CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp giải: Cho hàm số y = f ( x )( C ) Khi phương trình tiếp tuyến điểm A ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) = y f ′ ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) Trong x0 gọi hồnh độ tiếp điểm: y0 = f ( x0 ) tung độ tiếp điểm k = f ′ ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến Điểm A ( x0 ; y0 ) gọi tiếp điểm Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số = y x3 + 3x ( C ) tại: a) Điểm A (1; ) b) Điểm có hồnh độ x0 = −1 c) Điểm có tung độ y0 = 14 d) Giao điểm ( C ) với đường thẳng d : = y 3x − Lời giải a) Ta có: f ′ ( x )= 3x + ⇒ f ′ (1)= Do phương trình tiếp tuyến A (1; ) y = ( x − 1) + = 6x − b) Với x =x0 =−1 ⇒ f ( x0 ) =−4 ⇒ f ′ ( x0 ) =6 Do phương trình tiếp tuyến y = ( x + 1) − = x + c) Với y0 = 14 ⇒ x3 + x = 14 ⇔ x0 = 2; f ′ ( ) = 15 Do phương trình tiếp tuyến là: y = 15 ( x − ) + 14 = 15 x − 16 d) Hoành độ giao điểm ( C ) d x3 + 3x =3 x − ⇔ x =−2 Với x =−2 ⇒ y =−14 ⇒ f ′ ( −2 ) =15 Do phương trình tiếp tuyến y = 15 ( x + ) − 14 = 15 x + 16 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x−2 (C ) 2x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có tung độ y0 = b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với đường thẳng d : y= x − Lời giải Ta có: y′ = ( x + 1) a) Ta có: y0 =3 ⇒ x−2 =3 ⇔ 5x =−5 ⇔ x0 =−1 ⇒ y′ ( −1) =5 2x +1 Do phương trình tiếp tuyến là: y= ( x + 1) + hay = y 5x + b) Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) là: x = x−2 = x−2⇔ 2x +1 x = 1 Với x0 =2 ⇒ y0 =0; y′ ( ) = suy phương trình tiếp tuyến là:= y ( x − 2) 5 Với x0 = ⇒ y0 = −2; y′ ( ) = suy phương trình tiếp tuyến là: = y 5x − Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm có hồnh độ là: A y =− x − B y= x − C y = − x D y =− x + Lời giải Ta có x0 = ⇒ y0 =−1; f ′ ( x ) =3 x − ⇒ f ′ (1) =−1 Do PTTT là: y =− ( x − 1) − =− x Chọn C Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x +1 ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung là: x −1 A y = −3 x − C y = −3 x B y = −3 x − D y = −3 x + Lời giải ( C ) ∩ Oy = −3 A ( 0; −1) Lại có y′ = ⇒ y′ ( ) = −3 ( x − 1) Do phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x − Chọn A Ví dụ 5: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A = y 3 x+ B = y x− x + − − x điểm có hồnh độ x − là: C = y 3 x− D = y x+ 2 Lời giải Với x = ⇒ y =1 Lại có f ′ ( x )= 1 + ⇒ f ′ ( )= x + 2 3− x Do phương trình tiếp tuyến là: y= 3 ( x − ) + 1= x − Chọn B 4 Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =x − x + điểm x0 thỏa mãn f ′′ ( x0 ) = là: A y = −3 x + B y = −4 x − C = y 4x −1 Lời giải Ta có: f ′ ( x ) = x − x ⇒ f ′′ ( x ) = x − x0 =⇒ y0 = −7; f ′ ( ) = −4 Giải f ′′ ( x ) =⇔ Do phương trình tiếp tuyến là: y =−4 ( x − ) − =−4 x + Chọn D D y = −4 x + Ví dụ 7: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =x − x + điểm x0 = −1 là: A = y 4x +1 B y = −4 x − C = y 4x + D = y 4x + Lời giải Ta có: x0 =−1 ⇒ y0 =−1 Mặt khác y′= x3 − x ⇒ y′ ( −1)= Khi phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 1) − 1= x + Chọn D Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = ( x − 2) A.= y B = y ( x − 2) 25 x−2 ( C ) giao điểm ( C ) với trục hoành là: 2x +1 C.= y ( x − 2) D = y −3 ( x − 2) 25 Lời giải Ta có: ( C ) ∩ Ox = A ( 2;0 ) Mặt khác f ′ ( x= ) ( x + 1) Do phương trình tiếp tuyến điểm A ( 2;0 ) là:= y ⇒ f ′ ( 2= ) ( x − ) Chọn A Ví dụ 9: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − x + 1( C ) điểm có hồnh độ x = cắt đồ thị ( C ) điểm thứ có hồnh độ là: A C B −2 D −1 Lời giải Ta có: x = ⇒ y = 0; f ′ ( x ) = x − ⇒ f ′ (1) = y ( x − 1)( d ) Phương trình tiếp tuyến là:= x = Xét d ∩ ( C ) ⇒ x − x + 1= ( x − 1) ⇔ Chọn B x = −2 Ví dụ 10: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A = y 3x + B.= y ( x + 1) 2x −1 điểm có tung độ −3 là: x+2 C = y 3x + D = y 5x + Lời giải Giải x ≠ −2 2x −1 ′( x) =−3 ⇔ ⇔ x =−1 Lại có f= x − = − x − x+2 ( x + 2) ⇒ f ′= ( −1) Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 1) − = x + Chọn D Ví dụ 11: Tiếp tuyến đồ thị hàm số = y x + thời điểm có hồnh độ x = −1 cắt trục hoành điểm B A − ;0 A A ( 0; −1) C A − ;0 D A − ;0 Lời giải Ta có: x = −1; y = 3; y′ ( −1) = −4 Do phương trình tiếp tuyến là: y =−4 ( x + 1) + =−4 x − 1( d ) −1 Do d ∩ Ox = A ;0 Chọn D Ví dụ 12: Cho hàm số y = x − x + 1( C ) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = là: A d = B d = 5 C d = D d = Lời giải Ta có x =1 ⇒ y = 0; f ′ (1) = − = Do phương trình tiếp tuyến là= y ( x − 1)( d ) Do d : x − y − = suy d ( 0; d ) = −2 Chọn A Chú ý: Bài tốn u cầu em ghi nhớ cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng d : ax + by + c = là: d = ax0 + by0 + c a + b2 y x3 + mx ( C ) Tìm giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp Ví dụ 13: Cho hàm số = tuyến điểm có hồnh độ x = ( C ) m = −4 A m = −1 m = −5 B m = −3 là: m = −4 C m = −2 m = −2 D m = Lời giải Với x0 =⇒ y0 =+ m; f ′ (1) =3 + m Phương trình tiếp tuyến là: y = d ( O; d ) = −m − + m + ( m + 3) +1 = ( m + 3)( x − 1) + m + 1( d ) m = −4 Chọn C ⇔ ( m + 3) + = ⇔ m = −2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp giải: Để viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x )( C ) biết hệ số góc k x = x01 x = x 02 Giải phương trình k = f ′ ( x ) ⇒ ⇒ y ( xi ) ⇒ Phương trình tiếp tuyến x = xi Chú ý: Cho đường thẳng d1 = y k2 x + b2 : y k1 x + b1 d := Khi k1 , k2 hệ số góc đường thẳng d1 d k = k2 ▪ Nếu d1 / / d ⇔ b1 ≠ b2 ▪ Nếu d1 ⊥ d ⇔ k1.k2 = −1 ▪ Đường thẳng d : = y kx + b tạo với trục hồnh góc α k = ± tan α Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x −1 biết: x−2 a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng = y 9x + Lời giải Ta có: y′ = −1 ( x − 2) a) Do tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 nên ta có: −1 ( x − 2) x = =−1 ⇔ x = Với x0 =3 ⇒ y0 =2 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y =−1( x − 3) + =− x + Với x0 =⇒ y0 =0 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y =− ( x − 1) =− x + b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y =−4 x + ⇒ ku =−4 ⇔ ⇔ ( x − 2) x = = ⇔ x = −1 ( x − 2) =−4 5 5 Với x0 = ⇒ y0 =3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y =−4 x − + =−4 x + 13 2 3 Với x0 = ⇒ y0 =−1 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y =−4 x − − =−4 x + (loại trùng với đường 2 thẳng cho) Vậy phương trình tiếp tuyến y = −4 x + 13 c) Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng = y x + suy ku kd =−1 ⇔ −1 ( x − 2) −1 −1 = = kd x = ⇔ ( x − ) =9 ⇔ x = −1 4 −1 17 Với x0 =5 ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = − ( x − 5) + = x + 9 2 −1 Với x0 =−1 ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = − ( x + 1) + = x + 9 Ví dụ 2: Cho hàm số: y = x −1 (C ) x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x + y + = b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 : x − y − =0 Lời giải Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) tiếp điểm −1 1 a) Ta có: d : y = x − ⇒ kd = − ⇒ ku = Khi y′ ( x0 )= 2 x0 = = 2⇔ ( x0 + 1) x0 = −2 2 Với x0 =0 ⇒ y0 =−1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: = y 2x −1 Với x0 =−2 ⇒ y0 =3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + ) + = x + b) Ta có: d1 := y 1 x− 2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 20 x + ⇒ kn = y′ ( x0 ) = Với x0 =⇒ y0 =0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= ( x0 + 1) = x0 = 1 ⇔ x0 = −3 ( x − 1) ≡ d (loại) 1 ( x + 3) + 2= x + 2 Với x0 =−3 ⇒ y0 =2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =x − x + có hệ số góc k = −3 là: A y = −3 x + B y = −3 x + C y = −3 x D y = −3 x − Lời giải Ta có: = y′ x − x Giải x − x =−3 ⇔ ( x − 1) =0 ⇔ x =1 −3 ( x − 1) Chọn A Với x =1 ⇒ y =0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x +1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x −1 d : 2x + y − = là: A y = −2 x − B y = −2 x + C y = −2 x + D y = −2 x − Lời giải Ta có: d : y =−2 x + 7; y′ = −2 ( x − 1) x = =−2 ⇔ x = Với x = ⇒ y =3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y =−2 ( x − ) + =−2 x + ≡ d (loại) Với x =0 ⇒ y =−1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = −2 x − Chọn D Ví dụ 5: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x − mà vng góc với đường thẳng x + y + 1999 = là: A = y 6x − B = y 6x − C y = −6 x + D y = −6 x + Lời giải Ta có:= y −1 1999 −1 x− ( d ) Do tiếp tuyến vng góc với d nên kd ku =−1 ⇒ ku = =6 6 kd Giải y′ = ⇔ x + x = ⇔ x = ⇒ y = −3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − 1) − = x − Chọn A Ví dụ 6: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A 2x − điểm có hồnh độ x = −1 có hệ số góc là: 2− x B C D Lời giải Ta có: y′ = (2 − x) ⇒ y′ ( −1) = = k Chọn C Ví dụ 7: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x−m điểm có hồnh độ x = −2 có hệ số góc k = Giá trị x +1 tham số m là: A m = B m = −4 C m = −2 D m = Lời giải Ta có: y′ = 1+ m ( x + 1) ⇒ y′ ( −2 ) =1 + m =3 ⇔ m =2 Chọn D Ví dụ 8: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 4mx + x + điểm có hồnh độ x = có hệ số góc k = −2 Giá trị tham số m là: A m = B m = −1 C m = −2 D m = Lời giải Ta có: y′ (1) =3 − 8m + =−2 ⇔ m =1 Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y =x − x − Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng= y 24 x − A.= y 24 x − 48 B.= y 24 x − 21 C.= y 24 x − 45 D.= y 24 x − 43 Lời giải Do tiếp tuyến song song với đường thẳng= y 24 x − suy kn = 24 Khi y′ = x3 − x = 24 ⇔ x = ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến là: y= 24 ( x − ) + 5= 24 x − 43 Chọn D Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =x + x − biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng = y A = y 9x − −x +1 B = y x + 24 C = y x + 10 y 9x − = D y x + 24 = Lời giải Do tiếp tuyến vng góc với = y −x −1 + nên k= = u kd x = Giải y′ =3 x + x =9 ⇔ x = −3 Với x =1 ⇒ y =1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − 1) + 1= x − Với x =−3 ⇒ y =−3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 3) − = x + 24 Vậy có phương trình tiếp tuyến y =9 x − 8; y =9 x + 24 Chọn D Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = 3x + biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x −1 5x + y + = A y = −5 x − B y = −5 x + 18 C y = −5 x + 10 D y = −5 x + 12 Lời giải Ta có: d : y =−5 x − ⇒ ku =−5 Giải y′ = −5 ( x − 1) x = =−5 ⇔ x = Với x =0 ⇒ y =−2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = −5 x − (loại) Với x = ⇒ y =8 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y =−5 ( x − ) + =−5 x + 18 Chọn B Ví dụ 12: Cho hàm số y =x + 2mx + ( C ) Tìm giá trị tham số m biết tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = −1 vng góc với đường thẳng = y A m = −5 B −5 x + C Lời giải D −5 Ta có: ku = y′ ( −1) =3 + 2m Từ gt ⇒ ( + 2m ) =−1 ⇔ + 2m =−2 ⇔ m = Chọn B 2 Ví dụ 13: Cho hàm số y = − x + 2mx + n ( C ) Tìm tổng m + n biết tiếp tuyến ( C ) điểm A (1;3) có hệ số góc k = A B C D Lời giải Ta có: y′ =−3 x + 4mx ⇒ y′ (1) =−3 + 4m =1 ⇔ m =1 Mặt khác điểm A (1;3) ∈ ( C ) nên =−1 + 2m + n =n + ⇔ n =2 Vậy m + n = Chọn B Ví dụ 14: Cho hàm số y = x+m ( C ) Biết tiếp tuyến ( C ) điểm A ( 2; −4 ) song song với đường x+n thẳng y = −5 x + 2017 Vậy giá trị 2m − n là: A B C D Lời giải m+2 −4n − 10 m = −4n − 10 m = −4 =n + n = −3 Giải hệ ⇔ 5n + 10 ⇔ ⇔ ⇒ 2m − n = n−m = −5 = m = − y′ ( ) = = −5 n + ( n + 2) ( n + 2) Chọn D Ví dụ 15: Cho hàm số y = mx + n ( C ) Biết ( C ) qua điểm A (1; −3) tiếp tuyến ( C ) điểm có x−2 hồnh độ x = có hệ số góc k = −5 Giá trị biểu thức m + n bằng: A B 10 C 13 D 25 Lời giải m+n −3 =1 − m+n = = m Giải hệ ⇔ ⇔ ⇒ m2 + n2 = −2m − n = + = m n n y′ ( 3) = = −5 (3 − 2) Chọn A Ví dụ 16: Cho hàm số y =x3 + mx + nx ( C ) Tìm giá trị m + n để đồ thị hàm số qua điểm A ( −1;5 ) tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = vng góc với đường thẳng= y A B 10 C 20 Lời giải −1 x+2 D 25 5 =−1 + m − n m − n = m = Giải hệ ⇔ ⇔ ⇒ m2 + n2 = 20 Chọn C −1 ′ m n + + = 3 n = − y = − ( ) ) ( Ví dụ 17: Tìm tất giá trị tham số m để có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 3mx + có hệ số góc k = −3 A −1 < m < m > C m < −1 B −1 ≤ m ≤ D m = ±1 Lời giải Để có tiếp tuyến phải có tiếp điểm phân biệt Giả sử hoành độ tiếp điểm x = a Khi ta có: y′ ( a ) =3a + 6ma =−3 ⇔ a + 2ma + =0 m > Đk có tiếp tuyến có hệ số góc k = −3 là: ∆ (1) = m − > ⇔ Chọn C m < −1 Ví dụ 18: Gọi d tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị hàm số y = x − x + x − 11 Đường thẳng d qua điểm đây? 2 A M −5; 3 2 B P 5; − 3 5 D Q −2; 3 5 C N 2; − 3 Lời giải Ta có y = x − x + x − 11 y′ x − x + 9, ∀x ∈ → = Hệ số góc tiếp tuyến d đồ thị hàm số M ( x0 ; y0 ) k = y′ ( x0 ) = x02 − x0 + Mặt khác x02 − x0 += ( x02 − x0 + ) += ( x0 − ) + ≥ ⇒ kmin = 11 Dấu xảy ( x0 − ) =⇔ x0 =⇒ y0 = − Vậy phương trình d y + 11 17 2 = x − ⇔ y = x − ⇒ P 5; − ∈ d Chọn B 3 3 Ví dụ 19: Cho hàm số y = ax + b ( C ) có bảng biến thiên hình vẽ Biết tiếp tuyến ( C ) giao cx − điểm ( C ) với trục tung song song với đường thẳng = y x + 2018 x y′ −∞ + +∞ + −3 +∞ y −3 −∞ Giá trị biể thức T =a + 2b + 3c là: A T = B T = C T = D T = Lời giải Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = −3 −3 x + b 3−b Do hàm số có dạng: y = ⇒ y′ = ⇒ y′ ( ) =3 − b x −1 x − ( ) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2018 ⇒ − b = ⇔ b = Vậy a = −3; b = 1; c =⇒ T= Chọn D Ví dụ 20: Cho hàm số y = x+4 ( C ) Điểm M ( x0 ; y0 ) (với y0 > ) thuộc ( C ) cho tiếp tuyến M cắt x −3 trục Ox, Oy A B cho AB = 5.OA Giá trị x0 + y0 là: A 16 B 17 C 18 D 19 Lời giải Ta có: ∆OAB vng O ta có: tan BAO = OB = OA AB − OA2 = OA Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ta có: k = ±7 x +4 x0 = −7 Gọi M x0 ; =±7 ⇔ ( x0 − 3) =1 ⇔ ⇒ y′ ( x0 ) = x0 − ( x0 − 3) x0 = Suy M ( 4;8 ) ⇒ T = 16 Chọn A Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm Phương pháp giải: Cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua B (α ; β ) Gọi A ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) Khi phương trình tiếp tuyến điểm A ( C ) = y f ′ ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )( d ) = Mặt khác d qua B (α ; β ) nên β f ′ ( x0 )(α − x0 ) + f ( x0 ) từ giải phương trình tìm x0 Ví dụ 1: Cho hàm số: y = x+2 ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua A (1;7 ) x −1 Lời giải Ta= có: y Do = −3 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + −3 ( x0 − 1) (1 − x0 ) + x0 + Tiếp tuyến qua A (1;7 ) x0 − x0 + x0 + = ⇔ ( x0 − 1) = x0 + ⇔ x0 = x0 − x0 − Phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − ) + hay y = −3 x + 10 Ví dụ 2: Cho hàm số y =x + x + ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ A y = x y = −4 x B y = −2 x y = x C y = x y = −8 x D = y x − = y 4x + Lời giải Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; x04 + x02 ) y= ( 4x + x0 ) ( x − x0 ) + x04 + x02 + ( d ) x0 = y = 8x ⇒ phương trình tiếp tuyến: Do O ( 0;0 ) ∈ d nên =−3 x04 − x02 + ⇔ Chọn C x = − y = − x Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2x +1 ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A ( 2; −8) đến đồ thị ( C ) x−2 A y = −5 x + B y = −5 x + C y = −3 x + D y = −3 x + Lời giải 2x +1 Phương trình tiếp tuyến điểm M x0 ; = y x0 − Do A ( 2; −8 ) ∈ d nên ta có:= −8 −5 ( − x0 ) ( x0 − ) + 2x +1 −5 ( x − x0 ) + ( d ) x0 − ( x0 − ) x0 + x0 + = ⇔ = x0 x0 − x0 − Do phương trình tiếp tuyến là: y =−5 ( x − 1) − =−5 x + Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số = y x − x ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( 2; ) A = y x − 16 B y = C y = = y x − 16 D = y x − 18 Lời giải Gọi M ( x0 ; x03 − x0 ) tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến y= Do tiếp tuyến qua A ( 2; ) nên 2= ( 3x ( 3x − 3) ( x − x0 ) + x03 − x0 x0 =−1 ⇒ y0 =2 − 3) ( − x0 ) + x03 − x0 ⇔ x0 =2 ⇒ y0 =2 y = Do phương trình tiếp tuyến là: Chọn C y = ( x − ) + = x − 16 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − x + 1( C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M ( −1; −9 ) B.= y 15 21 x+ 4 D.= y 15 21 hoặc= x+ y 24 x + 11 4 A.= y 24 x + 15 C.= y y 24 x + 15 hoặc= 15 21 x+ 4 Lời giải Phương trình tiếp tuyến điểm A ( x0 ; x03 − x02 + 1) là: y= (12 x − 12 x0 ) ( x − x0 ) + x03 − x02 + 1( d ) x0 = Cho M ( −1; −9 ) ∈ d ta có: = −9 (12 x − 12 x0 ) ( −1 − x0 ) + x − x + ⇔ x0 = −1 Với x0 =−1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là:= y 24 x + 15 Với = x0 −5 15 21 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là:= y x − Chọn C 4 Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + 1( C ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( −2;1) là: A y =− x − = y x − 17 B y =− x + = y x − 17 C y =− x + y = −8 x − 17 D y =− x − = y x + 17 Lời giải Phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; x03 − x0 + 1) là: y= ( 3x − ) ( x − x0 ) + x03 − x0 + Cho tiếp tuyến qua A ( −2;1) ta có: 1= ( 3x x0 = − ) ( −2 − x0 ) + x03 − x0 + ⇔ −2 x03 − x02 + = ⇔ x0 = −2 Do có phương trình tiếp tuyến là: y =− x − , = y x + 17 Chọn D Ví dụ 7: Cho hàm số y = x − x + ( C ) Phương trình tiếp tuyến điểm x = ( C ) qua điểm A ( a; a + ) Giá trị a là: A a = B a = −1 C a = D a = −3 Lời giải x 2;= y 3; f ′ (= ) Tiếp tuyến điểm M ( 2;3) là: y = ( x − ) + = x − 1( d ) Ta có:= Do A ∈ d nên a + = 2a − ⇔ a = Chọn C y x − x Có số nguyên b ∈ ( −10;10 ) để có tiếp tuyến Ví dụ 8: Cho đồ thị ( C ) : = ( C ) qua điểm B ( 0; b ) ? A 15 B C 16 D 17 Lời giải Phương trình tiếp tuyến ( C ) M ( x0 ; x03 − x02 ) có dạng: y= ( 3x − x0 ) ( x − x0 ) + x03 − x02 Do tiếp tuyến qua điểm ( 0; b ) ⇒ b = ( 3x02 − x0 ) ( − x0 ) + x03 − 3x02 =−2 x03 + 3x02 Để có tiếp tuyến ( C ) qua B ( 0; b ) phương trình b = −2 x03 + x02 có x =0 ⇒ y =0 nghiệm Xét hàm số y = −2 x3 + x ⇒ y′ = −6 x + x =⇔ x =1 ⇒ y =1 b > Dựa vào đồ thị hàm số suy PT có nghiệm b < Vậy b ∈ ( −10;10 ) có 17 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D Ví dụ 9: Cho hàm số y = −x + có đồ thị ( C ) điểm A ( a;1) Gọi S tập hợp giá trị thực a để x −1 có tiếp tuyến ( C ) kẻ qua A Tổng giá trị phần tử S là: A B C D Lời giải −x + Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M x0 ; là: x0 − x +2 = y f ′ ( x0 )( x − x0 ) + 0= x0 − 1 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + Do tiếp tuyến qua điểm A ( a;1) nên = − x0 + x0 − x0 − a + ( − x0 )( x0 − 1) ( x0 − 1) ⇔ ( x0 − 1) =− x02 + x0 − − a ⇔ x02 − x0 + + a =0 (*) Để có tiếp tuyến qua A (*) có nghiệm kép (*) có nghiệm phân biệt có ∆′ = − 2a = a= ′ nghiệm x0 = ⇔ ∆ = − 2a > ⇔ Chọn C 2.1 − + + a = a = Ví dụ 10: Cho hàm số y =f ( x ) = − x3 + x + có đồ thị ( C ) điểm M ( m; ) Gọi S tập hợp giá trị thực m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị ( C ) Tổng phần tử S A 20 B 13 C 12 D 16 Lời giải Gọi A ( a; −a + 6a + ) ∈ ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) A là: y =− ( 3a + 12a ) ( x − a ) − a3 + 6a + Do tiếp tuyến qua M ( m; ) nên =− ( 3a + 12a ) ( x − a ) − a3 + 6a + a = ⇔ ( −3a + 12 ) ( m − a ) = a − 6a ⇔ ( −3a + 12 )( m − a ) = a − 6a (*) (*) ⇔ −3ma − 12a + 12m + 3a = a − 6a ⇔ g ( a ) = −2a + ( m + ) a − 12m = Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có trường hợp −12m ≠ g ( ) = m= TH1: g ( a ) = có nghiệm kép khác ⇔ ⇔ = ∆ + − = m 96 m ( ) m = TH2: g ( a ) = có nghiệm phân biệt nghiệm (vơ nghiệm) 20 Vậy m = ;m = ⇒ ∑ m = Chọn A 3 Ví dụ 11: Cho hàm số y = x +1 có đồ thị ( C ) điểm A ( 0; m ) Gọi S tập hơp tất giá trị thực x −1 m để có tiếp tuyến từ ( C ) qua A Tổng tất giá trị phần từ S A B −1 C D − Lời giải a +1 Gọi M a; là: y ∈ ( C ) , phương trình tiếp tuyến M= a −1 2a Tiếp tuyến qua điểm A ( 0; m ) ⇒ = m a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ 2 m ( a − 1) = 2a + a − g ( a )= ( a − 1) + −2 ( a − 1) a +1 a −1 ( m − 1) a − ( m + 1) a + m + 1= Để có tiếp tuyến từ ( C ) qua A ta xét trường hợp sau: TH1: Với m = ⇒ −4a + = ⇔ a = ( x − a) + ( *) a +1 a −1 TH2: Do g (1) = −2 nên để có tiếp tuyến từ ( C ) qua A g ( a ) có nghiệm kép m ≠ ⇔ ⇔m= −1 Vậy ∆=′ ( m + 1) − ( m + 1)( m − 1)= ∑ m = Chọn C Ví dụ 12: Cho hàm số y =x − 12 x + 12 có đồ thị ( C ) điểm A ( m; −4 ) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m nguyên thuộc khoảng ( 2;5 ) để từ A kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị ( C ) Tổng tất phần tử nguyên tập S A B C D Lời giải Gọi M ( a; a − 12a + 12 ) ∈ ( C ) , phương trình tiếp tuyến M là: y= ( 3a − 12 ) ( x − a ) + a − 12a + 12 Tiếp tuyến qua điểm A ( m; −4 ) −= ( 3a − 12 ) ( m − a ) + a − 12a + 12 ⇔ a − 12a + 16 + ( a − )( a + )( m − a ) =0 ⇔ ( a − ) ( a + )( a − ) + ( 3a + )( m − a ) =0 ⇔ ( a − ) ( −2a + 2a + 3ma − 6a − + 6m ) = a = ⇔ g ( a ) =−2a + ( 3m − ) a + 6m − =0 Để từ A kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị ( C ) g ( a ) = có nghiệm phân biệt khác > m −8 + 6m − + 6m − ≠ g ( ) = m∈ ; m∈( 2;5 ) ⇔ ⇔ →= m 3; ⇒ ∑= m Chọn A m < −4 ∆ ( 3m − ) + ( 6m − ) > = m ≠ Ví dụ 13: Cho y = x+3 có đồ thị ( C ) Gọi A điểm d : = y x + có hồnh độ a mà từ A kẻ x −1 hai tiếp tuyến tới ( C ) Khẳng định sau đúng? A a ∈ ( −1; ) \ {0;1} B a ∈ ( −1; ) \ {0} C a ∈ ( −2; ) \ {1} Lời giải x +3 Gọi A ( a; 2a + 1) , gọi M x0 ; ∈ (C ) − x Phương trình tiếp tuyến M= là: y −4 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + Do tiếp tuyến qua điểm A ( a; 2a + 1) nên = 2a + x0 + x0 − −4 ( x0 − 1) ( a − x0 ) + x0 + x0 − D a ∈ ( −2; ) \ {0} x0 ≠ x0 ≠ ⇔ ⇔ 2 −4a + x0 + x0 + x0 − g ( x0 )= ax0 − ( a + ) x0 + 3a + 2= ( 2a + 1)( x0 − 1) = Để từ A kẻ hai tiếp tuyến tới ( C ) phương trình g ( x0 ) = có nghiệm phân biệt khác a ≠ a ≠ 0; a ≠ ⇔ g (1) =−4a + ≠ ⇔ ⇔ a ∈ ( −1; ) \ {0;1} Chọn A a a − + + > 2 2 ∆′= ( a + ) − 3a − 2a > Dạng 4: Tiếp tuyến với toán tương giao Phương pháp giải: Viết phương trình hồnh độ đồ thị hàm số y = f ( x )( C ) đường thẳng d : = y ax + b Gọi A ( xi ; axi + b ) tọa độ giao điểm ki = f ′ ( xi ) hệ số góc tiếp tuyến ( C ) điểm A Ví dụ 1: Cho hàm số y = −x +1 ( C ) Chứng minh với m đường thẳng d : y= x + m cắt đồ 2x −1 thị ( C ) hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là: −x +1 =x + m ⇔ ( x + m )( x − 1) =− x + (Do x = 2x −1 nghiệm) ⇔ x + x − m − =0 (*) Ta có: ∆=′ m + 2m + > ( ∀x ∈ ) ⇒ d cắt ( C ) điểm phân biệt −1 x1 + x2 = Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (*) theo định lý Vi-ét ta có: −m − x1 x2 = −1 Khi k1 + x2 = − 2 ( x1 − 1) ( x2 − 1) ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = − x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 =−4m − 8m − =−4 ( m + 1) − ≤ −2 Do k1 + k2 đạt giá trị lớn ⇔ m = −1 Ví dụ 2: Cho hàm số y =x + x + ( C ) Viết phương trình đường thẳng d qua A ( 0;3) cắt ( C ) điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến B, C vng góc với Lời giải Phương trình đường thẳng d là: = y kx + x3= ⇒ A ( 0;3) Phương trình hồnh độ giao điểm là: x3 + x + = kx + ⇔ g ( x ) = x + x − k = Để d cắt ( C ) điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ∆′ = + k > ⇔ ⇔ ≠ k > −4 k ≠ Khi gọi, B ( x1 ; kx1 + 3) , C ( x2 ; kx2 + 3) ⇒ k1 = y′ ( x1 ) = x12 + x1 , k2 = x22 + x2 Để tiếp tuyến B, C vng góc với ⇔ k1.k2 = −1 ⇔ x1.x2 ( x1 + )( x2 + ) =−1 ⇔ x1.x2 ( x1 x2 + 24 ( x1 + x2 ) + 64 ) =−1 ⇔ −k ( −9k − 32 ) = −1 ⇔ 9k + 32k + = ⇔ k = Vậy = k −16 ± 247 (thỏa mãn) −16 ± 247 −16 ± 247 ⇒= d:y x+3 9 Ví dụ 3: Gọi k1 k2 hệ số góc tiếp tuyến giao điểm ( C ) : y = x −1 đường x−2 thẳng d : = y x + Giá trị k1 + k2 là: A B 10 C 20 D 30 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm Mặt khác ta có: y′ = −1 ( x − 2) x ≠ x −1 2± = 2x +1 ⇔ ⇔ x= x−2 2 x − x − =0 2+ 2− ⇒ k1 = + k2 y′ = + y′ 20 Chọn C 2 Ví dụ 4: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số = y x − 2mx cắt đường thẳng y = −1 điểm phân biệt A, B cho tổng hệ số góc tiếp tuyến ( C ) A B A m = B m = −2 C m = −3 D m = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x − 2mx + = 2m x1 + x2 = Đk cắt điểm phân biệt là: ∆=′ m − > Khi x1 ; x2 hồnh độ giao điểm x1 x2 = Lại có y′ = x − ⇒ y′ ( x1 ) + y′ ( x2 ) = x1 − + x2 − = 4m − = ⇔ m = Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y =x3 − ( m + 1) x + 3mx + ( C ) Số giá trị m để ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt A (1;0 ) , B, C cho tiếp tuyến B C ( C ) song song với A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm là: x3 − ( m + 1) x + 3mx + = x = ⇔ ( x − 1) ( x − ( 3m + ) x − ) =0 ⇔ g ( x ) = x − ( 3m + ) x − = +) Để ( C ) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác = ∆ ( 3m + ) + > ⇔ ( *) 3 = − − ≠ g m ( ) x + x = 3m + Khi gọi, B ( x1 ;0 ) , C ( x2 ;0 ) ⇒ ( x1 ≠ x2 ) x1 x2 = −2 Ta có: k1 = y′ ( x1 ) =3 x12 − ( m + 1) x1 + 3m, k2 = y′ ( x2 ) =3 x22 − ( m + 1) x2 + 3m Do tiếp tuyến B C song song nên ta có: k1 = k2 ⇔ x12 − ( m + 1) x1 =x22 − ( m + 1) x2 ⇔ ( x1 − x2 )( x1 + x2 − 2m − ) = ⇔ x1 + x2 = 2m + ⇔ 3m + = 2m + ⇔ m = (t/m) Chọn A x − x có đồ thị ( C ) Có điểm Ví dụ [Đề thi THPT QG năm 2018]: Cho hàm số= y A ∈ ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ? A B C D Lời giải Từ giả thiết ta đường thẳng MN có vectơ phương u (1;6 ) Suy hệ số góc đường thẳng MN Gọi A ( x0 ; y0 ) x0 = ta có: f ′ ( x0 ) =6 ⇔ x − x0 =6 ⇔ x0 =−1 x0 = −2 Ta phương trình tiếp tuyến tương ứng = y 6x − 117 11 ,= y 6x + , = y 6x + 4 Kiểm tra điều kiện cắt điểm Ta xét phương trình 7 x − x = x + m ⇔ g ( x ) = x − x − x = m ( *) 4 x = Khi g ′ ( x ) = ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 Ta bảng biến thiên sau: x = −2 x −2 −∞ y′ ( x ) − −1 + 0 − +∞ + 11 +∞ +∞ y ( x) Dựa vào BBT suy m = − 117 11 , m = phương trình (*) có ba nghiệm Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B x3 + 3mx + x ( C ) Biết tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x1 x2 có Ví dụ 7: Cho hàm số y = hệ số góc k = Biết x12 + x22 = 10 giá trị m là: A m = ±1 B m = ± C m = ±2 D m = ± Lời giải 3 x + 6mx1 + = Ta có y′ ( x1 )= y′ ( x2 )= ⇔ 12 Khi x1 ; x2 nghiệm phương trình 3 x2 + 6mx1 + = −2m x1 + x2 = x + 6mx + = hay x + 2mx = − ( m + > ) Theo Vi-ét ta có: x1 x2 = −1 Lại có x12 + x22 =( x1 + x2 ) − x1 x2 =4m + = 10 ⇔ m =± Chọn B Ví dụ 8: Cho hàm số y =x3 − 3mx + ( m + 1) x ( C ) Số giá trị nguyên m để ( C ) tồn điểm M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) phân biệt cho tiếp tuyến M N vng góc với đường thẳng d : x − 3y + = A x1 + x2 = B C D Lời giải Viết lại d := y x + y′ =3 x − 6mx + ( m + 1) 3 1 Ta có: y′ ( x1 ) = −1 , y′ ( x2 ) = −1 nên x1 ; x2 nghiệm PT: x − 2mx + m + =−1 3 ⇔ x − 2mx + m + = (1) Để tồn điểm M, N thỏa mãn u cầu tốn phương trình (1) có nghiệm phân biệt dương ∆=′ m − m − > ⇔ 2m > ⇔ m > m + > 2m x1 + x2 = ⇒ Khi ta có: x1 x2= m + ( x1 + x2 ) = x1 + x2 + x1 x2 = 2m + m + = 20 m < 10 ⇔ (tm) Chọn A ⇔ m = m + 2= (10 − m ) Dạng 5: Tiếp tuyến hàm số hợp Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x )( C ) xác định ℝ thỏa mãn f (1 − x ) + f (1 − x ) =x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung A y= x − B y = − x +1 C y= x − D y =− x + Lời giải Ta có: ( C ) ∩ Oy điểm có hồnh độ x = f ( ) = a , thay x = vào giả thiết ta có: f ( ) + f ( ) = ⇔ a + a = ⇔ a = Đặt f ′ ( ) = b Đạo hàm vế biểu thức f (1 − x ) + f (1 − x ) =x + ta được: −3 f (1 − x ) f ′ (1 − x ) − x f ′ (1 − x ) = ( *) a =1 Thay x = vào biểu thức (*) ta có: −3a 2b − 2b = → 1⇔ b = −3b − 2b = − Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + Chọn B Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x )( C ) xác định ℝ thỏa mãn f ( − x ) + x = + x f ( x ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = y x− = 3 A y = − x+ 3 y x− = 3 B y = − x− 3 y x− = 3 C y = − x+ 3 y x− = 3 D y = − x+ 3 Lời giải f (1) = a a = −1 Đặt , thay x = vào giả thiết ta có: a + = + 3a ⇔ a − 3a − = ⇔ a = f ′ (1) = b Đạo hàm vế biểu thức f ( − x ) + x = + x f ( x ) ta được: −3 f ( − x ) f ′ ( − x )= + f ( x ) + x f ′ ( x )(*) Thay x = vào biểu thức (*) ta có: −3a 2b + = 3a + 3b TH1: Với a = −1 ⇒ −3b + = −3 + 3b ⇔ b = Phương trình tiếp tuyến là: y= 2 ( x − 1) − 1= x − 3 TH2: Với a = ⇒ −12b + = + 3b ⇔ b = − Phương trình tiếp tuyến là: y =− −1 ( x − 1) + = x + Chọn D 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x )( C ) xác định ℝ thỏa mãn f ( − x ) + f ( x + 1) = x + x Tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = qua điểm điểm sau: A ( 2;1) 5 B 1; 3 −2 C 2; 13 D 1; 3 Lời giải −1 2 f ( ) + f (1) = f ( ) = Thay= ⇔ x 0;= x vào đề ta có: ( ) f= (1) 2 f (1) + f= Đạo hàm vế biểu thức: f ( − x ) + f ( x + 1) = x + x ta được: −2 f ′ ( − x ) + f ′ ( x + 1) = x + (*) ′ f ( ) = − −2 f ′ ( ) + f ′ (1) = Thay= ⇔ x 0;= x vào (*) ta được: f ′ (1) = −10 −2 f ′ (1) + f ′ ( ) = Suy phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = có phương trình là: y =− 13 −8 ( x − 2) −1 = x + 3 5 Do tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x − qua điểm 1; Chọn B 3 Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x )( C ) xác định ℝ thỏa mãn f (1 − x ) + f (1 + x= ) ( x + 1) Tiếp tuyến ( C ) thời điểm có hồnh độ x = cắt trục tọa độ điểm A B Diện tích tam giác OAB SOAB thỏa mãn: A < SOAB < B < SOAB < 15 C 15 < SOAB < 30 Lời giải + f ( −1) 27 = 2 f ( 3)= f ( 3) Thay x = ⇔ −2; x = vào đề ta có: + f ( 3) 27 f ( −1) = 2 f ( −1) = D SOAB > 30 Đạo hàm vế biểu thức: f (1 − x ) + f (1 + x= 12 x (*) ) ( x + 1) ta được: −2 f (1 − x ) + f (1 + x ) = −24 −2 f ′ ( 3) + f ′ ( −1) = f ′ ( 3) = Thay x = ⇔ −2; x = vào (*) ta được: −2 f ′ ( −1) + f ′ ( 3) =24 f ′ ( −1) =−8 Suy phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = có phương trình là: y = ( x − 3) + = x − 15 Khi = SOAB 15 15 14, 0625 Chọn B = Ví dụ 5: Cho hàm số y f ( x= = ) , y f f ( x )= , y f ( x + ) có đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) Đường thẳng x = cắt ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) M, N, P Biết phương trình tiếp tuyến ( C1 ) M ( C2 ) N = y 12 x − Phương trình tiếp tuyến ( C3 ) P bằng: y x + và= A = y 8x −1 B = y 4x + C = y 2x + D = y 3x + Lời giải f ′ (1) = Ta có y = x + ⇔ y = f (1) = f ′ (1) ( x − 1) ⇔ y = f ′ (1) x − f ′ (1) + f (1) ⇒ f (1) = Tiếp tuyến ( C2 ) N y − f = f (1) f ′ (1) f ′ f (1) ( x − 1) ⇔ y −= f ( ) f ′ ( ) ( x − 1) = = 3 f ′ ( x ) 12 f ′ ( ) = ⇔ y f ′ ( x ) x + f ( ) − f ′ ( ) mà = y 12 x − → ⇔ −5 f ( ) − f ′ ( ) = f ( ) = Lại có y = f ( x + ) ⇒ y′ = (x + )′ f ′ ( x + ) = x f ′ ( x + ) ⇒ y (1) = f ′ ( ) Do đó, tiếp tuyến ( C3 ) P y = f ( ) = f ′ ( )( x − 1) ⇔ y − = ( x − 1) ⇔ y = x − Chọn A Dạng 6: Tìm điều kiện để đồ thị tiếp xúc với Cho hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) Đồ thị hàm số tiếp xúc với f ( x ) = g ( x ) nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm f ′ ( x ) = g ′ ( x ) Ví dụ 1: Biết hai đường cong y = x3 + 5x − y = x + x − tiếp xúc với điểm M ( x0 ; y0 ) Tính OM A OM = B OM = 29 C OM = Lời giải 29 D OM = 29 5x x + − = x + x − Tọa độ tiếp điểm nghiệm hệ phương trình: ⇔x= 3 x + = x + 29 1 5 Khi M ; − ⇒ OM = 2 4 Ví dụ 2: Có giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + m + tiếp xúc với trục hoành A B C D Lời giải x − 3mx + m + = Đồ thị hàm số cho tiếp xúc với trục hoành hệ phương trình 3 x − 3m = x3 − 3mx + m + = (1) có nghiệm m = x Thế m = x vào phương trình (1) ta có: x3 − x3 + x + = ⇔ x = ⇒ m = Chọn A Ví dụ 3: Số giá trị tham số m để hai đồ thị f ( x ) = x − x + đường thẳng d : y= m ( x − 1) − tiếp xúc với là: A B C D Lời giải m ( x − 1) − x − x += Hai đồ thị tiếp xúc với hệ phương trình: có nghiệm m 3 x − = x= − ⇒m= − Suy x − x + = ( x − 3) ( x − 1) − ⇔ x − x + = ⇔ Chọn B x =1 ⇒ m =0 3 Ví dụ 4: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số ( C ) : y =x3 + mx − x tiếp xúc với đường thẳng y= x + 9m Tổng phần tử tập hợp S là: A B C −3 D Lời giải x3 + mx − x =x + 9m (1) Hai đồ thị tiếp xúc với hệ phương trình: có nghiệm 3 x + 2mx − − 1( ) Ta có: (1) ⇔ x3 + mx − x − 9m =0 ⇔ x ( x + m ) − ( x + m ) =0 ⇔ ( x − ) ( x + m ) =0 x = ±3 ⇔ x = −m Với x =⇒ m= −3 Với x =−3 ⇒ m =3 Với x = −m ta có: 3m − 2m =⇔ ±3 m= Vậy m = ±3 giá trị cần tìm Vậy tổng phần tử tập S Chọn A Ví dụ 5: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − ( m + 3) x + 18mx − tiếp xúc với trục hoành Tổng phần tử tập hợp S là: A B 278 27 C D 208 27 Lời giải 2 x3 − ( m + 3) x + 18mx − = Đồ thị hàm số cho tiếp xúc với trục hoành hệ phương trình: 6 x − ( m + 3) x + 18m = 2 x3 − ( m + 3) x + 18mx − = (1) có nghiệm ⇔ x − m + x + m = ( ) ( ) x = Ta có: ( ) ⇔ x ( x − m ) − ( x − m ) =0 ⇔ ( x − 3)( x − m ) =0 ⇔ x = m Với x = vào (1) ta có: 54 − 27 ( m + 3) + 54m − = ⇔ m = 35 27 Với x = m vào (1) ta có: 2m3 − 3m ( m + 3) + 18m − = ⇔ −m3 + 9m − = ⇔ ( m − 1) ( m − 8m − ) = Ta tổng giá trị tập hợp S là: 35 278 + + = Chọn B 27 27 Ví dụ 6: Tính tổng S tất giá trị tham số m để đồ thị f ( x ) = x3 − 3mx + 3mx + m − 2m3 tiếp xúc với trục hoành A S = B S = C S = Lời giải Đồ thị cho tiếp xúc với trục hồnh hệ phương trình sau có nghiệm: f ( x ) = x − 3mx + 3mx + m − 2m3 =0 x − 3mx + 3mx + m − 2m3 = ⇔ 2 f ′ ( x ) = x − 6mx + 3m = g ( x ) = x − 2mx + m = (1) Lấy f ( x) ta f = ( x ) g ( x ) ( x − m ) + ( 2m − 2m ) x + 2m − 2m3 g ( x) m = Suy ( 2m − 2m ) x + 2m − 2m =0 ⇔ ( 2m − 2m ) ( x + m ) =0 ⇔ m =1 x = −m 2 D S = m = Với x =−m ⇒ (1) ⇔ m + 2m + m = 0⇔ m = − 2 Vậy m = 0, m = 1, m = − Chọn D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = A Câu 2: Cho hàm số y = −x +1 Số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A ( 2; −1) x−2 B C D 2x +1 có đồ thị ( C ) Số tiếp tuyến đồ thị ( C ) mà qua điểm M (1; ) x −1 A B Câu 3: Biết đồ thị ( C ) : y = C D x −1 có hai điểm mà tiếp tuyến điểm song song với đường x+2 thẳng d : x − y + 15 = Tìm tổng S tung độ tiếp điểm A S = B S = C S = −4 D S = Câu 4: Cho hàm số y = − x3 + x + có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) mà có hệ số góc lớn là: A = y 3x + B y = −3 x − C y = −3 x + D = y 3x − Câu 5: Đường thẳng x + y = − x3 + x + m 2m tiếp tuyến đường cong y = B A −3 Câu 6: Tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) = C −1 D −3 −1 x − x − x + điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f ′′ ( x ) = có hệ số góc A −4 B 47 12 C −13 Câu 7: Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = D − 17 x − x + 3x − A Có hệ số góc dương B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc −1 D Song song với đường thẳng x = Câu 8: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A = y x + 13 Câu 9: Cho hàm số y = B = y 3x − x +1 điểm có hồnh độ x−2 C y = −3 x − D y = −3 x + 13 x+2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số giao điểm đồ x +1 thị ( C ) với trục tung là: A y =− x + B y =− x + C y= x − D y =− x − Câu 10: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + vng góc với đường thẳng y = − x 1 A y = − x + 18, y = − x+5 9 1 B y = x + 18, y = x − 14 9 C y = x + 18, y = x − 14 D y = x + 18, y = 9x + Câu 11: Cho hàm số y = có đồ thị hàm số ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm 1− x ( C ) trục tung A = y 2x + B y= x + C y = −2 x + D = y 2x − Câu 12: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =x − x + điểm A ( 3;1) là: A y = −9 x − 26 B = y x − 26 Câu 13: Cho đồ thị hàm số y = C y = −9 x − D = y 9x + x − x + x Phương trình phương trình tiếp tuyến hệ số góc nhỏ đồ thị A y =− x + B y= x + C y =− x − D y= x − Câu 14: Đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị ( C ) : y = −2 x + x − hai điểm phân biệt Tìm tung độ tiếp điểm A B −1 C D Câu 15: Cho hàm số y = x − x + ( m − 1) x + 2m có đồ thị ( Cm ) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị ( Cm ) vng góc với đường thẳng ∆ : y = x + 2018 A m = Câu 16: Cho hàm số y = B m = C m = D m = − 2x − có đồ thị ( C ) Một tiếp tuyến ( C ) cắt hai tiệm cận ( C ) hai x−2 điểm A, B AB = 2 Hệ số góc tiếp tuyến A − B −2 C − D −1 Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm ℝ thỏa mãn f (1 + x ) = x − f (1 − x ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ 1 A y = − x− 7 B y = − x− 7 C y = − x+ 7 D y =− x + Câu 18: Gọi S tập hợp giá trị hàm số m để đồ thị hàm số y = x − x + m − có tiếp tuyến song song với trục Ox Tính tổng phần tử S A −2 B C −5 D Câu 19: Gọi S tập hợp giá trị hàm số m cho đường thẳng d : y = mx − m − cắt đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x − ba điểm phân biệt A, B, I (1; −3) mà tiếp tuyến với ( C ) A B vng góc với Tính tổng phần tử S A −1 B C D Câu 20: Cho hàm số y = x−2 có đồ thị ( C ) điểm A ( m;1) Gọi S tập giá trị m để có 1− x tiếp tuyến ( C ) qua A Tính tổng bình phương phần tử tập S A 13 B Câu 21: Cho đồ thị ( C ) : y = C D 25 x −1 d1 , d hai tiếp tuyến ( C ) song song với Khoảng cách lớn 2x d1 d A B C D 2 Câu 22: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( C ) Gọi A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) với x A < xB điểm thuộc ( C ) cho tiếp tuyến A, B song song với A S = −16 B S = 16 AB = Tính= S x A − xB C S = 15 D S = −9 Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f ( x ) > 0, ∀x ∈ , f '( x) =−e x f ( x)∀x ∈ f ( ) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 = ln A x + y − ln − = B x − y − ln + = C x − y + ln − = D x + y + ln − = Câu 24: Cho hàm số y = x4 − x + , có đồ thị ( C ) điểm M ∈ ( C ) có hồnh độ xM = a Có 2 giá trị nguyên a để tiếp tuyến ( C ) M cắt ( C ) hai điểm phân biệt khác M A B Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) = y = f ′ ( x ) hình vẽ C D ax + b ( a, b, c, d ∈ ; c ≠ 0, d ≠ ) có đồ thị cx + d (C ) Đồ thị hàm số Biết ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ Tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với trục hồnh có phương trình là: A x + y − = B x + y + = Câu 26: Cho hàm số= y x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt C x − y − = D x − y + = M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ? A B C Câu 27: Cho hàm số= y 14 x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) cho tiếp tuyến 3 ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B Câu 28: Cho hàm số y = D M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ? C D x − x + có đồ thị 2 (C ) 27 15 điểm A − ; − Biết có ba điểm 4 16 M ( x1 ; y1 ) , M ( x2 ; y2 ) , M ( x3 ; y3 ) thuộc ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) điểm qua A Tính S = x1 + x2 + x3 A S = − Câu 29: Cho hàm số y = B S = −3 C S = − D S = 2x ( C ) Các điểm M ∈ ( C ) cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M cắt hai x +1 trục tọa độ A, B với diện tích tam giác OAB có dạng M ( a; b ) , M ( c; d ) Khi tổng a + b + c + d A − B − C − D − Câu 30: Cho hàm số y = x + x + x + có đồ thị ( C ) Có tất giá trị nguyên tham số m để từ điểm M ( 0; m ) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn [1;3] A Vô số B C 61 D 60 Câu 31: Cho hàm số y = y ( dm ) : = 2x + có đồ thị x−2 (C ) Có giá trị thực tham số m để x + m cắt ( C ) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến ( C ) hai điểm song song với nhau? A Vơ số B C D Câu 32: Cho hàm số y = x −1 , gọi d tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m − Biết x+2 đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A ( x1 ; y1 ) cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B ( x2 ; y2 ) Gọi S tập hợp số m cho x2 + y1 = −5 Tính tổng bình phương phần từ S A B C 10 D Câu 33: Cho hàm số = y x − 2009 x có đồ thị ( C ) M điểm ( C ) có hồnh độ x1 = Tiếp tuyến ( C ) M cắt ( C ) điểm M khác M , tiếp tuyến ( C ) M cắt ( C ) điểm M khác M … tiếp tuyến ( C ) M n −1 cắt ( C ) M n khác M n −1 (n = 4;5;…), gọi ( xn ; yn ) tọa độ điểm M n Tìm n để: 2009 xn + yn + 22013 = A n = 685 B n = 679 C n = 672 D n = 675 Câu 34: Cho hàm số = y x3 + x có đồ thị ( C ) M điểm ( C ) có hồnh độ Tiếp tuyến điểm M cắt ( C ) điểm M khác M Tiếp tuyến điểm M cắt ( C ) điểm M khác M Tiếp tuyến M n −1 cắt ( C ) điểm M n khác M n −1 ( n ≥ 4, n ∈ ) ? Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện yn − xn + 221 = A n = B n = (C ) D n = 21 x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc đồ thị ( C ) cho tiếp Câu 35: Cho hàm số= y tuyến C n = 22 A cắt (C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) A B C D Câu 36: Giả sử đường thẳng = y ax + b tiếp tuyến chung đồ thị hàm số y = x − x + y = x + x − 10 Tính M = 2a + b A M = 16 B M = −4 C M = D M = Câu 37: Cho hàm số y = x − 2mx + ( m − 1) x + , (m tham số) có đồ thị ( Cm ) tồn hai điểm phân biệt A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) cho tiếp tuyến ∆ : x − 4y + = đồng thời A ( Cm ) A, B vng góc với đường thẳng x A + xB ≤ 2 S = [u; v ) Tính u + v B C Câu 38: Qua điểm A (1; −4 ) kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = D hai tiếp điểm M ( x1 ; y1 ) x +1 N ( x2 ; y2 ) Khẳng định A x1 x2 = B x1 x2 = −1 C x1 x2 = −5 D x1 x2 = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có y′ = ( x − 2) −a + Giả sử M a; tọa độ tiếp điểm a−2 Phương trình tiếp tuyến M y = Mà tiếp tuyến qua A ( 2; −1) nên ( a − 2) ( a − 2) 2 ( x − a) + (2 − a) + −a + a−2 −a + −a =−1 ⇔ =−1 ⇔ −a =2 − a a−2 a−2 Do khơng có giá trị a thỏa mãn Chọn D Câu 2: Ta có y′ = −3 2a + Giả sử M a; tọa độ tiếp điểm a −1 ( x − 1) Phương trình tiếp tuyến M y = Mà tiếp tuyến qua M (1; ) nên −3 ( a − 1) −3 ( a − 1) 2 ( x − a) + (1 − a ) + 2a + a −1 2a + 2a + =2⇔ = ⇔ 2a + = 2a − a −1 a −1 Do khơng có giá trị a thỏa mãn Chọn A Câu 3: Ta có y′ = Hệ số góc ( x + 2) ( a + 2) 2 a −1 Giả sử M a; tọa độ tiếp điểm a+2 a =−1 ⇒ M ( −1; −2 ) =3 ⇔ ⇒ S =−2 + =2 Chọn D a =−3 ⇒ M ( −3; ) Câu 4: Ta có y′ =−3 x + x =−3 ( x − 1) + ≤ x =1 ⇒ y =4 Do phương trình tiếp tuyến y = ( x − 1) + = x + Chọn A Câu 5: Ta có y′ = −3 x + Giả sử M ( a; −a + 2a + ) a =1 ⇒ M (1;5 ) ⇒ m =3 Ta có k =y′ ( a ) =−3a + =−1 ⇔ a =1 ⇔ Chọn B a =−1 ⇒ M ( −1;3) ⇒ m =1 Câu 6: Ta có f ′ ( x ) = x − x − ⇒ f ′′ ( x ) = x − 1; f ′′ ( x ) = ⇔ x = 17 1 Hệ số góc f ′ = − Chọn D 2 11 y= − x =⇒ Câu 7: Ta có y′ =x − x + 3; y′ =0 ⇔ ⇒ cực tiểu ( 3; −5 ) y= −5 x =⇒ Hệ số góc cực tiểu y′ ( 3)= ⇒ song song trục hồnh Chọn B Câu 8: Ta có y′ = −3 ( x − 2) Tại x =3 ⇒ y = Hệ số góc y′ ( 3) = −3 Phương trình tiếp tuyến y =−3 ( x − 3) + =−3 x + 13 Chọn D Câu 9: Ta có y′ = −1 ( x + 1) Giao điểm với trục tung ( 0; ) Hệ số góc y′ ( ) = −1 Phương trình tiếp tuyến y =− x + Chọn A Câu 10: Ta có = y′ x − Giả sử M ( a; a − 3a + ) tọa độ tiếp điểm a = ⇒ M ( 2; ) ⇒ y = x − 14 Hệ số góc k = y′ ( a ) = 3a − = ⇔ a = ⇔ Chọn C a =−2 ⇒ M ( −2;0 ) ⇒ y =9 x + 18 Câu 11: Ta có y′ = (1 − x ) Giao điểm với trục tung ( 0; ) Hệ số góc y′ ( ) = Phương trình tiếp tuyến = y x + Chọn A Câu 12: = y′ x − x Hệ số góc y′ ( 3)= ⇒ tiếp tuyến = y x − 26 Chọn B Câu 13: y=′ x − x + 3= ( x − 2) − ≥ −1 x = ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến y =− ( x − ) + =− x + Chọn A 3 0⇒ y = −1 x = Câu 14: y′ = −8 x3 + x; y′ = 0⇔ x =±1 ⇒ y =1 Do tung độ tiếp điểm Chọn A Câu 15: Hệ số góc tiếp tuyến điểm x = x0 k = y′ ( x0 ) = x02 − x0 + m − 2 1 Ta có x − x0= + x0 − − ≥ − ⇒ k ≥ m − Do kmin= m − 3 3 4 Theo ra, ta có 3kmin =−1 ⇔ m − =−1 ⇔ m − =− ⇔ m =1 Chọn B 3 3 2x − Câu 16: Gọi M x0 ; nên phương trình tiếp tuyến ( C ) M − ⇒ y′ ( x0 ) = x0 − ( x0 − ) y − y0 =y′ ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y − x0 − x − x0 ) = − ( x0 − ( x0 − ) 2x − Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x = A 2; ⇒ IA = 0; x0 − x0 − Tiếp tuyến d cắt TCN: y = B ( x0 − 2; ) ⇒ IB = ( x0 − 4;0 ) (d ) Suy = IA.IB = x0 − 4 mà IA2 + IB =AB =8 ⇒ IA =IB =2 x0 − Do x0 − 4= ⇔ ( x0 − ) = → k= −1 Chọn D f (1) = Câu 17: Thay x = vào giả thiết, ta f (1) = − f (1) ⇔ f (1) = −1 Đạo hàm vế giả thiết, ta có f ′ (1 + x ) f (1 + x ) = + f ′ (1 − x ) f (1 − x ) (*) Thay x = vào (*), ta f ′ (1) f (1) = + f ′ (1) f (1) (I) TH1 Với f (1) = thay vào (I), ta có = (vơ lý) TH2 Với f (1) = −1 thay vào (I), ta có −4 f ′ (1) = − (vơ lý) + f ′ (1) ⇒ f ′ (1) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y + =− 1 ( x − 1) ⇔ y =− x − Chọn A 7 Câu 18: Tiếp tuyến song song với trục Ox ⇒ = k y′ ( = x0 ) x =0 ⇒ y =m − Giải phương trình y′ =4 x3 − x =0 ⇔ x =±1 ⇒ y =m − Phương trình tiếp tuyến điểm ( 0; m − ) là: y= m − Phương trình tiếp tuyến điểm ( ±1; m − 3) là: y= m − = −2 = m m Để có tiếp tuyến song song với trục Ox ⇔ m−3 = = m Vậy = S {2;3} ⇒ T= Chọn B Câu 19: Phương trình hồnh độ giao điểm là: x3 − x − = mx − m − ⇔ x − x + − m ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) − m ( x − 1) = −3 y= x =⇒ ⇔ ( x − 1) ( x − x − − m ) = ⇔ ) x − x − − m= g ( x= ∆ = + (1 + m ) > Để d cắt ( C ) điểm phân biệt g ( x ) = có nghiệm khác ⇔ (*) −m ≠ g (1) = x1 + x2 = Gọi A ( x1 ; mx1 − m − 3) B ( x2 ; mx2 − m − 3) theo Vi-ét ta có: x x = −1 − m 2 Để tiếp tuyến A B ( C ) vng góc với y′ ( x1 ) y′ ( x2 ) = −1 ⇔ ( x12 − x1 )( x22 − x2 ) =−1 ⇔ x1 x2 ( x1 − 1)( x2 − 1) =− ⇔ x1 x2 ( x1 x2 − x1 − x2 + 1) = − ⇔ 36 −1 − m −1 − m 1 ⇔ − + 1 = − 36 2 36 m + 2m + 1 + m 1 −3 ± − = − ⇔ m2 + m + = 0⇔m= ( t / m ( *) ) 4 36 Suy tổng phần tử S −1 Chọn A x −2 Câu 20: Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M x0 ; là: − x0 + = y f ′ ( x0 )( x − x0 ) + x0 − = − x0 + −1 ( x0 − 1) ( x − x0 ) + Do tiếp tuyến qua điểm A ( m;1) nên = x0 − − x0 + x0 − a + ( − x0 )( x0 − 1) ( x0 − 1) ⇔ ( x0 − 1) =− x02 + x0 − − m ⇔ x02 − x0 + + m =0 (*) Để có tiếp tuyến qua A (*) có nghiệm kép (*) có nghiệm phân biệt có ∆′ = − 2m = m= ′ ⇔ ∆ = − 2m > ⇔ nghiệm x0 = 2.1 − + + m = m = 13 3 Vậy = S ;1 ⇒ Tổng bình phương trình tập hợp S + = Chọn A 4 2 Câu 21: ( C ) : y= 1 x −1 Ta có: y= − ⇒ y=′ 2 2x 2x 2x 1 1 Gọi A a; − , B b; − ( a ≠ b, ab ≠ ) hai điểm thuộc đồ thị ( C ) 2a 2b Gọi d1 , d hai tiếp tuyến ( C ) A B song song với Theo giả thiết ta có: y′ ( a ) = y′ ( b ) ⇔ 1 a ≠b = ⇔ a = b ⇔ ( a − b )( a + b ) = → a = −b 2 2a 2b 1 Suy B −a; + 2a Phương trình tiếp tuyến A là: d1 : y= Khi d = ( d1; d ) d= ( B; d1 ) 1 1 x + − x − a) + − = ( 2a 2a 2a a −a 1 1 + − − − 2a 2 a 2a = +1 4a a = +1 4a + a2 4a Mặt khác 1 2 + a2 ≥ a =1 ⇒ d ≤ =2 ⇒ d max =2 Chọn C 2 4a 4a Câu 22: Gọi A ( a; a − 3a + 1) , B ( b; b3 − 3b + 1) với a < b Tiếp tuyến A, B song song với ⇒ y′ ( a )= y′ ( b ) ⇔ 3a − 3= 3b − ⇔ a 2= b a ≠b ⇔ ( a − b )( a + b ) = → a = −b Khi đó: B ( −a; −a + 3a + 1) ⇒ AB 2= 4a + ( 2a − 6a ) = (4 ) 2 t =a ⇔ 4a − 24a + 40a 2= 32 → 4t − 24t + 40t − 32= ⇔ t= ⇒ a= ±2 Do a < b ⇒ a =−2, b =2 ⇒ S =3 ( −2 ) − 5.2 =−16 Chọn A −1 ′ f ′( x) x Câu 23: Ta có: f ′ ( x ) = −e f ( x ) ⇒ = −e ⇒ −e x )′ ⇒ = ex + C ( = f ( x) f ( x) f ( x) x −e x 1 Mặt khác f ( ) = ⇒ =e0 + C ⇒ C =1 ⇒ f ( x ) = x ⇒ f ′( x) = f ( 0) e +1 ( e x + 1) −2 ′ f ( ln ) = Ta có: ⇒ Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 = ln là: f ( ln ) = −2 y = ( x − ln ) + ⇔ y =−2 x + ln + ⇔ x + y − ln − =0 Chọn A a4 5 Câu 24: Gọi M a; − 3a + , y′ = x3 − x 2 Phương trình tiếp tuyến M là: y= ( 2a − 6a ) ( x − a ) + a4 − 3a + ( d ) 2 Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) là: ( 2a − 6a ) ( x − a ) + a4 x4 − 3a + = − x + ⇔ ( 2a − 6a ) ( x − a ) + ( a − x ) − ( a − x ) = 2 2 ⇔ ( x − a ) 2a − 6a − ( a + x ) ( a + x ) + ( x + a ) = 1 1 ⇔ ( x − a ) 2a − 6a − a − ax − a x − x3 + x + 3a = 2 2 ⇔ ( x − a ) ( 3a − ax − a x − x + x − 3a ) = ⇔ ( x − a ) ( x − a ) ( − x − 2ax − 3a ) + ( x − a ) = x= a ⇒ M ( a; yM ) ⇔ ( x − a ) ( x + 2ax + 3a − 3) =0 ⇔ 2 g ( x ) = x + 2ax + 3a − = Để d cắt ( C ) điểm phân biệt khác M phương trình g ( x ) = phải có nghiệm phân biệt khác 2a < ∆′= a − 3a + > ⇔ a⇔ g ( a )= 6a − ≠ a ≠ Kết hợp a ∈ ⇒ a = {0; ±1} Vậy có giá trị a Chọn B Câu 25: ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ nên f ( ) = ⇒ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có tiệm cận đứng x =− b = ⇒ b = 2d d d b =−1 ⇒ c =d ⇒ c =d = c a a c2 − −2 ax + b ad − bc ac − 2c c c ′ Ta có: y = f ( x ) = ⇒ f ( x) = = = = 2 cx + d ( cx + d ) ( cx + c ) c ( x + 1) ( x + 1) Lại có: f ′ ( −2 ) =f ′ ( ) =−3 ⇒ Vậy = y a − =−3 ⇒ a =−c c ax + b −cx + 2c − x + = = , y=′ cx + d cx + c x +1 −3 ( x + 1) = A ( 2;0 ) , ( C ) ∩ Ox 1 Ta có: y′ ( ) =− ⇒ Phương trình tiếp tuyến A là: y = − ( x − ) hay x + y − = Chọn A 3 Câu 26: Gọi A a; a − a ∈ ( C ) nên phương trình tiếp tuyến d ( C ) A y − y A = y′ ( x A )( x − x A ) ⇔ y = Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d (a − 7a ) ( x − a ) + a − a 4 x − x = (a − 7a ) ( x − a ) + a − a ⇔ x − 14 x − ( 4a − 28a ) ( x − a ) − a + 14a = x = a ⇔ ( x − a ) ( x + 2ax + 3a − 14 ) =0 ⇔ 2 (1) x + 2ax + 3a − 14 = Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt khác a ⇔ ≠ a2 < Theo ra, hệ số góc tiếp tuyến k = ⇒ a − a = ⇒ a = {−2; −1;3} Vậy có tất hai giá trị a cần tìm Chọn B 14 Câu 27: Gọi A a; a − a ∈ ( C ) nên phương trình tiếp tuyến d ( C ) A 28 14 4 y − y= y′ ( x A )( x − x A ) ⇔ = y a3 − a ( x − a ) + a − a A 3 3 Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d 14 28 14 x − x= a − a ( x − a ) + a − a 3 3 3 ⇔ x − 14 x − ( 4a − 28a ) ( x − a ) − a + 14a = x = a ⇔ ( x − a ) ( x + 2ax + 3a − 14 ) =0 ⇔ 2 (1) x + 2ax + 3a − 14 = Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt khác a ⇔ Theo ra, hệ số góc tiếp tuyến k = ⇒ ≠ a2 < 28 a − a = ⇒ a = {−2; −1;3} 3 Vậy có tất hai giá trị a cần tìm Chọn A Câu 28: Gọi tiếp tuyến d qua A có phương trình y + 15 27 27 15 = k x + ⇔ y = kx + k − 16 16 2 x3 − x = k Vì ( C ) d tiếp xúc ⇒ 27 15 x − x + = kx + k − 16 2 −2; x = −1 x = 27 15 Suy x − x + = x + ( x − x ) − ⇔ Vậy S = − Chọn C x = 2 16 4 x0 Câu 29: Gọi M x0 ; ⇒ y′ ( x0 ) = nên phương trình tiếp tuyến ( C ) M ( x0 + 1) x0 + y− x0 x0 = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y − = x0 + x0 + ( x0 + 1) ( x − x0 ) Tiếp tuyến d cắt Ox A ( − x02 ;0 ) ⇒ OA = x02 x02 x02 Tiếp tuyến d cắt Oy B 0; ⇒ OB = ( x + 1)2 x + ( ) 0 Do S ∆OAB= OA.OB= x0 = − ⇒ y0 = −2 = ⇔ 2 ( x0 + 1) x0 =⇒ y0 = x04 Vậy a + b + c + d =− Chọn D Câu 30: Phương trình tiếp tuyến d ( C ) qua M y − m = k ( x − ) ⇔ y = kx + m (d) k 3 x + x + = Vì ( C ) tiếp xúc với d nên suy ⇔m= −2 x − x + x + x + x + = kx + m g ( x) = −2 x3 − x + có nghiệm thuộc [1;3] u cầu toán ⇔ m = Xét hàm số g ( x ) = −2 x3 − x + [1;3] , có g ′ ( x ) =−6 x − x < 0; ∀x ∈ [1;3] Suy g ( x ) hàm số nghịch biến (1;3) ⇒ g ( 3) ≤ m ≤ g (1) ⇔ −62 ≤ m ≤ −2 Vậy có tất −2 − ( −62 ) + =61 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C Câu 31: Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d 2x + = 2x + m x−2 x ≠ x − ≠ ⇔ ⇔ x + ( m − ) x − 2m − = 2 x + = ( x − )( x + m ) f ( x) có nghiệm phân biệt khác Để ( C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ f ( x ) = f ( ) ≠ ⇔ ⇔ ( m − ) + ( 2m + 3) > ⇔ m + 4m + 60 > 0; ∀m ∆ > 6−m x1 + x2 =2 Khi đó, gọi x1 , x2 hồnh độ giao điểm ⇒ x x = − 2m + 2 Theo ra, ta có y′ ( x1 ) − y′ ( x2 ) ⇔ − Từ (1), (2) suy ( x1 − ) =− ( x2 − ) (1) x1 = x2 ⇔ x1 + x2 = (2) 6−m m= =⇔ −2 Chọn B x −1 Câu 32: Gọi M x0 ; ⇒ y′ ( x0 ) = nên phương trình tiếp tuyến ( C ) M ( x0 + ) x0 + y− x0 − x −1 = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y − = x0 + x0 + ( x0 + ) ( x − x0 ) (d) x −4 x0 − Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x = A −2; ⇒ y1 = x0 + x0 + Tiếp tuyến d cắt TCN: y = B ( x0 + 2; ) ⇒ x2 = x0 + Theo ra, ta có x2 + y1 =−5 ⇔ x0 + + x0 = −5 m = −3 x0 − Chọn C =−5 ⇔ ⇒ −1 m = x0 + x0 = − yk y′ ( xk )( x − xk ) Câu 33: Phương trình tiếp tuyến ( C ) M k ( xk ; yk ) y= ⇔ y = y′ ( xk ) ( x − xk ) + yk = ( 3x k − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk (d) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d x = xk x3 − 2009 x =( 3k2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk ⇔ ( x − xk ) ( x + xk ) =0 ⇔ x = −2 xk Do xk +1 = −2 xk suy ( xn ) cấp số nhân với x1 =1; q =−2 ⇒ xn =( −2 ) Vậy 2009 xn + yn + 22013 = ⇔ xn3 + 22013 = ⇔ ( −2 ) n −3 n −1 + 22013 = 0⇔n= 672 Chọn C − yk y′ ( xk )( x − xk ) Câu 34: Phương trình tiếp tuyến ( C ) M k ( xk ; yk ) y= ⇔ y = y′ ( xk ) ( x − xk ) + yk = ( 3x k + 3) ( x − xk ) + xk3 + xk (d) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d x = xk x3 + x =( xk2 + 3) ( x − xk ) + xk3 + xk ⇔ ( x − xk ) ( x + xk ) =0 ⇔ x = −2 xk Do xk +1 = −2 xk suy ( xn ) cấp số nhân với x1 =1; q =−2 ⇒ xn =( −2 ) Vậy yn − xn + 221 =0 ⇔ xn3 + 221 =0 ⇔ ( −2 ) n −3 n −1 + 221 =0 ⇔ n =8 Chọn B Câu 35: Từ giả thiết ta suy đường thẳng MN có vectơ phương u (1;3) Gọi A ( x0 ; y0 ) −45 x = ⇒ y = 0 −13 ta có: f ′ ( x0 ) = ⇔ x0 − x0 = ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = 2 x0 =−2 ⇒ y0 =−5 Ta phương trình tiếp tuyến tương ứng y = 3x − 117 11 ,y= 3x + , y = 3x + 8 Kiểm tra điều kiện cắt điểm Ta xét phương trình 7 x − x = x + m ⇔ g ( x ) = x − x − x = m ( *) 8 x = 3 Khi g ′ ( x ) = ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 Ta bảng biến thiên sau: 2 x = −2 x g′( x) −2 −∞ + −1 − + +∞ − 14 +∞ +∞ g ( x) −117 Dựa vào BBT suy = m 11 , m phương trình (*) có ba nghiệm = Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 36: Đường thẳng = y ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + phương trình x − x + = ax + b ⇔ x − ( a + ) x + − b có nghiệm kép ⇔ ∆= ( a + 5) − ( − b )= (1) Tương tự đường thẳng = y ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x − 10 phương trình x + x − 10 = ax + b ⇔ x + ( − a ) x − 10 − b = có nghiệm kép ⇔ ( a − 3) + ( b + 10 ) = (2) 2 = 16a − 48 = a a + 10a + 4b + = Từ (1) (2) ⇒ ⇒ ⇔ 0 a − 6a + 4b + 49 = b = −10 a − 6a + 4b + 49 = Vậy M =2a + b =−4 Chọn B Câu 37: Viết lại: d : y = x + 1, y′ =x − 4mx + ( m − 1) 1 Ta có: y′ ( x1 ) = −1, y′ ( x2 ) = −1 nên x1 ; x2 nghiệm phương trình: y′ ( x ) = −4 4 x = ⇔ x − 4mx + 8m − = ⇔ ( x − ) − 4m ( x − ) = ⇔ ( x − )( x + − 4m ) = ⇔ x 4m − = (1) Để tồn điểm A, B thỏa mãn u cầu tốn phương trình (1) có nghiệm phân biệt không âm 4m − ≥ m ≥ ⇔ ⇔ 4m − ≠ m ≠ Khi ta có: x A + xB ≤ 2 ⇔ m − + ≤ 2 ⇔ m − ≤ ⇔ m ≤ 1 Kết hợp điều kiện suy ra= Chọn A S ;1 ⇒ u + = v 2 Câu 38: Gọi K a; ( a ≠ 1) thuộc ( C ) a +1 Phương trình tiếp tuyến K= là: y −1 ( a + 1) ( x − a) + a +1 Tiếp tuyến qua điểm A (1; −4= ) ⇔ −4 −1 ( a + 1) (1 − a ) + a −1 + a +1 = ⇔ −4 a +1 ( a + 1) a= − ⇔ −2 ( a + 1) = a ⇔ 2a + 5a + = ⇔ ⇒ x1 x2 = a1a2 = Chọn A a = −1 2