) 3x − ( 4a + 1) x + 2a  =   x =  g ( x ) = 3x − ( 4a + 1) x + 2a =  ( 3) x =  k = Nhận xét:  phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = , x = x = 1 k = có dạng y = Khi để có tiếp tuyến kẻ từ A ( a; 0) đến ( C ) xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình ( 3) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm hoặc 29 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số   16a − 16a +  16a − 16a +    a =     g ( 0) =   2a =  a =  a =     g =0  3.12 − 4a + 1 + 2a =   a = ( )     ( ) Trường hợp 2: Phương trình ( 3) có nghiệm kép khơng thuộc tập hợp 0;1   = 16a − 16a + =  a = +     g ( 0)    a    2−  a  a =   g (1)    2+ 2− 3   Do S = 0;1; ;  4     Vậy tập S có phần tử x + 2mx + 2m2 − cắt trục hoành hai điểm x −1 hai điểm vng góc với Khi ta có : Câu 40: Gọi m giá trị để đồ thị ( Cm ) hàm số y = phân biệt tiếp tuyến với ( Cm ) A m  (1; ) B m  ( −2; −1) C m  ( 0;1) D m  ( −1;0 ) Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm ( Cm ) với trục hoành : f ( x ) = x + 2mx + 2m − = ( x  1)(1) −m2 +    −1  m    ( Cm ) cắt trục hoành hai điểm phân biệt     f (1)  2m + 2m  m   x1 + x2 = −2m Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) , theo vi et ta có :   x1 x2 = 2m − x − x − 2m − 2m +  Ta có : y = ( x − 1) Tiếp tuyến hai giao điểm vng góc với  y ( x1 ) y ( x2 ) = −1  ( x12 − x1 − 2m − 2m + 1)( x22 − x2 − 2m − 2m + 1) + ( x1 − 1) ( x2 − 1) = ( )  ( x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1) − ( 2m + 2m ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) + + ( 2m + 2m ) = 2  ( 2m2 + 2m ) − ( 2m2 + 2m )( 4m − 4m + + 4m + ) + ( 2m2 + 2m ) = 2  m = −1 ( l )  2m + 2m − 4m − =  6m + 2m − =   Vậy m =  m = ( tm )  ( ) Câu 41: Trên đường thẳng d : y = x + có điểm kẻ đến đồ thị ( C ) : y = tiếp tuyến A B C Lời giải x+3 x −1 D Vơ số Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 30 Phan Nhật Linh Chọn B Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi M  d  M ( a; 2a + 1) Gọi A ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến d1 kẻ từ M với ( C ) Phương trình tiếp tuyến d1 : y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0  y = Vì M  d1 nên 2a + = −4 ( x0 − 1) ( a − x0 ) + −4 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + x0 + x0 −  ( 2a + 1)( x0 − 1) = −4 ( a − x0 ) + ( x0 + 3)( x0 − 1) , ( x0  1)  a.x02 − ( a + ) x0 + 3a + = Từ M kẻ đến ( C ) tiếp tuyến  (1) có nghiệm x0  TH1: a = Suy a = thỏa mãn TH2: a  , PT có nghiệm kép x0  (1)  x0 =   a = −1  = ( a + )2 − a ( 3a + ) =   a = −1  a=2       ( a + 2) a = 1  a +  −1 − 2a   a TH3: a  , PT có hai nghiệm phân biệt có nghiệm  = −2a + 2a +   a.1 − ( a + ) + 3a + = −1  a   a =  a = Kết hợp trường hợp suy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán 31 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh x0 + x0 − Chủ đề 07: Tiếp tuyến đồ thị hàm số Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 32