Chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH GIÁO VIÊN: LÊ QUANG XE tikzset treetop/.style = decoration=random steps, segment length=0.4mm, decorate , trunk/.style = decoration=random steps, segment length=2mm, amplitude=0.2mm, decorate TÀI LIỆU DẠY THÊM MƠN TỐN 12 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Ngày 27 tháng năm 2021 Ô 0967.00.31.31 MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước Dạng Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước Dạng Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R ax + b Dạng Tìm m để hàm y = đơn điệu khoảng xác định cx + d Dạng Biện luận đơn điệu hàm đa thức khoảng, đoạn cho trước Dạng Biện luận đơn điệu hàm phân thức khoảng, đoạn cho trước 11 Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp 12 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 16 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 22 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 22 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 22 Dạng Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 1) để tìm cực trị cực hàm số 22 Dạng Xác định cực trị biết bảng biến thiên đồ thị 25 Dạng Dạng Dạng Dạng C 4 Ứng dụng đạo hàm (quy tắc 2) để tìm cực trị cực hàm số Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước Biện luận cực trị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Biện luận cực trị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c 27 28 29 31 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 33 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 39 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 39 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 39 Dạng Tìm max – hàm số cho trước 39 Dạng Một số toán vận dụng 43 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 46 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 49 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 49 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Cho hàm số y = f (x), tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị tương ứng Dạng Xác định TCN TCĐ biết bảng biến thiên hàm số y = f (x) Dạng Một số toán biện luận theo tham số m C Lê Quang Xe 50 50 53 55 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 59 Trang i Ô 0967.00.31.31 ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 63 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 63 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Dạng Nhận dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c ax + b Dạng Nhận dạng đồ thị hàm biến y = cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN C MỤC LỤC 64 64 67 70 74 ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 79 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 79 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Giải, biện luận nghiệm phương trình phương pháp đồ thị Dạng Giải, biện luận nghiệm bất phương trình phương pháp đồ thị Dạng Một số toán liên quan đến hàm hợp C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 93 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 98 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 98 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 98 Dạng Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc ba 98 Dạng Xác định (biện luận) giao điểm đường thẳng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương 103 Dạng Xác định (biện luận) giao đường thẳng đồ thị hàm số y = ax + b 106 cx + d BÀI TẬP TỰ LUYỆN 110 C 80 80 85 87 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 113 A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 113 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 113 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm (x0 ; y0 ) cho trước 113 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) biết hệ số góc tiếp tuyến k0 116 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x), biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; yA ) 120 Dạng Bài tập tổng hợp 123 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 126 ĐỀ TỔNG ÔN 129 Lê Quang Xe A ĐỀ SỐ 129 B ĐỀ SỐ 135 Trang ii Ô 0967.00.31.31 CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN § SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Cho hàm số y = f (x) xác định (a; b) Khi  Hàm số đồng biến (a; b) y ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) • Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường lên" xét từ trái sang phải f (x2 ) f (x1 ) O  Hàm số nghịch biến (a; b) x1 x2 x x1 x2 x y ∀x1 , x2 ∈ (a; b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) • Trên khoảng (a; b), đồ thị "đường xuống" xét từ trái sang phải f (x1 ) f (x2 ) O Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu  Cho hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ­ Nếu f (m) > f (n) m > n ® Nếu f (m) < f (n) m < n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b)  Cho hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (a; b) Xét m, n ∈ (a; b) ¬ Nếu f (m) = f (n) m = n ­ Nếu f (m) > f (n) m < n ® Nếu f (m) < f (n) m > n ¯ Với k số thực cho trước, phương trình f (x) = k có khơng q nghiệm thực (a; b) Liên hệ đạo hàm tính đơn điệu Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) ¬ Nếu y0 ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) y = f (x) đồng biến (a; b) ­ Nếu y0 ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) y = f (x) nghịch biến (a; b) Chú ý: Dấu xảy điểm "rời nhau" Lê Quang Xe Trang Ô 0967.00.31.31 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP { DẠNG Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho trước Phương pháp giải Tìm tập xác định D hàm số Tính y0 , giải phương trình y0 = tìm nghiệm xi (nếu có) Lập bảng xét dấu y0 miền D Từ dấu y0 , ta suy chiều biến thiên hàm số  Khoảng y0 mang dấu −: Hàm nghịch biến  Khoảng y0 mang dấu +: Hàm đồng biến # Ví dụ Hàm số y = −x3 + 3x − đồng biến khoảng đây? A (−∞; −1) B (−∞; −1) (1; +∞) C (1; +∞) D (−1; 1) L Lời giải Ta có y0 = −3x2 + 3, y0 = ⇔ −3x2 + = ⇔ x = ±1 Bảng xét dấu x y0 −∞ −1 − +∞ + − Dựa vào bảng xét dấu, hàm số cho đòng biến (−1; 1) Chọn đáp án D  # Ví dụ Cho hàm số y = x3 + 3x2 − Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (1; 5) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞) C Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) D Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) L Lời giải đ x = −2 Ta có =0⇔ x=0 Bảng biến thiên hình bên: Vậy hàm số đồng biến khoảng (∞; −2) (0; +∞) y0 = 3x2 + 6x, y0 x y0 −∞ + −2 − 0 −∞ + +∞ y +∞ −2 Chọn đáp án D  + 2x3 − 2x − nghịch biến khoảng sau đây? # Ví Å dụ Hàm ã số y = −x Å ã 1 A −∞; − B − ; +∞ C (−∞; 1) D (−∞; +∞) 2 Lê Quang Xe Trang Ô 0967.00.31.31 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ L Lời giải Tập xác định hàm số D =  R x=−  y = −4x + 6x − 2, y = ⇔ x=1 Bảng xét dấu f (x) − f (x) Từ bảng xét dấu f (x) −∞ x + +∞ − − Å ã suy hàm số nghịch biến khoảng − ; +∞ Chọn đáp án B  # Ví dụ Hàm số y = x4 + 8x3 + nghịch biến khoảng đây? A (0; +∞) B (−∞; −6) C (−6; 0) D (−∞; +∞) L Lời giải Ta có y0 =đ4x3 + 24x2 = 4x2 (x + 6) x=0 y0 = ⇔ x = −6 Bảng biến thiên x −∞ y0 −6 − +∞ + + +∞ +∞ y y(−6) Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −6) Chọn đáp án B  # Ví dụ Hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x2 (x + 2) Phát biểu sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) B Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (0; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) D Hàm số nghịch biến khoảng (−2; 0) L Lời giải ñ x=0 Ta có f (x) = ⇔ x2 (x + 2) = ⇔ x = −2 Bảng biến thiên Lê Quang Xe Trang Ô 0967.00.31.31 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ x −∞ f0 −2 − +∞ + +∞ + +∞ f Suy hàm số đồng biến khoảng (−2; +∞) khẳng định Chọn đáp án C  x+3 Khẳng định sau đúng? x−3 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Hàm số nghịch biến R \ {3} Hàm số đồng biến R \ {3} # Ví dụ Cho hàm số y = A B C D L Lời giải Hàm số cho có tập xác định (−∞; 3) ∪ (3; +∞), y0 = −6 > ∀x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞) Do đó, (x − 3)2 hàm số nghịch biến khoảng (−∞; 3) (3; +∞) Chọn đáp án B  3−x Mệnh đề đúng? x+1 Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) Hàm số nghịch biến với x 6= Hàm số nghịch biến tập R \ {−1} Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) # Ví dụ Cho hàm số y = A B C D L Lời giải Tập xác định D = R \ {−1} −4 Ta có y0 = < 0, ∀x ∈ D (x + 1)2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) (−1; +∞) Chọn đáp án D  # Ví dụ Hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó? x−1 2x + x−2 x+5 A y = B y = C y = D y = x+1 x−3 2x − −x − L Lời giải  Với y = Lê Quang Xe x−1 ⇒ y0 = > x+1 (x + 1) Trang Ô 0967.00.31.31  Với y = SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 2x + −7 ⇒ y0 = < ⇒ hàm số nghịch biến x−3 (x − 3)2 Chọn đáp án B  √ # Ví dụ Hàm số y = 2x − x2 nghịch biến khoảng sau? A (0; 1) B (0; 2) C (1; 2) D (1; +∞) L Lời giải Ta có D = [0; 2] 1−x − 2x =√ = ⇔ x = y0 = √ 2x − x2 2x − x2 Bảng biến thiên x y0 + − y Suy hàm số nghịch biến (1; 2) Chọn đáp án C  { DẠNG Tìm khoảng đơn điệu hàm số hình ảnh đồ thị cho trước Phương pháp giải  Nếu đề cho đồ thị y = f (x), ta việc nhìn khoảng mà đồ thị "đi lên" "đi xuống" ¬ Khoảng mà đồ thị "đi lên": hàm đồng biến; ­ Khoảng mà đồ thị "đi xuống": hàm nghịch biến  Nếu đề cho đồ thị y = f (x) Ta tiến hành lập bảng biến thiên hàm y = f (x) theo bước: ¬ Tìm nghiệm f (x) = (hoành độ giao điểm với trục hoành); ­ Xét dấu f (x) (phần Ox mang dấu dương; phần Ox mang dấu âm); ® Lập bảng biến thiên y = f (x), suy kết tương ứng # Ví dụ 10 Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm hình bên x y0 −∞ + −2 − +∞ + Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A (0; 1) B (3; 4) C (−2; 4) Lê Quang Xe D (−4; 2) Trang Ô 0967.00.31.31 # Ví dụ 11 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng sau đây? A (−∞; 5) B (0; 2) C (2; +∞) D (0; +∞) SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ x −∞ + f (x) 0 − +∞ + +∞ f (x) −∞ L Lời giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (2; +∞) Chọn đáp án C # Ví dụ 12 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; 3) B Hàm số nghịch biến khoảng (6; +∞) C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; 3) D Hàm số nghịch biến khoảng (3; 6)  y O x L Lời giải Dựa vào đồ thị thấy hàm số nghịch biến khoảng (2; 7), hàm số nghịch biến khoảng (3; 6)  Chọn đáp án D # Ví dụ 13 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến R \ {2} x −∞ +∞ B Hàm số đồng biến (−∞; 2) (2; +∞) − − y C Hàm số nghịch biến (−∞; 2) (2; +∞) +∞ D Hàm số nghịch biến R y −∞ L Lời giải Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến (−∞; 2) (2; +∞) Chọn đáp án C  y = f (x) y # Ví dụ 14 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R, hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số y = f (x) đồng biến khoảng khoảng sau A (−∞; −2); (1; +∞) B (−2; +∞) \ {1} C (−2; +∞) D (−5; −2) −2 −1 O1 x L Lời giải Lê Quang Xe Trang Ô 0967.00.31.31 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ x −∞ y0 −2 − +∞ + + +∞ +∞ y Dựa bảng biến thiên, hàm số y = f (x) đồng biến khoảng (−2; +∞) Chọn đáp án C  { DẠNG Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu R Phương pháp giải   a = a > Hàm số đồng biến R y0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ suy biến b =  ∆y0 ≤  c >  ®  a = a0 − 12 ≤ ⇔ − ≤ m ≤ ⇔ 4m ∆0 ≤ ⇒ m ∈ {−1; 0; 1} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn đáp án C  # Ví dụ 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = − x3 − mx2 + (2m − 3)x − m + nghịch biến R A m ≤ −3, m ≥ B −3 < m < C −3 ≤ m ≤ D m ≤ L Lời giải Ta có y0 = −x2 − 2mx + (2m − 3) ® Hàm số nghịch biến R Chọn đáp án C Lê Quang Xe y0 ≤0⇔ a = −1 < ⇔ m2 + 2m − ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ ∆0 ≤  Trang