Chuyên đề về các bài toán tiếp tuyến

BÀI TIẾP TUYẾN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm điểm x Ta nói hai đường cong  C  :y  f  x   C   : y  g  x  tiếp xúc với điểm M  x ;y0  M tiếp điểm chung chúng (C) ( C  ) có tiếp tuyến chung M Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y  f  x   C : y  g  x  tiếp xúc với  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong B PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Sự tiếp xúc hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y  f  x   C   : y  g  x  Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f  x   g  x  có nghiệm hệ phương trình  f   x   g  x  - Nghiệm x  x hệ hoành độ tiếp điểm hai đường cong cho - Hệ có nghiệm hai đường cong (C)  C   tiếp xúc với nhiêu điểm Bài tập Bài tập 1: Đồ thị hàm số y  x3  x  tiếp xúc với đường thẳng đây? A y  x  B y  2x  C y  x  D y  2x  Hướng dẫn giải: Chọn A Áp dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong  C  : y  f  x   C   : y  g  x  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm     f x g x      Ta có y  3x   0, x   nên phương án B, C bị loại x  x   x  x0 Xét phương án A y  x  Ta có hệ  3x   Vậy đường thẳng y  x  tiếp xúc với đồ thị hàm số cho Bài tập Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 x 1 A 7; 1 B 1 C 6 D 6; 1 Hướng dẫn giải: Chọn A Đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 hệ phương trình sau có x 1 nghiệm  x   x 1    x m  x    x    x 1  2 x  m   x   2 x  m  m  1     x 1   2  x  2      x  2x  x  1        x  1  m  Vậy m  1;7 đường thẳng d tiếp xúc với (C) Bài tập 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y  x  mx  7mx  3m tiếp xúc với parabol  P  : y  x  x  Tổng giá trị phần tử S A 11 B 331 C Hướng dẫn giải: Chọn A Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) hệ phương trình sau có nghiệm:  x  mx  7mx  3m  x  x   3x  8mx  7m  x   x   m  1 x   7m  1 x  3m   1  3 x   m  1 x  7m       Giải (1), ta có (1)   x  1 x  mx  3m   x    x  mx  3m   + Với x  thay vào (2) m  2  x  mx  3m    3 + Xét hệ    m  1 x  m    3 x   m  1 x  7m   D 4 • Nếu m  (4) vơ nghiệm • Nếu m  m 1 (4)  x  2m  m 1  m 1   m 1  Thay x  vào (3) ta   4m     3m   2m   2m    2m   m    m  11m  5m     m   (thỏa mãn điều kiện)  m    11  Vậy S  2;  ;1 nên tổng phần tử S   Bài tập 4: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3   m   x  mx  tiếp xúc với đường thẳng y  Tổng giá trị phần tử S A 10 B 20 C D 32 Hướng dẫn giải Chọn B  x3    m   x  mx   11 Xét hệ phương trình   x   m   x  2m     x  m Giải phương trình (2) ta  x  + Với x  m , thay vào (1) ta  m  m3  m2    m  + Với x  , thay vào (1), ta m  Vậy tập hợp giá trị tham số thực để đồ thị hàm số cho tiếp xúc với đường thẳng y  2 20  S  0;6;  nên tổng phần tử S 3  Bài tập Biết đồ thị hàm số  C  : y  x  ax  bx  c  a, b, c    , tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ cắt đường thẳng x  điểm có tung độ Tổng a + 2b + 3c A B C Hướng dẫn giải: Chọn B Vì (C) tiếp xúc với Ox gốc tọa độ nên x  nghiệm hệ phương trình D  x  ax  bx  c  b    c  3x  2ax  b  Mặt khác (C) qua điểm A 1;3 nên a  b  c    a  Vậy a  2b  3c  Bài tập Họ parabol  Pm  : y  mx   m  3 x  m   m   tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A A 1; 8  B B  0; 2  C C  0;2  D D 1;8  Hướng dẫn giải Chọn B   Ta có: y  mx   m  3 x  m   m x  x   x   y  m  x  1  x  Xét đường thẳng d : y  x  hệ phương trình m  x  12  x   x  ln có nghiệm x  với m   2 m  x  1   Vậy  Pm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  x  Đường thẳng d qua điểm B  0; 2  Nhận xét: Nếu viết lại hàm số  Pm  theo dạng y  m  ax  b   cx  d  Pm  ln tiếp xúc với đường y  cx  d Dạng Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Phương pháp giải Thực theo bước sau Bước 1: Tính y  f   x  f   x0  Bước 2: Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  f   x0  x  x0   y0 Bước 3: Thực yêu cầu cịn lại tốn Kết luận Chú ý: - Nếu tốn cho x0 ta cần tìm y0  f  x0  f   x0  - Nếu toán cho y0 ta cần tìm x0 cách giải phương trình f  x   y0 - Giá trị f   x0  hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Bài tập Bài tập Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số  C  : y  2x 1 có tung độ Tiếp tuyến đồ thị x 1 (C) M cắt trục Ox, Oy A, B Diện tích tam giác OAB A 125  ®vdt  B 117  ®vdt  C 121  ®vdt  D 119  ®vdt  Hướng dẫn giải Chọn C Ta có M  2;5   C  ; y  3  x  1 ; y    3 Phương trình tiếp tuyến M  2;5 d : y  3x  11 11  11  Khi d cắt Ox, Oy A  ;0  B  0;11  OA  ; OB  11 3  1 11 121 Vậy SOAB  OA.OB  11   ®vdt  2 Bài tập Cho hàm số y  xb  ab  2, a   Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax  đồ thị hàm số điểm A 1; 2  song song với đường thẳng d : 3x  y   Khi giá trị a  3b A B C –1 D –2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y  Do 2  ab  ax   tiếp y 1  3   y 1  tuyến song 2  ab a  2 2  ab a  2 song với đường thẳng d : 3x  y    y  3x   3 Mặt khác A 1; 2  thuộc đồ thị hàm số nên 2  1 b  b  2a  a2  2  ab  3 a  2  Khi ta có hệ   a    5a  15a  10    a   b  2 a  + Với a   b  1  ab  2 (loại) + Với a   b  ( thỏa mãn điều kiện) Khi ta có hàm số y  x 1 x 2 nên y  3  x  2  y 1  3 nên phương trình tiếp tuyến y  3 x  song song với đường thẳng y  3 x  Vậy a  3b  2 Bài tập Trong tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y   x  x  x  đường thẳng d có hệ số góc lớn Phương trình đường thẳng d A y  x  B y  x  C y  D y  x  Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y  3 x  x  Gọi M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số Khi hệ số góc tiếp tuyến M  x0 ; y0  k  3x02  x0   3  x0  1    kmax   x0  1 hay M  1; 4  Phương trình đường thẳng d y   x  1   y  x  Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d tiếp tuyến có hệ số góc lớn (nhỏ nhất) tiếp tuyến điểm uốn đồ thị U  x0 ; f  x0   , với x0 nghiệm phương trình y  + Nếu a  hệ số góc k  f   x0  nhỏ + Nếu a  hệ số góc k  f   x0  lớn Bài tập Cho hàm số y  x  x   m  1 x  m có đồ thị  Cm  Giá trị thực tham số m để tiếp tuyến đồ thị  Cm  điểm có hồnh độ x  song song với đường thẳng y  3x  10 A m  B m  C m  Hướng dẫn giải Chọn D có y  x  x  m   y 1  m  Tiếp tuyến  Cm  điểm có hồnh độ x  có phương trình y   m   x  1  3m   y   m   x  m m   Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3x  10 nên  (vơ lí) 2m  10 Vậy khơng tồn m thỏa mãn u cầu tốn D khơng tồn m Bài tập Cho hàm số f  x   x  mx  x  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hồnh độ x  Tất giá trị thực tham số m để thỏa mãn k f  1  A m  2 B 2  m  C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn B Ta có f   x   x  mx   k  f  1   m Do k f  1    m  m  1 Để k f  1    m  m  1   2  m  Bài tập Cho hàm số y  x  3mx   m  1 x  , với m tham số thực, có đồ thị (C) Biết m  m0 tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0  1 qua A 1;3 Mệnh đề sau đúng? A 2  m0  1 B 1  m0  C  m0  D  m0  Hướng dẫn giải Chọn C Gọi B tiếp điểm tiếp tuyến qua A 1;3 m  m0 Ta có y  3x  mx  m  Với x0  1 y0  m   B  1;2 m  1 y  1  5m  Tiếp tuyến B (C) có phương trình y   5m   x  1  m  Do tiếp tuyến qua A 1;3 nên  5m    m    m  Vậy m0    0;1 Bài tập Cho hàm số y  x2 có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến 2x trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O có tọa độ ngun Phương trình tiếp tuyến (C) M A y  8 B y  64 C y  12 Hướng dẫn giải: Chọn A  a2  Giả sử M  a;  điểm thuộc (C)  2a D y  9 a   a2  a   a 2a 2 a   a  Do d  M; Ox   d  M; Oy  nên 2a   a a    a  2a  Theo giả thiết M khơng trùng với gốc tọa độ O có tọa độ nguyên nên a   M  4; 8  Khi y  4x  x2 2  x   y    Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  8 Bài tập Cho hàm số y  x 1 có đồ thị (C) đường thẳng d : y  2 x  m  ( m tham số thực) x2 Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C) giao điểm d (C) Tích k1.k2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D   \ 2 Ta có y   x  2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) x 1  2 x  m  ( với x  2 ) x2  x    m  x   m  1 Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2 m  m  12      m     m      m   1  8    m    2m  Vậy (C) cắt (d) hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  , với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) m 6   x1  x2  Theo định lý Vi-ét ta có   x x   2m  2 Ta có k1.k2   x1    x2   2   x1 x2   x1  x2     m 6   2m    2   4 Bài tập Cho hàm số y  x  mx  m có đồ thị (C) với m tham số thực Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến  đồ thị (C) A cắt đường tròn   : x   y  1 A m    tạo thành dây cung có độ dài nhỏ 13 16 B m  13 16 C m   16 13 D m  16 13 Hướng dẫn giải Đường tròn    : x   y  1  có tâm I  0;1 , R  Ta có A 1;1  m  ; y  x  mx  y 1   m Suy phương trình tiếp tuyến  : y    m  x  1   m 3  Dễ thấy  qua điểm cố định F  ;0  điểm F nằm đường tròn    4  Giả sử  cắt   M, N, Khi MN  R  d  I ;     d  I ;   Do MN nhỏ  d  I ;  lớn  d  I ;    IF    IF Khi đường thẳng  có vectơ phương      u  IF   ; 1  ; u  1;4  m  4  nên   13 u IF      m    m  16 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc dựa vào quan hệ song song, vng góc, Phương pháp giải Thực theo hai cách sau: Cách 1: Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến dựa vào giả thiết toán Bước Giải phương trình f   x   k để tìm x  x0 hồnh độ tiếp điểm Tính y  f  x0   M  x0 ; y0  Khi phương trình tiếp tuyến cần tìm y  k  x  x0   y0 Điểm M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho Cách 2: Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến dựa vào giả thiết tốn Bước Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên phương trình tiếp tuyến có dạng y  kx  b Dựa vào điều kiện tiếp xúc tiếp tuyến với (C) ta tìm giá trị b Lưu ý: - Phương trình f   x   k có nghiệm có nhiêu tiếp điểm - Một số trường hợp xác định hệ số góc đường thẳng thường gặp Cho hai đường thẳng d1 : y  k1 x  b1 ; d2 : y  k2 x  b2 + Trường hợp 1: d1  d2  k1.k2  1 k  k2 + Trường hợp 2: d1 / / d2   b1  b2 + Trường hợp 3: Góc  d1 ; d2     tan   k1  k2  k1 k Đặc biệt: Nếu góc d : y  kx  b với Ox   0    90  k  tan  Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy hai điểm A, B mà OB  m.OA k  tan   OB m OA + Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d qua hai điểm A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  k  y1  y x1  x2 Bài tập Bài tập 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  song song với trục Ox A y  3, y  1 B y  3, y  2 C x  3, x  1 D y  2, y  1 Hướng dẫn giải Chọn A Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm điểm cực trị có phương trình y  y0 với y0 giá trị cực trị hàm số cho